13.1 Definition: Es sei I = [a, b] abgeschlossenes Intervall. Die Menge

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1 V. Integrlrechnung 13. Ds Riemnn-Integrl 13.1 Definition: Es sei I = [, b] bgeschlossenes Intervll. Die Menge B([, b]) := {f f : [, b] R, f beschränkt} heißt Menge der beschränkten Funktionen (uf dem Intervll [, b]). Ein (n + 1)-Tupel Z n = (x 0,..., x n ) heißt Zerlegung des Intervlls [, b], wenn gilt = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b (dbei ist n N beliebig). Die Punkte x 0,..., x n heißen Teilpunkte von Z. Die Menge ller Zerlegungen des Intervlls [, b] wird mit ζ = ζ([, b]) bezeichnet. Für Z ζ heißt Z := mx{x j x j 1 j = 1,..., n} Feinheitsmß der Zerlegung Z und I j = [x j 1, x j ] ds j-te Teilintervll von Z ζ. Eine Zerlegung Z ζ heißt äquidistnt, wenn gilt. x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x n x n 1 = b n Für Zerlegungen Z, Z ζ heißt Z Verfeinerung von Z, wenn jeder Teilpunkt von Z uch Teilpunkt von Z ist (Schreibweise Z Z ). Für Z, Z ζ ist Z + Z diejenige Zerlegung des Intervlls [, b], die genu die Teilpunkte von Z und Z enthält. Z + Z heißt Überlgerung von Z und Z Definition: Für f B([, b]) und Z = (x 0,..., x n ) ζ heißt S(Z) = n (x j x j 1 ) inf f(i j ) j=1 Untersumme von f (bzgl. der Zerlegung Z) und S(Z) = n (x j x j 1 ) sup f(i j ) j=1 Obersumme von f (bzgl. der Zerlegung Z). Mnchml wird uch die Bezeichnung S(Z, f) bzw. S(Z, f) benutzt, um die Abhängigkeit von der Funktion f zu verdeutlichen. 1

2 13.3 Einfche Eigenschften: (i) S(Z, f) S(Z, f) S(Z, f) = S(Z, f) (ii) Es sei f B([, b]), f(x) K für lle x [, b] und Z, Z ζ mit Z Z. Besitzt die Zerlegung Z p Teilpunkte mehr ls die Zerlegung Z, dnn gilt: S(Z) S(Z ) S(Z) + 2pK Z S(Z) S(Z ) S(Z) 2pK Z (iii) Für f B([, b]), Z, Z ζ gilt stets S(Z, f) S(Z, f) (d.h. die Menge der Untersummen ist nch oben und die Menge der Obersummen nch unten beschränkt.) 13.4 Definition: Für f B([, b]) heißt A(f) = unteres Riemnn-Integrl und Ā(f) := ā f(x)dx := sup{s(z, f) Z ζ([, b])} f(x)dx := inf{ S(Z, f) Z ζ([, b])} oberes Riemnn-Integrl. Die Funktion f heißt Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [,b], wenn A(f) = Ā(f) gilt. In diesem Fll heißt A(f) = f(x)dx := A(f) = Ā(f) Riemnn-Integrl von f uf dem Intervll [, b]. Die Menge [, b] heißt Integrtionsintervll und (bzw. b) untere (bzw. obere) Integrtionsgrenze. R([, b]) bezeichnet die Menge ller beschränkten Funktionen, die uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr sind Bemerkung: Für f B([, b]) gilt: (i) A(f) = Ā( f) (ii) A(f) Ā(f). 2

3 13.6 Stz: (Riemnnsches Integrbilitätskriterium) Es sei f B([, b]), dnn ist f Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [, b] genu dnn, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 existiert eine Zerlegung Z ζ([, b]) mit S(Z, f) S(Z, f) < ε Beispiele: (i) Die Funktion f : { R R x f(x) = c (c R gegeben) ist uf jedem Intervll [, b] integrierbr und es gilt: f(x)dx = c (b ). (ii) Die Funktion f : { R R x f(x) = x ist uf jedem Intervll [, b] integrierbr und es gilt: xdx = 1 2 (b2 2 ). (iii) Ist f : [, b] R monoton, dnn ist f uch uf dem Intervll [, b] Riemnnintegrierbr Stz: Es sei f B([, b]) und (Z n ) n N, Z n ζ([, b]) eine Folge von Zerlegungen mit lim n Z n = 0, dnn gilt: lim S(Z n, f) = A(f); n lim S(Zn, f) = Ā(f). n 13.9 Definition: Es sei f B([, b]) und Z = (x 0,..., x n ) ζ eine Zerlegung des Intervlls [, b]. Für j = 1,..., n sei ξ j [x j 1, x j ] ein Zwischenpunkt und ξ = (ξ 1,..., ξ n ) ein zu Z pssender Vektor von Zwischenpunkten. Die Summe σ(z, ξ) := n f(ξ j )(x j x j 1 ) j=1 3

4 heißt Riemnn-Summe (oder Zwischensumme) von f bzgl. (Z, ξ). Stz 13.10: Eine Funktion f B([, b]) ist uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr, genu dnn, wenn es ein α R gibt, so dss gilt: Für lle ε > 0 existiert ein δ > 0 mit σ(z, ξ) α < ε für jede Zerlegung Z und für jeden zu Z pssenden Vektor von Zwischenpunkten ξ mit Feinheitsmß Z < δ Folgerung: Es sei f B([, b]), dnn gilt: f ist Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [, b] genu dnn, wenn für jede Folge (Z n, ξ (n) ) n N von Zerlegungen Z n ζ und Zwischenpunkten ξ (n) (pssend zu Z n ) mit lim Z n = 0 die Folge (σ(z n, ξ (n) )) n N n konvergent ist. In diesem Fll liefern lle Folgen denselben Grenzwert, d.h. lim σ(z n, ξ (n) ) = A(f) = n f(x)dx Stz: (1. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Die Funktion f : [, b] R sei differenzierbr uf dem Intervll [, b] und f sei Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [, b], dnn gilt: f (x)dx = f(b) f() Vereinbrungen: (1) Schreibweise: f (x)dx = f(x) b = f(b) f() (2) Die Funktion f : I R (I Intervll) ht uf I eine Stmmfunktion F, wenn es eine differenzierbre Funktion F : I R gibt mit F = f. Der Stz lutet in diesem Fll für f R([, b]) : f(x)dx = F (b) F (). 4

5 13.14 Beispiele: (i) 1/2 0 dx 1 x 2 = π 6. (ii) Für < b, α R\{ 1} gilt: x α dx = bα+1 α+1 α + 1 (iii) Für 0 < < b gilt: (iv) Für π 2 < b π 2 gilt dx x = log b log sin xdx = cos cos b (v) Für 0 < < b gilt: log xdx = b + b log b log Stz: Es sei f B([, b]) und < c < b, dnn gilt: f R([, b]) f R([, c]) f R([c, b]). In diesem Fll ist dnn: f(x)dx = c f(x)dx + c Wir vereinbren ußerdem die folgenden Bezeichnungen b f(x)dx := f(x)dx := 0; f(x)dx. f(x)dx (flls < b) f(x)dx := 0; ā f(x)dx := Stz: Es seien f, g R([, b]); α, β R, dnn gilt: (i) α f + β g R([, b]) und [αf(x) + βg(x)]dx = α f(x)dx + β g(x)dx. 5

6 (ii) Ist g(x) f(x) für lle x [, b], dnn ist f(x)dx g(x)dx Definition und Stz: Es sei γ (0, 1] und I ein Intervll. Eine Funktion H : I R heißt Lipschitz-stetig der Ordnung γ, wenn es eine Konstnte L > 0 gibt, so dss für lle x, y I gilt: H(x) H(y) L x y γ. Ist H : [ K, K] R Lipschitz-stetig der Ordnung γ = 1 und f R([, b]) mit f([, b]) [ K, K], so ist H f Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [, b] Beispiele: Es seien f, g Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [, b], dnn gilt: (i) f g ist uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr. (ii) f ist uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr. (iii) ist f(x) δ > 0 für lle x [, b], dnn ist uch die Funktion 1/f uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr Bemerkung: Ist f R([, b]), so gilt f(x)dx f(x) dx Stz: Es sei f : [, b] R uf dem Intervll [, b] Riemnn-integrierbr und m f(x) M für lle x [, b], dnn gilt: Die Zhl m(b ) µ := 1 b heißt Mittelwert von f uf dem Intervll [, b]. f(x)dx M(b ). f(x)dx Stz: Die Funktion f : [, b] R sei uf dem Intervll [, b] beschränkt und Riemnn-integrierbr. Dnn ist die durch { [, b] R F : x F (x) := x f(t)dt 6

