VI. Das Riemann-Stieltjes Integral.
|
|
- Kevin Esser
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition P von [, b] versteht mn ein Menge von Punkten P = {x 0, x,..., x n } mit = x 0 x x n = b. Sei x i = x i x i, i =,..., n und für eine beschränkte Funktion f : [, b] R sei M i = sup{f(x) : x [x i, x i ]} sowie m i = inf{f(x) : x [x i, x i ]} für i =,..., n. Als Obersumme S(P, f) von f bezüglich P bezeichnen wir den Ausdruck S(P, f) = M i x i und ls Untersumme s(p, f) von f bezüglich P den Ausdruck s(p, f) = m i x i. Ds obere Riemnn-Integrl von f ist definiert durch f dx = inf S(P, f), wobei ds Infimum über lle Prtitionen P von [, b] genommen wird, und ds untere Riemnn- Integrl von f ist definiert durch f dx = sup s(p, f), wobei ds Supremum über lle Prtitionen P von [, b] genommen wird. Sind die oberen und unteren Integrle gleich, so nennt mn f Riemnnintegrierbr uf [, b], mn schreibt f R. Den gemeinsmen Wert bezeichnet mn dnn ls f dx oder f(x) dx, dies ist ds Riemnn-Integrl von f über [, b]. Flls f 0 und ds obere und untere Riemnn-Integrl übereinstimmen, sgt mn uch, dss f(x) dx den Flächeninhlt ngibt, der zwischen dem Grphen der Funktion f und der x-achse über [, b] liegt. D f beschränkt ist, gilt m f(x) M uf [, b] und dher für jede Prtition P von [, b] : m(b ) s(p, f) S(P, f) M(b ), sodss ds obere und ds untere Riemnn-Integrl immer existiert, die
2 2 Frge nch der Gleichheit der oberen und unteren Integrle ist hingegen viel schwieriger. Wir betrchten eine llgemeinere Sitution: Definition. Sei α : [, b] R eine monoton wchsende Funktion. Für eine Prtition P = {x 0, x,..., x n } von [, b] setzen wir α i = α(x i ) α(x i ), i =,..., n. Es gilt α i 0. Für eine beschränkte Funktion f : [, b] R setzen wir S(P, f, α) = M i α i und s(p, f, α) = m i α i und definieren f dα = inf S(P, f, α) sowie f dα = sup s(p, f, α), wobei inf und sup über lle Prtitionen P von [, b] genommen werden. Stimmen die beiden obigen Integrle überein, so sgt mn f ist bezüglich α Riemnn-integrierbr und schreibt f R(α), den gemeinsmen Wert bezeichnet mn mit Dies ist ds Riemnn-Stieltjes Integrl von f bezüglich α über [, b]. Ds Riemnn-Integrl ist ein Spezilfll des Riemnn-Stieltjes Integrls für α(x) = x. Unser nächstes Ziel ist es, zu zeigen, dss stetige Funktionen f Riemnnintegrierbr bezüglich α sind. Definition. Die Prtition P wird eine Verfeinerung von P gennnt, wenn P P gilt, lso jeder Punkt von P uch zu P gehört. Sind P, P 2 zwei Prtitionen, so nennt mn P = P P 2 ihre gemeinsme Verfeinerung. Stz. Ist P eine Verfeinerung von P, dnn gilt s(p, f, α) s(p, fα) und S(P, f, α) S(P, f, α). Drus erhält mn nun Stz. f dα Für die weiteren Aussgen von besonderer Bedeutung ist ds folgende Cuchy -Kriterium für die Existenz des Riemnn-Stieltjes Integrls Stz. Es gilt f R(α) uf [, b] genu dnn, wenn für jedes ɛ > 0 eine Prtition P von [, b] existiert mit S(P, f, α) s(p, f, α) < ɛ.
