Kapitel 3 Integralrechnung

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1 Kpitel 3 Integrlrechnung Der Ausgngspunkt für die Entwicklung der Integrlrechnung ist ds Problem der Berechnung krummlinig begrenzter Flächen. Bereits in der Antike gelng es Archimedes, den Flächeninhlt eines Kreises und den Flächeninhlt unter einem Prbelbschnitt mithilfe von Ausschöpfungen zu bestimmen. Seit der Antike hben sich viele Mthemtiker (u.. Kepler und Fermt) mit der Berechnung spezieller Flächeninhlte useinndergesetzt. Im 7. Jhrhundert fnden dnn G.W.Leibniz, I.Newton und Johnn Bernoulli unbhängig voneinnder herus, dss mn die Integrtion stetiger Funktionen ls ds Suchen einer Stmmfunktion und dmit ls Umkehrung der Differentition uffssen knn. Ddurch vereinfchte sich die Berechnung der bis dhin beknnten Flächeninhlte rdikl und reduzierte sich uf die Anwendung einiger einfcher Regeln, und es entstnd ds Integrlklkül. Dbei stnd für Newton der Aspekt der Suche nch einer Stmmfunktion im Vordergrund, während Leibniz ds Integrl primär ls eine Approimtion der Fläche unter einem Funktionsgrphen durch eine Summe über geeignete Rechtecke uffsste. Der Anstz von Leibniz wurde im 9. Jhrhundert von Bernhrd Riemnn präzisiert. Wir werden hier den Integrlbegriff vorstellen, wie er im 9. Jhrhundert von Bernhrd Riemnn definiert wurde. 3. Riemnn-Integrl FürdieDefinitiondesIntegrlsbenötigenwireinigeVorbereitungen.Seif:[,b] R eine nch oben und unten beschränkte Funktion. Unter einer Teilung des Intervlls [, b] verstehen wir eine Menge von Stützstellen T = { 0,,..., n } [,b], wobei = 0 < <... < n = b und n N ist. Die Feinheit der Teilung T ist definiert ls T := m{ k k k =,...,n}. Die Riemnn-Summe von f zur Teilung T und den Messpunkten ξ k [ k, k ] lutet R T (f) := f(ξ k )( k k ). k= Hier werden (flls f(ξ k ) 0) die Flächen der Rechtecke über den Teilintervllen I k := [ k, k ] der Höhe f(ξ k ) ufsummiert. Eigentlich müsste mn die Whl der Messpunkte mit in die Abkürzung R T (f) ufnehmen. Wir verzichten hier druf,

2 58 Kpitel 3. Integrlrechnung um die Nottion möglichst einfch zu hlten. Ist f stetig und wählt mn ls Messpunkte jeweils die Stellen ξ k, n denen f sein Mimum (bzw. sein Minimum) uf I k nnimmt, so ist die zugehörige Riemnn-Summe die Obersumme (bzw. die Untersumme) zur Teilung T. Ist jetzt (T n ) n N eine Folge von Teilungen mit lim n T n = 0, so würde mn ds Integrl von f über [,b] gern ls den Grenzwert der zugehörigen Riemnn- Summen, lso ls lim n R T n (f) definieren. Hier ergeben sich ber gleich zwei Frgen: Eistiert dieser Grenzwert überhupt? Und wenn j, hängt der Grenzwert von der Whl der Teilungen und der jeweiligen Messpunkte b? Um die Eistenz und Eindeutigkeit sicherzustellen, muss mn n die Funktion Bedingungen stellen. Dzu definieren wir die Schwnkungssumme von f zur Teilung T ls D T (f) := (f) k ( k k ), k= wobei (f) k := sup{f() I k } inf{f() I k } die grösste Schwnkung von f ufdemintervlli k ngibt.fürstetigefunktionenistdieschwnkungssumme von T gerde die Differenz zwischen Ober- und Untersumme zur Teilung T. Wir können festhlten, dss die Schwnkungssumme bei Verfeinerung der Teilung T höchstens kleiner, ber nie grösser wird. 3.. Definition Eine beschränkte Funktion f:[, b] R heisst Riemnn-integrierbr über [,b], wenn es zu jedem ǫ > 0 eine Teilung T von [,b] gibt mit D T (f) ǫ. Ist dies der Fll, so gibt es eine eindeutig bestimmte Zhl S mit R T (f) S D T (f) für lle Teilungen T und lle Riemnn-Summen R T (f). Die Zhl S gibt ds bestimmte Integrl von f über [, b] n und mn schreibt dfür üblicherweise: S = f(). Die Schreibweise geht uf Leibniz zurück, der dmit n die Summtion über Rechtecksflächen infinitesimler Breite erinnern wollte Stz Ist f Riemnn-integrierbr über [,b] und T n eine Folge von Teilungen von [,b] mit lim n T n = 0, so gilt für die jede Folge zugehöriger Riemnn- Summen (unbhängig von der Whl der Messpunkte): f() = lim n R Tn (f).

