Proseminar: Theoretische Physik. und Astroteilchenphysik. Fermi- und Bose Gase. Thermodynamisches Gleichgewicht

Transkript

1 Proseminar: Theoretische Physik und Astroteilchenphysik Thermodynamisches Gleichgewicht Fermi- und Bose Gase

2 Inhalt 1. Entropie 2. 2ter Hauptsatz der Thermodynamik 3. Verteilungsfunktion 1. Bosonen und Fermionen 2. Fermi Dirac Statistik / Bose Einstein Statistik 3. Anwendungen 4. Bose und Fermigase 1. Beispiele

3 Entropie beschreibt die Zahl der Mikrozustände des beobachteten Makrozustands des Systems extensive Zustandsgröße (S = Ʃ i S i ) kann als Funktion der extensiven Parameter eines Systems ausgedrückt werden stetig und differenzierbar, proportional zur Energie (monoton wachsend) im Gleichgewichtszustand: Entropie S = maximal (vgl. klassische Mechanik) nimmt bei irreversiblen Zustandsänderungen zu bleibt bei reversiblen Zustandsänderungen konstant

4 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik zwei Formulierungen (Clausius, Kelvin) Clausius: Es gibt keine Zustandsänderung, die allein darin besteht, dass Wärme von einem kälteren auf ein wärmeres System übergeht. Kelvin: Es gibt keine Zustandsänderung, die allein darin besteht, dass eine Wärmemenge einem Wärmespeicher entzogen und vollständig in Arbeit umgesetzt wird. (Verbot Perpetuum Mobile 2ter Art) implizieren sich gegenseitig: Clausius Kelvin, Kelvin Clausius

5 Verteilungsfunktion alle Teilchen & Moleküle sind entweder Fermionen oder Bosonen keine gleichzeitige Beschreibung möglich (s. SUSY - Theorien): separate Behandlung für Bosonen: Bose Einstein Statistik: f(i) = 1 / (exp(- β (ε i µ)) - 1), mit ε i = (p² + m i ²) ½ für Fermionen: Fermi Dirac Statistik: f(i) = 1 / (exp(- β (ε i µ)) + 1), mit ε i = (p² + m i ²) ½ zusammengefasst: f(i) = 1 / (exp(- β (ε i µ)) 1), mit ε i = (p² + m i ²) ½ basiert auf Statistik idealer Quantengase: System im großkanonischen Ensemble

6 Fermionen beliebig elementar oder zusammengesetzt (Quarks und Leptonen) bilden Materie (p, n, e, ) halbzahliger Spin ungerade Anzahl von Teilchen mit Spin S = ½ Pauli Prinzip gilt keine gleichen Quantenzustände gehorchen der Fermi Dirac - Statistik mögliche Zustände I = {0,1}

7 Bosonen beliebig elementar oder zusammengesetzt (z.b.. H Atom) Austauschteilchen der Wechselwirkungen (Eichbosonen, Carriers): - Photonen für EM - WW - W Z Bosonen für schwache WW - Gluonen für starke WW - Graviton für Gravitation Spin ganzzahlig (auch S = 0) gerade Anzahl von Teilchen mit S = ½ Pauli Prinzip gilt nicht folgen der Bose Einstein Statistik mögliche Zustände I = {0,1,2,3, } absoluter Nullpunkt.: Grundzustand mit allen Teilchen besetzt angeregte Niveaus besitzen relativ kleine Anzahl Teilchen

8 Anwendungen der Verteilungsfunktion behandelt eigentlich nur Mittelwerte (k b und chemisches Potenzial häufig vernachlässigt bzw. = 1 gesetzt) Teilchendichte: n i = g i / (2π)³ f(p) d³p Energiedichte: ρ i = g i / (2π)³ E(p) f(p) d³p Druck: P i = g i /(2π)³ P ² /(3Ei(P)) f(p) d³p g i abhängig von Polarisation der Teilchenart (Photon = 2, Neutrinos = 1, Elektronen & Muonen = 2) nicht - relativistischer Ansatz liefert für beide Statistiken: - n non-rel = g i (mt / 2π) 2/3 exp(-m/t) - ρ non-rel = m n non-rel voll relativistischer Ansatz liefert: - n rel = ζ(3) / π² g i T³, für Bose Einstein; Riemann Zeta Funktion ζ(3) = 1, n rel = ¾ (ζ(3) / π² g i T³), für Fermi Dirac - ρ rel = g i / (6 π²) 0 E³ / (exp (E/T) ± 1) de = π² / 30 g i T 4, für Bose - Einstein

9 Fermigas besteht aus Fermionen hohe kinetische Energie (auch bei T = 0) geringe Wärmekapazität niedrige Stoßrate zwischen Teilchen entartet wenn T < ε f (bzw. T Fermi ) Energiezustände mit E < ε f (fast) ganz besetzt, Energiezustände mit E > ε f (fast) leer hat bei T = 0 einen Druck ungleich null (Entartungsdruck) Gegensatz zum idealen Gas Pauli Prinzip hält Teilchen auseinander und in Bewegung keine Bose Einstein - Kondensation

10 Beispiele eines Fermigases Weißer Zwerg: - entartetes Elektronengas - 1 Sonnenmasse, Erdradius - Dichte 1.5 x 10 6 größer als in der Sonne - Entartungsdruck wirkt Gravitation entgegen kein Kollaps - erst bei Überschreitung von bestimmter Masse (Chandrasekhar Limit: 1.44 Sonnenmassen) Kollaps zum Neutronenstern bzw. schwarzen Loch Neutronenstern: - entartetes Neutronengas Sonnenmassen, 12 km Radius - gleiches Prinzip wie beim Weißen Zwerg Leitungselektronen in (Alkali-)Metallen: T Fermi > 10³ Kelvin flüssiges He³

11 Bosegas besteht aus Bosonen (ursprünglich für Photonen, dann auf massive Teilchen ausgeweitet) niedrige kinetische Energie Pauli Prinzip gilt nicht hohe Teilchenkonzentration im Grundzustand höhere Zustände kaum/nicht besetzt

12 Bose Einstein Kondensation das Beispiel für Bosegas, Anwendung in Atomphysik (ILP) ab kritischer Temperatur Tc (fast) alle Teilchen im niedrigsten Quantenzustand nur möglich mit Bosonen Quanteneffekte sichtbar im makroskopischen Bereich Teilchen vollständig delokalisiert: Aufenthaltswahrscheinlichkeit für jedes Teilchen gleich Beschreibung durch eine Wellenfunktion möglich: - Suprafluidität - Supraleitung - Kohärenz (Interferenz, Atom Laser)