Kurt Meyberg Peter Vachenauer. Höhere Mathematik 1. Differential- und Integralrechnung Vektor- und Matrizenrechnung

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1 Kurt Meyberg Peter Vachenauer Höhere Mathematik 1 Differential- und Integralrechnung Vektor- und Matrizenrechnung Vierte, korrigierte Auflage Mit 450 Abbildungen Springer

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Zahlen und Vektoren 1 1. Mengen und Abbildungen Mengen Mengenoperationen Abbildungen 2. Die reellen Zahlen Bezeichnungen Ungleichungen Intervalle Schranken Der Betrag Die vollständige Induktion Binomialkoeffizienten und die binomische Formel - 3. Die Ebene Kartesische Koordinatensysteme Winkel Sinus, Cosinus Drehungen 4. Vektoren Kartesische Koordinatensysteme im Raum Vektoren Die Addition von Vektoren Die skalaren Vielfachen eines Vektors Der Betrag Vektoren im Koordinatensystem 5. Produkte Der Winkel zwischen zwei Vektoren Das Skalarprodukt Das Vektorprodukt Das Spatprodukt - 6. Geraden und Ebenen Parameterdarstellungen einer Geraden Die Koordinatengleichungen einer Geraden Die Momentengleichung der Geraden Abstand Punkt-Gerade Abstand Gerade-Gerade Parameterdarstellungen einer Ebene Parameterfreie Darstellungen einer Ebene Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen Die Winkel zwischen zwei Ebenen und zwischen einer Ebene und einer Geraden - 7. Gebundene Vektoren Gebundene Vektoren Ein System gebundener Vektoren Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren - 8. Die komplexen Zahlen Die Menge der komplexen Zahlen Die vier Grundrechenarten in C Die Konjugation und der Betrag komplexer Zahlen Anwendungen

3 VIII Inhaltsverzeichnis Kapitel 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit Funktionen (Grundbegriffe) Funktionen Monotonie Das Rechnen mit Funktionen 2. Polynome und rationale Funktionen Polynome Polynomnullstellen - Faktorisierung Polynominterpolation Der Graph Rationale Funktionen, Polynomdivision Der Definitionsbereich D Ergänzung: Polynome über C - 3. Die Kreisfunktionen Definition und einfache Eigenschaften Die Tangens- und Cotangensfunktion Die Polardarstellung komplexer Zahlen Anwendungen der De Moivre-Formeln Harmonische Schwingungen - 4. Zahlenfolgen und Grenzwerte Folgen Definition des Grenzwerts; konvergente Zahlenfolgen 5. Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien Rechenregeln Grenzwertbestimmung durch Abschätzung Monotone Folgen Die Exponentialfunktion Für Fortgeschrittene: Das Cauchy-Konvergenzkriterium - 6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit Definitionen Die 6 elementaren Methoden der Grenzwertbestimmung Asymptoten Stetigkeit - Kapitel 3. Differentiation Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion Die Definition der Ableitung Die geometrische Deutung der Ableitung: Tangentenanstieg Die analytische Deutung der Ableitung: Lineare Approximation Die physikalische Deutung der Ableitung: Geschwindigkeit Stetigkeit ist notwendig für Differenzierbarkeit 1.6 Differentiationsregeln Die Differentiation der Polynome und der rationalen Funktionen Die Ableitung der Kreisfunktionen Die Kettenregel Höhere Ableitungen - 2. Anwendungen der Differentiation Maxima und Minima einer Funktion Der Mittelwertsatz Wendepunkte Die Regeln von De L'Hospital Kurvendiskussion Nullstellen und Fixpunkte Kubische Splines -

4 Inhaltsverzeichnis 3. Umkehrfunktionen Grundlagen n-te Wurzel, rationale Exponenten Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens - 4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion Die e-funktion Die Kurve y = e x Exponentiell wachsende bzw. fallende Prozesse Der natürliche Logarithmus Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen Die Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh - Kapitel 4. Integration Das bestimmte Integral Die Definition des bestimmten Integrals Die geometrische Deutung Elementare Integrationsregeln und der Mittelwertsatz Differentiation und Integration - 2. Integrationsregeln Linearität Partielle Integration Die Substitutionsmethode Symmetrien beachten Ausblicke - 3. Die Integration der rationalen Funktionen Die Partialbruchzerlegung Die Integration Die Integration von R(e x ) Die Integration von R[x, \ -r- ), ae bc =/= Die Integration von K(sinx, cosx) Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen - 4. Uneigentliche Integrale Die Definition der uneigentlichen Integrale Ein Konvergenz- Test Ein an beiden Grenzen uneigentliches Integral Ausnahmestellen im Innern des Integrationsintervalls - 5. Kurven, Längen- und Flächenmessung Die Parameterdarstellung Tangente und Normale Kurvenlänge Krümmung und Krümmungskreis Die Polardarstellung einer ebenen Kurve Flächeninhalte - 6. Weitere Anwendungen des Integrals Abkürzende Redeweisen Das Volumen eines Rotationskörpers Die Mantelfläche - 7. Numerische Integration 206

