Kapitel 16. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben

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1 Kapitel 16 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ist das Produkt quadratischer oberer bzw. unterer Dreiecksmatrizen wieder eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix? Aufgabe 16.2 Bekanntlich gilt im Allgemeinen A B = B A für n n-matrizen A und B. Gilt det(ab) = det(ba)? Aufgabe 16.3 Hat eine Matrix A R n n mit n 2N + 1 und A = A T die Determinante 0? Aufgabe 16.4 Gilt für invertierbare Matrizen A, B K n n ad(ab) = ad(b) ad(a)? Aufgabe 16.5 Ist das Produkt symmetrischer Matrizen stets wieder eine symmetrische Matrix? Aufgabe 16.6 Ist das Inverse einer invertierbaren symmetrischen Matrix wieder symmetrisch? Aufgabe 16.7 Folgt aus der Invertierbarkeit einer Matrix A stets die Invertierbarkeit der Matix A T? Aufgabe 16.8 Wir betrachten eine Blockdreiecksmatrix, d. h. eine Matrix der Form ( ) A C M = K n n, 0 B wobei 0 K (n m) m die Nullmatrix ist und A K m m, C K m (n m), B K (n m) (n m) sind. Zeigen Sie: det M = det A det B. Rechenaufgaben Aufgabe 16.9 Berechnen Sie alle möglichen Matrizenprodukte mit jeweils zwei der Matrizen ( ) A =, B = 0 4, ( ) C = , D = Aufgabe Gegeben sind drei Matrizen A, B, C R 3 3 mit der Eigenschaft AB = C, ausführlich a b c 13 a b 22 2 = 4 3 c 23. a b c 33 Man ergänze die unbestimmten Komponenten.

2 Aufgaben zu Kapitel Aufgabe Sind die folgenden Matrizen invertierbar? Bestimmen Sie gegebenenfalls das Inverse A = 1 1 2, B = R 3 3, C = , D = R Aufgabe Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge L = 1 0 0, 1 R 3 ist. 1 1 Aufgabe Bestimmen Sie eine LR-Zerlegung der Matrix 1/2 1/3 1/4 1/5 A = 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 1/5 1/6 1/7 1/8 und mit deren Hilfe die Determinante det A. Aufgabe Vervollständigen Sie die folgende Matrix A so, dass A R 3 3 eine orthogonale Matrix ist: 1/2 1/ 2 A = 1/2 1/2 1/ 2 Aufgabe Berechnen Sie die Determinanten der folgenden reellen Matrizen: A = , B = Aufgabe Berechnen Sie die Determinante der reellen n n-matrix d 1 A =. d d n... Anwendungsprobleme Aufgabe Für ein aus drei produzierenden Abteilungen bestehendes Unternehmen hat man durch praktische Erfahrung die folgenden Matrizen P R 3 3 für die Produktherstellung und R R 3 3 für die Rohstoffverteilung ermittelt: P = und R =

