Klausur HM I H 2005 HM I : 1

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1 Klausur HM I H 5 HM I : 1 Aufgabe 1 4 Punkte): Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion: n ) k nn k n! für n. Lösung: Beweis mittels Induktion nach n: Induktionsanfang: n : 1 ) k k 4.! Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein festes n N mit n. Induktionsschluss: n n + 1 n k ) k n ) k ) n Ind.vor. nn n + 1)n k n n! n n n + 1)n n! n + 1)n+1, n + 1)! also gilt die Behauptung für n + 1. Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung.

2 Klausur HM I H 5 HM I : Aufgabe 6 Punkte): Bestimmen und skizzieren Sie die Punktmenge M aller z C, die durch die Ungleichung Imz) 1 Rez) < Im z 1 ) z beschrieben wird. Lösung: Sei z x + iy. Zunächst einmal muss natürlich Rez) x und z gelten. Aus der Ungleichung erhalten wir Imz) Rez) y 1 x < Im z 1 ) z y x iy x < Im x + y 1 x + iy ) x + y y x y y/ < x + y y x + y. Für y ist die Ungleichung offenbar nicht erfüllt. Um die Ungleichung mit x y durchmultiplizieren zu können, führen wir eine Fallunterscheidung durch. 1. Fall: Sei x y >. Dann ist ) äquivalent zu x + y < y x y ) x + y + x < x + ) + y < Dies ist das Innere eines Kreises um z 4 mit dem Radius 4. Da wir uns im Fall x y > befinden, erhalten wir als Teillösung nur die Hälfte des Kreises, die sich unterhalb der Re- Achse befindet.. Fall: Sei x y <. Dann sieht man analog zum 1. Fall, dass ) äquivalent ist zu x + ) + y > Die letzte Ungleichung beschreibt das Äußere des Kreises um z mit Radius. Da wir 4 4 uns im Fall x < befinden, wird hier alles außerhalb des Kreises im Quadranten x <, y y > beschrieben und der komplette Quadrant, wo x > und y < ist. Skizze nur im Aushang)

3 Klausur HM I H 5 HM I : Aufgabe 4+7 Punkte): Es seien α, β und γ reelle Zahlen. Weiter seien durch A α β α α + β α 1 + β und eine Matrix bzw. ein Vektor gegeben. b 1 1 γ a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von α, β und γ, wann das lineare Gleichungssystem Ax b keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat. b) Berechnen Sie für α β 1 die Inverse A 1 der Matrix A. Lösung: zu a) Es ist Ax b α β α 1 α 1 + β α β α α + β α 1 + β x 1 γ x α β α 1 β 1 1 γ x 1 γ. γ 1. Fall: Sei α. Ist γ, so folgt x. Daher gibt es im Fall β unendlich viele Lösungen und im Fall β ist Ax b unlösbar. Ist γ, so gibt es unendlich viele Lösungen falls β 1 und Ax b ist unlösbar falls β 1.. Fall: Sei α und β. Ist γ, so gibt es unendlich viele Lösungen und ist γ, so ist Ax b unlösbar.. Fall: Sei α und β. In diesem Fall ist Ax b eindeutig lösbar. zu b) Seien α β 1. Die Inverse A 1 kann wie folgt berechnet werden Damit ist A

4 Klausur HM I H 5 HM I : 4 Aufgabe Punkte): a) Für welche Werte a, b, c R mit b > ist a A 1 b c eine Drehmatrix? b) Berechnen Sie die Drehachse und den Drehwinkel von A. Lösung: zu a) Für eine Drehmatrix B gilt notwendig BB t Id. Daher ist zunächst das Gleichungssystem a a AA t 1 1 b b c c a + 1 c b 1 1 c b b + c 1 zu lösen. Es folgt direkt, dass a { 1, 1}. Weiter gilt b c mit c b ) und. { } daher folgt c 1 1, mit b + c 1). Da b >, ist also c 1 und damit b Weiter ist die Determinante einer Drehmatrix notwendig 1 und daher gilt hier und somit a 1. 1 deta) a c b) a zu b) Die Drehachse von A ist der Eigenvektor von A zum Eigenwert 1. Es ist A Id)v v v 1 v ) v. Also ist die Drehachse von A die Gerade { s,, 1 + ) t s R }. Der Vektor w 1,, ) t ist normiert und steht senkrecht auf der Drehachse. Der Drehwinkel φ lässt sich durch zu φ π errechnen. cos φ < w, Aw >< 1,, ) t, 1,, ) t > 1

5 Klausur HM I H 5 HM I : 5 Aufgabe 5 6 Punkte): Beantworten Sie die folgenden Fragen ohne Begründung bzw. Herleitung. Eine nicht beantwortete Frage wird mit Punkten, eine falsche Antwort wird mit 1 Punkt und eine richtige Antwort mit 1 Punkt bewertet. Es gibt insgesamt nicht weniger als Punkte. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch? a) Die Menge {x R 1 < x 5} hat kein Infimum. Falsch Die Menge hat das Infimum 1, allerdings kein Minimum.) 1 b) Sei z + i ) 5. Dann gilt Rez) >. Wahr Es gilt z e i π ) 5 e i1π π/) e i π/), d.h. argz) π, π ).) c) Gegeben seien die drei Polynome p 1 x) x x + 1, p x) 4711 und p x) x + 7. Dann ist B {p 1 x), p x), p x)} eine Basis von P dem Vektorraum der Polynome vom Grad ). Wahr Da vollen Rang hat, sind die Polynome linear unabhängig Da zusätzlich die Dimension von P gleich ist, ist B eine Basis.) d) Sei P der Vektorraum über dem Körper K R) der Polynome vom Grad. Dann ist γ : P P, definiert durch γa + a 1 x + a x ) a 1 + a x + a x, eine K-lineare Abbildung. Wahr Man kann leicht nachprüfen, dass γp 1 x) + p x)) γp 1 x)) + γp x)) und γαp 1 x)) αγp 1 x)) für p 1 x), p x) P und α R.) e) Es gilt det det Wahr Das Vielfache einer Zeile auf eine andere Zeile aufzuaddieren ändert den Wert der Determinante nicht.) f) Sei A eine - Matrix mit dem doppelten Eigenwert λ 1 und zwei linear unabhängigen Eigenvektoren v 1 und v. Dann ist v 1 + v ein Eigenvektor von A. Wahr Es gilt A v 1 +v ) A Av 1 +v ) Aλ 1 v 1 +λ 1 v ) λ 1v 1 +λ 1v λ 1v 1 +v ).)