5 X Inhaltsverzeichnis Kapitel 5. Potenzreihen Unendliche Reihen Grundbegriffe Absolute Konvergenz - 2. Reihen von Funktionen Gleichmäßige Konvergenz Gleichmäßig konvergente Funktionenreihen - 3. Potenzreihen Der Konvergenzradius Berechnung des Konvergenzradius Die Differentiation und Integration von Potenzreihen Die Potenzreihendarstellung einiger Funktionen Die Binomialreihe Potenzreihen mit dem Zentrum a ^ Koeffizientenvergleich - 4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen Die Taylor-Formel Die Taylor-Reihe Methoden der Reihenentwicklung - 5. Anwendungen (an Beispielen) Grenzwertberechnungen Näherungsformeln (Approximation) Die Reihendarstellung und Berechnung einer Integralfunktion mit nicht elementar integrierbarem Integranden Potenzreihenansatz zur Lösung einfacher Differentialgleichungen - Kapitel 6. Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Was ist eine Matrix? Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Zahlenfaktor Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Gaußsche Lösungsverfahren - 2. Die Matrizenmultiplikation Zeile mal Spalte" Die Multiplikation zweier Matrizen Rechenregeln Die Transponierte einer Matrix Invertierbare Matrizen Diagonal- und Dreiecksmatrizen - 3. Vektorräume Der abstrakte" Vektorraum Unterräume, Linearkombinationen, lineare Hülle Basis und Dimension - 4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen Zeilenraum und Spaltenraum Elementarmatrizen Der Rang und die P-ß-Normalform Rechen verfahren -

6 Inhaltsverzeichnis XI 5. Determinanten Einführung Definition der Determinante einer n x n-matrix Rechenregeln für Determinanten Die Entwicklung von det A nach einer beliebigen Zeile oder Spalte Beispiele Anwendungen - 6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte Lineare Abbildungen V = W = R" Längen und Winkel im 1R" ; Orthogonalität Speziell: Spiegelungen und Drehungen Das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren Basiswechsel, Koordinatentransformation Eigenwerte, Eigenvektoren Die orthogonale Gruppe - 7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Quadratische Formen Die Hauptachsentransformation Quadriken Die nichtorthogonale Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix Positiv definite Matrizen - Kapitel 7. Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation Kurven im R" Parameterdarstellungen Das begleitende Dreibein, Krümmung, Torsion Ergänzung: Der natürliche Parameter und die Frenetschen Formeln - 2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher Grundlagen Grenzwerte und Stetigkeit Partielle Ableitungen, der Gradient Die totale Ableitung und lineare Approximation Einfache Anwendungen Die Richtungsableitung, der Anstieg und die Kettenregel - 3. Anwendungen der Differentiation Die Bedeutung des Gradienten Approximation höherer Ordnung; die Taylor-Formel Implizite Funktionen Lokale Minima und Maxima Ausgleichsrechnung Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen - 4. Vektorwertige Funktionen Die Differentiation Die Kettenregel Räumliche Skalarenund Vektorfelder Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace- Operator -

7 XII Verzeichnis der Programme Kapitel 8. Funktionen in mehreren Variablen: Integration Parameterintegrale Parameterintegrale - 2. Kurvenintegrale Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion Anwendungen Die Integration eines Vektorfeldes längs einer Kurve Anwendungen und Beispiele Das Potential eines Gradientenfeldes Die praktische Bestimmung eines Potentials (n = 3) - 3. Die Integration über ebene Bereiche Der Flächeninhalt Definition und einfache Eigenschaften des Doppelintegrals Die Berechnung des Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten Weitere Anwendungen und Beispiele Der Satz von Green - 4. Die Integration über Flächen im Raum Parameterdarstellungen Beispiele Der Flächeninhalt Das Oberflächenintegral einer skalaren Funktion Die Transformationsformel für Gebietsintegrale Das Oberflächenintegral eines Vektorfeldes Der Satz von Stokes - 5. Die Integration über dreidimensionale Bereiche Definition und einfache Eigenschaften des Dreifachintegrals Einfache Anwendungsbeispiele Die Transformationsformel für Volumenintegrale Der Divergenzsatz Einige Anwendungen der Integralsätze Orthogonale krummlinige Koordinaten - Literaturverzeichnis 505 Anhang: Pascal-Programme 507 Namen- und Sachverzeichnis 517 Verzeichnis der Programme 1. Programm HORNER 63 Auswertung eines Polynoms mit dem Horner-Schema 2. Programm HORNER vollstaendig 63 Entwicklung eines Polynoms nach Potenzen von x b