Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen
|
|
- Gerrit Bader
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 R. Brinkmann Seite..0 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Wir erinnern uns, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen waren die Koordinaten von drei Punkten nötig um die Koeffizienten a, a und a 0 zu bestimmen. Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion. Grades lautet: = ax + ax + ax+ a0 Für die 4 Variablen a, a, a, a 0 benötigt man 4 Bedingungen und damit 4 Bestimmungsgleichungen. Allgemein lässt sich feststellen, das man für eine Ganzrationale Funktion n ten Grades n + Bedingungen und damit n + Bestimmungsgleichungen benötigt. Training GRF_07: Ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte Finden Sie die Funktionsgleichung und zeichnen Sie den Graphen. Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Horner-Schema.) P( 4 );P ( );P ( 4 4 );P ( 5 0 ).) 4 9 P ;P ;P( );P 5 4 P 6 ;P ;P 4 ;P 6 9.) 4 4.) P( 7 );P( 6 );P( );P4( ) 5.) P( );P( 4 44 );P( 4 4 );P4( 40) 6.) P( 0 );P( );P( 6 );P4( 4) 7.) P ( );P ( 0 );P ( 4 );P ( 9).) 9.) P( 6 );P( 4 );P ;P P ;P ;P ;P 4 P 5 ;P 49 ;P 7 ;P ) 4 Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 von 7
2 R. Brinkmann Seite..0 Beispiel für eine Ganzrationale Funktion. Grades. Die Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben: P ;P ;P 44 ;P 0 4 Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt. P : f = a + a a + a = 0 P : f = a + 4a + a + a = 0 P 44 : f = 7a + 9a a + a = 44 0 P 0 : f = a + a + a + a = Lösung des Gleichungssystems mit dem Gauß Algorithmus. a0 a a a 4 II I III I 0 IV I 0 9 : : 0 0 : III + II 0 0 IV+ III : : IV III Bestimmen der Koeffizienten durch Rückwärtseinsetzen: a = a = a a = 4 a = a + = 4 a = a + a + a = a + + = a + = a = a = 0 a a + a a = 0 a 0+ = a = a + = a = 0 0 Funktionsgleichung: f x = x + x Probe: ( ) = + P :f = + = P :f = = + = P 44 :f = + = 44 P 0 :f 0 Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 von 7
3 R. Brinkmann Seite..0 Beispiel für eine Ganzrationale Funktion 4. Grades. Die Koordinaten von 5 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben: P ; P 0 ; P 0 ; P und P 4 5 Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt. P : f = 6a a + 4a a + a = 4 0 P 0 : f = a a + a a + a = P 0 : f = a + a + a + a + a = P : f = 6a + a + 4a + a + a = P : f = a + 7a + 9a + a + a = a0 a a a a II I 0 III I 4 6 IV I 9 7 V I III II IV 4 II V 5 II IV III : V III a = 0 7 0a4 = 7 a4 = 0 60a + 00a = a = a = 4 a a 5a = 4 7 a 5 = 4 0 a = 0 a + 4a + 6a = a = 0 a 0 9 = 0 Funktionsgleichung: = x + x Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 von 7
4 R. Brinkmann Seite 4..0 Der Funktionsgraph kann über eine Wertetabelle ermittelt werden und hat folgenden Verlauf: fx () := 7 0 x x x Sind weitere Eigenschaften über den Funktionsgraphen bekannt, so kann die Anzahl der Bestimmungsgleichungen reduziert werden. Beispiel eines punktsymmetrischen Graphen: Der Graph einer ganzrationalen Fuktion. Grades ist punktsymmetrisch und durchläuft folgende Punkte: P und P = + Wegen der Punktsymmetrie besteht die Funktionsgleichung nur aus Summanden mit ungeraden Exponenten. Ansatz: f x ax ax P : f = a + a = P : f = a + a = a a a = : a + a = a + = a = II I Funktionsgleichung: = x + x 0 Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 4 von 7