3 Stz. () Gilt S(P, f, α) s(p, f, α) < ɛ für ein P und ein ɛ > 0, dnn gilt diese Aussge mit demselben ɛ für jede Verfeinerung von P. (b) Gilt die Aussge von () für P = {x 0,..., x n } und sind s i, t i [x i, x i ], dnn gilt f(s i ) f(t i ) α i < ɛ. (c) Ist f R(α) und sind die Vorussetzungen von (b) erfüllt, dnn ist f(t i ) α i f dα < ɛ. In den drei nächsten Resultten werden hinreichende Bedingungen für die Existenz des Riemnn-Stieltjes Integrls erstellt. Stz. Ist f stetig uf [, b], dnn ist f R(α) uf [, b]. Stz. Ist f monoton uf [, b] und ist α stetig uf [, b], dnn folgt f R(α). Stz. Sei f beschränkt uf [, b]. Ferner hbe f nur endlich viele Unstetigkeitsstellen uf [, b] und α sei in jedem Punkt stetig, wo f unstetig ist. Dnn folgt f R(α). Der folgende Stz ist für Anwendungen von besonderer Bedeutung Stz. Sei f R(α) uf [, b] und m f M. Sei ferner Φ stetig uf [m, M] und es sei h(x) = Φ(f(x)) für x [, b]. Dnn folgt h R(α) uf [, b]. Nun stellen wir die wichtigsten Eigenschften des Integrls zusmmen: Stz. () Sind f, f 2 R(α) uf [, b], so gilt f + f 2 R(α) und cf R(α) für jede Konstnte c, ferner gilt (f + f 2 ) dα = f dα + f 2 dα, cf dα = c Ds bedeutet: R(α) ist ein Vektorrum über R und die Abbildung f f dα ist ein lineres Funktionl uf R(α). (b) Gilt f, f 2 R(α) und f (x) f 2 (x) uf [, b], so folgt f dα f 2 dα. (c) Ist f R(α) uf [, b] und ist < c < b, so ist f R(α) uf [, c] und uf [c, b], und es gilt c f dα + c f dα = 3
4 4 (d) Ist f R(α) uf [, b] und gilt f(x) M uf [, b], so folgt f dα M(α(b) α()). (e) Für f R(α ) und f R(α 2 ) gilt f R(α + α 2 ) und f d(α + α 2 ) = f dα + f dα 2 ; ist f R(α) und ist c eine positive Konstnte, dnn folgt f R(cα) und f d(cα) = c Wichtig für lles weitere ist der folgende Stz. Seien f, g R(α) uf [, b]. Dnn gilt: () fg R(α); (b) f R(α) und f dα f dα. Der Zusmmenhng zwischen Riemnn- und Riemnn-Stieltjes-Integrl wird im folgenden Stz erläutert Stz. Sei α monoton wchsend und α R uf [, b]. Sei ferner f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn gilt: f R(α) fα R. In diesem Fll ist f dα = f(x)α (x) dx. Stz (Substitutionsregel). Sei φ : [A, B] [, b] eine streng monoton wchsende, stetige Funktion. Sei α : [, b] R monoton wchsend und f R(α) uf [, b]. Definiere β, g : [A, B] R durch β(y) = α(φ(y)) und g(y) = f(φ(y)) für y [A, B]. Dnn ist g R(β) und es gilt B A g dβ = Spezilfll: α(x) = x und β = φ mit φ R uf [A, B] : f(x) dx = B A f(φ(y))φ (y) dy.
5 5 Integrtion und Differentition Stz. Sei f R uf [, b]. Für x [, b] setze mn F (x) = x f(t) dt. Dnn ist F stetig uf [, b]. Ist drüber hinus f n einer Stelle x 0 [, b] stetig, dnn ist F in x 0 differenzierbr und es gilt F (x 0 ) = f(x 0 ). Stz (Huptstz der Differentil-und Integrlrechnung,.Version). Ist f R uf [, b] und gibt es eine differenzierbre Funktion F uf [, b] mit F = f uf [, b], dnn gilt f(x) dx = F (b) F (). Stz (Huptstz der Differentil-und Integrlrechnung, 2.Version). Ist f : [, b] R stetig uf [, b], dnn ist die Funktion F (x) = x f(t) dt, x [, b] differenzierbr uf [, b], es gilt F (x) = f(x) und f(x) dx = F (b) F (). Definition. Eine differenzierbre Funktion F uf [, b] heißt Stmmfunktion von f uf [, b], wenn F = f uf [, b] gilt. Eine Funktion F uf [, b] heißt unbestimmtes Integrl von f, wenn für je zwei Punkte x, x 2 [, b] gilt x2 x f(x) dx = F (x 2 ) F (x ). Es gilt: sind F und F 2 Stmmfunktionen (unbestimmte Integrle) von f, so ist F F 2 konstnt. Mit F ist uch F + c, c R, eine Stmmfunktion von f. Ist f stetig uf [, b], dnn besitzt f eine Stmmfunktion F uf [, b].
6 6 f f dx Def.ber. x k x, k k+ x R, x 0(k < 0) k+ log x x 0 x x x, R, + x > 0 + rctn x x R +x 2 x 2 rcsin x x < e x e x x R sin x cos x x R cos x sin x x R cot x x kπ, k Z sin 2 x tn x x (k + /2)π, k Z cos 2 x sinh x cosh x x R cosh x sinh x x R Beispiele zur Substitutionsegel: () β ( + α bu)n du b 0 : setze x = φ(u) = + bu und f(x) = x n, dnn ist φ (u) = b und β α ( + bu) n du = b = β α ( + bu) n b du = b φ(β) φ(α) b(n + ) (( + bβ)n+ ( + bα) n+ ) x n dx (b) Es sei φ(u) > 0 und stetig differenzierbr uf [, b], dnn gilt für x = φ(u) und f(x) = /x : φ (u) φ(u) du = φ(b) φ() dx x = log φ(b) φ(). (c) r 2 x 2 dx : hier setze mn x = r sin t, dnn ist dx = r cos t dt und r 2 x 2 dx = r 2 ( sin 2 t) r cos t dt = r 2 cos 2 t dt (d) r 2 + x 2 dx : hier setze mn x = r sinh t, dnn ist dx = r cosh t dt und r 2 + x 2 dx = r 2 ( + sinh 2 t) r cosh t dt = r 2 cosh 2 t dt.