7 definierte Funktion uf dem Intervll [, b] stetig. Ist ußerdem die Funktion f im Punkt x 0 [, b] stetig, dnn ist F in x 0 differenzierbr und es gilt: F (x 0 ) = f(x 0 ) Stz: Ist f : [, b] R uf dem Intervll [, b] stetig, dnn ist f uf dem Intervll [, b] uch Riemnn-integrierbr Stz: (2. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Es sei f : [, b] R stetig uf dem Intervll [, b]. Dnn ist die durch ( ) F (x) := x f(t)dt definierte Funktion F uf dem Intervll [, b] differenzierbr und es gilt: F (x) = f(x). D.h. die durch ( ) definierte Funktion ist eine Stmmfunktion von f Stz: Es sei (f n ) n N eine Folge von stetigen Funktionen f n : [, b] R, die gleichmäßig uf dem Intervll [, b] gegen f : [, b] R konvergiert. Dnn ist f Riemnnintegrierbr und es gilt: lim n f n (x)dx = f(x)dx Beispiele: (i) Für x < 1 gilt: 1 2 log 1 + x 1 x = 1 x dt x3 dt = x + 2 x 1 + t 3 + x5 5 + x (ii) Die durch f n : { [0, 1] R x f n (x) = 2nxe nx2 definierte Funktionenfolge konvergiert uf [0, 1] nicht gleichmäßig, ber punktweise gegen die Funktion f : [0, 1] R; x f(x) = 0. Außerdem gilt: 1 = lim n 1 0 f n (x)dx 0 = 1 0 f(x)dx. 7

8 13.26 Stz: (prtielle Integrtion) Die Funktionen f, g : [, b] R seien differenzierbr uf dem Intervll [, b] und es sei f g R([, b]), f g R([, b]). Dnn ist f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b f (x)g(x)dx Stz: (Substitutionsregel) Es sei I R ein Intervll und f : I R stetige Funktion. Ist die Funktion ϕ : [, b] I stetig differenzierbr (d.h. f C 1 ([, b]) ), dnn gilt: f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() f(x)dx Beispiele: (i) Für n N0 sei I n = π/2 0 (sin x) n dx dnn gilt für n 2 : I n = (n 1)I n 2 (n 1)I n (ii) 1 (iii) Für p, q N gilt: I pq := x2 dx = π 4 x p (1 x) q dx = p!q! (p + q + 1)! Beispiel: (Wllissche Produktformel) (i) π 2 = lim k k j=1 (ii) π = lim k (k!) 2 2 2k (2k)! k (2j) 2 (2j 1)(2j + 1) Stz: (Stirlingsche Formel) (i) lim n n! n n e n 2πn = 1 (ii) Zu jedem n N gibt es ein ϑ n (0, 1), so dss n! = n n e n 2πn exp( ϑ n 12n ). 8

9 14. Unbestimmte und uneigentliche Integrle 14.1 Definition: Es sei I R ein Intervll und F, f : I R Funktionen. Die Abbildung F heißt Stmmfunktion oder unbestimmtes Integrl von f uf dem Intervll I, flls F uf I differenzierbr ist und für lle x I gilt F (x) = f(x). Bechte: Sind F 1, F 2 Stmmfunktionen von f uf dem Intervll I, dnn existiert ein c R mit F 1 (x) = F 2 (x) + c für lle x I. Alle in diesem Abschnitt uftretenden Gleichungen mit unbestimmten Integrlen sind wie folgt zu interpretieren: Es besteht Gleichheit bei Whl einer pssenden Stmmfunktion. Schreibweise: f(x)dx bzw. fdx bezeichne irgendeine Stmmfunktion Stz : Es sei I R ein Intervll und f : I R stetig, dnn besitzt f eine Stmmfunktion uf I Rechenregeln für Stmmfunktionen: Es sei I R ein Intervll, f, g : I R Funktionen. () Hben f, g uf I eine Stmmfunktion, so ht für lle α, β R die Funktion αf + βg eine Stmmfunktion und es gilt (αf + βg)(x)dx = α f(x)dx + β g(x)dx. (b) Sind f und g uf I differenzierbr und ht f g eine Stmmfunktion uf I, dnn ht uch f g eine Stmmfunktion uf I und es gilt f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx (prtielle Integrtion). (c) Ist I 1 R ein Intervll, ϕ : I 1 I differenzierbr und ht f eine Stmmfunktion F uf I, dnn ht uch (f ϕ) ϕ uf I 1 eine Stmmfunktion und es gilt f(ϕ(t))ϕ (t)dt = (F ϕ)(t) = f(x)dx x=ϕ(t) (Substitutionsregel). (d) Ist I 1 R ein Intervll, ϕ : I 1 I differenzierbr mit ϕ (t) 0 t I 1 und ht (f ϕ) ϕ eine Stmmfunktion G uf I 1, dnn ht uch f eine Stmmfunktion uf I und es gilt f(x)dx = (G ϕ 1 )(x) = f(ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ 1 (x) (Substitutionsregel). 9

10 14.4 Tbelle einiger Stmmfunktionen: f(x) F (x) = f(x)dx Definitionsbereich x k+1 x k, k Z, k 1 k + 1 x α x α+1, α R, α 1 α log x x 1 rctn x 1 + x 2 x R für k 0, x R\{0} für k 2 x R + x R\{0} sin x cos x x R cos x sin x tn x log cos x 1 cos 2 x tn x x R\{(k + 1 )π k Z} 2 cot x log sin x 1 sin 2 x sinh x cot x x R\{kπ k Z} cosh x cosh x sinh x x R tn hx log(cosh x) cot hx log sinh x x R\{0} 1 1 x 2 rcsin x x ( 1, 1) 10

11 14.5 Beispiele: (i) x sin xdx = x cos x + sin x (ii) e x cos xdx = 1 2 ex (sin x + cos x) dt (iii) 3t 2 = 1 log 3t 2 3 dx (iv) x(1 + 3 x) = 6( 6 x rctn 6 x) 14.6 Integrtion rtionler Funktionen: Es seien P, Q Polynome vom Grd m bzw. n N und R(x) = P (x) Q(x) eine rtionle Funktion. Gesucht ist eine Stmmfunktion von R. Ist m n, liefert Division die Drstellung R(x) = P 1 (x) + P 2(x) Q(x) wobei P 1, P 2 Polynome sind und der Grd von P 2 kleiner ls der Grd von Q ist. D die Bestimmung einer Stmmfunktion von P 1 trivil ist, setzen wir O.B.d.A. m < n vorus. Es gilt (vgl. Heuser, Anlysis I, Kp. 69): Es existierten Konstnten c, λ 1,..., λ r, 1, b 1,..., s, b s R α 1,..., α r N0, β 1,..., β s N0, so dss ds Polynom Q die Drstellung ( ) Q(x) = c r (x λ j ) α j j=1 s (x 2 + j x + b j ) β j besitzt. Dbei gilt n = r j=1 α j + 2 s j=1 β j, die Konstnten λ 1,..., λ r sind die prweise verschiedenen reellen Nullstellen von Q mit Multiplizitäten α 1,..., α r und die Polynome D j (x) = x 2 + j x+b j hben keine reellen Nullstellen. Die Drstellung ( ) ist eindeutig und mit dieser Drstellung ht die rtionle Funktion R die folgende Prtilbruchzerlegung R(x) = P (x) Q(x) = α r j j=1 i=1 j=1 A (j) s i (x λ j ) + i j=1 β j i=1 B (j) i x + C (j) i. D j (x) i Für die Bestimmung der Stmmfunktion R(x)dx sind dher die Stmmfunktionen der in der Prtilbruchzerlegung uftretenden Funktionen zu ermitteln Berechnung der bei der Prtilbruchzerlegung uftretenden Integrle: dx (i) = log x c x c 11

12 (ii) (iii) dx (x c) = ( 1) p p 1 1 (p > 1) (x c) p 1 dx x 2 + bx + c = 2 rctn 2x + b flls D = 4c b 2 > 0 (Mn bechte, dss der D D Fll D 0 in der Prtilbruchzerlegung nicht uftritt, d ds Polynom x 2 + bx + c in diesem Fll reelle Nullstellen besitzt). (iv) Für I p+1 := (v) Für J p+1 := dx (x 2 + bx + c) p+1 mit D = 4c b2, 0, gilt die Rekursionsformel I p+1 = wobei I p in (iv) definiert ist. 2x + b pd(x 2 + bx + c) p + (2 1 p )2 D I p; p 1 xdx (x 2 + bx + c) p+1 mit D = 4c b2, 0, gilt die Rekursionsformel bx + 2c J p+1 = pd(x 2 + bx + c) (2 1 p p ) b D I p; p Beispiele: x + 1 (i) x 4 x dx = log x log x log x2 + x rctn 2x dx (ii) (x 2 + x + 1) = 2x (x 2 + x + 1) x + 1 rctn 3 3 sin x (iii) 1 + cos x dx = 2 log cos x Definition: (i) Es sei f : [, ) R Riemnn-integrierbr uf [, c] für jedes c >. f heißt uneigentlich Riemnn-integrierbr über [, ) (Schreibweise f R([, )), wenn der Grenzwert I := lim c c f(x)dx existiert. In diesem Fll sgt mn, dss ds uneigentliche Integrl ( ) f(x)dx konvergiert (bzw. existiert) und bezeichnet dmit den obigen Grenzwert. Flls dieser Grenzwert nicht existiert, heißt ds Integrl divergent. Ds Integrl in ( ) heißt bsolut konvergent, wenn f(x) dx konvergent ist. 12