5 R. Brinkmann Seite 5..0 Beispiel einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch den Ursprung. Die Koordinaten von 4 Punkten sind gegeben. Der 5. Punkt ist der Ursprung. Dadurch entstehen 4 Bestimmungsgleichungen. ( ) ( ) ( ) Punktvorgabe: P ; P ; P 4 ; P = Allgemeine Funktionsgleichung: f(x) a x a x a x a x a P0 0 : f 0 = a = 0 a = 0 Ansatz: f(x) = ax + ax + ax + ax P : f = a 4 a + a a = P : f = a 4 + a + a + a = P 4 : f = 6a4 + a + 4a + a = 4 P : f = a + 7a + 9a + a = 4 a4 a a a II I a = III 6 I 7 9 IV I a = 4 a = III II a = a = IV 4,5 III a4 a + a = a4 + = a4 = IV,5 III Funktionsgleichung: 4 = x x x Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 5 von 7
6 R. Brinkmann Seite 6..0 Beispiel: Ganzrationale Funktion 4. Grades achsensymmetrisch Der Graph einer ganzrationalen Fuktion 4. Grades ist achsensymmetrisch 5 und durchläuft folgende Punkte: P( 0 4 ) P und P( ) Ansatz: f(x) = a x + a x + a wegen Achsensymmetrie nur gerade Exponenten P 0 4 : f 0 = a = 4 a = P : f () a 4 a 4 a 4 a = + + = + = P : f = 6a + 4a + 4 = 6a + 4a = 4 4 a4 a 7 6a = 6 a = a4 + a = : 7 a4 = 7 a4 = II I 4 7 = x x Vorgabe aller Nullstellen und eines Punktes. Ganzrationale Funktion. Grades P 0 ;P 0 ;P 0 ;P 0 x x x Ansatz über Linearfaktoren: = ( + )( + )( ) f x a x x x P0 ( : ) f0 = a ( ) = a= = ( x+ )( x+ )( x ) = x + x x Ganzrationale Funktion 4. Grades P 0 ;P 0 ;P 0 ;P 0 ;P 0,5 ( ) ( ) ( ) x x x 4 Ansatz über Linearfaktoren: = ( + ) ( ) f x a x x P ( 0, 5 ): f ( 0 ) = a ( ) =, 5 4a =, 5 a = = = ( x+ ) ( x ) = x x + x + x Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 6 von 7
7 R. Brinkmann Seite 7..0 Training GRF_0: Ganzrationale Funktionen aus gegebenen Bedingungen Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen..) grad, punktsymmetrisch P( ) P( ).) grad, Nullstellen x = ; x = ; x = ; P( ).) grad, Nullstellen x/ = 0 ; x = ; P( 5) 4.) grad, Nullstellen x/ = ; x = ; P( 4) 5.) grad, Nullstellen x/ / = ; P( ) 6.) grad 4, achsensymmetrisch P( ) ; P( ) ; P( ) 7.) grad 4, Nullstellen x/ / = ; x4 = ; P( ).) grad 4, durch den Ursprung P( ) ; P( ) ; P( ); P4( ) 9.) grad 4, Nullstellen x = ; x = ; x = ; x4 = 5 ; P( ) 0.) grad 4, Nullstellen x = ; x = ; P( 4) / / 4 Erstellt von R. Brinkmann p_gr_fkt_05.doc :07 7 von 7
Aufgabe Was wissen Sie über die Symmetrie ganzrationaler Funktionen?
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.0 Lösungen VBKA Ganzrationale Funktionen I Zur Vorbereitung einer Klassenarbeit en: A A A A A A A4 A4 n n Was bedeutet: f(x) = a x + a x +... + a x + a x +
MehrR. Brinkmann Seite Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di SG10 D Gruppe A NAME: Lösungen
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 8..0 Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di.06. SG0 D Gruppe A NAME: Lösungen Hilfsmittel: Taschenrechner Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch
MehrAufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite.0.0 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen sollen sind gegeben. Daraus soll
MehrKlassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di SG16-26D Gruppe A NAME:
R. Brinkmann Seite 8..03 Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di.05.07 SG6-6D Gruppe A NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner. Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen..
