Kap. 6.3: Traversieren von Graphen Kap. 6.4: Elementare Graphalgorithmen

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1 Kap. 6.3: Traversieren von Graphen Kap. 6.4: Elementare Graphalgorithmen Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 19. VO DAP2 SS Juni

2 Anmeldung zur Klausur um 9:00 Uhr Informatik AI/KI Bacc+Diplom: BOSS System Informationstechnik Diplom: ACHTUNG: bis : online Elektrotechnik Diplom: direkt bei uns Physik Bacc/Diplom: ihr Dekanat Datenanalyse und Datenmanagement / Statistik Bacc/Diplom: ihr eigenes Prüfungsamt Mathematik Bacc/Diplom: erst ab 1.7. bekannt (wahrscheinlich BOSS System) Lehramt, BaMaLa: direkt bei uns? 2

3 Nachtest für Ausnahmefälle Di 1. Juli 2008, 10:15 Uhr, OH14, R. 202 Anmeldung bis 26. Juni erforderlich via an Carsten Gutwenger Stoff: Alles bis inkl. Hashing (inkl Übungsblatt) Teilnahmevoraussetzungen: Attest/Entschuldigt beim 1. oder 2. Übungstest oder besondere Härtefälle anerkannt in meiner Sprechstunde Di ,14:15 Uhr-15:15 Uhr 3

4 Motivation Heute braucht es keine Motivation, denn: Spielereien DFS mit 4

5 Überblick Darstellung von Graphen im Rechner Traversieren von Graphen: Breitensuche (BFS) Tiefensuche (DFS) Elementare Graphalgorithmen: Zusammenhangskomponenten Kreise in Graphen 5

6 Darstellung von Graphen im Rechner: Statische Graphen Im Folgenden sei V={v 1,v 2,,v n } 1. Möglichkeit: Adjazenzlisten Idee: Speichere für jeden Knoten seine Nachbarmenge in einer Liste Realisierung: z.b. Knoten in Array und Nachbarkanten jedes Knotens als einfach verkettete Liste 6

7 Darstellung von Graphen im Rechner: Statische Graphen 2. Möglichkeit: Adjazenzmatrix Idee: Eine VxV Matrix enthält 0/1-Einträge für jedes Knotenpaar {u,v} Realisierung: Sei M=(m i,j ) eine n x n Matrix mit m ij :=1 falls (v i,v j ) E, und m ij :=0 sonst. bei Mehrfachkanten schreibe statt 1 die Anzahl der Kanten 7

8 Darstellung gerichteter Graphen Adjazenzlisten Adjazenzmatrix 8

9 Darstellung ungerichteter Graphen Adjazenzlisten Adjazenzmatrix ist symmetrisch: nur Speicherung 9 der oberen Hälfte

10 HIER: ab jetzt Adjazenzlisten Diskussion für dünne Graphen vorzuziehen! Adjazenzliste: Speicherplatzverbrauch: linear: Θ( V + E ) Zeit für Aufbau: linear: Θ( V + E ) Abfrage, ob Kante (u,v) existiert: Θ(d(v)) Iteration über alle Nachbarn von v V: Θ(d(v)) Adjazenzmatrix: Speicherverbrauch immer quadratisch: Θ( V 2 ) Zeit für Aufbau: immer quadratisch: Θ( V 2 ) Abfrage, ob Kante (u,v) existiert: Θ(1) Iteration über alle Nachbarn von v V: Θ( V ) 10

11 Definitionen Die Dichte (density) eines Graphen G ist das Verhältnis E / V. G heißt dünn, falls seine Dichte O(1) ist G heißt dicht, falls seine Dichte Ω( V ) ist. 11

12 Darstellung von Graphen im Rechner: Dynamische Graphen Dynamisch unter den Operationen: Hinzufügen neuer Knoten und Kanten Entfernen von Knoten und Kanten Idee: für gerichtete Graphen: Inzidenzlisten: speichere ein- und ausgehende Knoten bei v Knoten in doppelt verketteter Liste (damit Entfernen in konstanter Zeit) Inzidenzlisten in doppelt verketteten Listen 12

13 Realisierung Dynamische Graphen: Liste für die Knoten struct Node var Node prev // Vorgänger Knotenliste var Node next // Nachfolger in Knotenliste var Edge outhead // Listenanfang ausgeh. Kanten var Edge inhead // Listenanfang eingeh. Kanten var int index // fortlaufender Index end struct 13