3 248 Aufgaben zu Kapitel 16 (a) Welche Nachfrage v kann das Unternehmen befriedigen, wenn die Gesamtproduktion g durch g = bei Auslastung aller Maschinen vorgegeben ist? Welcher Rohstoffverbrauch r fällt dabei an? (b) Durch eine Marktforschung wurde der Verkaufsvektor v = 54 ermittelt. Welche Gesamtproduktion 36 g ist nötig, um diese Nachfrage zu befriedigen? Mit welchem Rohstoffverbrauch r ist dabei zu rechnen? 200 (c) Nun ist die Rohstoffmenge r = 100 vorgegeben. Welche Gesamtproduktion g kann erzielt werden? 200 Welche Nachfrage v wird dabei befriedigt? Aufgabe In einer Population von Ameisen kann man Individuen mit drei verschiedenen Markmalen m 1, m 2 und m 3 unterscheiden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Merkmal m i auf das Merkmal m j bei einem Fortpflanzungszyklus übergeht, bezeichnen wir mit p ij. Diese Zahlen sind in der Tabelle 16.2 gegeben. Tabelle 16.2 Die Übergangswahrscheinlichkeiten der Merkmale m 1, m 2, m 3. m 1 m 2 m 3 m m m Diese Zahlen bilden eine sogenannte stochastische Matrix P = (p ij ) R 3 3. (a) Wie groß ist der Anteil der drei Merkmale nach einem Zyklus, wenn am Anfang Gleichverteilung vorliegt? (b) Welche Anfangsverteilung der drei Merkmale ändert sich nach einem Zyklus nicht? Aufgabe Für die Bewegungsgleichungen der beiden in der Abbildung skizzierten Massen m 1 und m 2 gilt ( ) m 1 ẍ 1 = (k 1 + k 2 )x 1 + k 2 x 2 m 2 ẍ 2 = k 2 x 1 (k 2 + k 3 )x 2 mit den Federkonstanten k 1,k 2,k 3 > 0. k 1 k 2 k 3 m 1 m 2 x 1 x 2 Abbildung Zwei Massen m 1 und m 2 sind mit Federn an einer Wand befestigt und miteinander mit einer weiteren Feder verbunden. Die Federkonstanten sind k 1, k 2 und k 3. Bestimmen Sie mit dem Ansatz z 1 (t) x 1 (t) z = z 2 (t) z 3 (t) = ẋ 1 (t) x 2 (t) z 4 (t) ẋ 2 (t)

4 Hinweise zu Kapitel eine Matrix A mittels der sich das Differenzialgleichungssystem ( ) als Differenzialgleichungssystem ż = A z 1. Ordnung formulieren lässt. Hinweise Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Man prüfe dies an oberen und unteren 2 2-Matrizen nach und verallgemeinere die Beobachtung. Aufgabe 16.2 Man beachte den Determinantenmultiplikationssatz auf Seite 550. Aufgabe 16.3 Man beachte die Regeln in der Übersicht auf Seite 551. Aufgabe 16.4 Man beachte die Formel auf Seite 553. Aufgabe 16.5 Prüfen Sie, ob (AB) T = ABfür alle symmetrischen 2 2-Matrizen A und B gilt. Aufgabe 16.6 Prüfen Sie, ob für eine symmetrische Matrix A die Gleichung (A 1 ) T = (A T ) 1 gilt. Aufgabe 16.7 Beachte die Übersicht auf Seite 551. Aufgabe 16.8 Führen Sie Zeilenumformungen an der Matrix M durch. Rechenaufgaben Aufgabe 16.9 Berechnen Sie AB, AC, BA, CB, BD, DAund CC, DD. Aufgabe Führen Sie die Multiplikation durch und vergleichen Sie die Komponenten. Aufgabe Man verwende das auf Seite 529 beschriebene Verfahren. Aufgabe Das Gleichungssystem ist homogen, besteht nur aus einer Zeile und hat drei Unbekannte. Aufgabe Verwenden Sie den ab Seite 539 beschriebenen Algorithmus. Aufgabe Die Spalten bzw. Zeilen einer orthogonalen Matrix haben die Länge 1 und stehen senkrecht aufeinander. Aufgabe Verwenden Sie die Regeln in der Übersicht auf Seite 551. Aufgabe Unterscheiden Sie nach den Fällen n gerade und n ungerade. Anwendungsprobleme Aufgabe Man beachte die Anwendung auf Seite 532. Aufgabe Keine Veränderung der Verteilung heißt, dass nach einem Zyklus die Verteilung gleich ist. Machen Sie einen entsprechenden Ansatz. Aufgabe Beachten Sie die Methoden in der Anwendung auf Seite 524.