MehrSchwerpunktaufgaben zur Vorbereitung auf die Leistungsfeststellung
Schwerpunktaufgaben zur Vorbereitung auf die Leistungsfeststellung 1. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Verfahrens. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Taschenrechner. ganzzahlig
MehrB Anwendungen der Differenzialrechnung
B Anwendungen der Differenzialrechnung Kurvendiskussionen Um den Verlauf eines Funktionsgraphen zu bestimmen, kann eine Wertetabelle aufgestellt werden. Dies kann jedoch sehr mühselig sein und es ist nicht
MehrR. Brinkmann Seite
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 1.08.016 Kurvendiskussion Vorbetrachtungen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, ist es erforderlich einiges über markante Punkte
MehrGanzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen Eine Metallwerkstatt möchte aus 60 cm langen und 40 cm breiten Metallblechen kleine Schachteln herstellen (siehe Skizze). Die Schachteln sollen möglichst groß sein. Stellen Sie
Mehr( ) ( ) Schnittpunkt mit der y Achse P 0 y : Bedingung: y = f 0. y s s
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 07.0.0 Achsenschnittpunkte ganzrationaler Funktionen Schnittpunkt mit der y Achse P 0 y : Bedingung: y = f 0 y s s f = f 0 = 0 0 = 0 0 = P ( 0 ) oder P ( 0 f(0)
MehrIllustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS. Ganzrationale Funktionen
Fach- und Berufsoberschule, Mathematik, Jahrgangsstufen und Ganzrationale Funktionen Stand: 8.0.08 Jahrgangsstufen FOS, BOS Fach/Fächer Mathematik Übergreifende Bildungs- und Erziehungsziele Zeitrahmen
MehrAufgabe zum Thema: Gebrochen - rationale Funktionen
Aufgabe zum Thema: Gebrochen - rationale Funktionen Eine gebrochen-rationale Funktion Z (x) hat als Zähler- N (x) funktion Z (x) eine lineare Funktion und als Nennerfunktion N (x) eine ganz-rationale Funktion
MehrAufgaben zu den ganzrationalen Funktionen
Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen 1. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. a) y = x + x 6 b) y = x 3 3x + x c) y = (x + 4)(x + x ) d) y = x 4 5x + 4 e) y = x 3 + x
Mehr4.5. Ganzrationale Funktionen
.5. Ganzrationale Funktionen Definition Eine Funktion der Gestalt f(x) = a n x n a n 1 x n 1... a 2 x 2 a 1 x a 0 mit reellen Koeffizienten a n, a n 1,... und a n 0 heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades
MehrKlassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mo SG10D Gruppe A NAME: Lösungen
R. Brinkmann Seite 06..0 Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mo..0 SG0D Gruppe A NAME: Lösungen Hilfsmittel: Taschenrechner Rechnen Sie wo möglich mit Brüchen. Bei auftretenden Wurzeln genügt
MehrAufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften
Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufgabe 1 Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei x 0 = 0 und einen Wendepunkt bei x w = 1. Die Gleichung der Wendetangente lautet
MehrAnalysis: Ganzrationale Funktionen Analysis
Analysis Ganzrationale Funktionen Nullstellen, Funktionen aufstellen, Extrempunkte, ymmetrie, Verhalten im Unendlichen Gymnasium Klasse 10 Alexander chwarz www.mathe-aufgaben.com Juni 014 1 Aufgabe 1:
MehrAbschlussprüfung Fachoberschule 2016 Mathematik
Abschlussprüfung Fachoberschule 06 Aufgabenvorschlag A Funktionsuntersuchung /6 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x) = x + x; x IR. Berechnen Sie die Funktionswerte f( x ) für folgende
MehrGib die Faktorenzerlegung an und bestimme Art und Ort der Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen!
Gib die Faktorenzerlegung an und bestimme und Ort der Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen! + x + x + x - 0 x c) + x + x (x+) eine einfache NSt bei 0 mit VzW und eine doppelte bei ohne VzW
MehrTiefpunkt = relatives Minimum hinreichende Bedingung:
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 0.0.01 Kurvendiskussion Vorbetrachtungen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, ist es erforderlich einiges über markante Punkte
MehrÜ b u n g s a r b e i t
Ü b u n g s a r b e i t Aufgabe. a) Die Querschnittsfläche eines Abwasserkanals ist im unteren Teil von einer Parabel k begrenzt, an die sich nach oben die beiden Geraden g und h anschließen. Bestimmen
MehrAufgabe Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion f(x) = x 2 + a 1 x + a 0 erfüllt sein, damit f(x) keine Nullstellen besitzt?
