Wiederholung. Wir gehen von LP s in Standardform aus, wobei A R m n vollen Zeilenrang hat: minc T x A x = b

Transkript

1 Wiederholung Wir gehen von LP s in Standardform aus, wobei A R m n vollen Zeilenrang hat: minc T x A x = b x 0. x R n heißt Basislösung, wenn Ax = b und rang(a J ) = J, wobei J = {j x (j) 0}; Basislösung ist gültige Basislösung, wenn x 0 Basis ist Indexmenge B {1,...,n} mit rang(a B ) = m und B = m x R n mit A B x B = b und x (j) = 0 für alle j / B heißt die Basislösung zur Basis B 25/ 64

2 Wiederholung Wenn LP optimale Lösung besiztzt dann existiert optimale Basislösung Optimale Basislösungen kann man aufzählen (ineffizient) Muß man alle gültigen Basislösungen betrachten? Simplex Algorithmus Prinzip: Wandere von Basislösung zu Basislösung in Richtung abnehmender Kosten, bis ein optimaler Eckpunkt erreicht ist. 26/ 64

3 Bringe neuen Index in Basis Betrachte Basis B mit x gültige assoziierte Basislösung Wähle Index j / B Erhöhe x (j) von 0 auf θ > 0 Andere Nichtbasisvariablen sollen unverändert auf 0 bleiben Damit Gültigkeit erhalten bleibt müssen sich Basisvariablen evtl. ändern Übergang von x zu x + θ d Forderungen an d: d(j) = 1 d(k) = 0, k B, k j A(x + θ d) = b soll für θ > 0 gelten; aus Ax = b und θ > 0 folgt Ad = 0. Also insgesamt A B d B + a j = 0 und da B Basis (also A B invertierbar) folgt d B = A 1 B aj. 27/ 64

4 j-te Basisrichtung Definition 3 (j-te Basisrichtung) Sei B eine Basis und j / B. Der Vektor d mit d(j) = 1, d(k) = 0, k B, k j und d B = A 1 B aj heißt j-te Basisrichtung von B. Beim Übergang von x zu x + θd ändert sich die Zielfunktion um Betrag θ c T d = θ( c T B A 1 B aj + c(j)) = θ (c(j) c T B A 1 B aj ) (c(j) c T B A 1 B aj ) repräsentiert die Zunahme der Kosten für θ = 1. Definition 4 (Reduzierte Kosten) Sei B eine Basis. Für j {1,...,n} heißen c(j) = c(j) c T B A 1 B aj die reduzierten Kosten der Variablen x(j) 28/ 64

5 Beispiel Wir betrachten das lineare Optimierungsproblem min{c T x Ax = b,x 0} mit ( ) ( ) A = und b = ( ) 1 1 Wähle B = {1,2}. Dann gilt A B =, also ist B eine Basis. 2 0 Wir setzen x(3) = x(4) = 0 und erhalten aus x B = A 1 B b die gültige Basislösung x = (1,1,0,0) Die dritte Basisrichtung erhalten wir wie folgt: Es gilt d(3) = 1,d(4) = 0 und ( ) ( ) ( ) ( ) d(1) d B = = A 1 0 1/2 1 3/2 d(2) B a3 = = 1 1/2 3 1/2 Die reduzierten Kosten in dieser Richtung sind c(3) = 3 2 c(1) c(2) + c(3). 29/ 64

6 Ein Optimalitätskriterium Lemma 5 Sei B eine Basis und x eine zulässige Basislösung zur Basis B. Wenn c 0, dann ist x optimale Lösung des LPs. Bevor wir dieses Lemma beweisen, kommen wir zu einem fundametalen Konzept der linearen Programmierung 30/ 64

7 Das duale LP Definition 6 Sei ein LP in Standardform. Das LP min{c T x Ax = b, x 0} (3) max{b T y A T y c} (4) in Ungleichungsstandardform ist das duale Lineare Programm zum LP (17). Das LP (17) nennen wir das primale Programm. 31/ 64