5 250 Lösungen zu Kapitel 16 Lösungen Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ja. Aufgabe 16.2 Ja. Aufgabe 16.3 Ja. Aufgabe 16.4 Ja. Aufgabe 16.5 Nein. Aufgabe 16.6 Ja. Aufgabe 16.7 Ja. Aufgabe 16.8 Rechenaufgaben ( ) ( ) Aufgabe 16.9 AB =, AC =, BA = , CB = 2 6, ( ) ( ) BD= , DA=, CC= , DD= Aufgabe A = 2 1 3, B = 0 2 2, C = Aufgabe Die Matrizen A, B, C sind invertierbar, die Matrix D nicht. Es gilt A 1 = /4 1/ , B 1 = 1 1/2 0, C 1 = /4 1/ Aufgabe x 1 + x 2 + x 3 = 0. Aufgabe ( ) 2/ A = 1/2 6/ /5 6/5 12/7 1 }{{} =:L 1 det A = /2 1/2 1/ 2 Aufgabe A = 1/2 1/2 1/ 2 1/ 2 1/. 2 0 Aufgabe det A = 21, det B = 0. Aufgabe det A = ( 1) n(n 1) 2 d 1 d 2...d n. ( 1/2 1/3 1/4 1/5 0 1/36 1/30 1/ /600 1/ /9 800 ) } {{ } =:R,

6 Lösungswege zu Kapitel Anwendungsprobleme Aufgabe (a) v = , r = 231 ; (b) g = 570, r = Aufgabe (a) 15 : 8 : 7. (b) 28 : 10 : Aufgabe A = m 1 (k 1 + k 2 ) 0 m 1 k R m 2 k 2 0 m 1 2 (k 2 + k 3 ) ; (c) g = 918 Lösungswege Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Die Aussage stimmt. Wir betrachten zwei Matrizen A, B K n n. Sind beide Matrizen obere Dreiecksmatrizen, so haben der i-te Zeilenvektor z i von A und der j-te Spaltenvektor s j von A die Gestalt b j1.. z i = (0,..., 0, a ii,..., a in ) und s j = b jj Also gilt für i>jdie Gleichung z i s j = 0, und damit hat die Matrix ABunterhalb der Diagonalen, d. h. an den Stellen (i, j) mit i>j, nur Nullen als Komponenten, da an diesen Stellen die Produkte von z i mit s j stehen. Für untere Dreiecksmatrizen schließt man analog. Aufgabe 16.2 Die Aussage stimmt. Mit dem Determinantenmultiplikationssatz auf Seite 550 gilt nämlich det(ab) = det A det B = det B det A = det(ba). Aufgabe 16.3 Ja, denn mit den Regeln auf Seite 551 gilt sodass also det A = det A, d.h.deta = 0 gilt. det A = det( A T ) = ( 1) n det A = det A, Aufgabe 16.4 Die Aussage stimmt. Es gilt nämlich: ad(ab) = (AB) 1 det(ab) = B 1 A 1 det A det B = det BB 1 det AA 1 = ad(b) ad(a)