7 Stz (Prtielle Integrtion). Seien F, G differenzierbr uf [, b] mit F = f R und G = g R uf [, b]. Dnn gilt : F (x)g(x) dx = F (b)g(b) F ()G() Prtilbruchzerlegung : f(x)g(x) dx. 7 Ist r(x) = p(x) q(x) Gestlt eine rtionle Funktion, wobei der Nenner von der q(x) = c(x x ) r... (x x k ) r k (x 2 + x + b ) s... (x 2 + m x + b m ) sm ist, dnn knn mn durch Koeffizientenvergleich r(x) in der Form r(x) = + A + A 2 x x (x x ) + + A r 2 (x x ) +... r A k + A k2 x x k (x x k ) + + A kr k 2 (x x k ) r k + B x + C x 2 + x + b + + B s x + C s (x 2 + x + b ) +... s + B mx + C m + + B ms m x + C msm x 2 + m x + b m (x 2 + m x + b m ) sm schreiben, und die einzelnen Summnden dnn einfcher integrieren. Uneigentliche Integrle Erweiterung des Riemnn-Integrls uf unendliche Intervlle. Definition. Sei f : [, t] R in R uf [, t] für jedes t >. Konvergiert t f(x) dx gegen I bei t, so sgt mn ds uneigentliche Integrl f(x) dx konvergiert und ht den Wert I : f(x) dx = lim t t f(x) dx = I. Nichtkonvergente Integrle nennt mn divergent. Stz (Cuchy-Kriterium). f(x) dx ist genu dnn konvergent, wenn für jedes ɛ > 0 ein s 0 existiert mit t f(x) dx < ɛ, für lle t > s > s 0. s Stz (Montonie-Kriterium). Sei f 0 uf [, ). Dnn gilt: f(x) dx konvergiert K > 0 mit t f(x) dx K, t >.
8 8 Definition. Ds uneigentliche Integrl f(x) dx heißt bsolut konvergent, wenn ds uneigentliche Integrl f(x) dx konvergiert. Stz. Ein bsolut konvergentes uneigentliches Intgrl ist konvergent und es gilt f(x) dx f(x) dx. Ist f g uf [, ) und konvergiert bsolut konvergent. g(x) dx, dnn ist f(x) dx Definition. Wie oben führt mn die folgenden uneigentlichen Integrle ein: und für ein R : f(x) dx = f(x) dx = lim t t f(x) dx + f(x) dx Integrle und Reihen. Definition. I(x) := 0, x 0 und I(x) :=, x > 0. f(x) dx. Stz. Ist < s < b, ist f beschränkt uf [, b] und stetig n der Stelle s und ist α(x) = I(x s), dnn gilt f dα = f(s). Stz. Sei c n 0 für lle n N und n c n sei konvergent. Ferner sei {s n } eine Folge von verschiedenen Punkten in (, b) und α(x) = c n I(x s n ). Sei f stetig uf [, b]. Dnn gilt n= f dα = c n f(s n ). n= Stz (Integrlkriterium für Reihen). Sei f positiv und monoton fllend uf [m, ). Dnn gilt : k=m f(k) und f(x) dx hben dsselbe m Konvergenzverhlten. Beispiel. k=2 ist genu dnn konvergent, wenn α >. k(log k) α
9 9 Integrle von unbeschränkten Funktionen. Definition. Sei f : [, b) R unbeschränkt (bei t b ). Gilt t f(x) dx J bei t b, so heißt ds uneigentliche Integrl f(x) dx konvergent und ht den Wert J. Wir schreiben uch f(x) dx. Anloges gelte bei der unteren Grenze. Wir schreiben dnn + f(x) dx. Beispiel. 0 dx x 2 = π 2, 0 + log x dx =. Definition. Ist f sowohl bei ls uch bei b unbeschränkt, so setzen wir für ein c (, b) : f(x) dx = c + f(x) dx + c f(x) dx, flls die rechte Seite existiert. Ist f uf [, b] mit Ausnhme eines Punktes c (, b) erklärt und existieren so setzen wir c f(x) dx = f(x) dx und c f(x) dx + c + f(x) dx, c + f(x) dx. Integrtion von vektorwertigen Funktionen Definition. Seien f,..., f k : [, b] R, und f = (f,..., f k ) : [, b] R k. Ist α uf [, b] monoton wchsend, so schreiben wir f R(α), wenn f j R(α) uf [, b] für j =,..., k gilt. In diesem Fll definieren wir ( ) f dα = f dα,..., f k dα. Anlog zum Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung erhlten wir
