Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen

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1 Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Georg Bol georg.bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de

2 Stetige Verteilungen Definition: Sei X eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F X : R [0,1]. heißt stetig, wenn es eine Funktion f X : R R gibt mit X F X (α) = α f X (x)dx für alle α R Folgerung: Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable ist stetig. f x wird unter gewissen Voraussetzungen (s.u.) Dichtefunktion genannt. Kapitel V - Stetige Verteilungen 1

3 Stetige Verteilungen Abbildung 5.3a Histogramm Abbildung 5.3b Summenhäufigkeitsfunktion Beziehung zwischen Histogramm und Summenhäufigkeitsfunktion. Kapitel V - Stetige Verteilungen 2

4 Stetige Verteilungen Abbildung 5.4a Dichtefunktion Abbildung 5.4b Verteilungsfunktion analog: Beziehung zwischen Dichte-und Verteilungsfunktion. Kapitel V - Stetige Verteilungen 3

5 Arten von Zufallsvariablen 1. Diskret 2. Stetig 3. Mischform (Höhe des Verlusts im Beispiel Abfüllanlage) Kapitel V - Stetige Verteilungen 4

6 Eigenschaften von und Forderungen an f X 1. F X monoton steigend. Damit gibt es keine Zahlen α und β mit α < β und f X (x) < 0 für alle α x β, da sonst β α f X (x)dx < 0 und damit F X (β) = β f X(x)dx = α f X(x)dx + β α f X(x)dx < F X (α) wäre. Aber α f X(x)dx wird nicht durch den Wert f X (x 0 ) von f X an einer Stelle x 0 beeinflusst. Zur Vereinfachung: Forderung f X (x) 0 für alle x R. Kapitel V - Stetige Verteilungen 5

7 Eigenschaften von und Forderungen an f X 2. Aus folgt (Gesamtfläche unter f : 1) lim F X(α) = α lim F X(α) = 1 α f X (x)dx = 1 Kapitel V - Stetige Verteilungen 6

8 Eigenschaften von und Forderungen an f X 3. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ist f X stetig in einer Umgebung von x 0, so ist F X differenzierbar in x 0 und F X(x 0 ) = f X (x 0 ) Daher die Forderung: Ist F X in x 0 differenzierbar, dann gelte f X (x 0 ) = F X(x 0 ) Kapitel V - Stetige Verteilungen 7

9 Definition Sei F X die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable X mit F X (α) = α f X (x)dx für alle α R f X heißt Dichtefunktion von X, wenn 1. f X (x) 0 für alle x R; 2. für alle x, in denen F X differenzierbar ist, gilt f X (x) = F X(x) Kapitel V - Stetige Verteilungen 8

10 Satz (hinreichende Bedingung): Sei f bis auf endlich viele Stellen stetig mit den Eigenschaften 1. f(x) 0 für alle x; 2. f(x)dx = 1; 3. Existiert lim α α 0 f(α), so ist f(α 0 ) = lim α α 0 f(α) Dann ist f Dichte einer Zufallsvariable, deren Verteilungsfunktion durch F(α) = α f(x)dx gegeben ist. Kapitel V - Stetige Verteilungen 9

11 Beispiele stetiger Verteilungen 1. Geometrische Verteilungen a) Gleichverteilung über einem Intervall [a,b] (Rechteckverteilung) Dichtefunktion einer Gleichverteilung Kapitel V - Stetige Verteilungen 10

12 Beispiele stetiger Verteilungen 1. Geometrische Verteilungen a) Gleichverteilung über einem Intervall [a,b] (Rechteckverteilung) Dichtefunktion: { 1 f(x) = b a für a x b 0 sonst Verteilungsfunktion: F(x) = 0 für x < a 1 b a (x a) für a x b 1 für x > b Die Wahrscheinlichkeit ist gleichmäßig über das Intervall verteilt. Intervalle gleicher Breite in [a, b] haben gleiche Wahrscheinlichkeit. Kapitel V - Stetige Verteilungen 10

13 Beispiele stetiger Verteilungen 1. Geometrische Verteilungen: Trapezverteilung f(x) h a c d b x Abbildung 5.6 Dichtefunktion einer Trapezverteilung Kapitel V - Stetige Verteilungen 11

14 Beispiele stetiger Verteilungen 1. Geometrische Verteilungen: Trapezverteilung Fläche des Trapezes: 1 2 (b a + d c) h = 1! 2 Dann h = (b a)+(d c) Dichtefunktion: 2 x a (b a)+(d c) c a für a x c f(x) = 2 (b a)+(d c) für c x d 2 b x (b a)+(d c) b d für d x b 0 sonst Kapitel V - Stetige Verteilungen 11

15 Beispiele stetiger Verteilungen 1. Geometrische Verteilungen: Trapezverteilung Verteilungsfunktion: α < a: F(α) = 0 2 (α a) a α c : 2 (b a)+(d c) 2(c a) = 1 (α a) 2 (b a)+(d c) c a c α d : 2α b a+d c + C 1 1 (b α) d α b : 2 b a+d c b d + C 2 b α : F(α) = 1 Kapitel V - Stetige Verteilungen 12

16 Beispiele stetiger Verteilungen 1. Geometrische Verteilungen: Trapezverteilung Die Konstanten C 1 und C 2 sind so zu bestimmen, daß die Funktion stetig ist. Dies betrifft die Stellen c,d und b. 1 (c a) α = c : 2 b a+d c c a = 2c b a+d c + C 1 C 1 = c a b a+d c 1 (b b) α = b : 2 b a+d c b d + C 2 = 1 C 2 = 1 1 (b d) α = d : 2 b a+d c b d + 1 = 2d c a b a+d c Mit den Werten für C 1 und C 2 ist F in d stetig. Kapitel V - Stetige Verteilungen 13

17 Beispiele stetiger Verteilungen 2. Exponentialverteilung Eine Zufallsvariable mit der Dichte f(x) = 0 für x < 0 λe λx für x 0 heißt exponentialverteilt mit Parameter λ > 0, Exp(λ). Verteilungsfunktion: α < 0 : F(α) = 0 α 0 : F(α) = α f(x)dx = [ e λx] α 0 = 1 e λα Kapitel V - Stetige Verteilungen 14

18 Beispiele stetiger Verteilungen 2. Exponentialverteilung f(x) x Dichtefunktion der Exponentialverteilung... Kapitel V - Stetige Verteilungen 15

19 Beispiele stetiger Verteilungen 2. Exponentialverteilung f(x) x...und zugehörige Verteilungsfunktionen für λ = 2, 1, 0.5 Kapitel V - Stetige Verteilungen 16

20 3. Normalverteilung Beispiele stetiger Verteilungen Dichte der Normalverteilung mit Parametern µ R und σ 2 > 0, (N(µ,σ 2 )) f(x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2 f(x) ist symmetrisch um µ. Dichte der Standardnormalverteilung, Parameter µ = 0, σ 2 = 1, (N(0,1)) f(x) = 1 e x2 2 2π Kapitel V - Stetige Verteilungen 17

21 Beispiele stetiger Verteilungen 3. Normalverteilung f(x) x Dichtefunktion der Standardnormalverteilung Kapitel V - Stetige Verteilungen 18

22 Beispiele stetiger Verteilungen 3. Normalverteilung Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Kapitel V - Stetige Verteilungen 19