8 Schwache Dualität Sei x eine gültige Lösung des primalen LPs und y eine gültige Lösung des Dualen LPs. Dann gilt Beweis. Da b = Ax folgt Da A T y c und x 0 folgt b T y c T x. (5) b T y = x T A T y. x T A T y x T c = c T x. Zusammen bekommen wir die erwünschte Aussage: b T y c T x. 32/ 64

9 Beweis von Lemma 5 Erinnerung x zulässige Basislösung zur Basis B und c(j) = c(j) c T B A 1 B aj 0 für alle j {1,...,n}. (6) (6) kann man umschreiben als c A T A 1 B T cb 0 A T A 1 T cb c. (7) y = A 1 T B cb ist gültige Lösung des Dualen max{b T y A T y c} von min{c T x Ax = b, x 0}. Zielfunktionswert: b T y = (A x ) T y = (A B x B )T y = (A B x B )T A 1 = xb T A T B A 1 = c T x B T B cb T B cb 33/ 64

10 Degenerierte Basislösung Die Frage ist nun, ob auch die Umkehrung von Lemma 5 gilt. Also die Aussage: Wenn c(j) < 0 für ein j {1,...,n}, dann ist dann die Basislösung x nicht Optimal. Sei x eine gültige Basislösung zur Basis B, j / B und d, die j-te Basisrichtung Wenn x (l) = 0 für ein l B, dann ist möglicherweise x + θ d für alle θ > 0 nicht gültig (Wenn auch d(l) < 0) Definition 7 (Degenierte Basislösung) Eine Basislösung x eines LPs heißt degeneriert, wenn J < m, wobei J = {j x (j) > 0}. 34/ 64

11 Die Umkehrung von Lemma 5 gilt eingeschränkt Lemma 8 Sei B eine Basis und x eine zulässige Basislösung zur Basis B. Wenn c(j) < 0 für ein j {1,...,n} und x nichtdegeneriert, dann ist x nicht optimal. Beweis. Sei d R n die j-te Basisrichtung von B. Es gilt A d = 0, d(j) = 1 und d(k) = 0 für alle k B, k j. c(j) gibt die Zunahme der Zielfunktion an, beim Übergang von x zu x + d. Also c(j) = c T d. Da x B > 0 gibt es ein θ > 0 mit x + θ d 0 und somit x + θ d gültige Lösung. c T (x + θ d) = c T x + θ c T d < c T x 35/ 64

12 Optimale Basis Definition 9 Sei B {1,...,n} eine Basis des LP min{c T x Ax = b, x 0} in Standardform. Die Basis ist optimal, wenn folgende Bedingungen gelten A 1 B b 0 assoziierte Basislösung gültig y = A 1 T B cb ist gültige duale Lösung oder äquivalent reduzierte Kosten c von B sind nichtnegativ Eine optimale Basis liefert eine optimale Basislösung, dagegen kann degenerierte optimale Basislösung negative reduzierte Kosten haben 36/ 64

13 Entwicklung der Simplex Methode (nichtdeg. Fall) Sei x nicht-degenerierte zulässige Basislösung von min{c T x Ax = b,x 0} und c Vektor der reduzierten Kosten Wenn c 0, dann ist x optimal Falls c(j) < 0 für ein j dann exist. θ > 0 mit x + θ d gültig, wobei d j-te Basisrichtung Durch Fortschreiten, wird Variable x(j) positiv und alle anderen Nichtbasisvariablen bleiben 0 Wir sagen, j tritt in die Basis ein. Da Kosten in Richtung d abnehmen sollte man so weit wie möglich vorangehen: θ = max{θ 0 x + θ gültig}. Die zugehörige Verringerung der Kosten ist θ c T d = θ c(j). Da Ad = 0, gilt A(x + θ d) = Ax = b Gefahr droht nur der Einhaltung der x 0 Bedingung 37/ 64

