Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2

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1 Georg Nöldeke Herbstsemester 2011 Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 2 1. (a) Indifferenzkurven verlaufen streng fallend und streng konvex; Pfeile zeigen nach rechts-oben. Siehe Abbildung 1. Abbildung 1: Indifferenzkurven zu einer streng konvexen und streng monotonen Präferenzrelation. (b) Indifferenzkurven verlaufen streng fallend; die Pfeile zeigen nach rechts-oben. Die Indifferenzkurven verlaufen nicht streng konvex. Abbildung 2 zeigt ein mögliches Beispiel. Abbildung 2: Indifferenzkurven zu einer streng monotonen, aber nicht konvexen Präferenzrelation. (c) Eine Möglichkeit ist, einfach die Pfeile im Bild zu Teilaufgabe a) umzudrehen. Eine weitere Möglichkeit ist in Abbildung 3 dargestellt. 2. Nein, die Präferenzrelation kann nicht artig sein. Wäre die Präferenzrelation artig, so wäre sie streng konvex und streng monoton. Wegen strenger Konvexität müsste das Güterbündel 1 2 x + 1 y = (3, 3) 2 1

2 Abbildung 3: Indifferenzkurven zu einer Präferenzrelation, die weder konvex noch monoton ist. dem Güterbündel y (und auch x) streng vorgezogen werden. Aus strenger Monotonie der Präferenzrelation würde dann folgen, dass das Güterbündel z = (3, 4) dem Güterbündel (3, 3) streng vorgezogen wird. Also müsste (Transitivität der Präferenzrelation) z y gelten. Dieser Widerspruch zu der Annahme z y zeigt, dass die Präferenzrelation nicht artig sein kann. Siehe Abbildung 4. Abbildung 4: Liegen (2, 5), (3, 4) und (4, 1) auf einer Indifferenzkurve, kann die Präferenzrelation nicht artig sein. 3. Hinweis: Die Grenznutzen sind die partiellen Ableitungen der Nutzenfunktion. Um die partielle Ableitung nach x 1 zu bestimmen, betrachtet man x 2 als Konstante und bildet die Ableitung der resultierenden Funktion von x 1. Entsprechend bestimmt man die partielle Ableitung nach x 2, indem man x 1 als Konstante betrachtet und die Ableitung der resultierenden Funktion von x 2 bestimmt. Zur Abkürzung der Schreibweise werden in den Antworten auf diese Aufgabe die Grenznutzen mit u 1 (x 1, x 2 ) := u(x 1, x 2 ) und u 2 (x 1, x 2 ) := u(x 1, x 2 ) x 1 x 2 bezeichnet. Die Grenzrate der Substitution ist dann also jeweils durch gegeben. GRS(x 2, x 2 ) = u 1(x 1, x 2 ) u 2 (x 1, x 2 ) 2

3 (a) Die Grenznutzen sind Die Grenzrate der Substitution ist also u 1 (x 1, x 2 ) = a und u 2 (x 1, x 2 ) = 1. GRS(x 1, x 2 ) = a. Die Nutzenfunktion ist nicht artig, da die Grenzrate der Substitution konstant ist. Hinweis: Bei einer Nutzenfunktion der Form u(x 1, x 2 ) = ax 1 +bx 2 mit a > 0 und b > 0 (Im Beispiel gilt b = 1) sagt man, dass es sich bei den Gütern um perfekte Substitute handelt. (b) Es handelt sich um eine quasilineare Nutzenfunktion mit v(x 1 ) = 2a x 1. Die Grenznutzen sind u 1 (x 1, x 2 ) = v (x 1 ) = a und u 2 (x 1, x 2 ) = 1. x1 Die Grenzrate der Substitution ist also GRS(x 1, x 2 ) = a. x1 Die Nutzenfunktion ist artig, da beide Grenznutzen streng positiv sind und das Verhältnis der Grenznutzen (der Absolutwert der Grenzrate der Substitution) streng fallend in x 1 und unabhängig von x 2 ist. Abbildung 5: Niveaulinien der Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2. (c) Die Grenznutzen sind u 1 (x 1, x 2 ) = x 2 b und u 2 (x 1, x 2 ) = x 1 a. Die Grenzrate der Substitution ist also für x 1 = a nicht definiert und ansonsten durch GRS(x 1, x 2 ) = x 2 b x 1 a 3

