Vorbereitung auf den Hauptschulabschluss Mathematik

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1 Katrin Hiemer/Elisabeth Vogt Vorbereitung auf den Hauptschulabschluss Mathematik MANZ VERLAG

2 Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk gestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Manz Verlag Klett Lernen und Wissen GmbH, Stuttgart 2006 Alle Rechte vorbehalten Lektorat: Jürgen Grimm, Braunschweig Herstellung und Grafiken: PER Medien+Marketing, Braunschweig Illustrationen: Gerd Bauer, Nürnberg Umschlagkonzept: KünkelLopka, Heidelberg Umschlagfoto: Fotostudio Maurer, Bamberg Druck: Finidr s.r.o., Č eský T ě š ín ISBN 10: ISBN 13:

3 Tipps zum Training mit diesem Buch Dieses Buch hilft dir bei der gezielten Vorbereitung auf die Abschlussarbeit im Fach Mathematik. Du kannst es aber auch während des letzten Schuljahrs nutzen, um das in der Schule Gelernte zu festigen, Themen zu wiederholen oder um dich gezielt auf Klassenarbeiten bzw. Schulaufgaben vorzubereiten. Im Kapitel A Grundrechenarten findest du alle wichtigen Rechenregeln von den natürlichen Zahlen bis zu den Potenzen und Wurzeln. Das Kapitel B Zuordnungen bietet dir eine Fülle von Text- und Sachaufgaben. Die Prozent- und Zinsrechnung wird ausführlich in Kapitel C behandelt. Das Lösen von Gleichungen kannst du in Kapitel D trainieren. Alle wichtigen Themen der Geometrie findest du in Kapitel E. Alle Kapitel sind gleich aufgebaut: Zunächst werden die wichtigen Begriffe erklärt und Regeln zusammengefasst, dann werden Beispiele vorgestellt. Im Anschluss folgen Übungsaufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Mit diesen kannst du deine Fähigkeiten testen bzw. die Inhalte an geeigneten Aufgaben wiederholen. Mithilfe der ausführlichen Lösungen (ab Seite 103) kannst du überprüfen, ob du die Aufgaben richtig gelöst hast oder auch herausfinden, was du falsch gemacht hast. Im Kapitel F (ab Seite 91) findest du zwei Abschlussarbeiten aus verschiedenen Bundesländern. Mit ihnen kannst du den Ernstfall durchspielen. Alles, was du dazu wissen musst, ist bei den jeweiligen Arbeiten gesagt. Auch zu diesen Arbeiten gibt es sehr ausführliche Lösungen ab Seite 153. Viel Erfolg und einen guten Abschluss wünschen dir die Autorinnen und der Verlag.

4 Inhalt A Grundrechenarten 1 Grundwissen 6 2 Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) 9 3 Brüche 11 4 Rationale Zahlen 16 5 Potenzen und Wurzeln 20 B Zuordnungen 1 Proportionale Zuordnungen 24 2 Umgekehrt proportionale Zuordnungen 26 3 Anwendungen 28 4 Zusammengesetzte Größen3 0 5 Mischungsverhältnisse C Prozent- und Zinsrechnen 1 Der Prozentbegriff3 6 2 Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz4 0 3 Vermehrter und verminderter Grundwert4 6 4 Zinsrechnung 54 D Gleichungen 1 Terme umformen 60 2 Rechnen mit Gleichungen 62 E Geometrie 1 Zeichnen und Konstruieren 70 2 Der Satz des Pythagoras 75 3 Flächen 77 4 Körper 83

5 F Testarbeiten 1 Abschlussarbeit Mathematik des Jahres 2005 in Hessen 91 2 Qualifizierender Hauptschulabschluss 2005 Bayern 97 Lösungen A Grundrechenarten 103 B Zuordnungen 109 C Prozent und Zinsrechnen 116 D Gleichungen 128 E Geometrie 135 F Testarbeiten 153 5