13 (ii) Es sei f : [, b) R nicht beschränkt und f R([, c]) für jedes c (, b). f heißt uneigentlich Riemnn-integrierbr über [, b) wenn der Grenzwert J := lim c b 0 c f(x)dx existiert. In diesem Fll sgt mn, dss ds uneigentliche Integrl f(x)dx konvergiert (bzw. existiert) und bezeichnet J mit f(x)dx. Andernflls heißt ds uneigentliche Integrl f(x)dx divergent. Bechte: () Ist f beschränkt uf [, b) und f R([, c]) für jedes c (, b), dnn ist f R([, b]) und J ist einfch ds Riemnn-Integrl von f über [, b]. (b) Absolute Konvergenz eines uneigentlichen Integrls f(x)dx wird wie in 14.9(i) definiert. (c) Ds uneigentliche Integrl f(x)dx wird nlog zu 14.9(i) definiert. Anlog zu 14.9(ii) ist ds uneigentliche Integrl definiert. f(x)dx = lim c +0 c f(x)dx Beispiele: (i) 1 0 dx 1 x 2 = π 2 (ii) Ds uneigentliche Integrl ist für β 1 divergent und für β < 1 konvergent mit Wert (1 β) 1. (iii) Ds uneigentliche Integrl 1 0 ist für α 1 divergent und für α > 1 konvergent mit Wert (α 1) dx x β dx x α

14 14.11 Bechte: Die folgenden Sätze werden nur für den Fll 14.9(i) ngegeben. Es gelten ber nloge Resultte für den Fll 14.9(ii) Stz: Es seien f, g uneigentlich Riemnn-integrierbre Funktionen über [, ), dnn gilt: (i) Für jedes b > ist f uneigentlich Riemnn-integrierbr über [b, ) und es ist: (ii) f(x)dx = lim b b (iii) Ist f(x) g(x) für lle x [, ), dnn ist: f(x)dx f(x)dx + f(x)dx = 0 b g(x)dx f(x)dx Stz: Es sei f : [, ) R Riemnn-integrierbr uf [, c] für jedes c >, dnn gilt: f(x)dx ist konvergent Zu jedem ε > 0 gibt es ein x 0 >, so dss x, x > x 0 gilt: x f(t)dt < ε. x Folgerung: Ist f(x)dx bsolut konvergent, dnn ist ds uneigentliche Integrl uch konvergent und es gilt: f(x)dx f(x) dx Stz: (Mjornten/Minorntenkriterium) Die Funktionen g, f : [, ) R seien Riemnn-integrierbr uf [, c] für jedes c > und es sei b >. (i) Ist f(x) g(x) für lle x b und ist g(x)dx konvergent, dnn ist ds uneigentliche Integrl b f(x)dx bsolut konvergent. b (ii) Ist f(x) g(x) 0 für lle x b und ist g(x)dx divergent, dnn ist ds b uneigentliche Integrl f(x)dx divergent. b 14

15 14.16 Bezeichnungen: Es sei f : R R, R und die uneigentlichen Integrle seien konvergent. Mn setzt: f(x)dx und f(x)dx f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx [Mn bechte, dss wegen Stz die linke Seite unbhängig von der Whl von ist!] f(x)dx = f(x)dx; f(x)dx = f(x)dx. Es sei f : (, b) R Riemnn-integrierbr uf jedem Intervll [, b ] (, b). Weiter sei f weder in einer rechtsseitigen Umgebung von noch in einer linksseitigen Umgebung von b beschränkt und es seien für ein c (, b) die uneigentlichen Integrle konvergent, dnn setzt mn c f(x)dx und c f(x)dx f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx [dieser Wert ist unbhängig von der Whl der Konstnten c]. Es sei f : (, ) R Riemnn-integrierbr uf jedem Intervll [, b ] [, ) und in einer rechtsseitigen Umgebung von unbeschränkt. Existieren für c > die uneigentlichen Integrle so setzt mn c f(x)dx f(x)dx = c und (eine nloge Definition gilt für f(x)dx). c f(x)dx + f(x)dx c f(x)dx Beispiel: Für jedes α > 0 ist ds uneigentliche Integrl Γ(α) := 0 x α 1 e x dx konvergent. Die so uf der positiven reellen Achse definierte Funktion heißt Gmm-Funktion. Es gilt: (i) α > 0 : Γ(α + 1) = Γ(α) α 15

16 (ii) n N : Γ(n) = (n 1)! Integrlkriterium für unendliche Reihen: Es sei p N, f : [p, ) R Riemnn-integrierbr uf jedem Intervll [p, x](x p), monoton fllend und f(x) 0 x p. Dnn gilt: p f(x)dx konvergiert f(n) konvergiert. n=p Im Fll der Konvergenz gilt: ( ) f(n) f(x)dx n=p+1 p n=p f(n) Beispiel: Die Reihe n=2 1 n(log n) c ist für c > 1 konvergent und für c 1 divergent Beispiel: 0 e t2 dt = 1 2 π 16

17 15. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl 15.1 Definition: Es seien f, α : [, b] R Funktionen, f B[, b], Z = (x 0,..., x n ) eine Zerlegung von [, b] mit zugehörigem Zwischenwertvektor ξ = (ξ 1,..., ξ n ). Die Summe S α (f, Z, ξ) := n f(ξ k )[α(x k ) α(x k 1 )] k=1 heißt Riemnn-Stieltjessche Summe von f bzgl. α und Z (RS-Summe). Konvergiert für jede Folge (Z n ) n N von Zerlegungen mit Z n 0 und zugehörigen Zwischenvektoren ξ (n) die RS-Folge (S α (f, Z, ξ (n) )) n N gegen einen und dmit ein und denselben Grenzwert, so bezeichnet mn diesen ls Riemnn-Stieltjes-Integrl (RS-Integrl) von f über [, b] bzgl. α. Schreibweisen f(x)dα(x); fdα; fdα(x) R α [, b] bezeichnet die Menge ller Funktionen, die über [, b] bzgl. Riemnn-Stieltjes integrierbr sind. der Funktion α 15.2 Bemerkung: Ds Riemnn-Stieltjes-Integrl ist bzgl. Integrnd und Integrtor liner, d.h. (i) f R α [, b], g R α [, b] f + g R α [, b] und es gilt: (f + g)(x)dα(x) = f(x)dα(x) + (ii) f R α [, b] R β [, b] f R α+β [, b] und es gilt: f(x)d[α(x) + β(x)] = f(x)dα(x) + (iii) f R α [, b], c R c f R α [, b], f R c α [, b] und es gilt c f(x)dα(x) = f(x)d(c α(x)) = c g(x)dα(x) f(x)dβ(x) f(x)dα(x) Beispiele: (1) Ist α konstnt, dnn ist jedes f Riemnn-Stieltjes integrierbr über [, b] bzgl. α und es gilt: f(x)dα(x) = 0 17

18 (2) Es sei x := sup{z Z z x}, dnn gilt für jede stetige Funktion f uf [0, m](m N) : m m f(x)d x = f(k) 0 k=1 D.h. jede endliche Summe knn ls Riemnn-Stieltjes-Integrl geschrieben werden. (3) 1 0 xdx 2 = Stz: (prtielle Integrtion) Ist f Riemnn-Stieltjes-integrierbr uf [, b] bzgl. α, dnn ist uch α Riemnn-Stieltjes-integrierbr uf dem Intervll [, b] bzgl. f und es gilt f(x)dα(x) + α(x)df(x) = f(x)α(x) b = f(b)α(b) f()α() Bemerkung: Es werden nloge Bezeichnungen verwendet und es gelten nloge Eigenschften wie in Abschnitt 13 und 14. So wird z.b. die Riemnn-Stieltjes-Obersumme (bzgl. α und Z) definiert ls S α (Z, f) := n sup f(i j ) (α(x j ) α(x j 1 )). j=1 Entsprechend definiert mn oberes und unteres Riemnn-Stieltjes-Integrl (vgl. 13.4) und f R α [, b] genu dnn, wenn diese übereinstimmen! Außerdem gelten die Anlog von Stz 13.6, 13.8, und für die entsprechenden Größen in der Riemnn-Stieltjes- Theorie. Beispiele: (1) f ist Riemnn-Stieltjes-integrierbr über [, b] bzgl. der Funktion α genu dnn, wenn gilt: Für lle ε > 0 existiert eine Zerlegung Z von [, b], so dss für die Riemnn-Stieltjes Ober- und Untersumme von f bzgl. α und Z gilt S α (Z, f) S α (Z, f) < ε. (2) Ist < c < b, dnn gilt: f R α [, b] f R α [, c] R α [c, b]. Außerdem ist f(x)dα(x) = c f(x)dα(x) + c f(x)dα(x). 18