4 gegeben. Die Nutzenfunktion ist nicht artig, da die Grenznutzen für x 1 < a bzw. für x 2 < b negativ sind. (d) Es handelt sich um eine quasilineare Nutzenfunktion mit v(x 1 ) = ln(x 1 + 1). Die Grenznutzen sind u 1 (x 1, x 2 ) = v (x 1 ) = 1 x und u 2(x 1, x 2 ) = 1. Die Grenzrate der Substitution ist also GRS(x 1, x 2 ) = 1 x Die Nutzenfunktion ist artig, da beide Grenznutzen streng positiv sind und das Verhältnis der Grenznutzen (der Absolutwert der Grenzrate der Substitution) streng fallend in x 1 und unabhängig von x 2 ist. 4. Mit der gleichen Notation fur die Grenznutzen wie in Aufgabe 3: sowie u 1 (x 1, x 2 ) = cx c 1 1 x d 2 und u 2 (x 1, x 2 ) = dx c 1x d 1 2 v 1 (x 1, x 2 ) = ax a 1 1 x 1 a 2 und v 2 (x 1, x 2 ) = (1 a)x a 1x a 2. Nun gilt per Annahme a = c/(c + d) und somit 1 a = d/(c + d) auch. Hieraus folgt die mittlere der folgenden Gleichungen, welche zeigen, dass die Verhältnisse der Grenznutzen übereinstimmen: x 2 x 2 u 1 (x 1, x 2 ) u 2 (x 1, x 2 ) = c = a = v 1(x 1, x 2 ) d x 1 1 a x 1 v 2 (x 1, x 2 ). 5. Es handelt sich um eine quasilineare Nutzenfunktion mit v(x 1 ) = a ln x 1. Da v (x 1 ) = a x 1 > 0, v (x 1 ) = a x 2 1 < 0, ist die Nutzenfunktion artig. (Siehe dazu auch Abbildung 6, welche die Niveaulinien der Nutzenfunktion für den Fall a = 1 darstellt.) Da es sich um eine artige quasilineare Nutzenfunktion handelt, gilt in einer inneren Lösung des Nutzenmaximierungsproblems v (x 1 ) = p 1 /p 2 und somit x 1 = ap 2 p 1 > 0. Setzt man diesen Wert von x 1 in die Budgetgerade ein, erhält man ap 2 + p 2 x 2 = m und somit x 2 = m p 2 a. Gilt m ap 2 ist dieser Wert von x 2 positiv, so dass die Lösung des Nutzenmaximierungsproblems identifiziert ist. Gilt hingegen m < ap 2, so übersteigen die Ausgaben für x 1 das Budget. In diesem Fall handelt es sich bei der Lösung des Nutzenmaximierungsproblems um eine Randlösung mit x 1 = m/p 1 und x 2 = 0, d.h. das gesamte Budget wird für Gut 1 ausgegeben. 4

