5. DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN

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1 5. DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN 1

2 Sei f eine auf R oder auf einer Teilmenge B R definierte Funktion: f : B R Die Funktion heißt differenzierbar in x 0 in B, falls sie in diesem Punkt x 0 lokal linear ( durch eine Gerade ) approximierbar ist. 2

3 Graphisch: f(x) t(x) x 0 x Tangentengleichung: t(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 3

4 Und in Formeln ausgedrückt: Für x x 0 gilt f(x) = t(x) + o( x x 0 ) bzw. f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + o( x x 0 ) bzw. f(x) t(x) = o( x x 0 ) 4

5 Es bedeutet f(x) t(x) = o( x x 0 ), dass sich für x x 0 die Tangente an die Funktion anschmiegt. f(x) t(x) x 0 x Das lässt sich nicht immer erreichen: 5

6 Funktionen, die in 0 nicht differenzierbar sind. f(x) = 3 x f(x) = x f(x) = x sin(1/x) 6

7 Die Tangentensteigung f (x 0 ) nennt man die Ableitung von f im Punkt x 0 : x := x x 0 f(x) f(x 0 ) x f (x 0 ) x x 0 x Der Zuwachs der linearen Approximation, f (x 0 ) x, ist eine Näherung für f(x) f(x 0 ) 7

8 Beispiel. Es gilt x 2 = ( x 0 + (x x 0 ) ) 2 = x x 0 (x x 0 ) + (x x 0 ) 2, also x 2 = x x 0(x x 0 ) + o(x x 0 ) x 2 hat in x 0 die Ableitung 2x 0. Wir schreiben f (x) = 2x oder d f(x) = 2x oder df = 2x dx dx 8

9 Rechenregeln. Offensichtlich gilt für differenzierbare Funktionen f, g und eine Konstante c (f + g) (x) = f (x) + g (x) und (cf) (x) = c f (x) Die zweite wichtige Regel behandelt verkettete Funktionen: 9

10 Das Ineinandereinsetzen von Funktionen: Zwei Funktionen f, g : R R kann man durch h(x) = g(f(x)) zu einer neuen Funktion h verketten. Man kann das als Hintereinanderausführen der Funktionen ausdrücken: f(x) = y, g(y) = z h(x) = z Man nennt h die Komposition (Verkettung) von f und g und schreibt h = g f Beispiele. f(x) = x p, g(y) = y q ergibt h(x) = (x p ) q = x pq. f = exp und g = ln ergibt h = id, d.h. h(x) = x (Identitätsfunktion). 10

11 Funktionen f(x) = a 1 x + b 1 und g(y) = a 2 y + b 2, die Geraden darstellen, verketten sich besonders leicht zur Geraden g(f(x)) = a 2 f(x) + b 2 = a 2 a 1 x + (a 2 b 1 + b 2 ) Die Ableitung a 2 a 1 von g f ergibt sich einfach als Produkt der Ableitungen a 1 und a 2 von f und g. Dieser einfache Zusammenhang überträgt sich via den lokal approximierenden Geraden (Tangenten) direkt auf differenzierbare Funktionen: 11

12 Kettenregel: (g f) (x) = g (y)f (x) mit y = f(x) Besonders hilfreich ist der Fall g(y) = ln y. Dann gilt g (y) = 1/y = 1/f(x), also d dx ln f(x) = f (x) f(x) die logarithmische Ableitung von f. 12

13 Beispiele: 1. Sei f(x) = x p, x > 0. Dann hat ln f(x) = p ln x die Ableitung p/x. Es folgt p/x = f (x)/f(x) und damit f (x) = px p 1 2. Für Funktionen f 1, f 2 gilt (f 1 f 2 ) = d f 1 f 2 dx ln(f 1f 2 ) = d dx ln f 1 + d dx ln f 2 = f 1 + f 2 f 1 f 2 also die Produktregel (f 1 f 2 ) = f 1 f 2 + f 2 f 1 13

14 Beweis der Kettenregel: Aus g(y) = g(y 0 ) + g (y 0 )(y y 0 ) + o( y y 0 ) und y = f(x), y 0 = f(x 0 ) folgt g(f(x)) = g(f(x 0 )) + g (y 0 )(f(x) f(x 0 )) + o( f(x) f(x 0 ) ) Aus f(x) f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 )+o( x x 0 ) folgt f(x) f(x 0 ) = O( x x 0 ) und o( f(x) f(x 0 ) = o( x x 0 ), also g(f(x)) = g(f(x 0 )) + g (y 0 )f (x 0 )(x x 0 ) + o( x x 0 ) und daraus die Behauptung (g f) (x 0 ) = g (y 0 )f (x 0 ). 14