10 0 Stz. Seien f, F : [, b] R k und f R uf [, b] und gilt F = f. Dnn folgt: f(x) dx = F(b) F(). Mit Hilfe der Cuchy-Schwrz schen Ungleichung beweist mn Stz. Es sei f : [, b] R k und f R(α). Dnn gilt f R(α) und f dα f dα. Rektifizierbre Kurven Definition. Eine stetige Abbildung γ : [, b] R k heißt Kurve in R k mit Prmeterintervll [, b]. Ist γ injektiv, dnn wird γ ein Bogen gennnnt. Gilt γ() = γ(b), dnn heißt γ eine geschlossene Kurve. Eine Kurve ist ls Abbildung definiert, und nicht ls Teilmenge von R k. Verschiedene Kurven können ein und denselben Bildbereich hben. Definition. Sei γ : [, b] R k eine Kurve und P = {x 0,..., x n } eine Prtition von [, b]. Λ(P, γ) = γ(x i ) γ(x i ) ist die Länge des Polygonzuges mit den Ecken γ(x 0 ), γ(x ),..., γ(x n ). Es sei Λ(γ) = sup Λ(P, γ), P wobei ds Supremum über lle Prtitionen P von [, b] genommen wird. Ist Λ(γ) <, so nennt mn γ rektifizierbr. Stz. Ist γ : [, b] R k eine stetig differenzierbre Kurve, dnn ist γ rektifizierbr und es gilt Λ(γ) = γ (t) dt. Beispiel. Sei γ(t) = (cos t, sin t), t [0, 2π]. Es gilt γ (t) = cos 2 t + sin 2 t = und dher Λ(γ) = 2π 0 dt = 2π. Die Abbildung t e it, t [0, 2π) beschreibt genu den Einheitskreis in C.
Zusatzunterlagen zur Vorlesung Analysis II Sommersemester 2014
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Jörg Eschmeier M. Sc. Sebstin Lngendörfer e Integrlrechnung Zustzunterlgen zur Vorlesung Anlysis II Sommersemester 2014 Dieses Bltt enthält
Mehrnennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0
MehrKapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre
Mehr9 Integralrechnung. 9.1 Das Riemann-Integral: Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R eine beschränkte Funktion.
9 ntegrlrechnung 9. Ds Riemnn-ntegrl: Sei [, b] ein beschränktes bgeschlossenes ntervll und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Problem: Bestimme Flächeninhlt A zwischen Grphen von f und x-achse. Betrchte
MehrUnbestimmtes Integral, Mittelwertsätze
Unbestimmtes Integrl, Mittelwertsätze Ist f R-integrierbr, dnn knn f(x)dx einfch bestimmt werden, wenn eine Stmmfunktion F (x) von f existiert und beknnt ist. Wir wissen, dss dnn uch F (x) = F (x) + C
Mehr10 Das Riemannsche Integral
10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t
MehrVII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)
VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien
MehrStammfunktionen, Hauptsätze, unbestimmtes Integral
Stmmfunktionen, Huptsätze, unbestimmtes Integrl Sei I ein Intervll, f beschränkt uf I und R-integrierbr für jedes [, b] I, und I. Dnn heißt die Funktion F mit D(F ) = I und F () = f(t)dt Integrl von f
MehrKAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y
KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM 08.01.2018 Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1)
MehrÜbung Analysis in einer Variable für LAK, SS 2010
Übung Anlysis in einer Vrible für LAK, SS Christoph B ) Es sei I R ein offenes Intervll, ξ I und f,...,f n : I R seien lle in ξ differenzierbr. Beweisen Sie: Dnn ist uch f f n : I R in ξ differenzierbr
MehrKapitel 9 Integralrechnung
Kpitel 9 Integrlrechnung Kpitel 9 Integrlrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 18 Kpitel 9 Integrlrechnung Definition 9.1 (Stmmfunktion) Es seien f, F : I R Funktionen. F heißt Stmmfunktion
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mthemtik für Wirtschftsinformtik Wintersemester 202/3 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Existenz von bestimmten Integrlen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: Reelle Funktion f : [, b] R. Dnn gilt:
Mehr3 Integration. viele Teilintervalle. Z (oder Z [a, b]) sei die Menge aller Zerlegungen von [a, b].
Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.1) ) Z = {x,...,x n } mit = x < x 1 < < x n = b heißt eine Zerlegung von [,b] in endlich viele Teilintervlle. Z (oder Z [, b]) sei die Menge ller Zerlegungen
Mehr5 Das Riemannsche Integral 1
5 Ds Riemnnsche Integrl 5. Drbouxsche Summen Sei I [, b] mit < b und f : [, b] IR sei beschränkt (d. h. f(i) ist beschränkt). Z {x, x,..., x n } mit x < x < x 2 < < x n b heißt Zerlegung von [, b]. I k
MehrFlächeninhalt unter dem Graphen. Ist nun die Kraft nicht mehr stückweise konstant, so wird man intuitiv immer noch den
19 REGELFUNKTIONEN 107 Kpitel 7: Integrtion Notwendigkeit des Integrlbegriffes und Hinweise zu seiner Präzisierung liegen uf der Hnd. Betrchten wir etw den physiklischen Begriff der Arbeit, die im einfchsten
Mehr38 Das Riemann-Integral vektorwertiger Funktionen über [a, b]
38 Ds Riemnn-Integrl vektorwertiger Funktionen über [, b] 38.2 Riemnn-Integrierbrkeit von Wegen 38.4 Ds Riemnn-Integrl ist eine linere Abbildung von R([, b], V ) in V 38.9 Integrlbschätzung 38.10 Huptstz
MehrSatz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
MehrÜbungsaufgaben. Achtung(!):
Übungsufgben 8. Übung: Woche vom 5.12.-9.12.16 (Int.-R. I): Heft Ü1: 11.1 (,b,g,j); 11.2 (e,g,l,m,p); 11.3 (,c-e,q,r) Achtung(!): 2. Test (relle Fkt., Diff.-rechng.) wird m 2.12. freigeschlten (Duer: bis
Mehrkomplizierteren Funktionen versucht man, die Fläche durch mehrere Rechtecke anzunähern.
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4. 4 Integrlrechnung 4. Integrierbrkeit Die Grundidee der Integrlrechnung ist die Berechnung der Fläche zwischen dem Grphen einer Funktion und der x-achse. Recht einfch
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mthemtischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 20 Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 20 Definition 9.1 (Stmmfunktion)
MehrÜbung 7: Lösungen. Technische Universität München SS 2004 Zentrum Mathematik Prof. Dr. K. Buchner. Aufgabe T 19 (Ober- und Untersummen)
Technische Universität München SS Zentrum Mthemtik 7.6. Prof. Dr. K. Buchner Dr. W. Aschbcher Anlysis II Aufgbe T 9 Ober- und Untersummen Übung 7: Lösungen : Nch Vorussetzung ist f R-integrierbr, d.h.
MehrUneigentliche Riemann-Integrale
Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
MehrCrashkurs - Integration
Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).
Mehr, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung
. INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich
MehrParameterabhängige uneigentliche Integrale.
Kpitel 9: Integrtion Prmeterbhängige uneigentliche Integrle. F(x) := Beispiel: Die Gmm-Funktion: Γ(x) := Definition: Ds uneigentliche Integrl für x I. e t t x 1 dt. für x I heißt gleichmäßig konvergent,
MehrIntegration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17.
Integrtion Kpitel 8: Integrtion Informtionen zur Vorlesung: http://www.mthemtik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juli 2009 1 / 22 8.1 Motivtion Kpitel 8: Integrtion 8.1 Motivtion Ist die
Mehrf(ξ k )(x k x k 1 ) k=1
Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt
Mehr9.6 Parameterabhängige Integrale
Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes
MehrResultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:
MehrHM I Tutorium 14. Lucas Kunz. 9. Februar 2018
HM I Tutorium 14 Lucs Kunz 9. Februr 218 Inhltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Uneigentliche Integrle............................. 2 1.1.1 Typ 1.................................. 2 1.1.2 Typ 2..................................
MehrKapitel 8 Anwendungen der Di erentialrechnung
Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Mthemtischer Vorkurs TU Dortmund Seite 99 / 235 Kpitel 8 Anwendungen der Di erentilrechnung Stz 8.1 (Mittelwertstz
Mehr6.4 Uneigentliche Integrale
6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen
Mehr29 Uneigentliche Riemann-Integrale
29 Uneigentlihe Riemnn-Integrle 29.2 Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei einer kritishen Integrtionsgrenze 29.3 Zusmmenhng des uneigentlihen mit dem eigentlihen Riemnn-Integrl 29.5 Cuhy-Kriterium für uneigentlihe
MehrProf. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG
Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung
Mehrkann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k
Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1
MehrInhaltsverzeichnis Integralrechnung f
Inhltsverzeichnis 4 Integrlrechnung für f : D(f R R 4. Bestimmtes und unbestimmtes Integrl........ 4.. Ds bestimmte Integrl............. 4..2 Ds unbestimmte Integrl, Stmmfunktion.. 3 4.2 Integrtionsregeln....................
MehrAnalysis I (HS 2016): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL
Anlysis I (HS 216): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL Dietmr A. Slmon ETH-Zürich 12. Dezember 216 Zusmmenfssung Dieses Mnuskript dient der Einführung in ds Riemnnsche Integrl für Funktionen einer reellen Vriblen.
MehrLösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.
Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x
Mehr6.6 Integrationsregeln
50 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Beispiel 6.5.4 (Differenzierbreit und gleichmäßige Konvergenz) Die Funtionenfolge {f n (x)} n N definiert durch f n (x) = n sin(nx) onvergiert uf jedem Intervll gleichmäßig
MehrThema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)
Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe
Mehr7 Das Riemann-Integral
7 Ds Riemnn-Integrl Im Folgenden sei K = R oder C, [, b] einintervllinr, 0: f(x) C x [, b]). 7.1 Definition. Für eine Zerlegng ( Prtition ) Z = {t 0 =... t N = b} von
MehrSerie 13 Lösungsvorschläge
D-Mth Mss und Integrl FS 204 Prof. Dr. D. A. Slmon Serie 3 Lösungsvorschläge. Sei I := [, b] R ein kompktes Intervll und sei B 2 I die Borel-σ-Algebr. Def. Eine Funktion f : I R heisst von beschränkter
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. r. H. Spohn r. M. Prähofer Zentrlübung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik 14. Stetigkeit der Umkehrfunktion Mthemtik für Physiker 3 (Anlysis ) http://www-m5.m.tum.de/allgemeines/ma903
Mehr4.4 Partielle Integration
Mthemtik für Nturwissenschftler I 4.4 4.4 Prtielle Integrtion Zwei Integrtionsregeln kennen wir bereits: Stz 4.. und Stz 4..8. Stz 4.. sgt, dss mit zwei Funktionen uch deren Summe oder Differenz integrierbr
MehrMathematik II. Vorlesung 41. Satz Es sei f :[a,b] R n, t f(t), eine differenzierbare Kurve. Dann gibt es ein c [a,b] mit
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 41 Die Mittelwertbschätzung für differenzierbre Kurven Stz 41.1. Es sei f :[,b] R n, t f(t), eine differenzierbre Kurve. Dnn gibt es ein c [,b]
Mehr10 Integrationstechniken
Integrtionstechniken. Wichtige Stmmfunktionen α d = α + α+, d = log e d = e cos d = sin sin d = cos d = rcsin d = rctn + cosh d = sinh sinh d = cosh + d = sinh d = cosh α R, α. Linerität der Integrtion
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
MehrIntegralrechnung. Fakultät Grundlagen
Integrlrechnung Fkultät Grundlgen März 2016 Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Bestimmtes Integrl I n Teilintervlle: x 0 = < x 1 < x 2
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Krlsruher Institut für Technologie Institut für Anlysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Mth. Sebstin Schwrz Höhere Mthemtik für die Fchrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsbltt Aufgbe 6 (Übung) )
MehrKapitel 1. Das Riemann-Integral. 1.1 *Motivation
Kpitel Ds Riemnn-Integrl. *Motivtion Wir betrchten eine stetige Funktion f : [, b] R, wobei, b R und < b. Frge: Wie groß ist der Flächeninhlt zwischen dem Abschnitt [, b] uf der x-achse und dem Grph von
Mehr9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen
9.3 Der Huptstz und Anwendungen Definition: Seien Funktionen F, f : [, b] R Funktionen mit F (x) = f(x), x b. Dnn heißt F(x) Stmmfunktion von f(x). Bemerkung: Ist F(x) eine Stmmfunktion von f(x), so sind
MehrBuch Kap Stetigkeit und Integrierbarkeit
12/94 Buch Kp. 2.13 Stetigkeit und Integrierbrkeit Stz 2.34: (Stetigkeit = Integrierbrkeit) Eine uf [, b] stetige Funktion ist integrierbr. Ds gilt uch für stückweise stetige Funktionen, die uf [, b] mit
MehrANALYSIS II. Literatur. Prof. König, SS [1] O. Forster; Analysis II, III, Vieweg. [2] W. Walter; Analysis II, Springer HTB
ANALYSIS II Prof. König, SS 3 Litertur [] O. Forster; Anlysis II, III, Vieweg [] W. Wlter; Anlysis II, Springer HTB [3] H. Heuser; Lehrbuch der Anlysis II, Teubner [4] M. Brner, M. Flohr; Anlysis II, de
MehrRiemann-integrierbare Funktionen
Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn-
Mehr1. Die reellen Zahlen
. Die reellen Zhlen Definition. (Verkettung). Die Verkettung oder Komposition der Abbildungen f : P N und g : M P ist die Abbildung f g : M N, x f(g(x)). Flls Definitionsbereich und Wertebereich gleich
Mehr9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
Mehr52 Mathematik für Physiker und Informatiker I (Kurzskript) r n 1 x n +(1 x) n=0
52 Mthemtik für Physiker und Informtiker I (Kurzskript) N N so groß ist, dss r n < ε/2 für n > N, so knn mn für x [0, ) und mit r n M ((r n ) ist j eine Nullfolge) für lle n N bschätzen f() f(x) ( x) N
MehrKapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36. F (x) = f (x) Vermuten und Verifizieren.
Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 27/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F() heißt Stmmfunktion einer Funktion f (), flls F () = f () Berechnung: Vermuten und Verifizieren
Mehr1 Differenzen- und Differentialquotient 2. 2 Differentiationsregeln 5. 3 Ableitung spezieller Funktionen 6. 4 Unbestimmtes und bestimmtes Integral 7
Universität Bsel Wirtschftswissenschftliches Zentrum Abteilung Quntittive Methoden Mthemtischer Vorkurs Dr. Thoms Zehrt Differentil- und Integrlrechnung Inhltsverzeichnis 1 Differenzen- und Differentilquotient
Mehr6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral
6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine
MehrFerienkurs Analysis 1
Skript Ferienkurs Anlysis 1 Fbin Hfner und Thoms Blduf TUM Wintersemester 2014/15 18.03.2015 Ds Skript wurde teilweise übernommen vom Skript des Ferienkurses WS 2014, verfsst von Andres Wörfel. Inhltsverzeichnis
Mehr24 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 146. F (x) F (x ) f(x, t) dt. 3(b a) (b a) + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ.
24 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 146 für lle t [, b] und lle x D mit x x < δ. Für lle x D mit x x < δ gilt lso = F (x) F (x ) b f(x, t) dt b b f(x, t) dt + f(x, t) f(x, t) dt + ɛ 3(b ) (b ) + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ.
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mthemtik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kpitel 6: Integrlrechnung R R Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg (Version vom 21. Dezember 2007) Stetige oder monotone Funktionen
Mehr21. Das bestimmte Integral
1. Ds bestimmte Integrl Wir betrchten eine Kurve y = f(x) mit f(x) 0 uf dem Intervll [, b]. Obwohl der Flächeninhlt eines Rechteces (und in weiterer Folge eines Dreieces und nderer elementrer geometrischer
MehrMusterlösung der 1. Klausur zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Röger Dipl.-Mth. C. Zwilling Fkultät für Mthemtik TU Dortmund Musterlösung der. Klusur zur Vorlesung Anlysis I (24.02.206) Wintersemester 205/6 Aufgbe. Sei R mit sin() 0. Der Beweis erfolgt
Mehr$Id: integral.tex,v /05/09 11:21:33 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/11 13:45:45 hk Exp $
$Id: integrl.te,v.62 28/5/9 :2:33 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v.22 28/5/ 3:45:45 hk Ep $ 2 Integrlrechnung 2.4 Integrtion rtionler Funktionen In der letzten Sitzung hben wir die Integrtion rtionler Funktionen
MehrHier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel als auch die partielle Integration zur Anwendung kommt.
64 Kpitel. Integrlrechnung Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel ls uch die prtielle Integrtion zur Anwendung kommt..4.6 Beispiel Um eine Stmmfunktion für rctn zu finden, beginnen
Mehr1.2 Kurven. Definition Äquivalente Formulierungen der Differenzierbarkeit
1 1. Kurven Wir betrchten jetzt vektorwertige Funktionen von einer Veränderlichen. Eine Abbildung f = (f 1,..., f m ) : I R m heißt differenzierbr in t I, flls lle Komponentenfunktionen f 1,..., f m in
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mthemtik und Nturwissenschften Fchrichtung Mthemtik, Institut für Numerische Mthemtik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 5. Integrlrechnung Prof. Dr. Gunr Mtthies Wintersemester 2015/16 G. Mtthies Grundlgen Mthemtik
MehrDer Hauptsatz der Differential und Integralrechnung
Kpitel 4 Der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung Bemerkung 4. Motivtion. Die Integrtionstheorie wurde im letzten Kpitel recht weit entwickelt. Nun wird ein Werkzeug bereitgestellt, mit welchem
Mehrπ 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
Mehr9.4 Integration rationaler Funktionen
9.4 Integrtion rtionler Funktionen Ziel: Integrtion rtionler Funktionen R(x) = p(x) q(x) wobei p(x) = n k x k, q(x) = k=0 m b k x k. k=0 Methode: Prtilbruch-Zerlegung von rtionler Funktion R(x). Anstz:
MehrKapitel 9. Integration. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 9 Integration 1 / 36
Kpitel 9 Integrtion Josef Leydold Auffrischungskurs Mthemtik WS 207/8 9 Integrtion / 36 Stmmfunktion Eine Funktion F(x) heißt Stmmfunktion einer Funktion f (x), flls F (x) = f (x) Berechnung: Vermuten
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt
Krlsruhe Institut für Technologie (KIT) Institut für Anlysis Priv.-Doz. Dr. P. C. Kunstmnn Dr. S. Wuglter WS 13/14 Aufgbe 1 Höhere Mthemtik I für die Fchrichtung Elektrotechnik und Informtionstechnik Lösungsvorschläge
Mehr1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt
Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)
MehrParameterintegrale. Integrale können auch von Parametern abhängen, denken wir nur an die Gamma-Funktion, die definiert ist für x > 0 durch
Prmeterintegrle Integrle können uc von Prmetern bängen, denken wir nur n die Gmm-Funktion, die definiert ist für x > durc Γ(x) = t x e t dt Hier ist x der Prmeter, von dem der Integrnd und dmit uc ds Integrl
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius
Mehr(1 ξ) f (k) (ξ) + k! z x n+1. (n + 1)! 2 f (n + 1)!