14 Realisierung Dynamische Graphen: Liste für die Kanten struct Edge var Edge prevout //Vorgänger in Liste ausg. Kanten var Edge nextout //Nachfolger in Liste ausg. Kanten var Edge previn // Vorgänger in Liste eing. Kanten var Edge nextin // Nachfolger in Liste eing. Kanten var node source // Anfangsknoten der Kante var node target // Endknoten der Kante end struct Achtung: jeder Kanteneintrag ist genau einmal in Liste enthalten 14

15 Darstellung von Graphen im Rechner: Dynamische Graphen Legende Liste der eingehenden Kanten: 15

16 Analyse Dynamischer Graphen Speicherplatzverbrauch: linear: Θ( V + E ) Zeit für Aufbau: linear: Θ( V + E ) Abfrage, ob Kante (u,v) existiert: Θ(d(v)) Iteration über alle Nachbarn von v V: Θ(d(v)) Iteration über alle ausg. Kanten von v V: Θ(d - (v)) Iteration über alle eing. Kanten von v V: Θ(d + (v)) Einfügen eines Knotens bzw. Kante: Θ(1) Entfernen einer Kante: Θ(1) Entfernen eines Knotens: Θ(d(v)) Man geht davon aus, dass man jeweils Zeiger auf die Knoten und beim Entfernen auch auf die Kanten gegeben hat 16

17 Kap. 6.3 Traversieren von Graphen Traversieren: systematisches Durchwandern von Graphen HIER: ungerichtete Graphen Def.: Der graphentheoretische Abstand zweier Knoten u, v eines ungerichteten Graphen G ist die Länge des kürzesten Weges von u nach v, falls ein solcher existiert, sonst. Achtung: hierbei werden keine vorgegebenen Kantenlängen bzw. Kantengewichte berücksichtigt.

18 Kap Breitensuche (BFS) engl.: Breadth-first-search, BFS Idee: besuche die Knoten nach aufsteigendem graphentheoretischen Abstand zu einem vorher festgelegten Startknoten. 1. Fall: Wir sehen v zum ersten Mal (von u aus): Dann muss dist(v) um genau 1 größer sein als dist(u). Wir können v besuchen, nachdem wir alle bisher gesehenen Knoten besucht haben. 2. Fall: wir haben v schon gesehen nichts zu tun 18

19 Breitensuche (BFS) Methode: (1) Starte am Knoten u:=s. Sei Q:= eine Queue. (2) Für alle Knoten v N(u) // erforsche Knoten u (3) Falls wir v zum ersten Mal sehen: (4) markiere v als gesehen (5) dist(v):=dist(u)+1; merke Vorgänger; (6) hänge v hinten an Q an. (7) Sei u der nächste Knoten in Q. Gehe zu (2) dist(v) enthält den graphentheoretischen Abstand von u nach v; π(v) den Vorgänger des kürz. Weges 19

20 Beispiel für BFS 1 1 c b 20

21 Beispiel für BFS c b e d 21

22 Beispiel für BFS b e d 22

23 Beispiel für BFS e d g f 23

24 Beispiel für BFS d g f 24

25 Beispiel für BFS g f 25

26 Beispiel für BFS f 26

27 Beispiel für BFS Breitensuche entspricht einer level-order Traversierung in diesem BFS-Baum Die orangen Kanten (diejenigen Kanten (u,v), die zum ersten Mal v besuchen) bilden einen Baum: den BFS-Baum (oder BFS-Wald, wenn G nicht zusammenhängend ist)

28 Algorithmus BFS(s) Sei G=(V,E) ungerichteter Graph, s,u,v: Knoten (1) for all v V \ {s} do { marked[v]:=0; dist[v]:= } (2) Q.put(s); marked[s]:=1; dist[s]:=π[s]:=0 (3) while not Q.ISEMPTY() do { (4) u:=q.get() (5) for all v N(u) do { (6) if not marked[v] then { (7) Q.Put(v) (8) marked[v]:=1 (9) dist[v]:=dist[u]+1; π[v]:=u (10) } } } 30

29 BFS-Baum Im Feld π[v] werden die Vorgänger von v gespeichert. Die Kanten (π(v),v) bilden einen Baum mit Wurzel s. Die Höhe des BFS-Baumes mit Startknoten s ist eindeutig bestimmt. Die Tiefe eines Blattes v entspricht dem graphentheoretischen Abstand von v zu s Wurzel s