5 Abbildung 6: Niveaulinien der Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = ln(x 1 ) + x 2. Die obige Fallunterscheidung kann man dadurch erfassen, dass man die Nachfragefunktion als schreibt. f 1 (p 1, p 2, m) = min{ap 2, m} p 1, f 2 (p 1, p 2, m) = max{ m p 2 a, 0} 6. (a) Die Einkommenselastizität beider Güter ist kontant gleich 1: ξ i (p, m) = 1. Insbesondere sind also beide Güter normal. (b) Für r < 1 ist p 1 r 2 steigend in p 2, so dass die Nachfrage von Gut 1 fällt, wenn der Preis von Gut 2 steigt. Also ist in diesem Fall Gut 1 ein Komplement für Gut 2. Entsprechend ist auch Gut 2 ein Komplement für Gut 1. Für r = 1 hängt die Nachfrage von Gut i nicht von dem Preis von Gut j i ab, so dass die Güter weder Komplemente noch Substitute für einander sind. Für r > 1 ist p 1 r 2 fallend in p 2, so dass die Nachfrage von Gut 1 steigt, wenn der Preis von Gut 2 steigt. Also ist in diesem Fall Gut 1 ein Substitut für Gut 2. Entsprechend ist auch Gut 2 ein Substitut für Gut Die Budgetidentität ist hier erfüllt: p 1 f 1 (p 1, p 2, m) + p 2 f 2 (p 1, p 2, m) = (m p 2 + 1) + (p 2 1) = m. Die Nachfragefunktion ist nicht homogen vom Grad Null in Preisen und Budget. Insbesondere gilt für t 1: f 2 (tp 1, tp 2, tm) = 1 1 tp 2 f 2 (p 1, p 2, m) = 1 1 p 2. 5

6 8. Da x 1 p 1 + x 2 p 2 = 95 < m = 100 gilt, ist das Güterbündel ( x 1, x 2 ) in der Budgetsituation erschwinglich, in der (x 1, x 2 ) nachgefragt wird. Resultiert das Nachfrageverhalten des Konsumenten aus der Maximierung einer artigen Nutzenfunktion u, so muss also gelten. Zugleich gilt aber auch u(x 1, x 2 ) > u( x 1, x 2 ) x 1 p 1 + x 2 p 2 = 112 < m = 116, so dass das Güterbündel (x 1, x 2 ) in der Bugetsituation erschwinglich ist, in der ( x 1, x 2 ) nachgefragt wird. Resultiert das Nachfrageverhalten des Konsumenten aus der Maximierung einer artigen Nutzenfunktion u, so müsste also auch u( x 1, x 2 ) > u(x 1, x 2 ) gelten. Da nur eine der beiden Ungleichungen u(x 1, x 2 ) > u( x 1, x 2 ) und u( x 1, x 2 ) > u(x 1, x 2 ) gelten kann, resultiert ein Widerspruch zu der Annahme, dass die Nachfragefunktion artig ist. 9. Auf Grund der Identität ɛ ii = ɛ ii θ i ξ i folgt aus den Angaben in der Aufgabenstellung ɛ ii = = 0.01 > 0, so dass die Eigenpreiselastizität der Nachfrage von Gut i streng positiv ist. Also ist das Gut Giffen. 10. (a) Die Präferenzrelation ist weder streng monoton (da z.b. u(3, 9) = u(3, 5) = 3 gilt, obgleich (3, 9) (3, 5) gilt ) noch streng konvex (alle Güterbündel zwischen (3, 5) und (3, 9) liefern ebenfalls den Nutzenwert 3) und damit sicherlich unartig. Zudem sind die Indifferenzkurven nicht differenzierbar (sie haben einen Knick an der Stelle, an dem die Menge der beiden Güter übereinstimmt). Siehe Abbildung 7. Abbildung 7: Perfekte Komplemente: Die Niveaulinien der Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = min{x 1, x 2 } sind L-förmig, wobei die Knickpunkte auf der Geraden x 1 = x 2 liegen. 6