0.. Lösung der Aufgbe. Wir schreiben f = sup{ f : [0, ]}. Für ξ ]0, [ und n N gibt es nch dem Stz von Tlor ein c ]ξ, [ so, dss: f = fξ + n ξ k f k ξ + k! k= Aus der Ttsche, dss f k 0 für lle k N ist, folgt
MehrAufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
MehrMathematik Rechenfertigkeiten
2 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dominik Tsndy) 9.August 2 Inhltsverzeichnis
MehrSBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.
SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert
MehrAnalysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
Mehr$Id: integral.tex,v /05/15 15:03:49 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/16 13:37:14 hk Exp $
$Id: integrl.te,v.3 24/5/5 5:3:49 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v. 24/5/6 3:37:4 hk Ep $ 2 Integrlrechnung 2.5 Ergänzungen Wir sind jetzt m Ende des Kpitels über ds Riemn-Integrl im eigentlichen Sinne ngelngt,
Mehr14.1 Der Hauptsatz der Integralrechnung
Anlysis, Woche 4 Integrlrechnung II A 4. Der Huptstz der Integrlrechnung In der letzten Woche hben wir ngeschut, wie mn ds Integrl definieren knn. Dmit lässt sich zwr ein Flächeninhlt pproximieren, ber
Mehr3 Uneigentliche Integrale
Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,
MehrInfinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen
Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine
MehrEinführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
MehrDefinition 3.33 (Oberintegral und Unterintegral). Es sei f : [a,b] R eine beschränkte Funktion. Weiter sei
8. Integrierbre Funktionen Definition 3.3 (Treppenfunktionen). Eine Funktion t : [,b] R heißt Treppenfunktion, flls es endlih viele Punkte x < x 1 < < x n mit x = und x n = b gibt, so dss f uf jedem der
MehrReelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013
Reelle Anlysis Vorlesungssript Enno Lenzmnn, Universität Bsel 7. November 213 5 Konvergenz- und Approximtionssätze 5.1 Monotone und Dominierte Konvergenz Wir strten mit einem grundlegenden Stz der Integrtionstheorie,
Mehr13.1 Definition: Es sei I = [a, b] abgeschlossenes Intervall. Die Menge
V. Integrlrechnung 13. Ds Riemnn-Integrl 13.1 Definition: Es sei I = [, b] bgeschlossenes Intervll. Die Menge B([, b]) := {f f : [, b] R, f beschränkt} heißt Menge der beschränkten Funktionen (uf dem Intervll
MehrMathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
MehrFur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b
. Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und
Mehrf(t)dt; dabei heißt t die Integrationsvariable und f der Integrand. Schreibweise für den Zahlenwert eines Integrals über [a, b]: b
WS 7/8 Mthemtik: Them 7 Elementre Integrtion Wiederholung von Grundkenntnissen 62 Bestimmtes Integrl (Bestimmtes Riemnn-Integrl) Dies ist die einfchste und gleichzeitig für ökonomische Anwendungen wichtigste
MehrAufgabe Σ
Fchbereich Mthemtik WS 01/13 Prof. J. Ltschev 7. Februr 013 Höhere Anlysis Modulbschlussprüfung Sie benötigen nur Schreibgeräte. Die Verwendung jeglicher nderer Hilfsmittel (wie z. B. Tschenrechner, Hndys,
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Thema: Definition von Gebietsintegralen, Mehrfachintegration
Vorlesung: Anlysis II für Ingenieure Wintersemester 7/8 Michel Krow Them: Definition von Gebietsintegrlen, Mehrfchintegrtion Treppenfunktionen uf Intervllen Eine Funktion f : [, b] heisst Treppenfunktion,
MehrDefinition 5.1. Unter einer Partition oder Zerlegung Z des Intervalls [a, b] verstehen wir eine endliche Menge von Punkten x 0, x 1,..., x n mit.
5 Integrtion Unser nächstes Ziel besteht drin, einer krummlinig begrenzten Fläche eine Flächenmßzhl zuzuordnen. Dbei wollen wir uns der Einfchheit hlber uf solche Flächen zunächst einschränken, die durch
MehrKapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
Mehr