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.0 Lösungen Parabeln aus gegebenen Bedingungen I en: A A A A Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion f() = + a + a 0 erfüllt sein, damit
MehrMathematik Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die 3. Klausur Lösung. 1. Formen Sie die Scheitel(punkt)form der quadratischen Funktion
Datum:.0.0 Thema: Quadratische Funktionen. Formen Sie die Scheitel(punkt)form der quadratischen Funktion f mit f(x) = ( x ) + in die Polynomdarstellung um und bestimmen Sie die Nullstellen und den Schnittpunkt
MehrAbschlussprüfung Fachoberschule 2014 Mathematik
Abschlussprüfung Fachoberschule 04 Aufgabenvorschlag A Funktionsuntersuchung /8 Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f( x) = x x+ ; x. 8. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen
MehrF u n k t i o n e n Rationale Funktionen
F u n k t i o n e n Rationale Funktionen Die erste urkundlich erwähnte Rechenmaschine wurde 163 von Wilhelm Schickard in einem Brief an Johannes Kepler knapp beschrieben. Die Maschine besteht aus einem
MehrLineare Funktion Eigenschaften von linearen Funktionen Übungen Bearbeite zu jeder der gegebenen Funktionen die Fragen:
Lineare Funktion Eigenschaften von linearen Funktionen Übungen - 3 2.0 Bearbeite zu jeder der gegebenen Funktionen die Fragen: steigt oder fällt der Graph der Funktion? schneidet der Graph die y-achse
MehrAufgabenpool zur Quereinstiegsvorbereitung Q1
Aufgabenpool zur Quereinstiegsvorbereitung Q Vereinfachen Sie nachfolgende Terme soweit wie möglich.. 6 a + 8b + 0c 4a + b c x y + z 7x + y z,8u +,4v 0,8w + 0,6u, v + w r + s t r + 6s + t. ( a + 7 + (9a
MehrSymmetrien Regel: Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn. Beispiel: f(x)=2x 5-15x 3 +2x 2 =>Grad(f) KA: Ergebnis 1P, Schreibweise 1P
Ganzrationale Funktionen Definition: Eine Funktion ist ganzrational, wenn diese auf Summen von x-potenzen mit positiven Exponenten mit Faktoren besteht z.b. f(x)=2x 5-15x 3 +2x 2 Beispiel: f(x)=2x 5-15x
MehrAls Untersuchungsbeispiel diene die Funktion: f(x) = x 6x + 5
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 07..009 Achsenschnittpunkte quadratischer Funktionen y P y ( 0 y ) s P ( 0) S y s f() P ( 0) s Bei der Betrachtung des Graphen in nebenstehender Abbildung fallen
MehrDie gebrochenrationale Funktion
Die gebrochenrationale Funktion Definition: Unter einer gebrochenrationalen Funktion versteht man den Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen, d.h. Funktionen der Form f :x! a n xn + a n 1 x n 1 +...+
MehrKlassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mi SG26 D Gruppe A NAME: c) Überprüfen Sie das Ergebnis von a) mit dem Wurzelsatz von Vieta.
R. Brinkmann Seite 8..03 Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Mi 6..06 SG6 D Gruppe A NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner. Alle Ergebnisse sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen.. Lösen
MehrBeispiele für eine vollständige Kurvendiskussion
Seite von Ganzrationale Funktionen Nur mit Ausklammern Beispiel. Diskutiere die Funktion f 8. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades.. Definitionsmenge: D.. Verhalten gegen : Da
MehrFunktionenklassen. Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.008 Einführung: Funktionenklassen Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der Rationalen Funktionen. In der
MehrAufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften
Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften W. Kippels 10. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Prinzipielle Vorgehensweise.......................... 2 1.2 Lösungsrezepte................................
