Lösungsvorschläge zur Klausur Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik (Sommersemester 2013)

Transkript

1 Lösungsvorschläge zur Klausur Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik (Sommersemester 203) Aufgabe (9 Punkte) Ein metrisches Merkmal X sei in einer Grundgesamtheit vom Umfang n = 200 diskret klassiert. Gegeben sei die empirische Verteilungsfunktion: F(x) = 0, falls x < 0, 0.5, falls 0 x <, 0.45, falls x < 3, 0.65, falls 3 x < 4, 0.90, falls 4 x < 8,, falls 8 x. a) Ermitteln Sie aus der Verteilungsfunktion die beobachteten Merkmalswerte und ihre relativen und absoluten Häufigkeiten. b) Zeichnen Sie den Boxplot. c) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Daten. d) Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung vom Median. e) Berechnen Sie das 0.-getrimmte arithmetische Mittel der Daten. Lösung: Arbeitstabelle: j ξ j f j n j f j ξ j ξ j x 0.5 f j ξ j x a) Die ξ j sind die Sprungstellen der empirischen Verteilungsfunktion, die relativen Häufigkeiten f j die zugehörigen Sprunghöhen. Die absoluten Häufigkeiten erhält man gemäß n j = nf j = 200f j. Die Werte sind in obiger Arbeitstabelle eingetragen. b) Es ist x p = min{x F(x) p}. An der Verteilungsfunktion liest man den Median direkt ab: x 0.5 = 3. Für die Quartile erhält man genauso: x 0,25 =, x 0,75 = 4. Für den Boxplot benötigt man noch minξ j = 0 und maxξ j = 8. Damit erhält man: j j c 203 Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik, Universität zu Köln

2 c) Aus obiger Arbeitstabelle erhält man d) Aus obiger Arbeitstabelle erhält man d = x = J f j ξ j = 2.7. j= J f j ξ j x 0.5 =.8. j= e) Beim 0.-getrimmten Mittel werden die kleinsten 0% und die größten 0% der Daten gestrichen wegen n = 200 sind dies hier jeweils 20 Werte und von den restlichen Daten wird wie üblich das arithmetische Mittel gebildet. Streicht man in der Arbeitstabelle die 20 kleinsten und die 20 größten Werte, so ändert sich die absolute Häufigkeit für ξ = 0 von 30 auf 0 und für ξ 5 = 8 von 20 auf 0. Aus der Arbeitstabelle j ξ j n j n j ξ j erhält man x 0, = 380 = c 203 Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik, Universität zu Köln 2

3 Aufgabe 2 (9 Punkte) Einen Markt teilen sich fünf Unternehmen. Gegeben seien die Jahresumsätze dieser fünf Unternehmen (in Mio. Euro pro Jahr): Unternehmen A B C D E Umsatz a) Zeichnen Sie die Konzentrationskurve in das folgende Koordinatensystem ein b) Berechnen Sie den Rosenbluth-Index für den dargestellten Markt. c) Berechnen Sie mit Hilfe von Teil b) den Gini-Koeffizienten für den angegebenen Markt. d) Wie viele Unternehmen mit Umsatz null müssten dem Markt hinzugefügt werden, damit der Gini-Koeffizient mindestens 0.55 beträgt? Lösung: Aus den Daten (Sortieren nicht vergessen!) erhält man die folgende Arbeitstabelle: i x i h i CR(i) ih i a) Die Punkte (i,cr(i)) der Konzentrationskurve entnimmt man obiger Arbeitstabelle. b) Aus der Arbeitstabelle erhält man K R = 2 n i= ih i = = c 203 Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik, Universität zu Köln 3

4 c) Hier nutzt man den Zusammenhang zwischen Rosenbluth-Index und Gini-Koeffizient. Es ist K R = D G =. n( D G ) nk R Daher ist D G = = 0.3. d) Durch das Hinzufügen von Unternehmen mit Umsatz null ändert sich der Rosenbluth-Index nicht. Daher muss gelten D G = nk R 0.55 Einsetzen von K R = liefert nk R 0.45 n 0.45 K R. n = Insgesamt müssen also mindestens acht Unternehmen auf dem Markt sein, d.h. es müssen mindestens drei Unternehmen dem Markt hinzugefügt werden. c 203 Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik, Universität zu Köln 4