30 Analyse von BFS Initialisierung: Θ( V ) Die while-schleife wird für jeden von s aus erreichbaren Knoten genau einmal durchlaufen, da jeder Knoten höchstens einmal in die Queue kommt. Die for all-schleife durchläuft für jeden Knoten die Liste seiner Nachbarn N(v), das ist also jeweils Θ(d(v)) Aufwand Gesamtaufwand: Θ( V )+ Θ(d(v))= Θ( V + E ), v V da im Worst Case alle Knoten von s aus erreichbar sein können

31 Problem USSSP Unweighted Single-Source Shortest Path (USSSP): Gegeben: ungerichteter Graph G=(V,E) Gesucht: kürzester Weg von s zu jedem Knoten in G. 33

32 Breitensuche (BFS) Theorem: Sei G=(V,E) ein ungerichteter Graph und s V. Dann löst der Algorithmus BFS(s) das Unweighted Single-Source Shortest Path (USSSP) für Startknoten s in Zeit O( V + E ). 34

33 Kap Tiefensuche 35

34 Tiefensuche (DFS) engl.: Depth-first-search, DFS Idee: besuche die Knoten rekursiv: wenn v zum ersten Mal gesehen wird, markiere ihn als gesehen und erforsche den Graphen von v aus weiter! Im Gegensatz zu Breitensuche, wird hier der Graph erst einmal in seiner Tiefe durchdrungen. Bei Breitensuche werden erst alle gesehenen Knoten bearbeitet, bevor die neuen bearbeitet werden (Queue). Hier wir immer erst das Neue erledigt. 36

35 Tiefensuche DFS Methode: DFS-VISIT(v): Durchlaufe alle Nachbarn von v Für jeden neu entdeckten (nicht markierten) Knoten w: Markiere w; rufe DFS-VISIT(w) auf. Der folgende Algorithmus DFS(G) durchwandert alle Knoten des Graphen. Im Feld π[w] wird jeweils der Vorgänger von w (also v) gespeichert. 37

36 Algorithmus DFS(G) Sei G=(V,E) ungerichteter Graph, v,w: Knoten (1) for all v V do { marked[v]:=0; π[v]:=nil} (2) for all v V do { (3) if not marked[v] then DFS-VISIT(v) (4) } (5) procedur DFS-VISIT(Node v) (6) marked[v]:=1 (7) for all w N(v) do (8) if not marked[w] then { (9) π[w]:=v (10) DFS-VISIT(w) (11) }

37 Beispiel für DFS 2 c 39

38 Beispiel für DFS 2 3 e c 40

39 Beispiel für DFS g e c

40 Beispiel für DFS f g e c

41 Beispiel für DFS f g e c

42 Beispiel für DFS g e c

43 Beispiel für DFS d e c

44 Beispiel für DFS b d e c

45 Beispiel für DFS b d e c

46 Beispiel für DFS d e c

47 Beispiel für DFS e c

48 Beispiel für DFS c

49 Beispiel für DFS

50 Beispiel für DFS Die orangen Kanten (diejenigen Kanten (u,v), die zum ersten Mal v besuchen) bilden einen Baum: den DFS-Baum (G zusammenhängend, sonst Wald)

51 Sei G zusammenhängend DFS-Baum DFS-Baum besteht aus Baumkanten (tree edges, T-Kanten): (π(v),v) Rückwärtskanten (back edges, B-Kanten): s.u. DFS teilt die Kanten in T-Kanten und B-Kanten Für jede B-Kante (u,v) gilt: Es gibt genau einen Weg von v nach u mit T-Kanten im DFS-Baum v 7 6 u 5

52 Sei G zusammenhängend DFS-Baum Jeder Knoten erhält eine eindeutige DFS-Nummer. Für die Rückwärtskanten (u,v) gilt: DFSNUM(u) > DFSNUM(v). DFS teilt die Kanten in T-Kanten und B-Kanten Für jede B-Kante (u,v) gilt: Es gibt genau einen Weg von v nach u mit T-Kanten im DFS-Baum v 7 6 u 5

53 Analyse von DFS Initialisierung: Θ( V ) Die for-all-schleife ohne Aufrufe von DFS-VISIT(): O( V ). DFS-VISIT() wird für jeden Knoten genau einmal aufgerufen. Jeder Aufruf von DFS-VISIT(v) (ohne Kosten der rekursiven Aufrufe) benötigt Θ(d(v)) Zeit. Gesamtaufwand: Θ( V )+ Θ(d(v))= Θ( V + E ) v V 57