6 A Grundrechenarten A Grundrechenarten 1 Grundwissen Rechenarten Addition und Subtraktion Addieren heißt zusammenzählen, plus rechnen oder die Summe bilden = Umkehraufgabe Summe Ergebnis der Summe Subtrahieren heißt abziehen, minus rechnen oder die Differenz bilden = 418 Differenz Ergebnis der Differenz Multiplikation und Division Multiplizieren heißt malnehmen oder das Produkt bilden = Umkehraufgabe Produkt Ergebnis des Produkts : 74 Dividieren heißt geteilt rechnen oder den Quotienten bilden : 74 = 807 Quotient Ergebnis des Quotienten Runden und überschlagen Die Rundungsregel lautet: Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. Die Stelle rechts neben der zu rundenden Zahl entscheidet dies. Hier im Beispiel wird auf ganze Zahlen gerundet, die erste Stelle nach dem Komma ( Zehntel ) entscheidet das Auf- oder Abrunden. 17,8 17,9 17,7 17, ,5 aufrunden abrunden 17,3 17, ,2 17,1 17,0

7 1 Grundwissen Runde auf Hunderter. Die 6 entscheidet das Aufrunden aus der 0 wird eine 1. Die gerundete Zahl heißt Beispiele Runde 173,84 auf eine Stelle nach dem Komma ( Zehntel ). Die 4 entscheidet das Abrunden die 8 bleibt. Die gerundete Zahl heißt 173,8. Wenn bei Aufgaben nicht angegeben ist, wie du runden sollst, dann runde sinnvoll, z. B. bei Euro auf zwei Stellen nach dem Komma, denn ein Euro hat nur 100 Cent. Tipp Der Überschlag bei einer Aufgabe ist sinnvoll, denn er gibt an, wie groß ein Ergebnis ungefähr ist, d. h. wie viele Stellen das Ergebnis haben muss. Runde dabei großzügig und verwende Zahlen, mit denen du einfach im Kopf rechnen kannst. So hast du eine gute Kontrollmöglichkeit , ø = ,8 12,73 ø = ,397 4,91 ø 17 5 = : 17,55 ø 900 : 18 = Runde die Zahlen zuerst auf ganze Zahlen, dann auf zwei Stellen nach dem Komma. a) 18,7553 b) 124,907 c) 73,195 d) 728,378 e) 8,792 f) 13,048 Beispiele Aufgaben 2. Wandle in die angegebene Einheit um und runde auf ganze Zahlen. km 1 t m 1 cm kg km t m 318 Ct kg 98 cm Ct 4,264 m 2,5902 t 738 m kg 2,486 km 1 ø 2 km ø 1 3. Mach den Überschlag und notiere dein Ergebnis. a) 4 270, ,13 b) 973, c) 13,4 0,792 d) 2 108,3 11,98 e) 69,58 7,09 f) 121,2 0,84 g) 7 176,4 : 189,83 h) : 3 750,76

8 A Grundrechenarten Rechenregeln Klammerregeln: Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Steht ein Minus vor der Klammer, kannst du die Klammer weglassen, musst aber die Rechenzeichen in der Klammer umkehren. Aus + wird, aus wird +. Die Rechenzeichen und : bleiben unverändert. Punkt-vor-Strich-Regel: Punkt Rechnungen ( und :) werden vor Strich Rechnungen (+ und ) gerechnet. Punkt vor Strich gilt auch in einer Klammer. Beispiele 9 (5 + 3) = (32 17) : 3 = 252 (56 98) = 9 8 = : 3 = = ( ) = 18 : = 113 ( : 9) = = = ( ) = = 87 Aufgaben 4. Berechne. a) b) ( : 7) 2 c) : 8 91 d) (64 56) : 4 e) 36 (42 + 3) : f) ( ) Löse die Textaufgaben. Schreibe zunächst die genaue Form mit Rechenzeichen auf. a) Addiere die Zahlen 713 und und subtrahiere die Zahl 812. b) Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 13 und 7 die Zahl 52. c) Bilde den Quotienten aus den Zahlen 108 und 12 und addiere dann 33. d) Multipliziere 15 mit einer unbekannten Zahl (x); das Ergebnis des Produkts ist 195. e) Dividiere die Differenz aus den Zahlen 513 und 88 durch die Summe der Zahlen 16 und 9. f) Bilde das Produkt der Zahlen 18 und 6; subtrahiere davon den Quotienten aus diesen Zahlen. 8