7 252 Lösungswege zu Kapitel 16 Aufgabe 16.5 Die Aussage ist falsch. Das Produkt ABder symmetrischen Matrizen A = ( ) 1 0 und B = ist nämlich nicht symmetrisch. 0 1 ( ) Aufgabe 16.6 Weil die Einheitsmatrix symmetrisch ist, gilt für jede invertierbare Matrix A K n n (A 1 A) T = E T n = E n, also A T (A 1 ) T = E n, sodass (A T ) 1 = (A 1 ) T gilt. Ist A zudem symmetrisch, gilt also A T = A, so folgt also Also ist A 1 wieder symmetrisch. (A 1 ) T = (A T ) 1 = A 1. Aufgabe 16.7 Weil A invertierbar ist, gilt det A = 0. Aus det A = det A T folgt det A T = 0. Dies wiederum besagt, dass A T invertierbar ist, also ist die Aussage richtig. Aufgabe 16.8 Durch Zeilenumformungen an M macht man A zu einer oberen Dreiecksmatrix A. Dabei bleibt B unverändert, und aus C wird dabei C. Ist k die Anzahl der dabei ausgeführten Zeilenvertauschungen, so gilt det A = ( 1) k det A. Nun mache man B durch Zeilenumformungen an M zu einer oberen Dreiecksmatrix B. Dabei bleiben A und C unverändert. Ist l die Anzahl der dabei ausgeführten Zeilenvertauschungen, so gilt det B = ( 1) l det B. Damit haben wir nun insgesamt eine obere Dreiecksmatrix ( M A C = ) 0 B K n n konstruiert. Nach den Regeln in der Übersicht auf Seite 551 gilt det M = det A det B. Wegen det M = ( 1) k+l det M folgt die Behauptung. Rechenaufgaben Aufgabe 16.9 Zwei Matrizen sind nur dann miteinander multiplizierbar, wenn der erste Faktor des Produktes so viele Spalten wie der zweite Faktor Zeilen hat. Damit erhalten wir die folgenden Produkte: ( ) ( ) AB =, AC =, BA = , CB = 2 6, BD = 0 16, ( ) ( ) DA=, CC= , DD= Aufgabe Wir führen die Multiplikation der Matrix A mit B durch und erhalten die Gleichung: 2 a 11 a 11 b b b a 11 2 a 21 a 21 b 12 + b b a 21 2 a 31 a 31 b 12 b 22 2 b a c 13 = 4 3 c c 33

8 Lösungswege zu Kapitel Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn sie gleich viele Zeilen und Spalten haben und komponentenweise übereinstimmen. Da beide Matrizen gleich viele Zeilen und Spalten haben, führen wir nun einen Vergleich der Komponenten durch. Dies sind neun Gleichungen: 2 a 11 = 2 2 a 21 = 4 2 a 31 = 0 a 11 b b b 32 = 3 a 21 b 12 + b b 32 = 3 a 31 b 12 b 22 2 b 32 = a 11 = c a 21 = c a 31 = c 33 Aus diesem (nicht-linearen) Gleichungssystem erhalten wir der Reihe nach a 11 = 1, a 21 = 2, a 31 = 0 und hieraus, indem wir diese Werte in die rechten drei Gleichungen einsetzen, c 13 = 11, c 23 = 10, c 33 = 6. Nun setzen wir diese sechs bekannten Werte in die mittleren drei Gleichungen ein und erhalten das lineare Gleichungssystem b b b 32 = 3 2 b 12 +b b 32 = 3 b 22 2 b 32 = 0 mit der eindeutig bestimmten Lösung b 12 = 2, b 22 = 2, b 32 = Also gilt A = 2 1 3, B = 0 2 2, C = Aufgabe Wir wenden das Verfahren an, das auf Seite 529 beschrieben wurde. Für die Matrix A erhalten wir:

9 254 Lösungswege zu Kapitel Es ist also A invertierbar und A 1 = Für die Matrix B erhalten wir: Also ist B invertierbar und /4 1/2 B 1 = 1 1/ /4 1/2

10 Lösungswege zu Kapitel Bei der Matrix C gehen wir analog vor: Es ist also C invertierbar und C 1 = Bei der Matrix D wird das Verfahren abbrechen. Denn die Summe der ersten drei Zeilen ergibt die vierte Zeile. Also sind die Zeilen linear abhängig, sodass beim Anwenden von elementaren Zeilenumformungen eine Nullzeile entstehen wird. Wir führen das Verfahren dennoch durch: Es ist also D nicht invertierbar, da rg D = 3 gilt Aufgabe Das gesuchte lineare Gleichungssystem muss homogen sein, da der Nullvektor eine Lösung ist. Weil die Dimension des Lösungsraumes 2 ist und die Lösungen im R 3 liegen, muss die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems den Rang 1 (= 3 2) und drei Spalten haben. Also können wir für das gesuchte Gleichungssystem annehmen, dass es von der folgenden Form ist: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0. Die Homogenität des Gleichungssystems besagt, dass alle Lösungen senkrecht auf dem Vektor a = a 1 a 2 R 3 stehen. Dies liefert, wenn wir die zwei linear unabhängigen, erzeugenden Vektoren des a 3

