Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Wintersemester 2013/2014. Aufgabe 1

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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Wintersemester 2013/2014 Aufgabe 1 Der Fußballprofi John Jermaines begeht innerhalb eines regulären Fußballspiels durchschnittlich zwölf Fouls (wenn er die kompletten 90 Minuten durchspielt). a) Wie und mit welchen (welchem) Parameter(n) ist die Anzahl der Fouls pro Spiel verteilt? b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass John Jermaines innerhalb eines Spiels genau 10 Fouls begeht. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass John Jermaines im nächsten Spiel (sofern er das komplette Spiel bestreitet) mindestens sieben Fouls begehen wird? Verwenden Sie hierzu gegebenenfalls eine geeignete Approximation. d) Im letzten Pokalspiel musste sein Verein in die Verlängerung (30 Minuten). Wie viele Foulspiele von John Jermaines (der komplett durchspielte) wären in der Verlängerung zu erwarten gewesen? e) Wie und mit welchen (welchem) Parameter(n) ist die Zeit in Minuten verteilt, die zwischen zwei Fouls von John Jermaines vergeht? f) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass John Jermaines innerhalb von zehn Minuten nach einem Foul ein weiteres Foulspiel begehen wird.

2 Aufgabe 2 Der Student Remus liest in den Weihnachtsferien einen Artikel in der Zeitschrift GEO, der sich mit dem Zusammenhang zwischen der Schwangerschaftsdauer (in Wochen) und der Lebenslänge (in Jahren) von Primaten auseinandersetzt. Es heißt dort: Von Halbaffen und Primaten bis zum Menschen ergibt sich eine klare Zunahme sowohl der Schwangerschaftsdauer als auch der Lebenslänge, vor allem aber der Kindheit und Jugend.... Remus kennt sich mit Statistik aus und findet, dass man diesen Zusammenhang anhand eines linearen Regressionsmodells der Form Y i = α 0 + α 1 x i + U i (mit U i N(0, σ 2 ) und stochastisch unabhängig) gut darstellen kann. Er fertigt eine Datentabelle an, die einige Angaben zur Modellschätzung enthält. Lebens- erwartung Schwangerschaftsdauer i Primat x i y i x i y i x 2 i yi 2 Û i 1 Lemur ,5 2 Makak ,0 3 Gibbon ,5 4 Schimpanse Mensch SUMME a) Schätzen Sie die Parameter des linearen Regressionsmodells mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate. (Ersatzergebnis: Sollten Sie zu keiner Lösung gelangen, verwenden Sie im Folgenden α 0 = 28 und α 1 = 2,25.) b) Interpretieren Sie die in a) geschätzten Parameter inhaltlich. c) Remus hat bereits einige Residuen Ûi berechnet und in die Tabelle eingetragen. Bestimmen Sie die Residuen Û4 und Û5 für Schimpansen und Menschen. d) Berechnen Sie die Residuenvarianz und den Standardfehler für α 1. e) Ein befreundeter Hobby-Biologe ist sich sicher, dass der Steigungskoeffizient des vorliegenden Regressionsmodells größer als 2 ist. Können Sie dem Hobby- Biologen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% Recht geben?