19 15.6 Stz: Es sei f : [, b] R stetig und α monoton, dnn ist f Riemnn-Stieltjesintegrierbr uf [, b] bzgl. α Stz: Ist f : [, b] R monoton und α : [, b] R monoton und stetig, dnn ist f uf [, b] Riemnn-Stieltjes-integrierbr bzgl. α Bemerkung: Es seien α, f, g : [, b] R Funktionen, f R α [, b]. Unterscheiden sich f und g nur n endlich vielen Stellen z 1,..., z k [, b] und ist α in diesen Punkten stetig, dnn gilt g R α [, b] und g(x)dα(x) = f(x)dα(x). Bechte: Im Fll des Riemnn-Integrls ist α(x) = x und die Stetigkeit der Funktion α dmit utomtisch erfüllt Stz: Es sei α : [, b] R monoton wchsend und differenzierbr. Sind f, α : [, b] R Riemnn-integrierbr uf [, b], dnn ist f uf [, b] bzgl. α Riemnn-Stieltjesintegrierbr und es gilt f(x)dα(x) = f(x)α (x)dx Beispiele: (i) Es sei F : [, b] R monoton wchsend und stetig differenzierbr, dnn gilt für k N0, F k (x)df (x) = 1 k + 1 (F k+1 (b) F k+1 ()). (ii) 2 1 xd log x = 1. (iii) Es sei f : [, b] R stetig differenzierbr mit f() = f(b) = 0 und f 2 (x)dx = 1, dnn ist xf(x)f (x)dx = Stz: Es sei α : [, b] R eine Treppenfunktion, d.h. es gibt = x 0 < x 1 <... < x k = b und Konstnten c 1,..., c k R, so dss α die Drstellung k α(x) = c j I (xj 1,x j )(x) x [, b]\{x 0,..., x n } j=1 19

20 besitzt. Dnn ist jede stetige Funktion f : [, b] R bzgl. α Riemnn-Stieltjesintegrierbr und es gilt mit α 0 = c 1 α(), α j = c j+1 c j, j = 1,..., k 1, α k = α(b) c k f(x)dα(x) = k α j f(x j ). j=0 D.h. ds Riemnn-Stieltjes-Integrl ist gleich der Summe der Funktionswerte n den Sprungstellen multipliziert mit den entsprechenden Sprunghöhen Beispiel: Für p, n N sei S p (n) = n j=1 jp, dnn gilt die Rekursion n(n + 1) S 1 (n) = 2 [ S p (n) = 1 p 1 ( ) ] p n(n + 1) p S k (n) p + 1 k 1 k= Stz: Es seien f, α : [, b] R Funktionen, f R α [, b] und α monoton wchsend. Außerdem sei ϕ : [A, B] [, b] streng monoton wchsend und stetig mit ϕ(a) =, ϕ(b) = b, dnn ist f ϕ R α ϕ [A, B] und es gilt B A (f ϕ(x))d(α ϕ)(x) = f(x)dα(x) Beispiele: (1) Unter Differenzierbrkeitsnnhmen liefert Stz für α(x) = x Stz 13.27, d.h. B A f(ϕ(x))ϕ (x)dx = ϕ(b) ϕ(a) f(x)dx (2) 2 xde x = e 2 1 e log ydy = e Übung: Es seien f, g : [, b] R uf [, b] Riemnn-Stieltjes-integrierbr bzgl. α : [, b] R und α monoton wchsend. Dnn gilt die Höldersche Ungleichung (für lle p, q > 1, 1 p + 1 q = 1) (1) ( f(x)g(x)dα(x) ) 1/p ( ) 1/q f(x) p dα(x) g(x) q dα(x) 20

21 und die Dreiecksungleichung (2) ( 1/2 ( 1/2 ( 1/2 (f(x) + g(x)) dα(x)) 2 f (x)dα(x)) 2 + g (x)dα(x)) Bemerkung: Es existiert eine Theorie uneigentlicher Riemnn-Stieltjes-Integrle, wie in Abschnitt 14 für den Fll α(x) = x (Riemnn-Integrl) drgestellt. Z.B. definiert mn, flls f R α [, b] für lle b > 0 f(x)dα(x) = lim b f(x)dα(x) (flls dieser Grenzwert existiert). Ist α : [, ) R Treppenfunktion mit Sprüngen α 0, α 1,... n den Stellen x 0, x 1,... so knn mn (wie in 15.11) zeigen f(x)dα(x) = α k f(x k ) k=1 und dmit uch unendliche Summen ls Integrl uffssen. 21

22 16. Fourierreihen 16.1 Stz: Die trigonometrische Reihe n cos(nx) + b n sin(nx) n=1 sei uf dem Intervll [ π, π] gleichmäßig konvergent mit Wert f(x), dnn gelten für die Koeffizienten die Euler-Fourierschen Formeln: n = 1 π π π f(x) cos(nx)dx b n = 1 π π π f(x) sin(nx)dx 16.2 Hilfsstz: ( ) π π π π sin(nx) cos(mx)dx = 0 n, m = 0, 1,... cos(nx) cos(mx)dx = π π sin(nx) sin(mx)dx = { 0 flls n m π flls n = m Definition: Es sei f : R R eine 2π-periodische Funktion [d.h. f(x + 2π) = f(x) x R] und Riemnn-integrierbr uf dem Intervll [ π, π]. Die Zhlen n b n = 1 π = 1 π π π π π f(x) cos(nx)dx n = 0, 1,... f(x) sin(nx)dx n = 1, 2,... heißen Fourierkoeffizienten der Funktion f und die zugehörige trigonometrische Reihe Fourierreihe von f n cos(nx) + b n sin(nx) n=1 Bechte: Diese Reihe muß weder konvergieren, noch muß im Fll der Konvergenz ihr Wert gleich f(x) sein. Schreibweise: 22

23 f(x) n cos(nx) + b n sin(nx) n= Beispiele: Die Übertrgung der Definition 16.3 uf ndere Intervlle der Länge 2π ist offensichtlich. Z.B. gilt: (1) (2) k=1 k=1 sin(kx) k cos(kx) k 2 = Insbesondere gilt: (3) k=1 1 k = π2 2 6 = π x 2 ( x π ) 2 π für x (0, 2π) für x [0, 2π] 16.5 Beispiele: (Alle Funktionen werden uf dem Intervll [ π, π] betrchtet und dnn 2π-periodisch fortgesetzt.) (i) x 2 n+1 sin(nx) ( 1) n n=1 (ii) x π 2 4 π n=1 cos((2n 1)x) (2n 1) 2 (iii) x 2 π2 3 + ( 1) n 4 cos(nx) n 2 n=1 Die Frge, ob diese Fourierreihen konvergieren und im Fll der Konvergenz die entsprechende Funktion uf der linken Seite liefern, wird in Beispiel bentwortet Stz: (Beste Approximtion von f durch trigonometrische Reihen im qudrtischen Mittel) Es sei f Riemnn-integrierbr uf [ π, π], S n (x) = n k cos(kx) + b k sin(kx) k=1 23

24 die n-te Prtilsumme ihrer Fourierreihe und T n := { α n α k cos(kx) + β k sin(kx) α 0, α 1, β 1,..., α n, β n R} k=1 die Menge ller trigonometrischen Polynome von Grd n. Dnn gilt: (1) π π (f S n ) 2 (x)dx (2) Besselsche Gleichung π π (3) Besselsche Ungleichung π π (f S n ) 2 (x)dx = (f t) 2 (x)dx t T n π π [ 1 f 2 (x)dx π ( 2 k + b 2 k) 1 π k=1 π π n ] ( 2 k + b 2 k) k=1 f 2 (x)dx 16.7 Stz:(Konvergenz im qudrtischen Mittel) Es sei f : R R eine 2π-periodische und uf [ π, π] Riemnn-integrierbre Funktion, dnn konvergiert die Fourierreihe von f im qudrtischen Mittel gegen f, d.h. (1) lim n π π (S n (x) f(x)) 2 dx = 0 und es gilt die Prsevlsche Gleichung (2) 1 π π π f 2 (x)dx = ( 2 k + b 2 k) k= Beispiel: Es sei f : R R 2π-periodisch und { 1 für π x < 0 f(x) = 1 für 0 x < π dnn konvergiert die Fourierreihe von f 4 π n=0 sin((2n + 1)x) 2n + 1 nicht punktweise gegen f uf [ π, π] ber im qudrtischen Mittel. 24