11 256 Lösungswege zu Kapitel 16 Lösungsraumes L betrachten, die Bedingungen: a 1 a 3 = 0 a 2 a 3 = 0 Also können wir a 1 = a 2 = a 3 = 1 wählen. Damit ist also x 1 + x 2 + x 3 = 0 ein lineares Gleichungssystem, das L als Lösungsmenge hat. Aufgabe Zunächst berechnen wir eine LR-Zerlegung von A. Dabei tragen wir die Eliminationsfaktoren m ij anstelle der Nullen an den entsprechenden Stellen ein: 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 1/5 1/6 1/7 1/8 }{{} =A 1/2 1/3 1/4 1/5 2/3 1/36 1/30 1/30 1/2 1/30 1/24 3/70 2/5 1/30 3/70 9/200 Somit besitzt A die LR-Zerlegung: 1/2 1/3 1/4 1/5 2/ /2 6/5 1/600 1/350 2/5 6/5 1/350 1/200 1/2 1/3 1/4 1/5 2/3 1/36 1/30 1/30 1/2 6/5 1/600 1/350 2/5 6/5 12/7 1/9 800 ( ) 2/ A = 1/2 6/ /5 6/5 12/7 1 }{{} =:L ( 1/2 1/3 1/4 1/5 0 1/36 1/30 1/ /600 1/ /9 800 ) } {{ } =:R Für die Determinante det A gilt wegen des Determinantenmultiplikationssatzes det A = det L det R = det R = Aufgabe Wir bezeichnen die gesuchten Elemente: 1/2 a 1/ 2 A = 1/2 1/2 b c 1/ 2 d und nehmen nun an, dass die Matrix A orthogonal ist

12 Lösungswege zu Kapitel Weil die Zeilen einer orthogonalen Matrix normiert sind, gelten für a und b: 1/4 + a 2 + 1/2 = 1 a =±1/2 1/4 + 1/4 + b 2 = 1 b =±1/ 2 Nehmen wir an, dass a = 1/2 gilt. Dann folgt ein Widerspruch zur Orthogonalität der Matrix A, weil das Skalarprodukt zwischen erster und zweiter Zeile den Wert Null ergeben muss: 1/4 1/4 + 1/ 2 b = 0 Also ist a = 1/2. Damit folgt für b mittels des Skalarproduktes der ersten beiden Zeilen, sogleich b = 1/ 2. 1/4 + 1/4 + 1/ 2 b = 0, Nun kommen wir zu c. Weil die erste Spalte die Länge 1 haben muss, gilt 1/4 + 1/4 + c 2 = 1 c =±1/ 2. Wir nehmen an, dass c = 1/ 2 gilt. Dann folgt durch Bildung des Skalarproduktes der ersten beiden Spalten ein Widerspruch zur Orthogonalität der Matrix A: Also ist c = 1/ 2. 1/4 1/4 1/2 = 0 Um schließlich d zu ermitteln, nutzen wir aus, dass die dritte Zeile die Länge 1 haben muss: Hieran erkennen wir, dass d = 0 gelten muss. 1/2 + 1/2 + d 2 = 1 Nun haben wir alle Komponenten der Matrix A bestimmt: 1/2 1/2 1/ 2 A = 1/2 1/2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 Jetzt ist noch nachzuprüfen, dass die Matrix tatsächlich orthogonal ist. In der Tat gilt für das Produkt A T A: 1/2 1/2 1/ 2 1/2 1/2 1/ 1/2 1/2 1/ 2 2 1/ 2 1/ 1/2 1/2 1/ / 2 1/ 2 0 = E 3 Aufgabe Da A eine Blockdreiecksmatrix (siehe Aufgabe 9) ist, ergibt sich det A = = = ( )( ) = ( 3)( 7) = 21. Da B zwei identische Zeilen (z. B. die erste und die letzte Zeile) hat, ist det B = 0.