3 Aufgabe 3 Fünf Freunde treffen sich wieder einmal nach kurzem, aber anstrengendem Training in der Sauna ihres Fitnessstudios. Häufig diskutierte Frage in der Männerrunde ist das Körpergewicht, das die fünf Freunde mit Fitness und Sauna eigentlich reduzieren wollen. Alle fünf Jungs sind gerade Single und bringen auf die saunaeigene Waage folgende Gewichte: Freund Gewicht in kg Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass das Körpergewicht näherungsweise normalverteilt ist und es sich bei den fünf Gewichtsangaben um unabhängige Zufallszüge aus derselben Grundgesamtheit handelt. a) Berechnen Sie die Stichprobenvarianz der Körpergewichte. b) Wie ist die Stichprobenvarianz (näherungsweise) verteilt und welchen Parameter besitzt sie im konkreten Fall? Die Trainingspartner treffen sich nach sechs Wochen wieder zum Wiegen. Mittlerweile haben alle fünf Jungs seit exakt vier Wochen (Partycipate) eine Freundin. Sie bringen nun folgende Gewichte auf die Waage: Freund Gewicht in kg c) Handelt es sich bei den nun sechs Wochen auseinanderliegenden Gewichtsmessungen der fünf Freunde um verbundene oder unverbundene Stichproben? Begründen Sie kurz Ihre Antwort. Die Jungs werden den Verdacht nicht los, dass sie wegen der neuen Freundinnen an Gewicht zugenommen haben. Es ist ja allgemein bekannt, dass Männer in Beziehungen im Vergleich zum Single-Dasein zunehmen. d) Stellen Sie für die Jungs eine entsprechende Null- und Alternativhypothese auf. e) Führen Sie zur Klärung dieser Frage sodann einen geeigneten Test durch und interpretieren Sie das Testergebnis am Sachverhalt. (Irrtumswahrscheinlichkeit: α = 0.05)

4 Aufgabe 4 Athina probt für die Teilnahme bei Shopping Queen. Zum Verdruss ihrer Shoppingbegleitung finden diese Proben stets in dem gleichen Laden statt. Athina sagt, der Laden sei nun einmal sehr begehrt und das zu Recht. Schließlich würden ihn durchschnittlich drei Kunden innerhalb von zehn Minuten aufsuchen. Die Shoppingbegleitung möchte die Annahme von Athina überprüfen und erfasst nebenbei die Anzahl der eintretenden Kunden pro Zehn-Minuten-Zeitintervall. Nun sind 100 zehnminütige Intervalle zusammengekommen und die Verteilung gestaltet sich wie folgt (sei X := die Anzahl der eintreffenden Kunden in einem Zehn-Minuten- Intervall): Anzahl Kunden 0 und oder mehr Anzahl der Intervalle mit dieser Kundenzahl a) Bestimmen Sie unter Annahme einer Poissonverteilung für X die Wahrscheinlichkeit, dass kein einziger Kunde innerhalb eines Zehn-Minuten-Intervalls den Laden betritt. b) Bestimmen Sie nun generell für die obige Tabelle die Anzahl der Intervalle, die Sie unter Annahme einer Poissonverteilung jeweils zu erwarten hätten. Runden Sie hierbei auf zwei Nachkommastellen. c) Überprüfen Sie mithilfe eines geeigneten Tests, ob die Annahme einer Poissonverteilung zutreffend ist. Formulieren Sie das entsprechende Hypothesenpaar und berücksichtigen Sie eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%. (Ersatzergebnis: Falls Sie die Teilaufgaben a) bzw. b) nicht lösen konnten und nur dann!, verwenden Sie bitte folgende Tabelle für die erwartete Anzahl an Intervallen: Anzahl Kunden 0 und oder mehr E(Anzahl der Intervalle) 40,60 27,07 18,04 9,02 5,27 d) Wie und mit welchen Parametern ist im vorliegenden Fall die durchschnittliche Kundenanzahl je Zehn-Minuten-Intervall näherungsweise verteilt? Welchen Satz der Statistik müssen Sie hierfür verwenden?

5 Aufgabe 1 Lösung a) X P oi(λ = 12) b) P (X = 10) = 0, 1048 c) Da λ = 12 nicht mehr tabelliert ist, Approximation durch Normalverteilung: λ > 9 Approximationsregel erfüllt! P (X 7) = 1 P (X 6) 0, 9441 d) 12 3 = 4. e) Die Dauer zwischen zwei poissonverteilten Zufallsereignissen ist exponentialverteilt. Y exp(12/90), da der Parameter λ = 12 des Poisson-Prozesses übernommen wird und ein Fußballspiel 90 Minuten dauert. f) F (10; 12/90) = 1 e = 0, 7364 = 73, 64%

