K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung: Woche vom bis

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1 Übungsaufgaben 3. Übung: Woche vom bis Heft Ü1: 3.14 (c,d,h); 3.15; 3.16 (a-d,f,h,j); 3.17 (d); 3.18 (a,d,f,h,j) Übungsverlegung für Gruppe VIW 05: am Mo., 4.DS, SE2 / 022 (neuer Raum).

2 Funktionen (Grundbegriffe I) Eine Funktion f : D V ist eine Vorschrift, die jedem Element x aus D eindeutig ein Element y aus V zuordnet. Anstelle des Begriffs Funktion verwenden wir auch den gleichwertigen Begriff Abbildung. Um die Abhängigkeit des Bildes y von x auszudrücken schreibt man auch y = f(x). Die Menge D heißt Definitionsbereich der Funktion f und wird auch mit D(f) bezeichnet.

3 Funktionen (Grundbegriffe II) Für A D bezeichnen wir f(a) := {y V es gibt ein x A mit y = f(x)} als Bildmenge von A. Speziell heißt W := W (f) := f(d) Wertebereich oder Wertevorrat von f. Für B V wird f 1 (B) := {x D f(x) B} (vollständige) Urbildmenge von B genannt.

4 Funktionen (Grundbegriffe III) Eine Funktion f : D V heißt injektiv (eineindeutig), falls x y f(x) f(y) für beliebige x, y D gilt, surjektiv, falls W (f) = V, bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. Zwei Funktionen f : D(f) V (f) und g : D(g) V (g) sind genau dann gleich, wenn D(f) = D(g) und f(x) = g(x) für alle x D(f).

5 Sei D R. Dann heißt eine Funktion f : D R reellwertige Funktion einer reellen Veränderlichen. θ θ t Abb. 2.1: Temperaturmessreihe diskret t Abb. 2.2: Messreihe linear interpoliert

6 Graph einer Funktion f : R R Die Menge der Wertepaare graphf := {(x, y) R 2 y = f(x), x D}, heißt Graph der Funktion f. Bemerkung: Der Graph einer rellwertigen Funktion ist die einfachste Möglichkeit, eine Kurve im R 2 (mathematisch) zu beschreiben (Kontur, Schnitt von Werkstücken). Später: parametrische Beschreibung, implizite Darstellung.

7 Umkehrfunktion (Buch, Kap. 2.1) Sei f : D V bijektiv (eineindeutig). Dann ordne man jedem y V dasjenige x D mit y = f(x) zu. Die so definierte Abbildung f 1 : V D heißt Umkehrfunktion, Umkehrabbildung oder inverse Funktion von f. Die Umkehrfunktion f 1 ist wie die Ausgangsfunktion f bijektiv. Die Umkehrfunktion von f 1 ist f, d.h., ( f 1 ) 1 = f.

8 Abb. 2.5: f : [0, ) [0, ), f 1 : [0, ) [0, ) Der Graph von f 1 und der Graph von f liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x.

9 Abb. 2.6: Funktion und Umkehrfunktion Bestimmung der Umkehrfunktion Sei f : D V bijektiv. 1) Löse y = f(x) nach x auf x = f 1 (y) 2) Vertausche x mit y y = f 1 (x) (Achtung: Nicht immer explizit möglich(!))

10 Verkettung (Komposition) von Funktionen Seien die Funktionen f : A B und g : C D mit B C gegeben. Die durch h(x) := g(f(x)) für alle x A definierte Abbildung h : A D wird als Verkettung oder Komposition (Nacheinanderausführung, Zusammensetzung) der Funktionen f und g bezeichnet. Kurz schreibt man h := g f.

11 Elementare Eigenschaften von Funktionen Für relle Funktionen f : D R R (Buch, Kap. 2.2) Beschränktheit Monotonie (nur für f : R R) Konvexität und Konkavität Gerade und ungerade Funktionen (nur für f : R R) Periodische Funktionen (nur für f : R R)

12 Beschränktheit (Buch, Def. 2.4) Eine Funktion f : D R heißt auf der Menge M D beschränkt, wenn es eine Konstante c R, 0 < c < gibt, so dass f(x) c für alle x M. f heißt auf M nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke b o R, b o < gibt, so dass f(x) b o für alle x M. f heißt auf M nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke b u R, b u > gibt, so dass f(x) b u für alle x M.

13 Monotonie (Buch, Def. 2.5) Sei I ein Intervall mit I D R. Dann heißt f : D R monoton steigende Funktion auf I, falls x < y f(x) f(y) für alle x, y I, streng monoton steigende Funktion auf I, falls x < y f(x) < f(y) für alle x, y I, monoton fallende Funktion auf I, falls x < y f(x) f(y) für alle x, y I, streng monoton fallende Funktion auf I, falls x < y f(x) > f(y) für alle x, y I.

14 Konvexität und Konkavität (Buch, Def. 2.6) Sei D R und f : D R. Dann heißt f auf dem Intervall I D konvex (von unten), wenn f(αx + (1 α)y) αf(x) + (1 α)f(y) für alle x, y I und α [0, 1] gilt. f heißt konkav (von unten), wenn f(αx + (1 α)y) αf(x) + (1 α)f(y) für alle x, y I und α [0, 1] gilt. Gilt in den Ungleichungen sogar < bzw. > für alle x, y mit x y und alle α (0, 1), so heißt f auf I streng konvex (von unten) bzw. streng konkav (von unten).