13 258 Lösungswege zu Kapitel 16 Aufgabe Zunächst sei n = 2 m gerade. Durch die m Zeilenvertauschungen 1 n, 2 n 1,...,m m + 1 entsteht aus d 1. d 2 ( ) 0. d n... die Matrix d n d2, d 1 deren Determinante d 1 d 2 d n ist. Also gilt: d 1. d 2 = ( 1) m d 1 d 2...d n 0. d n... = ( 1) m(2 m 1) d 1 d 2...d n = ( 1) n(n 1) 2 d 1 d 2...d n Als nächstes sei n = 2 m + 1 ungerade. In diesem Fall ergibt sich die Matrix ( ) aus ( ) durch die m Zeilenvertauschungen 1 n, 2 n 1,...,m m + 2, und es folgt genauso: d 1. d 2 = ( 1) m d 1 d 2...d n 0. d n... = ( 1) m(2 m+1) d 1 d 2...d n = ( 1) (n 1)n 2 d 1 d 2...d n ( ) Anwendungsprobleme Aufgabe Wir verwenden die Bezeichnungen von Seite (a) Wegen E 3 P = erhält man für v: v = (E 3 P) g = = Für den Rohstoffvektor erhält man r = R g = =

14 (b) Wegen (E 3 P) 1 = erhält man für g g = (E n P) 1 v = = Dabei ergibt sich der Rohstoffvektor r = R (E n P) 1 v = = = (c) Für den Vektor g, der die Gesamtproduktion darstellt gilt g = R 1 r. Lösungswege zu Kapitel Das Inverse zu R ist die Matrix R 1 = Damit erhalten wir für den gesuchten Vektor g g = R 1 r = = Damit ergibt sich für den zugehörigen Verkaufsvektor v = (E n P) R 1 r v = Aufgabe (a) Wegen der Gleichverteilung ist der Anfangszustand a 1 1/3 a 2 = 1/3. a 3 1/3 Damit erhalten wir nach einem Fortpflanzungszyklus die Verteilung: / /3 = 1/ /3 0.7

15 260 Lösungswege zu Kapitel 16 a 1 (b) Dass sich die Anfangsverteilung a = a 2 nicht ändert, bedeutet a 3 P a = a. Diese Bedingung liefert ein Gleichungssystem für die Zahlen a 1,a 2,a 3 : a 1 a a 2 = a a 3 a 3 Wir geben die erweiterte Koeffizientenmatrix an: Das Eliminationsverfahren von Gauß liefert die Lösungsmenge 28 L = λ λ R. Damit ist also 28 : 10 : 11 die gesuchte Verteilung. Aufgabe Wir setzen z 1 (t) x 1 (t) z = z 2 (t) z 3 (t) = ẋ 1 (t) x 2 (t) z 4 (t) ẋ 2 (t) und erhalten durch komponentenweises Differenzieren: ż 1 (t) ẋ 1 (t) z 2 (t) ż = ż 2 (t) ż 3 (t) = ẍ 1 (t) ẋ 2 (t) = m 1 1 (k 1 + k 2 )x 1 + m 1 1 k 2 x 2 z 4 (t) ż 4 (t) ẍ 2 (t) 1 m 2 k 2 x 1 m 1 2 (k 2 + k 3 )x 2 Damit erfüllt die Matrix A = m 1 (k 1 + k 2 ) 0 m 1 k R4 4 1 m 2 k 2 0 m 1 2 (k 2 + k 3 ) 0 die Eigenschaft ż = A z.