3 3.. Riemnn-Integrl 59 Zur Berechnung des Integrls einer integrierbren Funktion kommen lso zum Beispiel Obersummen oder Untersummen in Frge, mn könnte ber ls Messpunkte uch jeweils die Mittelpunkte der Teilintervlle wählen. Entscheidend ist nur, dss die Feinheit der betrchteten Teilungen gegen Null konvergiert Beispiele () Betrchten wir ls erstes konstnte Funktionen. Sei lso f() = c für lle [,b] (c > 0 konstnt). Dnn ist D T (f) = 0 für lle Teilungen und dher f trivilerweise Riemnn-integrierbr. Weiter ist R T (f) = c (b ) für jede Teilung T, und dher folgt: f() = c (b ). Ds Integrl gibt lso wie gewünscht den Flächeninhlt unter dem Grphen von f n, der in diesem Fll ein Rechteck der Breite (b ) und der Höhe c ist. (2) Sei > 0 fest gewählt und bezeichne f die Prbelfunktion uf [0,], gegeben durchf() = 2.DiePrbelfunktioniststetigunddherintegrierbr,wiewirgleich llgemein begründen werden. Zur Berechnung des Integrls wählen wir Teilungen in jeweils gleichbreite Abschnitte. Die Teilung T n (für n N) bestehe us den Stützstellen k := k für k = 0,,...,n. n Im Intervll I k wählen wir jeweils den rechten Rndpunkt ls Messpunkt. Dnn lutet die dzugehörige Riemnn-Summe: k= n f( k) = k= n (k n )2 = 3 n 3 k 2 = 3 3 n(n+)(2n+) = n (+ n )(2+ n ). k= Drus ergibt sich = lim R Tn (f) = lim n n 6 (+ n )(2+ n ) = 3 3. (3) Betrchten wir nun die Hyperbelfunktion. Sei > fest gewählt. Die Funktion f() = für [,] ist stetig und dher mit dem später folgenden Stz integrierbr. Wir wollen zeigen: = ln(). Mn knn diese Ttsche sogr ls Definition des ntürlichen Logrithmus verwenden, und so ist es uch historisch gewesen. Der Mthemtiker Npier entdeckte bei dem Versuch, die Hyperbel zu integrieren, dss die Fläche unter der Hyperbel uf dem Abschnitt [, ] übereinstimmt mit der Fläche unter der Hyperbel uf dem Abschnitt [c,c] für lle c >. (Die Streckung des Abschnitts [,] uf der -Achse

4 60 Kpitel 3. Integrlrechnung wird wettgemcht durch die entsprechende Stuchung der Funktionswerte.) In Integrlnottion heisst ds: c c =. Denn ist T = {,,..., n } eine Teilung von [,], dnn liefert Multipliktion mit dem Fktor c eine Teilung ct = {c,c,...,c n } von [c,c]. Die entsprechenden Riemnn-Untersummen stimmen überein, denn: R ct (f) = n k= c k (c k c k ) = R T (f). Die Behuptung folgt jetzt durch Grenzübergng T 0. Die Beobchtung von Npier ist eigentlich nichts nderes ls ds Logrithmengesetz: ln(c) ln(c) = c c = = ln(). Ausserdem gilt offenbr = 0 = ln(). Durch diese Eigenschften ist der ntürliche Logrithmus bereits (bis uf Konstnte) eindeutig festgelegt. Jetzt wollen wir ds Integrl für > mithilfe von Riemnnsummen eplizit bestimmen. Dzu sei T n die Teilung mit den Stützstellen k = ( n ) k (k =,...,n). Wählen wir ls Messpunkte jeweils die Punkte k, so erhlten wir folgende Riemnn-Obersumme: R Tn (f) = k= k ( k k ) = k= ( k k ) = n( n ). Nun ergibt sich us der l Hospitlschen Regel: lim n n( n ) = lim 0 e ln() = ln()e 0. Also ist wie behuptet: = ln(). (4) Und hier ist schliesslich noch ein Beispiel einer Funktion, die nicht Riemnnintegrierbr ist. Sei f:[0,] R definiert durch { flls Q f() = 0 flls / Q. Es gilt f() = lim k (lim n (cos(k!π)) 2n ) für lle. Jedes Teilintervll von [0, ] enthält sowohl rtionle ls uch irrtionle Punkte, die ls Messpunkte zur Auswhl stehen. Also beträgt die Schwnkungssumme D T (f) = für jede Teilung T von [0, ]. Deshlb ist f uf dem Intervll [0, ] nicht Riemnn-integrierbr.