54 BFS-Baum vs. DFS-Baum BFS-Baum Höhe eindeutig DFS-Baum

55 BFS & DFS BFS-Baum DFS-Baum 59

56 Kap. 6.4 Elementare Graphenalgorithmen Kap Komponenten eines Graphen Zusammenhangskomponenten 60

57 Definitionen (Zusammenhang) G heißt zusammenhängend (connected), wenn V 1 und für jedes Paar u,v von Knoten ein Weg von u nach v in G existiert. Ein Graph G =(V,E ) mit V V und E E ist ein Untergraph (Teilgraph, subgraph) von G. Wir schreiben G G. Eine (Zusammenhangs-) Komponente (component) von G ist ein maximaler zusammenhängender Untergraph U von G, d.h. es gibt keinen anderen zusammenhängenden Untergraphen U mit U U. 61

58 Komponenten eines Graphen C 1 C 3 C 2 C 4 T-Kanten des DFS-Waldes 62

59 Idee: Bestimmen der Zusammenhangskomponenten Beginne an einem Knoten s und bestimme alle von s aus erreichbaren Knoten Komponente 1 (Markierung mit 1) Beginne nun bei einem noch unmarkierten Knoten v (marked==0) und bestimme alle von v aus erreichbaren Knoten; markiere dabei mit 2 Komponente 2 u.s.w. bis alle Knoten markiert sind 63

60 Algorithmus COMPONENTS(G) Sei G=(V,E) ungerichteter Graph, v,w: Knoten (1) for all v V do { marked[v]:=0} (2) numcomps:=0 (3) for all v V do { (4) if not marked[v] then { (5) numcomps:=numcomps+1 (6) DFS-COMP(v) (7) } } (8) Procedure DFS-COMP(Node v) (9) marked[v]:=numcomps (10) for all w N(v) do (11) if not marked[w] then (12) DFS-COMP(w)

61 Bestimmen der Zusammenhangskomponenten Theorem: Der Algorithmus COMPONENTS(G) bestimmt die Zusammenhangskomponenten eines Graphen G=(V,E) in Zeit Θ( V + E ). 65

62 Kap Kreise in Graphen Aufgabe: Gegeben ist ein ungerichteter Graph G=(V,E). Enthält G einen Kreis? Idee: mittels DFS 66

63 Kreise und DFS Lemma: Sei G ein ungerichteter Graph und F ein beliebiger DFS-Wald für G. Dann ist G genau dann kreisfrei, wenn G keine Rückwärtskante (B-Kante) bezüglich F enthält. Beweis: 1. Fall: F enthält keine B-Kante: dann besteht F nur aus T-Kanten F enthält alle Kanten aus G G kreisfrei 2. Fall: Sei (u,v) B-Kante bzgl. F es existiert Weg v,,u mit T-Kanten in F Weg mit Kante (u,v) bildet Kreis in G. 67

64 Kreise und DFS Methode: Erweitere DFS um Speicherung der B-Kanten: sobald wir von v aus auf einen markierten Knoten u treffen, haben wir eine B-Kante gefunden, falls u nicht der direkte Vorgänger (Elter) von v ist. Algorithmus ISACYCLIC(G) speichert dabei alle B-Kanten. Wenn man nur einen Kreis finden möchte, dann kann man abbrechen, sobald man eine B-Kante gefunden hat. 68

65 Algorithmus ISACYCLIC(G) Sei G=(V,E) ungerichteter Graph (1) function ISACYCLIC(Graph G=(V,E)) : bool { (2) B := (3) for all v V do { marked[v]:=0; π(v):=nil } (4) for all v V do { (5) if not marked[v] then (6) DFS-ACYCLIC(v) (7) } (8) if B then return false else return true (9) } 69

66 Algorithmus ISACYCLIC(G) ff (1) procedure DFS-ACYCLIC(Node v) { (2) marked[v] := true (3) for all w N(v) do (4) if not marked[w] then (5) π[w] := v (6) DFS-ACYCLIC(w) (7) else if π [v] w then (8) B := B (v,w) (9) } (10) } 70

67 Welche Kreise werden gefunden? Pfad von T-Kanten + eine B-Kante a c e f d g b 75

68 Test auf Kreisfreihet Theorem: Die Funktion ISACYCLIC(G) testet einen ungerichteten Graphen G=(V,E) auf Kreisfreiheit in Zeit Θ( V + E ). 76

69 77

70 Zum Ausschneiden und Üben 78

71 Q a b c d e f g