Mathematik 1. ^A Springer. Albert Fetzer Heiner Fränkel. Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge

Transkript

1 Albert Fetzer Heiner Fränkel Mathematik 1 Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge Mit Beiträgen von Akad. Dir. Dr. rer. nat. Dietrich Feldmann Prof. Dr. rer. nat. Albert Fetzer Prof. Dr. rer. nat. Heiner Fränkel Prof. Dipl.-Math. Horst Schwarz t Prof. Dr. rer. nat. Werner Spatzek Prof. Dr. rer. nat. Siegfried Stief 9., bearbeitete Auflage Mit 316 Abbildungen ^A Springer

2 Inhalt 1 Mengen, reelle Zahlen Begriffe und Sprechweisen Mengenoperationen Die Menge der reellen Zahlen Grundgesetze der Addition und der Multiplikation Grundgesetze der Anordnung Eigenschaften der Vollständigkeit 12 Aufgaben Vollständige Induktion Summenschreibweise Vollständige Induktion bei Summenformeln Vollständige Induktion bei Ungleichungen Binomischer Satz 19 Aufgaben 22 2 Funktionen Grundbegriffe Einige spezielle Funktionen Umkehrfunktion und Verkettung von Funktionen 30 Aufgaben Eigenschaften von Funktionen 38 Aufgaben Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen 49 Aufgaben " Potenzfunktionen., Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Sinusfunktion und Kosinusfunktion Tangensfunktion und Kotangensfunktion Arcus-Funktionen 64 Aufgaben» 68

3 X Inhalt 3 Zahlenfolgen und Grenzwerte Definition und Eigenschaften von Folgen 70 Aufgaben Konvergente Folgen Grenzwert einer Folge Rechnen mit Grenzwerten 84 Aufgaben Monotone und beschränkte Folgen Konvergenzkriterium monotoner Folgen Die Eulersche Zahl e 96 Aufgaben Die e- und die ln-funktion 99 Aufgaben Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit Grenzwert von / für x-* oo 108 Aufgaben Grenzwert von / für x->x Definition des Grenzwertes von / für x -* x Einseitige Grenzwerte; Uneigentliche Grenzwerte Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen 130 Aufgaben Stetige und unstetige Funktionen Definition der Stetigkeit Klassifikation von Unstetigkeitsstellen Eigenschaften stetiger Funktionen 146 Aufgaben Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion 156 Aufgaben Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen 161 Aufgaben Spezielle Grenzwerte Die komplexen Zahlen Definition der Menge C 169 Aufgaben Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen 183 Aufgaben A 187

4 Inhalt XI 5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren 188 Aufgaben Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten Lineare Gleichungssysteme; das Gaußsche Eliminationsverfahren Vorbetrachtungen Das Gaußsche Eliminationsverfahren 200 Aufgaben Matrizen Grundbegriffe Addition und Multiplikation von Matrizen Die Inverse einer Matrix 216 Aufgaben Determinanten Definition der Determinante Eigenschaften der Determinanten Berechnung der Inversen einer regulären Matrix 228 Aufgaben Lineare Gleichungssysteme Allgemeines über die Lösungen von Gleichungssystemen Quadratische, lineare Systeme mit regulären Matrizen 237 Aufgaben Vektoren und ihre Anwendungen Vektoroperationen Vektoraddition Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl Das Skalarprodukt Das vektorielle Produkt Das Spatprodukt 263 Aufgaben Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems Lineare Abhängigkeit Komponentenschreibweise, Anwendung in der Geometrie Mehrfachprodukte Aufgaben Geometrische und Koordinaten-Transformationen Geometrische 3D-Transformationen Koordinatentransformationen 305 Aufgaben, 309

5 r XII Inhalt 7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen 310 Aufgaben Numerisches Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen Probleme bei der numerischen Behandlung Der QR-Algorithmus 333 Aufgaben Differentialrechnung Begriff der Ableitung Steigung einer Kurve Definition der Ableitung Einseitige und uneigentliche Ableitungen Anwendungen der Ableitung in den Naturwissenschaften 348 Aufgaben Ableitungsregeln Ableitung einiger Funktionen Differentiation einer Linearkombination von Funktionen Die Produktregel Die Quotientenregel Ableitung einer mittelbaren Funktion Ableitung der Umkehrfunktion Höhere Ableitungen 365 Aufgaben Ableitung elementarer Funktionen Ableitung der rationalen Funktionen Ableitung der trigonometrischen Funktionen und der Arcus-Funktionen Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion Ableitung der hyperbolischen Funktionen und der Area-Funktionen Aufgaben Das Differential einer Funktion Der Begriff des Differentials Anwendung in der Fehlerrechnung 383 Aufgaben Mittelwertsatz der Differentialrechnung Satz von Rolle Mittelwertsatz der Differentialrechnung * Die Taylorsche Formel Numerische Differentiation 401 Aufgaben Berechnung von Grenzwerten Regeln von Bernoulli-de l'hospital Anwendung auf weitere unbestimmte Formen 411 Aufgaben 413

6 Inhalt XIII.7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung Monotone Funktionen, Extremwerte Konvexität und Wendepunkt 422 Aufgaben Numerische Verfahren zur Lösung von Gleichungen Allgemeines Iterationsverfahren Das Iterationsverfahren von Newton Regula falsi 444 Aufgaben Integralrechnung Das bestimmte Integral Einführung Zerlegungen Definition des bestimmten Integrals Weitere Definitionen und Sätze über integrierbare Funktionen Flächeninhalt 468 Aufgaben Das unbestimmte Integral Integralfunktion Stammfunktion und unbestimmtes Integral 477 Aufgaben Integrationsmethoden Grundintegrale Grundformeln Partielle Integration Integration durch Substitution Tabelle unbestimmter Integrale 494 Aufgaben Uneigentliche Integrale Integrale über unbeschränkte Intervalle Integrale von nicht beschränkten Funktionen Die F-Funktion 508 Aufgaben Numerische Integration Vorbetrachtungen Spezielle Integrationsformeln Summierte Integrationsformeln 517 Aufgaben 525

7 XIV Inhalt Anhang Aufgabenlösung 526 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Literaturverzeichnis 611 Sachwortverzeichnis 613