5 3.2. Eigenschften des Riemnn-Integrls Eigenschften des Riemnn-Integrls Wir wollen zunächst festhlten, dss lle uf einem bgeschlossenen Intervll stetigen Funktionen dort uch Riemnn-integrierbr sind. Dzu bruchen wir folgende Ttsche, die wir hier ohne Beweis ngeben: 3.2. Stz Ist f:[,b] R stetig, dnn ist f uf [,b] sogr gleichmässig stetig. Ds heisst, zu jedem ǫ > 0 eistiert ein δ > 0, so dss für lle,y [,b]. y < δ f() f(y) < ǫ Stz Jede uf einem bgeschlossenen Intervll [, b] stetige Funktion ist uf [, b] uch Riemnn-integrierbr. Beweis. Sei ǫ > 0 vorgegeben. Dnn setzen wir ǫ 0 := ǫ und wählen δ > 0 so dss b f() f(y) < ǫ 0 für lle,y mit y < δ. Sei weiter T = { 0,..., n } eine Teilung des Intervlls [,b] mit T < δ. Dnn gilt k k < δ für lle k, und dher (f) k = sup{f() k k } inf{f() k k } < ǫ 0. Drus folgt für die Schwnkungssumme D T (f) = n k= (f) k( k k ) ǫ 0 (b ) = ǫ. Also erfüllt f die Definition der Riemnn-Integrierbrkeit. q.e.d. Wir hlten nun einige wichtige Eigenschften fest, die mehr oder weniger direkt us den Definitionen folgen Stz Seien f,g:[,b] R uf [,b] Riemnn-integrierbr. Dnn sind uch f +g, λ f (λ R fest), f g und f Riemnn-integrierbr. Ausserdem gelten die folgenden Aussgen: Linerität: (f()+g()) = f()+ g(). Monotonie: Aus f() g() für lle [,b] folgt Betrgsregel: f() f(). Additivität der Intervlle: Ist t (,b), so gilt t f()+ t f() = f() f(). g(). Mn trifft deshlb uch die Vereinbrung f() = 0. Die Integrierbrkeit von f folgt zum Beispiel drus, dss D T ( f ) D T (f) für lle Teilungen T von [,b]. Und die Monotonie des Integrls ergibt sich drus, dss R T (f) R T (g) für jede Teilung T, flls f() g() für lle. Die übrigen

6 62 Kpitel 3. Integrlrechnung Aussgen sind ähnlich einfch einzusehen. Nur die Integrierbrkeit von Produkten erfordert eine etws längere Argumenttion. Nch Konstruktion misst ds Integrl über [, b] einer Funktion, deren Grph gnz oberhlb der -Achse verläuft, den Inhlt der Fläche zwischen Funktionsgrph und -Achse über dem Abschnitt [, b]. Bei einer beliebigen Funktion f gibt ds Integrl über f die Gesmtfläche zwischen Funktionsgrph und -Achse n, lso die Summe der Teilflächen oberhlb und unterhlb der -Achse. Ds Integrl über f dgegen gibt die Differenz der Teilflächen oberhlb der -Achse und unterhlb der -Achse n. Aus der Linerität und Additivität des Integrls folgt, dss uch Funktionen mit endlich vielen Sprungstellen integrierbr sind. Genuer gilt folgendes: Folgerung : Ändert mn den Funktionswert einer Riemnn-integrierbren Funktion n endlich vielen Stellen, so erhält mn wieder eine Riemnn-integrierbre Funktion, und der Wert des Integrls bleibt dbei unverändert. Beweis. Nehmen wir n, wir wollen den Wert der Funktion f:[,b] R n der Stelle t (,b) durch den Wert f(t) + λ ersetzen {(λ R). Dnn können wir die für = t neue Funktion schreiben ls f +λ g, wobei g() =. Die Funktion g 0 für t ist integrierbr uf [,b]. Dennzu ǫ > 0 können wir die Teilung T = {,t ǫ,t+ ǫ,b} 2 2 wählenunderhltend T (g) = ǫ.fürdiezugehörigenriemnn-summengiltr T (g) ǫ, und deshlb g() = 0. Also ist uch die Funktion f +λ g integrierbr, und b (f()+λg()) = f(). q.e.d. Folgerung 2: Sei T = { 0,,..., n } eine Teilung des Intervlls [,b]. Ist die Funktion f:[,b] R uf [,b]\t stetig und eistieren endliche rechts- und linksseitige Grenzwerte lim i,> i f() und lim i,< i f() für lle i, so ist f uf [,b] Riemnn-integrierbr. Beweis. Wir betrchten die Funktion f uf den Teilintervllen I k = [ k, k ]. Auf dem Inneren von I k ist f stetig, und ufgrund der Vorussetzung über ds Verhlten m Rnd können wir f stetig uf die Rndpunkte fortsetzen und die resultierende Funktion f k über I k integrieren. D es für ds Integrl uf die Funktionswerte n den Rndpunkten nicht nkommt, ist uch f uf I k integrierbr. Mit der Additivität der Intervlle folgt jetzt die Behuptung. q.e.d. 3.3 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Auch in der Integrlrechnung gibt es einen Mittelwertstz: 3.3. Stz Ist f:[,b] R stetig, dnn eistiert ein τ [,b] mit b f() = f(τ).