25 16.9 Stz: Es sei f : R R eine stetige und 2π-periodische Funktion, die uf dem Intervll [ π, π] stückweise stetig differenzierbr sei. D.h. es existiert eine Zerlegung Z r = {t 1,..., t r } des Intervlls [ π, π] mit π = t 0 < t 1 <... < t r 1 < t r = π, so dss f [tj 1,t j ] C 1 ([t j 1, t j ]) für lle j = 1,..., r gilt. Dnn konvergiert die Fourierreihe von f gleichmäßig uf dem Intervll [ π, π] gegen f Bemerkung: In Stz 16.9 knn uf die Stetigkeit von f : R R verzichtet werden. Genuer: Ist f stückweise stetig differenzierbr, so konvergiert die Fourierreihe von f gleichmäßig gegen f uf jedem kompkten Intervll, ds keine Unstetigkeitsstelle von f enthält Beispiele: (vgl. Beispiel 16.5) (1) Für lle x ( π, π) gilt: n+1 sin(nx) x = 2 ( 1) n n=1 (2) Für lle x [ π, π] gilt: x = π 2 4 π n=1 cos((2n 1)x) (2n 1) 2 (3) Für lle x [ π, π] gilt: x 2 = π ( 1) n cos(nx) n 2 n=1 25

26 VI Differentilrechnung für Funktionen in mehreren Veränderlichen 17 Normierte Vektorräume 17.1 Definition: Es sei E ein Vektorrum über R. Eine Abbildung : E R heißt Norm uf E flls sie die folgenden Eigenschften besitzt () Für lle x E gilt: x 0 (Nichtnegtivität) (b) x = 0 x = 0 (Definitheit) (c) Für lle α R, x E : αx = α x (Homogenität) (d) Für lle x, y E : x + y x + y (Dreiecksungleichung) Ist E mit einer Norm versehen, so heißt (E, ) normierter Vektorrum. Zwei Normen 1 und 2 uf E heißen äquivlent, flls es Zhlen α, β > 0 gibt, so dss gilt: x E : α x 1 x 2 β x Beispiele: Der R n = {(x 1,..., x n ) T x j R; j = 1,..., n} mit der komponentenweisen Addition und Sklrmultipliktion ist ein Vektorrum. Für p [1, ) sei für p = setzen wir ( n ) 1/p; x p := x k p x = k=1 n mx i=1 x i. Dnn definiert p für jedes p [1, ] eine Norm uf R n. Wichtige Spezilfälle sind: p = 1 : x 1 = n x j Betrgssummennorm j=1 ( n ) 1/2 p = 2 : x 2 = x j 2 Euklidnorm j=1 p = : x = n mx j=1 x j Mximumsnorm Alle hier definierten Normen sind äquivlent und es gilt x = lim p x p 26

27 17.3 Beispiel: E = C([, b]) sei der Vektorrum der stetigen Funktionen uf dem Intervll [, b], dnn definiert die Abbildung : C([, b]) R, f := sup f(x) x [,b] eine Norm uf C([, b]), die Supremumsnorm gennnt wird Definition: Es seien (E j, j ) j = 1,..., p normierte Vektorräume. Mit der koordintenweisen Addition x 1 y 1 x 1 + y 1 + :=. (x j, y j E j ; j = 1,..., p). x p. y p x p + y p und komponentenweisen Sklrmultipliktion (α R) x 1 αx 1 α. :=. (x j E j ; j = 1,..., p) x p αx p wird uch E 1... E p zu einem Vektorrum. Mit der Definition x 1. = mx{ x j j 1 j p} x p wird uf E 1... E p eine Norm eingeführt, die ebenflls ls Mximumsnorm bezeichnet wird (mn vergleiche diese Definition für E j = R, j = 1,..., n mit Beispiel 17.2) Definition: Es sei (E, ) ein normierter Vektorrum. Eine Folge (x n ) n N, x n E heißt konvergent genu dnn, wenn es ein x E gibt, so dss gilt: ε > 0 n 0 N, so dss n n 0 : x n x < ε. Schreibweise: lim n x n = x. Der Begriff des Häufungswertes wird wie in Definition 6.0 erklärt und es gilt uch ds Anlogon von Stz

28 17.6 Beispiel: (1) Sind (x n ) N, (y n ) n N konvergente Folgen in E, α R, dnn sind uch (x n + y n ) n N und (αx n ) n N konvergent und es gilt lim (x n + y n ) = lim x n + lim n n lim αx n = α lim x n n n n y n (2) Es sei (C([, b]), ) der mit der Supremumsnorm versehene Vektorrum (vgl. Beispiel 17.3) der uf dem Intervll [, b] stetigen Funktionen, f, f n C([, b])(n N). Dnn gilt: lim n f n = f genu dnn, wenn die Folge (f n ) n N gegen f uf [, b] gleichmäßig konvergiert Definition und Stz: Es sei (E, ) normierter Vektorrum. Die Folge (x n ) n N, x n E heißt Cuchy-Folge genu dnn, wenn gilt: ε > 0 n 0 N, so dss n, m n 0 : x n x m < ε. In einem normierten Vektorrum ist jede konvergente Folge uch eine Cuchy-Folge (die Umkehrung ist i.. flsch) Definition: Ein normierter Vektorrum heißt Bnchrum (bzw. vollständig), wenn jede Cuchy-Folge uch konvergent ist Beispiele: (1) (R, ) ist Bnchrum (bzw. vollständig). (2) Der Vektorrum C([, b]) versehen mit der Supremumsnorm (vgl. Beispiel 17.3) ist ein Bnchrum. (3) Versieht mn den Vektorrum C([, b]) mit der Norm f 1 := f(x) dx, so ist der normierte Vektorrum (C([, b]), 1 ) nicht vollständig. 28

29 17.10 Lemm: Es seien (E j, j ) normierte Vektorräume (j = 1,..., p) und (E 1... E p, ) der in 17.4 definierte normierte Vektorrum (mit der Mximumsnorm versehen). Dnn gilt: x (n) := x 1n. x pn genu dnn, wenn für jedes j = 1,..., p gilt n lim n x jn = x j x 1. x p (d.h. die Konvergenz in E 1... E p ist äquivlent zu der Konvergenz der einzelnen Koordinten) Stz: (R n, ) ist ein Bnchrum für jedes n N Stz: Zwei beliebige Normen und uf R p sind äquivlent, d.h. es gibt positive Konstnten α und β mit für lle x R p. α x x β x Folgerung: Konvergiert die Folge (x n ) n N bzgl. einer Norm uf R p, so uch bzgl. jeder nderen Norm. Ist (x n ) n N Cuchy-Folge bzgl. einer Norm uf R p, so uch bzgl. jeder nderen Norm. (R p, ) ist ein Bnchrum für jede Norm uf R p Definition: (E, ) sei ein normierter Vektorrum. Für ε > 0, x 0 E heißt U ε (x 0 ) := {x E x x 0 < ε} ε-umgebung (ε-kugel) um x 0, U ε (x 0 ) = U ε (x 0 )\{x 0 } heißt punktierte ε-umgebung. Eine Menge S E heißt beschränkt, wenn es ein r > 0 gibt, so dss S U r (0) gilt. 29

30 17.15 Definition: (E, ) sei ein normierter Vektorrum und A E eine Menge. Ein Punkt x 0 A heißt innerer Punkt von A genu dnn, wenn es ein ε > 0 gibt, so dss U ε (x 0 ) A gilt. Die Menge heißt Inneres von A. Die Menge A heißt offen : A A 0 A = A 0 A 0 := {x A x ist innerer Punkt von A} bgeschlossen : E\A ist offene Menge Ein Punkt x E heißt Häufungspunkt von A genu dnn, wenn für jedes ε > 0 gilt: Wir definieren und bezeichnen mit U ε (x) A. H(A) := {x E x ist Häufungspunkt von A} Ā = A H(A) die bgeschlossene Hülle von A. Ein Punkt x E heißt Rndpunkt von A genu dnn, wenn für jedes ε > 0 gilt: Die Menge U ε (x) A und U ε (x) (E\A). A := {x E x ist Rndpunkt von A} heißt Rnd der Menge A. Ein Element x E heißt isolierter Punkt von A genu dnn, wenn x A\H(A) gilt Beispiel: Es sei (E, ) = (R 2, 2 ) und ( ) x1 A = { 4x 2 1 x 2 2 > 1}, x 2 dnn ist A offen, und es gilt Ā = { (A) = { ( x1 x 2 ( x1 x 2 ) 4x 2 1 x 2 2 = 1} ) 4x 2 1 x 2 2 1} = H(A). 30