9 2 Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) 2 Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) Du findest beide Bezeichnungen. Die Bezeichnung Brüche kommt daher, dass nach dem Komma Zehntel, Hundertstel, etc. folgen. Addieren und Subtrahieren Beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren musst du Komma unter Komma schreiben. Schreibe jede Ziffer in ein Kästchen, dann machst du keinen Fehler. Die fehlenden Dezimalstellen nach dem Komma kannst du mit Nullen auffüllen, dann geht das Rechnen leichter. Vergiss das Komma nicht, wenn du mit dem Taschenrechner rechnest. 53, , ,3 425,8 13,92 7,001 53, ,800 oder: 13, , ,851 13, ,001 20, ,300 7,001 20, , , , Schreibe richtig untereinander und berechne. a) 672, ,9 + 0,24 b) 11 7, ,09 c) 156,02 + 3,718 0,6 d) 468,32 52,87 e) 0,798 0,45 f) 59,14 22,68 3,044 g) ,07 0,008 Beispiele Aufgabe Multiplizieren und Dividieren Beim Multiplizieren rechnest du zunächst wie mit ganzen Zahlen. Dann musst du bei beiden Dezimalbrüchen die Stellen nach den Kommas zusammenzählen und vom Ergebnis abstreichen. 16,37 18, ,934 Beispiel Beim Dividieren eines Dezimalbruchs durch eine ganze Zahl rechnest du wie mit ganzen Zahlen. Wenn du das Komma beim Rechnen überschreitest, musst du im Ergebnis das Komma setzen. Sind beide Zahlen Dezimalbrüche, werden sie so lange erweitert, bis du durch eine ganze Zahl teilen kannst. Das Komma wandert nach rechts. 9

10 A Grundrechenarten Tipp Beispiele Aufgaben Wenn die erste Dezimalzahl weniger Kommastellen als die zweite hat, musst du Nullen anhängen (z. B. 23,1 : 4,72 = : 472). 17,832 : 4 = 4,458,137 : 2,08 = 713,7 : 208 = 3,43125 ø 3, Multipliziere die Dezimalbrüche. a) 47,3 0,25 b) 519,7 12,3 c) 17,03 0,9 d) 22,931 0,17 e) 1,007 6,4 f) 0,89 0,7 8. Berechne; die Aufgaben a) bis d) kannst du vielleicht auch im Kopf schaffen. a) 1,8 : 2 b) 14,4 : 12 c) 5,6 : 7 d) 160,88 : 4 e) 1 253,96 : 16 f) 702,6 : 8 g) 2,306 : 5 h) 9 641,85 : Dividiere die Zahlen. Runde, wenn nötig, auf zwei Stellen nach dem Komma. a) 1,28 : 0,4 b) 39,2 : 3,5 c) 377 : 1,45 d) 10,508 : 0,37 e) 13,957 : 2,94 f) 2 504,5 : 73,47 g) 78,32 : 0,6 h) 0,9 : 12,9 10. Löse die Textaufgaben. Setze Klammern, wo es notwendig ist. a) Subtrahiere vom Quotienten aus den Zahlen 915 und 18,3 die Zahl 23,24. b) Addiere zum Produkt aus den Zahlen 17,9 und 4,83 die Differenz aus den Zahlen 18,3 und 9,02. c) Dividiere die Zahl 225 durch 12 und subtrahiere davon 17,3. d) Multipliziere die Zahl 24 mit der Summe aus den Zahlen 29,87 und 18,9. e) Subtrahiere von der Summe aus den Zahlen 408,91 und 58,13 die Differenz aus diesen Zahlen. f) Bilde die Summe aus der Zahl 713 und der Differenz aus den Zahlen 183,3 und 17, Beachte die Rechenregeln und berechne. a) 627,68 : ,3 b) ,2 (2 156, ,17) c) 0,18 6 (0,38 + 0,07) d) (12,7 + 3,78 : 9) 8,35 10

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