7 3.3. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung 63 Beweis. Bezeichne m den minimlen und M den mimlen Wert, den f uf [,b] nnimmt. Dnnistm f() M fürlle [,b].drusfolgtmitdermonotonie des Integrls m (b ) f() M (b ). Also ist η := f() ein Wert zwischen m und M, und nch dem Zwischenwertstz eistiert ein τ [,b] mit f(τ) = η. b q.e.d. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung lutet folgendermssen: Stz Sei f:[,b] R stetig. Dnn ist die Funktion U, definiert durch U() = f(t)dt (für lle [,b]) eine Stmmfunktion von f, ds heisst U = f. Ist umgekehrt F eine Stmmfunktion von f, lso F = f, so gilt f(t)dt = F(b) F(). Mn verwendet für ds Einsetzen der Grenzen in die Stmmfunktion uch die Nottion: F() := F(b) F(). b Die Menge ller Stmmfunktionen von f wird ls ds unbestimmte Integrl von f bezeichnet, und mn schreibt dfür f() = F()+C. Beweis. Sei zunächst h > 0. Dnn ist U(+h) U() h = h ( +h f(t)dt ) f(t)dt = h +h f(t)dt = f(τ h ) für ein τ h [,+h] (nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung). D f stetig ist, folgt weiter lim h 0,h>0 f(τ h ) = f(). Entsprechendes gilt für h < 0. Dies zeigt, dss U () = f() für lle. Sei jetzt F eine weitere Stmmfunktion von f. Dnn ist (F U) = 0 und dher F U konstnt. Es gibt lso eine Konstnte C R mit F() = U() +C für lle. Also folgt F(b) F() = U(b) U() = f(t)dt. q.e.d. Hier finden Sie eine Zusmmenstellung der wichtigsten Stmmfunktionen.

8 64 Kpitel 3. Integrlrechnung f() F() = f() α, α R\{ }, 0 α+ α+ e λ, λ R\{0} λ eλ, 0 cos() sin(), cos() 0 cos 2 () 2, < c+ 2, c > 0 ln( ) sin() cos() tn() rcsin() c rctn( c ), 2 + ln 2 2 sinh() cosh() 2 + cosh() sinh() rsinh() = ln(+ 2 +) Beispiel Die Funktionsgrphen von f() = und g() = schneiden 2 sich im Nullpunkt und in dem Punkt mit den Koordinten = 4 und y = 2. Die dzwischen liegende, von den Grphen umschlossene Fläche können wir folgendermssen berechnen: 4 ( /2 ) = (3/2 2 3/2 4 2 ) 4 = Integrtionsregeln 0 Aus den Rechenregeln für ds Differenzieren ergeben sich weitere Regeln für ds Integrieren. Hier ist die Folgerung us der Produktregel: 3.4. Stz (Regel der prtiellen Integrtion) Für f,g C [,b] gilt: f()g () = f ()g()+f()g(). b