31 17.17 Stz: (vgl. Stz 8.4) Es sei (E, ) ein normierter Vektorrum. Die Vereinigung (der Durchschnitt) beliebig vieler offener (bgeschlossener) Mengen ist offen (bgeschlossen). Der Durchschnitt (die Vereinigung) endlich vieler offener (bgeschlossener) Mengen ist offen (bgeschlossen) Stz: Es sei (E, ) normierter Vektorrum, A E A 0 ist offen Ā ist bgeschlossen Ā = F F F A bgeschlossen x H(A) es gibt eine Folge x n A\{x} mit lim n x n = x A bgeschlossen H(A) A Definition: Es sei E ein normierter Vektorrum, Λ eine Indexmenge und für λ Λ sei O λ E eine offene Menge. Ds Mengensystem {O λ λ Λ} heißt eine offene Überdeckung von A, flls gilt A λ Λ O λ. Die Menge A heißt kompkt, flls jede offene Überdeckung von A eine endliche Teilüberdeckung von A enthält. D.h. es gibt eine endliche Menge L Λ mit A O λ. λ L Die Menge A heißt folgenkompkt, flls jede Folge in A eine konvergente Teilfolge besitzt, die gegen einen Punkt us A konvergiert Stz: Es sei E ein normierter Vektorrum und = A E. A ist genu dnn folgenkompkt, wenn jede unendliche Teilmenge von A einen Häufungspunkt in A besitzt. 31

32 17.21 Stz: Eine Menge in einem normierten Vektorrum ist genu dnn kompkt, wenn sie folgenkompkt ist Stz: Jede kompkte Menge in einem normierten Vektorrum ist beschränkt und bgeschlossen Beispiel:[Die Umkehrung von Stz ist flsch!] Es sei B(R) := {f : R R f beschränkt} der Vektorrum der reellwertigen und beschränkten Funktionen und durch f := sup{ f(x) x R} eine Norm uf B(R) definiert. Dnn ist die Menge A := {f B(R) f 1} bgeschlossen und beschränkt ber nicht kompkt. Bechte: A = U 1 (0) heißt bgeschlossene Einheitskugel Beispiel: Ist A kompkte Menge in einem normierten Vektorrum und S A bgeschlossen, dnn ist uch S kompkt Stz: Es seien (E 1, 1 ),..., (E n, n ) normierte Vektorräume A j E j (j = 1,..., n) und der Produktrum E 1... E n mit der Mximumsnorm versehen (vgl. Bsp. 17.4). (1) Sind A 1,..., A n offen, dnn ist uch A 1... A n offen. (2) Sind A 1,..., A n bgeschlossen, dnn ist uch A 1... A n bgeschlossen. (3) Sind A 1,..., A n kompkt, dnn ist uch A 1... A n kompkt Stz: (Chrkterisierung kompkter Mengen in R n ) Eine Menge A R n ist genu dnn kompkt, wenn sie beschränkt und bgeschlossen ist Definition: Es seien (E, E ), (F, F ) normierte Vektorräume, S E, x 0 H(S). Eine Funktion f : E F ht im Punkt x 0 einen Grenzwert, wenn es ein L F gibt, so dss gilt: ε > 0 δ > 0 : x U δ (x 0 ) S : f(x) L F < ε. 32

33 17.28 Bemerkung: Es gelten nloge Eigenschften zu Abschnitt 9. Zum Beispiel: (1) (Folgenkriterium) f : S F ht im Punkt x 0 H(S) einen Grenzwert genu dnn, wenn für jede Folge (x n ) n N mit x n S\{x 0 }, x n x 0 die Folge (f(x n )) n N konvergent ist [in diesem Fll hben lle Folgen (f(x n )) n N denselben Grenzwert]. (2) Sind f, g : S F Funktionen mit lim x x0 f(x) = L und lim x x0 g(x) = M, dnn ist lim x x0 (f + g)(x) = L + M lim x x0 (αf)(x) = αl (α R) flls F = R und M 0 : lim x x0 ( f g )(x) = L M flls F = R und f(x) g(x) für lle x S\{x 0 } dnn gilt: L M Stz: Es seien E, F, G normierte Vektorräume S E, T F und f : S F, g : T G Funktionen mit f(s) T. Ist x 0 H(S), lim f(x) = y 0 H(T ) und x x0 lim g(y) = L, dnn gilt mit der Bezeichnung S 0 = {x S f(x) y 0 } : y y 0 lim x x 0 x S 0 (g f)(x) = L Definition: Es seien E, F 1,..., F m normierte Vektorräume und F := F 1 F 2... F m mit der Mximumsnorm versehen. Die Abbildung { F Fj π j : y = (y 1,..., y m ) T π j (y) := y j heißt (Koordinten-) Projektion in F j (j = 1,..., m). Ist f : E F eine Abbildung, dnn heißt die Funktion f j := π j f die j-te Koordintenbbildung von f. Schreibweise: f = (f 1,..., f m ) T Beispiel: (Oberfläche der Kugel im R 3, Kugelkoordinten) Es sei r R + und { [ π f :, π ] [0, 2π) R3 2 2 (ϑ, ϕ) (r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ) T. Dnn liegt jeder Punkt us f([ π, π ] [0, 2π)) uf der Kugeloberfläche 2 2 S := {x R 3 x 2 = r} und die Abbildung f : ( π 2, π 2 ) [0, 2π) S\{(0, 0, r)t } ist bijektiv. 33

34 17.32 Stz: Es seien E, F 1,..., F m normierte Vektorräume, S E, F := F 1 F 2... F m mit der Mximumsnorm versehen (vgl. Bsp. 17.4) und f : S F eine Abbildung mit Koordintenbbildungen f j = π j f : S F j. Die Funktion f ht in dem Punkt x 0 H(S) einen Grenzwert genu dnn, wenn für j = 1,..., m die Funktionen f j in x 0 einen Grenzwert hben. In diesem Fll gilt: lim f(x) = ( lim f 1 (x),..., lim f m (x)) T x x 0 x x0 x x0 (d.h. der Grenzwert knn komponentenweise berechnet werden) Definition: Es seien (E, E ), (F F ) normierte Vektorräume, S E. Eine Abbildung f : S F heißt stetig im Punkt x 0 S genu dnn, wenn gilt: ε > 0 δ > 0, so dss x U δ (x 0 ) S gilt: f(x) f(x 0 ) F < ε. f heißt stetig uf T S, flls f in jedem Punkt von T stetig ist Stz: Es seien E, F normierte Vektorräume und S E. Eine Abbildung f : S F ist im Punkt x 0 S stetig genu dnn, wenn für jede Folge (x n ) n N in S mit lim n x n = x 0 gilt: lim n f(x n) = f(x 0 ) Beispiel: Der Stetigkeits-(und uch Grenzwert-)begriff hängt immer von den Normen uf E, F b!! Dzu betrchte E = C[0, 1], F = R { C[0, 1] R f : x mx t [0,1] x(t) =: x Versieht mn E mit der Norm und R mit, dnn ist f offensichtlich stetig. Versieht mn E ber mit der Norm x 1 := 1 x(t) dt, dnn ist f nicht stetig Übung; Es seien E, F 1,..., F m normierte Vektorräume, S E und F := F 1 F 2... F m mit der Mximumsnorm versehen (vgl. Bsp. 17.4). Eine Abbildung f : S F ist genu dnn stetig, wenn jede ihrer Koordintenbbildungen f j = π j f : S F j stetig ist (j = 1,..., m) Stz: Es seien E, F, G normierte Vektorräume S E, T F und f : S F, g : T G Abbildungen mit f(s) T. Ist f im Punkt x 0 S stetig und g im Punkt y 0 = f(x 0 ) stetig, dnn ist g f im Punkt x 0 stetig. 34

35 17.38 Beispiel: Jede linere Abbildung λ : R n R m ist stetig und es gibt eine Konstnte c R, so dss gilt: x R n λ(x) c x Übung: Es seien E, F normierte Vektorräume, S E und f, g : S F Abbildungen, die stetig im Punkt x 0 S sind. Dnn gilt (1) f + g ist im Punkt x 0 stetig. (2) αf ist im Punkt x 0 stetig (α R). (3) Ist F = R, dnn ist f g im Punkt x 0 stetig. (4) Ist F = R, dnn ist f g im Punkt x 0 stetig, flls g(x 0 ) 0 gilt Stz: Es seien E, F normierte Vektorräume und es sei f : E F eine Abbildung. Die folgenden Aussgen sind äquivlent: (1) f ist stetig uf E. (2) Ds Urbild jeder offenen Menge in F (unter der Abbildung f) ist offen in E. (3) Ds Urbild jeder bgeschlossenen Menge in F (unter der Abbildung f) ist bgeschlossen in E Stz: Sind E, F normierte Vektorräume, S E eine kompkte Menge und f : S F stetig, dnn ist uch f(s) kompkt. Gilt ußerdem F = R, dnn ist f uf der Menge S beschränkt und nimmt uf S ein Mximum und Minimum n Definition: Es seien (E, E ), (F, F ) normierte Vektorräume und S E. Eine Abbildung f : S F heißt gleichmäßig stetig uf S genu dnn, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle x, x S mit x x E < δ gilt: f(x) f(x ) F < ε Stz: Es sei E, F normierte Vektorräume und S E kompkt. Ist die Abbildung f : S F uf S stetig, so ist sie uch gleichmäßig stetig uf S Übung: Es seien (E, E ), (F, F ) normierte Vektorräume und S E. Eine Funktion f : S F heißt Lipschitz-stetig der Ordnung α (0, 1], flls es eine Konstnte C R gibt, so dss für lle x, y S gilt f(x) f(y) F C x y α E. Jede Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig. 35