MehrM_G7 EF Pvn Klausurvorbereitung: Lösungen 13. Oktober Klausurvorbereitung. Lösungen
Klausurvorbereitung Lösungen I. Funktionen Funktionen und ihre Eigenschaften S. 14 Aufg. 2 f(-2)=0,5 f(0,1)=-10 f(78)= 1 78 g(-2)=-7 g(0,1)=-2,8 g(78)=153 h(-2)=57 h(0,1)=23,82 h(78)=11257 D f = R/{0}
MehrFunktionenverständnis/ Potenzfunktionen
Funktionenverständnis/ Potenzfunktionen 1 Funktionenverständnis durch Kenntnis von Potenzfunktionen: f(x)= a x n Unter Potenzfunktionen versteht man Funktionen, die allgemein in der Form f(x)= ax n geschrieben
Mehr( ) 6 eine. 1. Führen Sie für die Funktion f mit vollständige Kurvendiskussion durch. eine. 5. Führen Sie für die Funktion f mit f ( x) = 2x
. Führen Sie für die Funktion f mit vollständige Kurvendiskussion durch. Berücksichtigen Sie dabei die folgenden Punkte: f( ) 0 7 eine -Definitionsmenge; -Symmetrie; -Grenzwertverhalten; -Schnittpunkt
MehrAufstellen von Funktionstermen
Aufstellen von Funktionstermen Bisher haben wir uns mit der Untersuchung von Funktionstermen beschäftigt, um Eigenschaften des Graphen zu ermitteln. Nun wollen wir die Betrachtungsweise ändern. Wir gehen
Mehra = 340 f x = 7,5x b) Der Auffüllzeitpunkt liegt bei x = 0. f 0 = 7, = 340 Der Futterbestand wurde vor 12 Tagen auf 340 kg aufgefüllt.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite..8 Lineare Funktionen aus gegebenen Bedingungen Fall I: Eine Gerade mit der Steigung a verläuft durch den Punkt P ( ). Gesucht ist die Funktionsgleichung. Steigung:
Mehrf ( x) = x ; Grad = 3 ; punktsymmetrisch ; Verl. II IV ; W =
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.0 Lösungen Training ganzrationale Funktionen I Eigenschaften von Potenzfunktionen se: E E E E E E E E8 E9 E0 f ( ) = ; Grad = ; ; Verl. III IV ; W = f ( )
MehrAufgaben zu den Ableitungsregeln
Aufgaben zu den Ableitungsregeln 1.0 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt P(2;?) an den Graphen der folgenden Funktionen. 1.1 f(x) = x 2 2x 1.2 f(x) = (x + 1 2 )2 1.3 f(x) = 1 2 x2 3x 1 2.
MehrIllustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS. Graphen ganzrationaler Funktionen
Graphen ganzrationaler Funktionen Stand: 29.09.2017 Jahrgangsstufen FOS 11, BOS 12 Fach/Fächer Mathematik Übergreifende Bildungs- und Erziehungsziele Zeitrahmen Benötigtes Material 45 Minuten Die Aufgabe
MehrQuadratische Funktion
Quadratische Funktion sind Funktionen die nur eine Variable enthalten, deren Exponent 2 ist und keine Variable die einen Exponenten enthält, der größer ist als 2. Zum Beispiel die quadratische Funktion
Mehr12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben!
12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September 2008 1. Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben! a) Untersuche den Graphen von f(x) auf Standardsymmetrien (Punktsymmetrie
MehrMathematik LK M2, 2. KA Eigenschaften ganzr. Funktionen Lösung
Aufgabe 1: Grenzwerte 2 x 3 1.1 Berechne unter Anwendung der 3( +12 x 10 Grenzwertsätze für Funktionen: lim x 3 x 3 +2 x+10 2 x 2 x 3 +12 x 10 1+ 6 lim x 3 x 3 +2 x+10 = lim x 10 3) 2 x 2 x 2 3 x 3( 1
MehrMathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate
Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +
MehrBestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle.
Klasse Art Schwierigkeit Mathematisches Schema Nr. 9 Üben xx Quadratische Funktion 1 Skizziere den Graphen der durch y = 0,5 x 2 + x - 4 gegebenen quadratischen Funktion. Bestimme dazu die Nullstellen,
MehrEinführung der quadratischen Funktionen
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 08.0.008 Einführung der quadratischen Funktionen Jeder, der sich auf die Führerscheinprüfung vorbereitet sollte wissen, dass sich der Anhalteweg eines bremsenden
MehrR. Brinkmann Seite
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 9..8 Linearen Funktion Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen.
Mehrg 2 g 1 15/16 I Übungen 2 EF Be Sept. 15 p 1 p 2
15/16 I Übungen EF Be Sept. 15 Nr. 1: a) Funktion oder Relation? Welcher Graph gehört zu einer Funktion, welcher nicht? Begründe Deine Antwort kurz. a) und d) sind keine Funktionen, da die Zuordnungen
MehrDEMO für Analysis INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Zusammenfassung. Teil 2.
Abiturtraining Methoden und Grundwissen in der Analysis Teil Datei Nr. 450 Stand: 9. März 0 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK e Analysis Zusammenfassung Teil 450 Methoden-Training
MehrMathematik 9. Quadratische Funktionen
Mathematik 9 Funktionen Eine Zuordnung f, die jedem x einer Menge D (Definitionsmenge) genau ein Element y = f(x) einer Menge Z (Zielmenge) zuordnet, heißt Funktion. Dabei heißt y = f(x) Funktionswert
MehrKlassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di SB22 Z Gruppe A NAME:
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0..0 Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di.0.0 SB Z Gruppe A NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner Alle se sind soweit möglich durch Rechnung zu begründen..