7 (b) Löst man diese Gleichungen, erhält man: x 1 = Die Nachfragefunktion ist also f 1 (p 1, p 2, m) = m, x 2 = m. p 1 + p 2 p 1 + p 2 m p 1 + p 2, f 2 (p 1, p 2, m) = m p 1 + p 2. (c) Um die indirekte Nutzenfunktion zu bestimmen, setzt man das in der Budgetsituation (p, m) nachgefragte Güterbündel in die Nutzenfunktion sein. Also: U(p, m) = u(f(p, m)) = min{m/(p 1 + p 2 ), m/(p 1 + p 2 )} = m p 1 + p 2, so dass in diesem Beispiel die indirekte Nutzenfunktion mit der (für beide Güter identischen) nachgefragten Menge übereinstimmt. Um die Ausgabenfunktion zu bestimmen, kann man das Ausgabenminimierungsproblem lösen oder aber die Gleichung ū = U(p, m) nach m = E(p, ū) auflösen. Da hier die indirekte Nutzenfunktion bereits bestimmt ist, ist der zweite Weg einfacher: ū = m m = ū (p 1 + p 2 ), p 1 + p 2 so dass die Ausgabenfunktion ist. E(p, ū) = ū (p 1 + p 2 ) (d) Um die kompensierte Nachfragefunktion zu bestimmen, kann (i) man das Ausgabenminimierungsproblem lösen oder (ii) die Ausgabenfunktion für das Einkommen in die unkompensierte Nachfragefunktion einsetzen oder (iii) Shepards Lemma verwenden. Die zweite und dritte Möglichkeit setzen voraus, dass man die Ausgabenfunktion bereits bestimmt hat. Dieses ist hier der Fall und man erhält so oder so: h 1 (p, ū) = h 2 (p, ū) = ū. Dieses Ergebnis bedeutet einfach nur, dass in diesem Beispiel der billigste Weg das Nutzenniveau ū zu erreichen, darin besteht von beiden Gütern genau die Menge ū zu konsumieren. Da die kompensierte Nachfragefunktion hier unabhängig von den Preisen ist, ist die Substitutionselastizität beider Güter gleicht Null - es gibt keinen Substitutionseffekt. (e) Hier ist die kompensierende Variation zu bestimmen. In der Ausgangssituation wird das Nutzenniveau ū = U(2, 3, 120) = 120/5 = 24 erreicht. Setzt man dieses Nutzenniveau zusammen mit den Preisen in der neuen Situation in die Ausgabenfunktion ein, erhält man das Einkommen, das bei den neuen Preisen erforderlich ist, um das Nutzenniveau ū zu erreichen. Dieses ist: E(4, 3, 24) = 24 7 =

8 Die Differenz zwischen E(4, 3, 24) und dem tatsächlichen Einkommen von 120 ergibt die kompensierende Variation: CV = = 48. Da es in diesem Beispiel keinen Substitutionseffekt gibt, entspricht die erforderliche Einkommenskompensation gerade dem Betrag, der es dem Konsumenten ermöglicht, dass in der Ausgangssituation gewählte Güterbündel weiterhin nachzufragen. Da der Konsument in der Ausgangssituation f 1 (2, 3, 120) = 24 Einheiten von Gut 1 nachfragt und der Preis dieses Gutes um 2 Einheiten steigt, erhält man auf diesem Wege ebenfalls die Antwort, dass die erforderliche Einkommenskompensation 48 Geldeinheiten beträgt. 11. Es handelt sich um eine artige quasilineare Nutzenfunktion mit Zahlungsbereitschaft v(x 1 ) = 16 x 1. Da Gut 2 Numeraire ist, betrachten wir im Folgenden nur den Fall p 2 = 1. In einer inneren Lösung des Nutzenmaximierungsproblems gilt v (x 1 ) = p 1, also 8 = p 1 x 1 = 64. x1 Einsetzen von x 1 in die Budgetgleichung liefert die dazugehörige Menge x 2 : p p 1 + x 2 = m x 2 = m 64/p 1. Setzt man m = 200 sowie p 1 = 1 ein, erhält man (x 1, x 2 ) = (64, 136) als Lösung des Nutzenmaximierungsproblems. Entsprechend erhält man für p 1 = 4 das Güterbündel (x 1, x 2) = (4, 184) als Lösung des Nutzenmaximierungsproblems. Die Konsumentenrente bei p 1 = 1 ist kr(p 1 ) = v(x 1 ) p 1 x 1 = = = 64. Die Konsumentenrente bei p 1 = 4 ist kr(p 1) = v(x 1) p 1x 1 = = = 16. Der Verlust an Konsumentenrente auf Grund der Preisänderung ist also = (a) Da p t 1x b 1 + p t 2x b 2 = = = 1602 < m t 1 = 1620 gilt, kann sich die Konsumentin das Güterbündel, welches sie in 2008 konsumiert hat, in 2009 immer noch leisten. Also geht es ihr in 2009 besser. Beachte: Könnte sie sich das in 2008 gewählte Güterbündel in 2009 nicht mehr leisten, so kann daraus nicht ohne weiteres geschlossen werden, dass es ihr in 2008 besser ging. Ein solcher Schluss wäre ohne weitere Informationen über die Präferenzen nur möglich, wenn man wüsste, dass sie sich das in 2009 gewählte Güterbündel in 2008 leisten konnte. 8