36 18. Differentilrechnung im R n 18.1 Definition: Es sei = S R n offen und x 0 S. Eine Abbildung f : S R m heißt (totl) differenzierbr im Punkt x 0, wenn es eine linere Abbildung λ : R n R m gibt, so dss in einer Umgebung U ε (x 0 ) von x 0 gilt f(x 0 + h) f(x 0 ) = λ(h) + r(h), wobei r eine in der Umgebung des Nullvektors im (R n ) definierte R m -wertige Funktion ist mit r(h) lim h 0 h = 0 [Schreibweise: r(h) = o( h )] Dbei bezeichnet irgendeine Norm uf R n bzw. R m und die Abbildung λ ist eindeutig bestimmt. f heißt uf S (totl) differenzierbr, flls f in jedem Punkt x S differenzierbr ist. Die linere Abbildung λ heißt Ableitung von f im Punkt x 0 bzw. (totles) Differentil von f n der Stelle x 0 und wird mit D f (x 0 ) bezeichnet. Die zugehörige (bzgl. der knonischen Bsen von R n bzw. R m ) gebildete m n Mtrix wird mit f (x 0 ) bezeichnet. Ist n = m, so heißt det f (x 0 ) die Funktionldeterminnte von f im Punkt x Beispiel und Bemerkungen: (1) Für n = m = 1 liefert Definition 18.1 den Differenzierbrkeitsbegriff us Kpitel 10. (2) Ist f (totl) differenzierbr in x 0, dnn ist f uch stetig in x 0. (3) Ist f : R n R m gegeben durch f(x) = c, dnn ist f uf R n (totl) differenzierbr mit D f (x 0 ) = 0 x 0 R n. (4) Ist f : R n R m eine linere Abbildung, dnn ist f uf R n (totl) differenzierbr und es gilt D f (x 0 ) = f. (5) Es sei f : R 2 R 1 gegeben durch f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, dnn ist f uf R 2 (totl) differenzierbr, für jedes x R 2 ist: { R 2 R λ := D f (x) : y λ(y) = (x 2, x 1 ) ( y 1 ) y 2 = x2 y 1 + x 1 y 2 und es gilt: f (x) = (x 2, x 1 ). (6) Es sei f : R n R gegeben durch f(x) = x 2 2 = n j=1 x2 j; dnn ist f (totl) differenzierbr uf R n, für jedes x R ist: { R n R λ = D f (x) : y λ(y) = 2x T y = 2 n j=1 x jy j und es gilt: f (x) = 2(x 1,..., x n ) = 2x T. 36

37 18.3 Stz (Kettenregel): Es seien S R n, T R m offene Mengen, f : S R m, g : T R p Abbildungen mit f(s) T. Ist f in x 0 (totl) differenzierbr und g in y 0 = f(x 0 ) (totl) differenzierbr, dnn ist uch g f in x 0 (totl) differenzierbr und es gilt bzw. (in Mtrixschreibweise) D g f (x 0 ) = D g (f(x 0 )) D f (x 0 ) (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ) Stz: Die Abbildung f : S R m (S R n offen) ist genu dnn (totl) differenzierbr in x 0 S, wenn für lle j = 1,..., m die Koordintenbbildung f j := π j f : S R (totl) differenzierbr ist. In diesem Fll gilt f (x 0 ) = f 1(x 0 ). f m(x 0 ) ; D f (x 0 ) = D f1 (x 0 ). D fm (x 0 ) 18.5 Stz: Es sei = S R n offen, x 0 S und die Abbildungen f, g : S R m seien (totl) differenzierbr in x 0 S. Dnn gilt: (1) f + g ist differenzierbr in x 0 und es gilt (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). (2) Für lle α R ist αf differenzierbr in x 0 und es gilt (αf) (x 0 ) = αf (x 0 ). (3) Ist m = 1, so ist f g differenzierbr in x 0 und es gilt (f g) (x 0 ) = g(x 0 )f (x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). (4) Ist m = 1, g(x 0 ) 0, so ist f g differenzierbr in x 0 und es ist ( f g ) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ). g 2 (x 0 ) 18.6 Definition: Es sei = S R n offen, ξ S und e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) T bezeichne den i-ten Einheitsvektor. Eine Funktion f : S R heißt im Punkt ξ S prtiell (nch der Vriblen x i ) differenzierbr, flls der Grenzwert f(ξ + te i ) f(ξ) lim t 0 t t R =: f x i (ξ) =: f(ξ) x i 37

38 f existiert (bechte t R). x i (ξ) heißt die prtielle Ableitung von f nch x i im Punkt ξ (weitere Schreibweisen f xi (ξ), f x i, x i f, D i f). Existiert die prtielle Ableitung f x i (ξ) in einer Umgebung U ε (ξ) R n von ξ und ist die Abbildung { Uε (x i ) R f xi : u f x i (u) prtiell in ξ differenzierbr, so definiert mn 2 f x j x i (ξ) := ( f (ξ)). x j x i Für i = j schreibt mn uch 2 f x 2 i := 2 f x i x i Stz: (Schwrz) Es sei = S R n offen, f : S R eine Abbildung, für die die prtiellen Ableitungen f x i, f x j, 2 f x i x j, 2 f x j x i uf S existieren und stetig sind. Dnn gilt für lle ξ S 2 f(ξ) x i x j = 2 f(ξ) x j x i. Ein entsprechender Stz gilt uch für höhere prtielle Ableitungen! 18.8 Bezeichnungen: Wir setzen 0 f x j = f und für p N p f x p j := ( p 1 f ). x j x p 1 j Die höheren prtiellen Ableitungen der Ordnung k (k = n j=1 k j) ( ) k f ( ) := k1 k 2 (... kn f ) x k 1 i 1... x k n in x k 1 i 1 x k 2 i 2 x k n in werden itertiv definiert. C p (S) bezeichnet die Menge ller Funktionen f : S R, für die die prtiellen Ableitungen der Form ( ) für lle k 1,..., k n N0 mit 0 k k n p und für lle Permuttionen (i 1,..., i n ) von (1,..., n) uf S existieren und stetig sind [die Menge der p-ml stetig (prtiell) differenzierbren Funktionen]. C (S) := {f : S R f C p (S) p N} bezeichnet die Menge der unendlich oft (prtiell) differenzierbren Funktionen uf S Stz: (Zusmmenhng zwischen totler Differenzierbrkeit und prtieller Differenzierbrkeit) Es sei = S R n offen, ξ S und f : S R m eine Abbildung. 38

39 (1) Ist f in ξ (totl) differenzierbr, dnn existiert für jede Koordintenbbildung f i (i = 1,..., m) und jedes j {1,..., n} die prtielle Ableitung von f i nch der Vriblen x j und es gilt: Für m = 1 heißt f (ξ) = der Grdient von f im Punkt ξ. f 1 x 1 (ξ).... f m x 1 (ξ)... f 1 x n (ξ). f m x n (ξ) grd f(ξ) := f (ξ) = ( f x 1 (ξ),..., f x n (ξ)) (2) Existieren für i = 1,..., m und j = 1,..., n die prtiellen Ableitungen f i x j der Koordintenbbildungen von f uf S und sind diese im Punkt ξ stetig, dnn ist f im Punkt ξ (totl) differenzierbr Beispiel: () Die Funktion { R 3 R f : 2 (x 1, x 2, x 3 ) T (x 1 x 2, e x 1 sin x 3 ) T ist uf R 3 totl differenzierbr und es gilt ( ) f x (x) = 2 x 1 0 sin x 3 e x 1 0 cos x 3 e x 1 (b) Die Funktion f : R 2 R, f(x) = { x1 x 2 x 2 1 +x2 2 flls x = (x 1, x 2 ) T 0 0 flls x = 0 ist uf R 2 prtiell differenzierbr, uf R 2 \{0} (totl) differenzierbr und im Punkt 0 nicht (totl) differenzierbr Definition: Es = S R n offen, x 0 S, e R n mit e 2 = 1. Flls für eine Funktion f : S R der Grenzwert f e (x f(x 0 + t e) f(x 0 ) 0) := lim t 0 t (t reell) existiert, so heißt f e (x 0) die Richtungsbleitung von f im Punkt x 0 in Richtung des Vektors e. 39