9 Dbei ist f()g() b = f(b)g(b) f()g() Integrtionsregeln 65 Beweis. Nch der Produktregel für Ableitungen gilt: (f g) = f g+fg. Ds heisst, f g ist eine Stmmfunktion für f g +fg. Drus folgt: (f g +fg )() = f()g() b. Durch Umformung ergibt sich drus die Behuptung. q.e.d Beispiele. 2 e = 2 e + 2 e b = 2 e 2e b + 2 e b. Also ist F() = ( 2 2+2)e eine Stmmfunktion für f() = 2 e. 2. Für 0 < < b: ln() = ln() = +ln() b = (ln() ) b. 3. sin 2 () = cos()( cos()) sin()cos() b. Wegen cos 2 () = sin 2 () folgt hierus: Insbesondere ist lso: sin 2 () = 2 ( cos()sin()) b. π 0 sin 2 () = π 2. Aus der Kettenregel für ds Differenzieren ergibt sich folgendes Prinzip für die Integrtion: Stz (Substitutionsregel) Sei f:[,b] R stetig und ϕ:[r,s] [,b] stetig differenzierbr mit ϕ(r) = und ϕ(s) = b. Dnn gilt: f(u)du = s r f(ϕ())ϕ (). Beweis. Sei F eine Stmmfunktion von f. Dnn folgt mit der Kettenregel (F ϕ) () = F (ϕ()) ϕ () = f(ϕ()) ϕ () für [r,s]. Also ist F ϕ eine Stmmfunktion von (f ϕ) ϕ und dher gilt s r f(ϕ())ϕ () = F(ϕ()) s r = F(ϕ(s)) F(ϕ(r)) = F(b) F(). q.e.d.

10 66 Kpitel 3. Integrlrechnung Mn knn sich die Substitutionsregel leichter merken, wenn mn die Leibniznottion für Ableitungen verwendet. Setzen wir im Stz u = ϕ() und schreiben ϕ () = du, dnn lutet jetzt die Substitutionsregel: dt f(u)du = Noch kürzer dürfen wir schreiben: Dies ist gleichbedeutend mit s r du = du. = du du, f(ϕ()) du. denn wir können j umgekehrt in dem durch u usgedrückten Integrl = ϕ (u) substituieren, und nch der Regel für die Ableitungen von Umkehrfunktionen ist du = (ϕ ) (u) = ϕ () =. du Beispiele. Zur Bestimmung des Integrls 2(2 3) 4 verwenden wir die Substitution u = ϕ() = 2 3. Hier ist du = 3 und dher du = 3 oder = du. Also liefert die Substitutionsregel: (2 3) 4 = u 4 du = 5 (2 3)5. 2. Um ds Integrl 2 (für c / [ 2 c, 2 ]) zu bestimmen, substitutieren wir u = ϕ() = 2 c. Dnn ist du = 2, und die Substitutionsregel liefert: 2 2 c = 22 c du 2 2 c u = 2 (ln 2 c ) =2. = 3. Im folgenden Beispiel liefert die Substitution u = ϕ() = für / [, 2 ] ds Resultt: 2 2 ( ) = du 3 u = =2. 3 2( ) 2 = 4. Wir untersuchen jetzt ds Integrl 2 e 2 2 dt. Hier eignet sich die Substitution u = ϕ() = 2 2. Wegen ϕ () = ist du = und es folgt 2 e 2 2 = e u du = e 2 2 e

11 3.4. Integrtionsregeln Ist g:[,b] R stetig differenzierbr und ht g uf [,b] keine Nullstellen, so gilt: g () g(b) g() = du g(b) = ln g() u g(). Dies ergibt sich us der Substitution u = g(). Wendet mn dies Prinzip uf g() = cos() n, so erhält mn beispielsweise: sin() cos() tn() = = ln ( cos()) cos(b) Beispiel Wir wollen jetzt die Fläche F eines Kreises von Rdius r berechnen. Dzu wählen wir ds Koordintensystem so, dss der Nullpunkt der Mittelpunkt des vorgegebenen Kreises ist. Für die Punkte (,y) uf der Kreislinie gilt 2 +y 2 = r 2 und dher y = r 2 2, flls y 0. Also ist r F = 2 r2 2. r Substituieren wir ϕ(t) = r cos(t) für, so liefert die Substitutionsregel wegen ϕ (t) = rsin(t): π F = 2 r 2 sin 2 (t)dt = r 2 π. 0 Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel ls uch die prtielle Integrtion zur Anwendung kommt Beispiel Um eine Stmmfunktion für rctn zu finden, beginnen wir mit einer prtiellen Integrtion und erhlten: rctn() = rctn() = + 2 +rctn() b. Nun substituieren wir im Integrl uf der rechten Seite der Gleichung u = + 2. = 2 ist, liefert dies ds folgendes Resultt: Weil du rctn() = 2 +b 2 du + u +rctn() b = ( 2 2 ln(+2 )+rctn()) b.