5 Aufgabe 3 (9 Punkte) I. In einem Geschäft wird sowohl Herren- als auch Damenbekleidung verkauft. Die Laspeyres- Preisindizes zum Basisjahr 2005 waren: Jahr Damenbekleidung Herrenbekleidung Im Jahr 2005 machte Damenbekleidung 70% des Gesamtumsatzes aus. Der Umsatz an Damenbekleidung hat sich von 2005 bis 20 um 20% erhöht; die entsprechende Umsatzsteigerung bei Herrenbekleidung betrug 30%. a) Um wie viel Prozent veränderte sich der Preisindex für Damenbekleidung von 2008 bis 20 durchschnittlich pro Jahr? b) Berechnen Sie für das Jahr 20 den Preisindex nach Laspeyres zum Basisjahr 2005 für Herren- und Damenbekleidung zusammen. c) Berechnen Sie für das Jahr 20 den Wertindex zum Basisjahr 2005 für Herrenund Damenbekleidung zusammen. d) Berechnen Sie für das Jahr 20 einen geeigneten Mengenindex für Damenbekleidung zum Basisjahr II. Geben Sie die Lösung zu den folgenden Fragen in den dafür vorgesehenen Kästchen an. a) Welchen Indextyp hat der Verbraucherpreisindex für Deutschland (VPI)? Laspeyres b) Zur Berechnung des VPI werden neben den Preisen auch die typischen Verbrauchsmengen der einzelnen Güter benötigt. Nennen Sie zwei wichtige Datenquellen für die beim VPI verwendeten Verbrauchsmengen. Einkommens- und Verbrauchsstichprobe (EVS), Laufende Wirtschaftsrechnungen (LWR), Verbrauchssteuerstatistik Lösung: a) Man berechnet die durchschnittliche Wachstumsrate über das geometrische Mittel:.08 w 2008,20 = m G;2008,20 = 3 =.092 = 0.092,.02 d.h. der Umsatz ist um.92% gestiegen. b) Laspeyres-Subindizes aggregiert man zum Gesamtindex, indem man ein gewichtetes arithmetisches Mittel der Subindizes bildet. Die Gewichte sind dabei die Umsatzanteile der Gütergruppen aus der Basiszeit. Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung erhält man den Gesamt-Preisindex gemäß I p La;05, = = c 203 Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik, Universität zu Köln 5

6 c) Den gesuchten Wertindex erhält man ebenfalls als gewichtetes arithmetisches Mittel der entsprechenden Umsatzindizes. Mit I v,(d) 05, =.2 und Iv,(H) 05, =.3 (laut Aufgabenstellung) erhält man ILa;05, v = =.23. d) Mit dem Wertindex für Damenbekleidung I v,(d) 05, =.2 und dem entsprechenden Laspeyres- Preisindex I p,(d) La;05, =.08 berechnet man den Mengenindex nach Paasche gemäß I q,(d) Pa;05, = Iv,(D) 05, I p,(d) La;05, =.2.08 =.. c 203 Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik, Universität zu Köln 6

