einige Zusatzfolien für s Seminar

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1 Signale und Systeme einige Zusatzfolien für s Seminar Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme Fourierreihe reelle Fourierreihe betrachtet wird ein periodisches Zeitsignal u p mit der Periode t p ; es gilt demnach u p = u p (t + kt p ), k Z der Reziprokwert f = /t p von t p ist die Grundfrequenz dieses Signal lässt sich gleichermaßen durch eine reelle Fourierreihe darstellen: u p = A + A µ cos(2πµf t + φ µ ) µ= u p besteht aus harmonischen Schwingungen mit den diskreten Frequenzen µf, den Amplituden A µ (A µ, reell) und den Phasen φ µ sowie einem Gleichanteil A (linearer Mittelwert von u p ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 2

2 Fourierreihe Übergang zur komplexen Fourierreihe jeder harmonische Anteil A µ cos(2πµf t + φ µ ) lässt sich auch durch 2 komplexe Schwingungen mit den Frequenzen µf und µf darstellen, wobei µ =,2,3,..., A µ cos(2πµf t + φ µ ) = A µ e+j(2πµf t+φ µ ) + e j(2πµf t+φ µ ) = A µ 2 ejφ µ }{{} C µ e +j2πµf t + A µ 2 e jφ µ }{{} C µ 2 e j2π( µ)f t, () so dass sich u p auch als komplexe Fourierreihe darstellen lässt u p = C µ e +j2πµft, wobei C = A µ= Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 3 Fourierreihe Eigenschaften der komplexen Fourierkoeffizienten C µ entsprechend Gleichung () muss bei reellen Signalen u p gelten C µ = C µ, wobei konjugiert komplex bedeutet dementsprechend ist C µ (also der Betragsverlauf) immer eine gerade Funktion über µ, d.h., C µ = C µ für die Phase φ µ = arg(c µ ) gilt hingegen: φ µ = φ µ und für Real- und Imaginärteil gilt: Re{C µ } = Re{C µ }, Im{C µ } = Im{C µ } C ist (bei reellen Signale) immer reell und korrespondiert mit dem linearen Mittelwert t p t p u p dt des Signals Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 4

3 Fourierreihe Beispiel: periodische Rechteckimpulsfolge () das periodische Signal sei gegeben durch u p = U n= ( ) t ntp rect mit C µ = t p t p u p e j2πµf t dt folgt für die komplexen Fourierkoeffizienten C µ = U si(πµf ), wobei si(x) = sin(x) t p x da u p im vorliegenden Fall eine gerade Zeitfunktion ist, sind die Koeffizienten C µ ebenfalls reell und gerade Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 5 Fourierreihe Beispiel: periodische Rechteckimpulsfolge (2) Darstellung der Fourierkoeffizienten C µ, Annahme: t p = 2 normierte Amplitude Cµ/U normierte Frequenz f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 6

4 Fourierreihe Beispiel: periodische Rechteckimpulsfolge (3) Darstellung der Reihe, Abbruch nach der. Harmonischen µ =....2 normierte Amplitude normierte Zeit t/t p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 7 Fourierreihe Beispiel: periodische Rechteckimpulsfolge (4) Darstellung der Reihe, Abbruch nach µ = µ =....2 normierte Amplitude normierte Zeit t/t p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 8

5 Fourierreihe Beispiel: periodische Rechteckimpulsfolge (5) Darstellung der Reihe, Abbruch nach µ = µ =....2 normierte Amplitude normierte Zeit t/t p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 9 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral mit zunehmender Periodendauer t p sinkt die Grundfrequenz f (also der Abstand der Spektrallinien) proportional das Spektrum wird dichter gleichzeitig sinkt bei gleichbleibender Einzelimpulsbreite der lineare Mittelwert C und damit die Amplitude der Einhüllenden (gestrichelte Kurve in den folgenden Darstellungen) dieser Sachverhalt wird auf den folgenden Folien am Beispiel der periodischen Rechteckimpulsfolge dargestellt für t p würde die periodische Rechteckimpulsfolge in einen einzelnen Rechteckimpuls übergehen anstelle des diskreten Spektrums rückt ein kontinuierliches Dichtespektrum U(f ) mit U(f ) = ue j2πft dt für u gilt dann aufgrund f : u = U(f )e+j2πft df Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme

6 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral Darstellung der Fourierkoeffizienten C µ, Annahme: t p = 2.5 normierte Amplitude Cµ/U normierte Frequenz f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral Darstellung der Fourierkoeffizienten C µ, Annahme: t p = 4.5 normierte Amplitude Cµ/U normierte Frequenz f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 2

7 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral Darstellung der Fourierkoeffizienten C µ, Annahme: t p =.5 normierte Amplitude Cµ/U normierte Frequenz f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 3 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral Darstellung der Fourierkoeffizienten C µ, Annahme: t p = 2.5 normierte Amplitude Cµ/U normierte Frequenz f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 4