15 y y f(b) f(x) f(b) f(a) f(x) f(a) a b x a b x Abb. 2.8: f ist streng konvex Abb. 2.9: f ist streng konkav

16 Gerade und ungerade Funktionen Die Menge D R sei symmetrisch bezüglich x = 0, d.h. aus x D folgt x D für alle x D. Dann heißt f : D R gerade Funktion, falls f(x) = f( x) für alle x D, ungerade Funktion, falls f(x) = f( x) für alle x D.

17 f(x) = e x als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion Buch, Kap. 2.2, Abb Jede Funktion f : D R mit um 0 symmetrischem Definitionsbereich D R kann als Summe einer geraden Funktion g : D R und einer ungeraden Funktion u : D R geschrieben werden: g(x) := 1 2 (f(x) + f( x)), u(x) := 1 2 (f(x) f( x)), f(x) = g(x) + u(x).

18 Periodische Funktionen Eine Funktion f : D R heißt periodisch, falls eine Zahl α > 0 existiert, so dass x D x + α D und f(x + α) = f(x) für alle x D gilt. Die Zahl α heißt Periode der Funktion f. Die kleinste Periode einer Funktion f nennt man primitive Periode von f.

19 Elementare Funktionen (Buch, Kap. 2.3) Ganze und gebrochen rationale Funktionen (Polynome und Polynomenbrüche ) Exponential- und Logarithmusfunktion Potenzfunktionen (y = y(x) = x ν, ν R) Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen Transzendente Funktion: Es existiert keine algebraische Berechnungsvorschrift für f(x) (x D(f) R beliebig) mit endlich vielen Elementaroperationen.

20 Gebrochen rationale Funktionen n m Polynome: q n (x) = a k x k, p m (x) = b k x k, n, m N k=0 k=0 a k, b k R, a n 0, b m 0. n, m: Grad des Polynoms Gebrochen rationale Funktion: h(x) := q n(x) p m (x) = n k=0 a kx k m k=0 b kx k m > n: Echt gebrochen rationale Funktion l m < n: h(x) = t n m (x) + r(x) p m (x), r(x) = r k x k, l < m k=0 (h(x) besitzt nichttrivialen ganzen Anteil) Beispiel: h(x) := 5x5 + 2x 3 2x 1 x = 5x 3 3x + x 1 x 2 + 1

21 Exponentialfunktion(en) 0 < a 1 sei gegeben (Basis) f(x) := a x für alle x D := R Wertebereich: W = R >0 := {x R x > 0} = (0, ) Die e-funktion e := Eulersche Zahl f(x) := e x für alle x D := R

22 Logarithmusfunktion(en) (Kap. 2.3, Abb. 2.12) als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen y y = e x y = 2 x y = log 2 x 1 y = lnx 1 x e ln x = x für alle x (0, ) ln(e x ) = x für alle x R

23 Logarithmusfunktion 0 < a 1 sei gegeben log a x := y, wobei a y = x für alle x (0, ) Wertebereich: W = R Der natürliche Logarithmus ln x := log e x

24 Rechenregeln a x a y = a x+y a x a y = a x y (a x ) y = a x y (a b) x = a x b x log a (u v) = log a u + log a v log a ( u v ) = log a u log a v log a (u v ) = v log a u log a u = log a b log b u

25 Herleitung der 4. Logarithmusregel Bezeichnungen: log a u = y 1 a y 1 = u, (1) log a b = y 2 a y 2 = b, (2) log b u = y 3 b y 3 = u, (3) (2), (3) ( a y 2) y3 = u = a y 1, wegen (1). Aufgrund der Potenzgesetze gilt somit: y 1 = y 2 y 3, q.e.d. Spezialfall: Mit a = u folgt 1 = log a b log b a, bzw. log a b = 1/ log b a.

26 Winkelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen Funktion umkehrbar Umkehr- Definitionsin funktion bereich sin x [ π 2, π 2 ] arcsin x [ 1, 1] cos x [0, π] arccos x [ 1, 1] tan x ( π 2, π 2 ) arctan x R cot x (0, π) arccot x R

27 Hyperbelfunktionen y y = cosh x 1 0 x y = sinh x Abbildung 2.13 (Buch Kap. 2.3) sinh x := ex e x 2 cosh x := ex + e x 2

28 y b 0 a x Hyperbel (ein Ast) Buch Kap. 2.3, Abb ( x a Lösungsmenge der Hyperbel Gleichung in Parameterdarstellung ) 2 ( y b ) 2 = 1 (x(t), y(t)) := (a cosh t, b sinh t), < t <

29 Areafunktionen Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen Funktion Umkehr- Darstellung Definitionsfunktion der Umkehrfunktion bereich sinh x arsinh x = ln(x + x 2 + 1) R cosh x arcosh x = ln(x + x 2 1) [1, ) x 0 1+x tanh x artanh x = ln 1 x ( 1, 1) x+1 coth x arcoth x = ln x 1 R \ [ 1, 1] x 0

30 Grenzwerte und Stetigkeit (Buch Kap. 2.4) y 2 1 f(x) = p 4 (x) x Abb : Frage nach der Existenz von Nullstellen

31 Motivation (Buch, Kap. 2.4, Abb. 2.17) Ziel: Erreichung einer vorgegebenen Temperaturtoleranz Ω (stufenlos) regelbarer Ohmscher Widerstand f(ω) Temperatur des Widerstandes