6 Aufgabe 2 Lösung a) α 1 = 2, 25 α 0 = 28 b) α 1 : Die Lebenserwartung von Primaten steigt mit jeder weiteren Woche Schwangerschaftsdauer durchschnittlich um 2,25 Jahre. α 0 : Bei einer Schwangerschaftsdauer von 0 Wochen würde die Lebenserwartung -28 Jahre betragen. (das Modell liefert für den Wert x=0 keine sinnvolle Interpretation.) c) Û4 = 8, 5 Û 5 = 12, 5 d) σ 2 = = 116, 3333 Standardfehler für α 1 : σ 2 / n (x i x) 2 = 0, 6784 i=1 e) Hypothesentest für den Steigungskoeffizienten: H 0 : α 1 2 H 1 : α 1 > 2 (Behauptung) Die Nullhypothese wird verworfen, wenn gilt: α 1 α 0 1 V ar( α1 ) > t 1 α;n 2 Teststatistik: α 1 α 0 1 = 2,25 2 V ar( α1 ) 0,6784 = 0, 3685 Kritischer Wert: t 0,95;3 = 2, 35 Testentscheidung: Da 0,3685 nicht größer als 2,35 ist, kann die Nullhypothese, dass der Steigungsparameter maximal 2 beträgt, auf einem Signifikanzniveau von 5% nicht verworfen werden. Die Testentscheidung stützt also die Behauptung des Hobby- Biologen nicht. (Evtl. ein nicht quantifizierbarer Betafehler.)

7 Aufgabe 3 Lösung a) X n = 79, 4 S 2 n = 16, 3 b) (n 1)S2 n σ 2 X χ 2 4 c) Es handelt sich hier um eine verbundene Stichprobe, da an gleichen Merkmalsträgern zu unterschiedlichen Zeiten ein Merkmal gemessen wird. d) H 0 : δ δ 0 H A : δ < δ 0 hier mit δ 0 = 0 e) Die Nullhypothese wird verworfen, wenn gilt: n X n Y n δ 0 S D < t 1 α;n 1 S 2 D = 0, 7 Prüfgröße: 5 79,4 82,6 0 0,7 = 8, 5524 Kritischer Wert: t 0,95;4 = 2, 132 Entscheidung: Da 8, 5524 < 2, 132 ist, kann die H O auf einem Signifikanzniveu von 5% verworfen werden. Es gibt also Grund zur Annahme, dass die Freunde seit ihrer Beziehung an Gewicht zugenommen haben. Möglicher Fehler: α -Fehler, d.h. H 0 wurde verworfen, obwohl sie richtig ist (Fehlerrisiko 5%).

8 Aufgabe 4 Lösung a) Sei X := die Anzahl der eintreffenden Kunden in einem 10-Minuten-Intervall. Gegeben ist: λ = 3. P (X = 0) = 0, 0498 b) Tabelle: Klasse Anzahl Kunden 0 und oder mehr Anzahl der Intervalle mit dieser Kundenzahl erwartete Anzahl der Intervalle 19,92 22,40 22,40 16,80 18,48 P (X 5) = 1 P (X 4) = 0, 1847 c) Geeigneter Test: H 0 : X P ois(λ = 3) H A : X P ois(λ = 3) Prüfgröße: χ 2 = k (n i np 0 i ) 2 np 0 i=1 i = 11, 0625 Ersatzergebnis: χ 2 = 35, 7443 Kritischer Wert: χ 2 0,95;df=4 = 9, 49 Entscheidung: Da 11, 0625 > 9, 49 ist (bzw. mit Ersatzergebnis: 35, 7443 > 9, 49), kann die Nullhypothese auf einem Signifikanzniveau von 5% abgelehnt werden. Die vorliegende Stichprobe stützt die Annahme, dass die Anzahl der eintreffenden Kunden poissonverteilt ist (mit λ = 3) nicht. Möglicher Fehler: α -Fehler, d.h H 0 wurde verworfen, ist aber doch richtig (Fehlerrisiko 5%). d) Momente der Poissonverteilung: E( X n ) = E(X) = 3; V ar(x) = 3 Unabhängig von der Verteilung von X ist X auf Grund des Zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise normalverteilt. Verteilung des Stichprobenmittels: X n N(µ x, σ2 X n ) N(3, )