40 18.12 Eigenschften: (Nottion wie in 18.11) (1) Die prtiellen Ableitungen sind spezielle Richtungsbleitungen, d.h. f = f (i = 1,..., n) x i e i (2) Ist f im Punkt x 0 (totl) differenzierbr, dnn existiert jede Richtungsbleitung im Punkt x 0 und es gilt für lle e R n mit e 2 = 1 : f e (x 0) = grd f(x 0 ) e. (3) Es sei grd f(x 0 ) 0 und dnn gilt: e T 0 = grd f(x 0) grd f(x 0 ) 2, f (x 0 ) = mx{ f e 0 e (x 0) e R n ; e 2 = 1} = grd f(x 0 ) 2. D.h. der Grdient gibt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion f im Punkt x 0 n Bezeichnungen: Es sei = S R n, S offen h = (h 1,..., h n ) T R n und f : S R. Für f C 1 (S) sei f := grd f (Sprechweise: Nbl f) sowie ( h)f = ( h)f := grd f h = n h j f. x j j=1 Für f C k+1 (S) definiert mn induktiv ( h) 0 f = f Zum Beispiel ist lso für k = 1 ( h) k+1 f := ( h)(( h) k f). ( h) 2 f = n i=1 h i n ( x i j=1 h j f) = x j n i,j=1 h i h j 2 x i x j f. 40

41 18.14 Übung: Es sei = S R n, S offen, f : S R und h = (h 1,..., h n ) T R n. Mn zeige, dss für f C k (S) gilt: ( h) k f = α αn=k α 1,...,αn 0 k! α 1!... α n! hα h αn n k x α f x αn Dbei erfolgt die Summtion über lle n-tupel (α 1,..., α n ) mit 0 α j k (j = 1,..., n) und n j=1 α j = k. n Stz: (Tylor) Es sei = S R n offen, f C k+1 (S), x 0 S, h R n und x 0 + th S für lle 0 t 1. Dnn existiert ein τ (0, 1) mit f(x 0 + h) = f(x 0 ) + ( h)f(x 0) 1! Für k = 0 ergibt sich der Mittelwertstz: ( h)k f(x 0 ) k! + ( h)k+1 f(x 0 + τh). (k + 1)! f(x 0 + h) f(x 0 ) = ( h)f(x 0 + τh) = grd f(x 0 + τh) h Folgerung: Es sei = S R n, S offen, x 0 S und δ > 0, so dss U δ (x 0 ) S gilt. Ist die Funktion f : S R k-ml stetig differenzierbr, so gilt für lle h R n mit h < δ f(x 0 + h) = k j=0 ( h) j f(x 0 ) j! + o( h k ) Bezeichnung: Es sei = S R n, f : R n R und c R. N f (c) := {x S f(x) = c} heißt Niveulinie (zum Wert c), bzw. Höhenlinie Definition: Es sei S R n, f : S R, x 0 S. Die Funktion f ht in dem Punkt x 0 ein reltives Mximum, wenn es ein δ > 0 gibt, so dss für lle x U δ (x 0 ) S gilt: f(x) f(x 0 ). f ht in x 0 ein reltives Minimum, wenn f ein reltives Mximum im Punkt x 0 besitzt. f ht in x 0 ein reltives Extremum, wenn f in x 0 ein reltives Mximum oder Minimum ht Stz: Es sei = S R n, S offen, x 0 S. Ht die Funktion f : S R im Punkt x 0 ein reltives Extremum und existieren die prtiellen Ableitungen von f im Punkt x 0, dnn ist grd f(x 0 ) = 0 ( R n ). 41

42 18.20 Definition: Eine symmetrische n n-mtrix A = ( ij ) i,j=1,...,n heißt positiv definit, flls für lle x R n \{0} gilt: x T Ax = n ij x i x j > 0. i,j=1 Die Mtrix A heißt positiv semidefinit, flls x T Ax 0 für lle x R n gilt. A heißt negtiv (semi-)definit flls A positiv (semi-)definit ist. Existieren x, y R n mit so heißt die Mtrix A indefinit. x T Ax < 0 < y T Ay, Stz: Es sei A = ( ij ) i,j=1,...,n eine symmetrische n n-mtrix. Die Mtrix A ist positiv definit genu dnn, wenn für lle k = 1,..., n gilt: k k A k :=.... > 0... k1 k2... kk A k heißt Huptminor der Ordnung k der Mtrix A Lemm: Eine symmetrische n n-mtrix A ist genu dnn positiv definit, wenn es ein α > 0 gibt, so dss für lle x R n gilt: Q A (x) := x T Ax α x Stz: Es sei = S R n offen, x 0 S, f : S R, f C 2 (S) und grd f(x 0 ) = 0. Ist die Hessesche Mtrix von f im Punkt x 0 ( ) 2 f(x 0 ) 2 f(x 0 ) 2 x f(x 0 ) 2 1 x 1 x f(x 0 ) x 1 x n (Hess f)(x 0 ) := =. x i x j..... i,j=1,...,n 2 f(x 0 ) 2 f(x 0 ) x n x 1 x n x 2... (1) positiv definit, dnn ht f im Punkt x 0 ein lokles Minimum. (2) negtiv definit, dnn ht f im Punkt x 0 ein lokles Mximum. (3) indefinit, dnn ht f im Punkt x 0 kein reltives Extremum. 2 f(x 0 ) x 2 n 42

43 18.24 Stz: Es seien x 0 R n, y 0 R m, δ 1, δ 2 > 0, U 1 := U δ1 (x 0 ), U 2 = U δ2 (y 0 ) und { U1 U 2 R m F : ( x y) F (x, y) eine im Punkt ( x 0 ) y 0 (totl) differenzierbre Funktion mit F (x0, y 0 ) = 0, für die die m m- Mtrix F y (x 0, y 0 ) := F 1 y 1 (x 0, y 0 )... F 1 y m (x 0, y 0 ). F m y 1 (x 0, y 0 )... F m y m (x 0, y 0 ) invertierbr ist. Ist dnn g : U 1 R m eine stetige Abbildung mit g(u 1 ) U 2, g(x 0 ) = y 0 und F (x, g(x)) = 0 x U 1, dnn ist g im Punkt x 0 differenzierbr und es gilt wobei F x (x 0, y 0 ) die m n-mtrix ( ) 1 g F x (x 0) := g (x 0 ) = y (x F 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ), F x (x 0, y 0 ) = F 1 x 1 (x 0, y 0 )... F 1 x n (x 0, y 0 ).. F m F x 1 (x 0, y 0 )... m x n (x 0, y 0 ) der prtiellen Ableitungen von F bzgl. der ersten n Koordinten im Punkt ( x 0 y 0 ) bezeichnet Stz: (über implizite Funktionen) Es seien U 1 R n, U 2 R m offene Mengen, x 0 U 1, y 0 U 2 und { U1 U 2 R m F : ( x y) F (x, y) eine stetig differenzierbre Abbildung [d.h. invertierbrer m m-mtrix F y (x 0, y 0 ) = F 1 y 1 (x 0, y 0 )... F C 1 (U 1 U 2 )] mit F (x 0, y 0 ) = 0 und F 1 y m (x 0, y 0 )... F m F y 1 (x 0, y 0 )... m y m (x 0, y 0 ) Dnn gibt es offene Mengen V 1 U 1, V 2 U 2 mit x 0 V 1, y 0 V 2 und eine stetige Abbildung g : V 1 V 2 mit F (x, g(x)) = 0 x V 1. 43

44 Ist (x, y) V 1 V 2 ein Punkt mit F (x, y) = 0, so folgt y = g(x) [d.h. g ist in diesem Sinn eindeutig bestimmt] Bemerkung: Die Funktion g in Stz ist stetig differenzierbr uf einer (evtl. kleineren) offenen Menge U V 1 (mit x 0 U) und es gilt: ( ) 1 F g F (x) = (x, g(x)) (x, g(x)). y x Stz: (Differenzierbrkeit der Umkehrfunktion) Es sei U R n offen, f : U R n eine stetig differenzierbre Abbildung und x 0 U, f(x 0 ) = y 0. Ist die Jcobi- Mtrix f (x 0 ) invertierbr, dnn gibt es eine offene Menge V U mit x 0 V und eine offene Menge V R n mit y 0 V, so dss f die Menge V bijektiv uf V bbildet. Die Umkehrbbildung f 1 : V V ist stetig differenzierbr mit (f 1 ) (y 0 ) = (f (f 1 (y 0 ))) Definition und Stz: (Lgrnge-Multipliktorenregel) Es sei U R n offen, f : U R m (m < n) eine stetig differenzierbre Funktion, M := {x U f(x) = 0} die Menge ller Nullstellen von f in der Menge U und x 0 U, so dss die m n-mtrix f (x 0 ) vollen Rng m hbe. Eine stetig differenzierbre Funktion h : U R ht in dem Punkt x 0 U ein lokles Mximum (Minimum) unter der Nebenbedingung f = 0 flls es ein δ > 0 gibt, so dss h(x 0 ) h(x) (bzw. h(x 0 ) h(x)) für lle x U δ (x 0 ) M U gilt. In diesem Fll existiert ein Vektor λ = (λ 1,..., λ m ) T R m, so dss im Punkt x 0 gilt grd h(x 0 ) λ T f (x 0 ) = 0. Die Elemente λ 1,..., λ m heißen Lgrnge-Multipliktoren. Mn bechte, dss die letzte Identität n Gleichungen und die Menge M m Gleichungen für n + m Unbeknnte (die Koordinten des Extremums und die Lgrnge-Multipliktoren) definiert. 44