7 Aufgabe 4 (9 Punkte) Für zwei Merkmale X und Y habe das Bestimmtheitsmaß einer linearen Regression von Y auf X den Wert 0.8. Die Varianz des Merkmals Y habe den Wert 6 und die Kovarianz der beiden Merkmale den Wert 3.2. Ferner sei bekannt, dass die Regressionsgerade y = a + bx die x-achse an der Stelle x = 8 schneidet. a) Berechnen Sie die Residualvarianz sowie die durch die Regression erklärte Varianz. b) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. c) Bestimmen Sie die Regressionsgerade der Regression von Y auf X. d) Wie ändert sich der Anteil der durch die Regression erklärten Varianz, wenn statt der Regression von Y auf X die Regression von X auf Y betrachtet wird? (Hier ist keine Rechnung notwendig, eine kurze Begründung reicht.) Lösung: Folgende Angaben sind gegeben: R 2 = 0.8, s 2 Y = 6, s XY = 3.2 sowie a+8b = 0. a) R 2 ist der Anteil der durch die Regression erklärten Varianz (an der Gesamtvarianz von Y ), d.h. R 2 = s 2 Ŷ /s2 Y. Somit ist die erklärte Varianz s2 = Ŷ R2 s 2 Y = = Nach der Varianzzerlegung ist die Gesamtvarianz die Summe aus erklärter Varianz und Residualvarianz: s 2 Y = s2 Ŷ +s2 U. Damit erhält man die Residualvarianz zu s2 U = s2 Y s2 = Ŷ = b) Es ist R 2 = r 2 XY bzw. r XY = R 2 = 0.8 = 0.9. Da die Vorzeichen von Korrelationskoeffizient und Kovarianz immer übereinstimmen, ist r XY = 0.9. c) Um b zu berechnen, benötigen wir noch die Varianz von X. Diese erhält man wie folgt: Also ist r XY = s XY s X s Y s X = s XY r XY s Y = = b = s XY s 2 X = = Den Wert von a erhält man aus der Angabe a+8b = 0. Dann ist nämlich a = 8b = 8 ( 4.05) = Also lautet die Regressionsgerade y = x. d) Da r XY = r YX ist, hat das Bestimmtheitsmaß R 2 für die Regression von Y auf X und die Regression von X auf Y denselben Wert. Somit ist auch für die Regression von X auf Y der Anteil der erklärten Varianz 0.8 bzw. 8%. c 203 Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik, Universität zu Köln 7

8 c 203 Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik, Universität zu Köln 8

9 Aufgabe 5 (9 Punkte) Die Einwohnerzahl eines Landes am Stichtag. Juli (in Mio.) entwickelte sich vom bis zum gemäß folgender Tabelle: Jahr t i Bevölkerung y i Zur einfacheren Rechnung ist hier die Transformation t i = Jahr 200 zu verwenden. Hinweis: Bei den angegebenen Daten ist 5 t 2 i = 0, 5 y i = 2, 5 t i y i = 74, 5 lgy i = , 5 t i lgy i = i= i= i= i= i= a) Ist zur Modellierung der glatten Komponente ein linearer Trend oder ein exponentieller Trend besser geeignet? Begründen Sie Ihre Antwort. b) Bestimmen Sie die Koeffizienten der in a) ermittelten Trendfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate. c) In welchem Jahr erreicht oder übersteigt die in b) ermittelte Trendfunktion erstmals den Wert 90? Lösung: a) Um zu entscheiden, ob ein linearer oder ein exponentieller Trend besser zur Beschreibung der Zeitreihe geeignet ist, bestimmt man die Differenzen und Quotienten aufeinander folgender Zeitreihenwerte: y i y i y i y i /y i Da im Gegensatz zu den Differenzen die Quotienten annähernd konstant sind, ist ein exponentieller Trend besser geeignet. b) Bei den gegebenen Daten ist t = 0 und s 2 T = = 2. Ferner ist lgy = =.2993 und s T lgy = = Somit erhält man B = s T lgy s 2 T Rücktransformation liefert = = und A = y bt = b = 0 B = =.443 und a = 0 A = = Die Gleichung des exponentiellen Trends lautet also ŷ = t, wobei t = Jahr 200 ist. c 203 Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik, Universität zu Köln 9

10 c) Es ist t t t lg.443 lg t lg lg.443 = Da t = 4.0 dem. Juli 204 und t = 4.5 etwa dem. Januar 205 entspricht, wird der Wert 90 in der zweiten Hälfte des Jahres 204 überschritten. c 203 Seminar für Wirtschafts- und Sozialstatistik, Universität zu Köln 0