14 Wir unterscheiden zwei Fälle: a) Wenn d 0, dann ist x + θd 0, für alle θ 0, der Vektor x + θd wird nie ungültig, mann kann θ = wählen Das LP ist unbeschränkt b) Wenn d(i) < 0, für ein i {1,...,n}, dann folgt aus x (i) + θd(i) 0, dass θ x (i)/d(i) Sei K {1,...,n} definiert durch K = {i d(i) < 0} Größter Wert für θ ist gegeben durch θ = min {i K} ( x (i) d(i) ) (8) Da d(i) 0, für i B, gilt K B. Beachte, dass θ > 0, da x B > 0 wegen Nichtgeneriertheit von x 38/ 64

15 Erinnerung Beispiel Wir betrachten das lineare Optimierungsproblem min{c T x Ax = b,x 0} mit A = ( ) und b = ( ) 2. 2 ( ) 1 1 Wähle B = {1,2}. Dann gilt A B =, also ist B eine Basis. 2 0 Wir setzen x(3) = x(3) = 0 und erhalten aus x B = A 1 B b die gültige Basislösung x = (1,1,0,0) 3-te Basisrichtung: Es gilt d(3) = 1, d(4) = 0 und ( ) ( ) ( ) ( ) d(1) d B = = A 1 0 1/2 1 3/2 d(2) B a3 = = 1 1/2 3 1/2 Die reduzierten Kosten in dieser Richtung sind c(3) = 3 2 c(1) c(2) + c(3). 39/ 64

16 Fortsetzung Beispiel Wir nehmen an, dass c = (2,0,0,0) T, also c 3 = 3. Basisrichtung für j = 3 ist d = ( 3/2, 1/2, 1, 0). Betrachte die Punkte y = x + θd, für θ > 0. Einzige Komponente von y, die abnimmt, ist y 1 (da d(1) < 0) Maximaler Wert von θ ist daher θ = x1 /d(1) = 2/3 Neuer Punkt y = x d = (0,4/3,2/3,0). Die zugehörigen Spalten a 2,a 3 sind linear unabhängig und B = {2, 3} ist eine neue Basis. Wir sagen, 1 hat die Basis verlassen und 3 ist in die Basis eingetreten. 40/ 64

17 Basiswechsel Wenn θ endlich ist, gelangen wir zu neuer gültiger Lösung y = x + θ d Da x(j) = 0 und d(j) = 1, gilt y(j) = θ > 0 Sei l ein Index für den in (8) Minimum angenommen wird Dann gilt d(l) < 0 und y (l) = x(l) + θ d(l) = 0 Basisvariable x(l) wird also 0, während Nichtbasisvariable x(j) positiv geworden ist Dies legt nahe, in Basis B Index l durch j zu ersetzen, d.h. überzugehen zu B = (B \ {l}) {j}. (9) 41/ 64

18 B ist Basis Theorem 10 a) rang(a B ) = m b) y = x + θ d ist eine zu B gehörige gültige Basislösung Beweis. a) Zu zeigen ist: Spalten von A B sind linear unabhängig Betrachte Indexmenge M = {i d(i) 0,i j} B und beachte, dass l M Es gilt (da Ax = b) a j = i M d(i)a i (10) Annahme: Vektoren a i, i B sind linear abhängig. 42/ 64

19 Da Spalten von A B und insbesondere von A B\{l} linear unabhängig sind, muss folglich a j im Erzeugnis der Vektoren a i, i B \ {l} liegen Folglich gibt es Zahlen ν(i), i B \ {l} mit a j = i B\{l} ν(i)a i. (11) Durch Subtraktion der Gleichung (10) von der Gleichung (11) erhalten wir ν(i)a i + (ν(i) + d(i))a i + d(l)a l = 0 (12) i (B\{l})\M i M\{l} was zeigt, dass die Spalten von A B linear abhängig sind. (Wiederspruch!) b) Ist klar, da y gültige Basislösung zur Basis B ist. (y (i) 0 = i B ) 43/ 64