8 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral Amplitudendichtespektrum U(f ) von u = U rect() normierte Dichte U(f )/(U ) normierte Frequenz f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 5 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Funktionswerte mit dem Argument Null es gilt sowohl als auch U() = u() = u dt U(f )df Beispiel : u = U rect ( t ) U() = U Beispiel 2: G(f ) = tri ( f B) g() = B Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 6

9 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Verschiebungssatz gilt u U(f ), dann folgt für das gegenüber u um t, t R, verschobene Signal u u = u(t t ) U (f ) = U(f ) e j2πft die Verschiebung in t äußert sich im Frequenzbereich in einer zusätzlichen frequenzproportionalen Phase von 2πft Beispiel : u = tri ( ) t ) U(f ) = si 2 (πf) u = tri U (f ) = si 2 (πf) e jπf ( t /2 Beispiel 2: ( ) ( ) u = rect t /2 rect t+/2 U (f ) = si(πf) [ e jπf e +jπf] = j2 si(πf) sin(πf) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 7 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Verschiebungssatz: Beispiel u t / U(f) / φ(f)/π u.5 U (f) /.5 φ(f)/π t / 2 2 f 2 2 Hinweis: φ(f ) = arg(g(f )) wurde hier auf ±π begrenzt Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 8

10 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Verschiebungssatz: Beispiel 2 u.5 U(f) / t / 2 2 u t / U (f) / (j ) 2 2 f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 9 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Ähnlichkeitssatz Annahme: u U(f ) dann gilt für u = u(at), a R,a Beispiel : u = u(at) U (f ) = a U ( ) f a u = rect ( t ) U(f ) = si(πf) u = rect ( t 2 ) U (f ) = 2si(πf 2) wobei a = 2 Beispiel 2: u = e π ( t ) 2 U(f ) = e π(f ) 2 ( Merkform ) 2 u = e ln(2) t t H U (f ) = a e π ( f a ) 2 mit a = ln(2) π t H Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 2

11 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Ähnlichkeitssatz: Beispiel 2 u.5 U(f) / 2 2 t / u.5 U (f) / 2 2 t / 2 2 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 2 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Ähnlichkeitssatz: Beispiel 2 u.5 U(f) / t / u.5 U (f) / t H t / t H f t H t H ist die gegenüber anschaulichere einseitige Halbwertsbreite Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 22

12 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Differentiationssatz Annahme: u U(f ) dann gilt für u = du dt u = du dt U (f ) = U(f ) j2πf Beispiel: u = tri ( ) t ) U(f ) = si 2 (πf) ) u = rect rect ( t+/2 ( t /2 = du dt U (f ) = U(f ) j2πf = si 2 (πf) 2j πf sin(πf) sin(πf) = j2si(πf) sin(πf) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 23 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Differentiationssatz: Beispiel u.5 U(f) / u.5.5 U (f) / (j ) 2 2 f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 24

13 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Integrationssatz Annahme: u U(f ) dann gilt für u = t u(τ)dτ u = Beispiel: t u(τ)dτ U (f ) = U(f ) u = t u(τ)dτ = j2πf +U() 2 δ(f ) u = δ rect( ) t U(f ) = si(πf) U (f ) = j si(πf) 2πf da U() = 2 t < t < 2 2 t 2 < t < sonst Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 25 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Integrationssatz: Beispiel.5 u U(f) u U (f) / (j ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 26

14 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Faltungssatz Multiplikation im Zeitbereich Faltung im Frequenzbereich u = u u 2 U(f ) = U (f ) U 2 (f ) wobei U (f ) U 2 (f ) = U (ν) U 2 (f ν)dν Faltung im Zeitbereich Multiplikation im Frequenzbereich u = u u 2 U(f ) = U (f ) U 2 (f ) wobei u u 2 = u (τ) u 2 (t τ)dτ Beispiel : tri() sin(2πf c t) si 2 (πf) 2 j[δ(f +f c) δ(f f c )] Beispiel 2: rect() rect() }{{} tri() si(πf) si(πf) }{{} si 2 (πf) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 27 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Faltungssatz: Beispiel mit u = u u 2 (hier: f c = 2,5/).5.5 u.5 u 2 u U (f) /.5 U 2 (f) / j U(f) / (j ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 28

15 Einige Eigenschaften/Gesetze der Fouriertransform. Faltungssatz: Bsp.2 mit u=u u 2 U(f )=U U 2 (f ) u.5 u 2.5 u U (f) /.5 U 2 (f).5 U(f) / f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 29 Zum Verständnis des Faltungsintegrals x g y U U * = t t t t t t t (t + t ) t Beispiel zur Berechnung der Funktionswerte bei t =, t = t und t = t + t /2 x(τ) U g( τ) g(t τ) g(t + t /2 τ) U t = x(τ)g( τ) x(τ)g(t τ) x(τ)g(t + t /2 τ) t τ t t t τ t t t (t + t ) τ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 3