9 (b) Im Jahr 2008 gibt die Konsumentin für beide Güter den gleichen Betrag, nämlich = = 800 aus. Die Budgetanteile der Güter sind also jeweils 1/2, so dass die Präferenzen der Konsumentin durch die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x 1 x2 mit dazugehöriger unkompensierter Nachfragefunktion f 1 (p 1, p 2, m) = m 2p 1 und f 2 (p 1, p 2, m) = m 2p 2 dargestellt werden können. In der Aufgabenstellung ist nach der kompensierenden Variation der Preisänderung gefragt. Um diese zu bestimmen, berechne man zunächst die indirekte Nutzenfunktion: U(p 1, p 2, m) = u(f(p, m)) = Die dazugehörige Ausgabenfunktion ist E(p 1, p 2, ū) = 2 p 1 p2 ū. m 2 p 1 p 2. In der Ausgangssituation verfügt die Konsumentin über ein Budget von m = 1600 und erreicht das Nutzenniveau ū = U(25, 16, 1600) = 1600/40 = 40. Um das gleiche Nutzenniveau im Jahr 2009 zu erreichen, benötigt die Konsumentin ein Einkommen in Höhe von E(36, 9, 40) = = (Zur Kontrolle kann man bemerken, dass die Konsumentin bei diesem Einkommen und den Preisen des Jahres 2009 das Güterbündel (20, 80) wählt und damit tatsächlich den Nutzen u(x 1, x 2 ) = 1600 = 40 erzielt.) 13. Der Konsument wird durch die Kopfsubvention besser gestellt. In der Ausgangssituation ohne jede Subventionen seien die Preise der beiden Güter durch (p 1, 1) gegeben; das Einkommen des Konsumenten sei m. Sei (x 1, x 2) das Güterbündel, welches der Konsument bei einer Mengensubvention von s > 0 pro Einheit von Gut 1 nachfragt. (Wie im Fall der Besteuerung ist unterstellt, dass die Einführung der Subvention den Preis p 1 unverändert lässt.) Für dieses Güterbündel gilt (p 1 s)x 1 + x 2 = m p 1 x 1 + x 2 = m + sx 1, wobei sx 1 die Subventionszahlung ist, die der Konsument erhält. Wird statt der Mengensubvention die Kopfsubvention S = sx 1 gezahlt, so gilt p 1 x 1 + x 2 = m + S, so dass das Güterbündel (x 1, x 2) bei Zahlung dieser Kopfsubvention erschwinglich ist. Hieraus folgt, dass der Konsument durch die Kopfsubvention besser gestellt wird. Dieses wird durch Abbildung 8 verdeutlicht. 9

10 Abbildung 8: Die Budgetgerade mit Kopfsubvention verläuft durch das Güterbündel (x 1, x 2) (rot markiert), welches der Konsument in der Situation mit Mengensubvention wählt. Dieses garantiert, dass der Konsument sich bei der Kopfsubvention zumindest gleich gut wie in der Situation mit Mengensubvention stellt. Im Regelfall wird sich der Konsument streng besser stellen, da er auf Grund des Substitutionseffekts bei der Kopfsubvention ein anderes Güterbündel (hier pink markiert) wählt. 10