MehrMathematik EF. Bernhard Scheideler
Mathematik EF Bernhard Scheideler Stand: 7. September 20 Inhaltsverzeichnis Die Kurvendiskussion. Stetigkeit und Differenzierbarkeit:....................2 Standardsymmetrie:............................
Mehr1 /41. Abschlussprüfung Fachoberschule 2010, (Mathematik) Aufgabenvorschlag B
, (Mathematik) / Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f ( x) = x x + x 6x+ ; x. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und begründen Sie Ihre Aussage. /. Untersuchen
MehrÜbungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen
Übungsaufgaben zum Aufstellen von ganzrationalen Funktionsgleichungen Aufgabe : Eine zum Ursprung symmetrische ganzrationale Funktion.Ordnung hat im Ursprung die Tangente mit der Gleichung y = 7x und in
MehrAufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.
I. Nullstellen Arbeitsblatt I.1 Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird, sonst nicht. Beispiele:
MehrSo genannte. Steckbriefaufgaben. für ganzrationale Funktionen. Teil 2: Ganzrationale Funktionen 3. Grades
Analysis Funktionsgleichungen aufstellen So genannte Steckbriefaufgaben für ganzrationale Funktionen Teil 2: Ganzrationale Funktionen 3. Grades Lösungen teilweise auch mit ausführlicher Beschreibung des
MehrFlächenberechnung mit Integralen
Flächenberechnung mit Integralen W. Kippels 30. April 204 Inhaltsverzeichnis Übungsaufgaben 2. Aufgabe................................... 2.2 Aufgabe 2................................... 2.3 Aufgabe 3...................................
MehrNur für die Lehrkraft
Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Fach Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/5 (B) Nur für die Lehrkraft Prüfungstag 7. April 05 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel
Mehrd) Man kann in der Zeichnung sehen, dass der Graph 3 Nullstellen besitzt.
Lösungen G 8. Aufgabe Zuerst sollte man sich eine Zeichnung anfertigen, aus der man die Antworten ablesen kann. a) Die Funktion ist. Grades, da der Graph die Form eines M hat und genau drei trempunkte
Mehry x oder y 3x. Nenne eine Gleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt im Ursprung hat und nach oben geöffnet ist.
Parabeln Magische Wand Parabeln Magische Wand 10.1 10. 10.3 10.4 10.5 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 30.1 30. 30.3 30.4 30.5 50.1 50. 50.3 50.4 50.5 70.1 70. 70.3 70.4 70.5 100.1 100. 100.3 100.4 100.5 10.1 10.1 10.1
MehrMathematikaufgaben > Analysis > Bestimmungsaufgabe
Michael Buhlmann Mathematikaufgaben > Analysis > Bestimmungsaufgabe Aufgabe: Die Kurve einer ganz rationalen Funktion. Grades y = f( verläuft durch den Ursprung des -y-koordinatensystems und besitzt an
MehrWWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse
WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse I. Kreiszahl 1. Kreis: Fläche des Kreissektors: = Länge des Kreisbogens: = Im Einheitskreis gilt: = 2 = 2. Kugel: Oberflächeninhalt: = 4 Volumen: = II. Geometrische
MehrNur für die Lehrkraft
Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Fach Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 05/6 (B) Nur für die Lehrkraft Prüfungstag. Juni 06 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel 09:00
MehrSymmetrie zum Ursprung
Symmetrie zum Ursprung Um was geht es? Betrachten wir das Schaubild einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad, z.b.: f : R R x f x = 2 15 x3 23 15 x Wertetabelle x f(x) -3 1,0-2 2,0-1 1,4 0 0 1-1,4
MehrAufgaben zu den ganzrationalen Funktionen
Aufgaben zu den ganzrationalen Funktionen. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. a) y x + x 6 b) y x x + x c) y (x + )(x + x ) d) y x 5x + e) y x + x x + 0 f) y x x 5x +50x
MehrGanzrationale Funktionen