15 STAMMFUNKTIONEN f(x) dx 15

16 F heißt Stammfunktion von f, falls F (x) = f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich von f. Man sagt dafür auch: F ist das unbestimmte Integral von f und schreibt F (x) = f(x) dx 16

17 Ist F eine Stammfunktion von f, dann ist für jede Konstante c auch F + c eine Stammfunktion. Diese Konstante fällt nämlich beim Differenzieren weg: (F + c) = F Darüberhinaus gilt: Ist F Stammfunktion von f, so sind F + c alle Stammfunktionen von f, wenn c die reellen Zahlen durchläuft. 17

18 Ist F Stammfunktion von f, so sind F + c alle Stammfunktionen von f, wenn c die reellen Zahlen durchläuft. Denn: Ist G eine weitere Stammfunktion von f, so gilt (G F ) = G F = f f = 0 Es hat also G F über all die Steigung 0 und muss daher einen festen Wert c annehmen. Daher gilt G = F + c. 18

19 Beispiele: Die Stammfunktion von 1. x ist x dx = x2 2 + c 2. exp(x) ist exp(x) dx = exp(x) + c 3. 1 x ist 1 x dx = ln x + c 19

20 STAMMFUNKTION UND FLÄCHE 20

21 und dab ei Sei f(x) eine Funktion. F (a, b) bezeichne die Fläche von a nach b zwischen der Funktion und der x-achse. F (a, b) a b 21

22 Will man die Fläche noch genauer mathematisch erfassen, so liegt es nahe, sie mit Treppen zu approximieren, a b und dabei die Zerlegung immer feiner zu wählen. In Formeln: 22

23 Mathematische Beschreibung der Fläche F (a, b): Sei a = x 0 < x 1 < < x n = b eine Zerlegung (Partition) von [a, b], des Intervalls von a nach b, in Teilintervalle [x 0, x 1 ],..., [x n 1, x n ]. Der Ausdruck max (x i x i 1 ) 1 i n steht dann für die Länge des größten dieser Teilintervalle, des Maximums von x 1 x 0 bis x n x n 1. 23

24 Es gilt dann n i=1 max (x i x i 1 ) = o(1) 1 i n f(x i )(x i x i 1 ) = F (a, b) + o(1) denn die Summe Treppe. n i=1 f(x i )(x i x i 1 ) gibt die Fläche unter der 24

25 Damit das (und die folgende Beziehung zu Stammfunktionen) stimmt, müssen Flächen unterhalb der x-achse negativ gerechnet werden! + a b 25

26 Beziehung zu Stammfunktionen: 26

27 Es gilt F (a, x) = F (a, x 0 ) + f(x 0 )(x x 0 ) + o( x x 0 ) a x 0 x 27

28 Also ist für fest gewähltes a die Funktion F (a, x) eine Stammfunktion von f(x): d F (a, x) = f(x) dx Wir schreiben F (a, b) = b a f(x) dx 28

29 b a f(x) dx a b 29

30 Da F (a, x) eine Stammfunktion ist und sich Stammfunktionen nur um Konstanten unterscheiden, liegt es nahe, dass sich Flächen auch mit einer anderen Stammfunktion berechnen lassen. Genauer gilt für eine beliebige Stammfunktion F der Funktion f b a f(x) dx = F (b) F (a) Beweis: Es gilt F (a, x) = F (x) + c für eine Konstante c. Aus F (a, a) = 0 folgt F (a) + c = 0 bzw. c = F (a), also tatsächlich b a f(x) dx = F (a, b) = F (b) + c = F (b) F (a) 30

31 Beispiel: Exponentialfunktion. b a ex dx = e b e a a b 31

32 Beispiel: Natürlicher Logarithmus a 1 1 x dx = ln a 1 a Diese Gleichung taugt auch als Definition des Logarithmus. 32

33 Beispiel: Eiffelturm. k(z) = Kantenlänge in Höhe z f(z) = k(z) 2 Fläche in Höhe z Setze: k(z) = ae bz 33

34 Beispiel: Eielturm. Volumen v(h) oberhalb der Höhe h ist gleich v(h) = h f(z) dz = a 2 h e 2bz dz 34

35 Da e 2bz die Stammfunktion 1 2b e 2bz hat, gilt und folglich h e 2bz dz = 1 2b e + 1 2b e 2bh = 1 2b e 2bh f(h) = a2 2b v(h) Resultat: Der Druck auf die Ebene, proportional zu v(h)/f(h), ist in jeder Höhe derselbe. 35