Eine Dokumentation von Sandro Antoniol Klasse 3f Mai 2003 Inhaltsverzeichnis: 1. Einleitung...3 2. Grundlagen...4 2.1. Symmetrieeigenschaften von Kurven...4 2.1.1. gerade Exponenten...4 2.1.2. ungerade
MehrMerksatz Begriff der Funktion
Der Begriff Funktion Um uns klar zu machen, was eine Funktion (lateinisch functio) ist, betrachten wir uns die Gegenüberstellung nachfolgender Situationen. Die Temperatur eines Gewässers wird in verschiedenen
MehrGrundwissen Mathematik JS 11
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math-naturw u neusprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 957 PEGNITZ FERNRUF 94/48 FAX 94/564 Grundwissen Mathematik JS Was versteht man allgemein unter einer
MehrSYMMETRIE FRANZ LEMMERMEYER
SYMMETRIE FRANZ LEMMERMEYER Symmetrie ist ein außerordentlich wichtiges Konzept in der Mathematik und der Physik. Ist beispielsweise (x, y) eine Lösung des Gleichungssystems x + y = 5, xy = 1, so muss
MehrAbschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2008 / 2009
Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 008 / 009 Fach (A) Name, Vorname Klasse Prüfungstag 9. April 009 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel
MehrLösungen zu Aufgabenblatt 4. Ganzrationale Funktionen Alle Aufgaben mit reelen Zahlen!! assume(type::real) Aufgabe 1:
Lösungen zu Aufgabenblatt 4 Ganzrationale Funktionen Alle Aufgaben mit reelen Zahlen!! assume(type::real) R Aufgabe 1: a) Die angegebene Funktion ist eine ganzrationale Funktion, da die Summanden in dem
MehrGleichsetzungsverfahren
Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift
MehrKlassenarbeit Mathematik SF11S Gruppe A NAME:
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 8.0.008 Klassenarbeit Mathematik..00 SFS Gruppe A NAME: Beachten Sie: Der Rechenweg bzw. Begründungen für Ihre Ergebnisse müssen immer erkennbar sein! Zu jeder
MehrBestimmung ganzrationaler Funktionen, Steckbriefaufgaben
Bestimmung ganzrationaler Funktionen, Steckbriefaufgaben 30 0 0-50 -40-30 -0-0 0 0 30 40 50 x. Eine Brücke ist 30 m hoch und hat eine Spannweite von 00 m. Welche Parabel beschreibt die Krümmung des Stützbogens?
Mehra) Begründen Sie, dass der Graph von f symmetrisch zum Punkt S 0 2 f) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt B
I. Wendepunkte 1. Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte sowie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit der angegebenen Funktionsgleichung. a) f(x) 1 b) 12 (x + 1) (x 2) (x + 6) f(x) 1 4 x4
MehrKreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius r gilt für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α: Länge des Kreisbogens Fläche des Kreissektors b = α α 2rπ A = 360 360 πr2 Das Bogenmaß
MehrFunktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion.
Tutorium Mathe 1 MT I Funktionen: Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich/Wertebereich
MehrGeben Sie an, wie die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion von den Parametern a und b der Funktion abhängt!
Aufgabe 3 Quadratische Funktion und ihre Nullstellen Gegeben ist eine quadratische Funktion f mit der Gleichung f(x) = a x 2 + b mit a 0 und a, b. Skizzieren Sie den Graphen einer möglichen quadratischen
MehrAufgabe 2 Tippkarte. Aufgabe 1 Tippkarte. Aufgabe 4 Tippkarte. Aufgabe 3 Tippkarte
Aufgabe 1 Aufgabe 2 Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Die Summanden sind nicht in der richtigen Reihenfolge und müssen deshalb nach absteigenden x- Potenzen geordnet werden.
MehrGegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: f ( x) = x + 2x + 1
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 0.0.0 Lösungen Text- und Anwendungsaufgaben II en: A A A Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: f ( x) = x + x + a) Berechnen Sie die Scheitelpunktform.
MehrArbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen
Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Etremstellen-Bedingungen Häufig sind Ableitungsfunktionsterme leichter zu handhaben als die Terme der Ausgangsfunktonen, weil sie niedrigere Eponenten
MehrAbschlussprüfung Fachoberschule 2017 Mathematik
Abschlussprüfung Fachoberschule 7 Aufgabenvorschlag B Funktionsuntersuchung /4 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f( x) = x x x +, x IR.. Berechnen Sie die fehlenden Funktionswerte f(x)
Mehr7 Geraden mit der Funktion f 2 (x) in den Punkten P 1 und f1. 7 verläuft eine zweite Gerade mit der Funktion f 3 (x)
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite.. Lösungen Parabel und Gerade II und ausführliche Lösungen: E Eine Parabel mit der Funktion f () wird von einer Geraden mit der Funktion f () in den Punkten P
Mehrf. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5
11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y =
Mehrf(x) a) Bestimmen Sie die Ableitung f (x) mittels Grenzwertbildung des Differenzialquotienten. f = a 5
Punkte: 1. Arbeit Mathematik von 120 Note Thema: Differenzieren Kurvendiskussion Arbeit 1 Note 1 2 3 4 5 6 [ab Pkte] 108 90 72 54 24 0 λ ζ Anzahl Hinweis: Zwischen- und Endergebnisse mindestens auf 2 Nachkommastellen
MehrNur für die Lehrkraft
Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Fach Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 05/6 (A) Nur für die Lehrkraft Prüfungstag 9. Mai 06 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel
MehrAllgemeine Funktionsgleichungen. Eine allgemeine Funktionsgleichung besteht aus Parametern (Koeffizienten) und der zugehörigen Funktionsvariablen.
Allgemeine Funktionsgleichungen Eine allgemeine Funktionsgleichung besteht aus Parametern (Koeffizienten) und der zugehörigen Funktionsvariablen. Beispiele: Lineare Funktion: f(x) = a*x +b Quadratische
MehrQuadratische Funktionen Arbeitsblatt 1
Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1 Spezielle quadratische Funktion Die Funktionsgleichung einer speziellen quadratischen Funktion hat die Form y = 3 x 2. Der dazugehörige Graph heißt Parabel. Bei einer
MehrAnalysis Aufstellen ganzrationaler Funktionen (Steckbriefaufgaben)
Analysis (Steckbriefaufgaben) Alexaner Schwarz August 18 1 Aufgabe 1: Bestimme jeweils en Funktionsterm. a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion ritten Graes hat einen Tiefpunkt bei T(/) un einen Wenepunkt
Mehr3.4 Übungsaufgaben zu linearen Gleichungen Lösungen: 8 = Lösungen der Übungsaufgaben
Arbeitsbuch Mathematik für die Fachoberschule für Sozial- und Gesundheitswesen L. Übungsaufgaben zu linearen Gleichungen.. Lösungen: a {} 9 : 7 9 7 IL b {} IL : 7 T 9 c { },, : 9 9 IL T T d {} IL lineare
Mehr1. Bestimmen Sie jeweils das allgemeine Folgeglied der Folge (a n )! 2. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch folgende Punkte!
1 Folgen und Reihen 1. Bestimmen Sie jeweils das allgemeine Folgeglied der Folge (a n )! (a) (a n ) = (1; 3; 5; 7;...) (b) (a n ) = ( 3 2 ; 6 5 ; 9 10 ; 12 17 ; 15 26 ;...) 2. Bestimmen Sie die ersten
Mehr7 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
7 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Siehe dazu die Abschnitte 8.5 und 8.6 in der Formelsammlung. 7.1 Wissensfragen 1. Wieviele Nullstellen kann eine Polynomfunktion vom Grad 3 maximal haben?
MehrRegel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind.
Funktionen Station 1 Bestimmung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. m = f(x 2 ) f(x 1 )
MehrQUADRATISCHE FUNKTIONEN (Funktionen des 2 e Grades)
QUADRATISCHE FUNKTIONEN (Funktionen des 2 e Grades) I. Einführung: Allgemeine Funktionsgleichung: y = ax 2 + px + q Aufgabe 2 1 (Westermann EK, S.14) II. Terminologie: a.) Abhängige Variable (erklärte
Mehr= / 40. Abschlussprüfung Fachoberschule 2012 (Mathematik) Aufgabenvorschlag B. Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung
Abschlussprüfung Fachoberschule () Aufgabenvorschlag B / 4 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung 4 f ( x) x x x = + +. Dazu ist ein Rechteck gegeben, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen
MehrFlächenberechnung mit Integralen
Flächenberechnung mit Integralen Wolfgang Kippels 28. April 208 Inhaltsverzeichnis Vorwort 2 2 Einleitung 2 3 Übungsaufgaben 3 3. Aufgabe................................... 3 3.2 Aufgabe 2...................................
Mehr