8 Blockbild und Hohenlinien

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1 Mathematik fur Ingenieure Institut fur Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik Dr. Dirk Windelberg Universitat Hannover Stand: 18. August Blockbild und Hohenlinien Veranschaulichen Sie sich die durch die Funktion z = f(x; y) = y 1 + x beschriebene Flache im Bereich B := f(x; y) j x ; y ; g Aufgabe 8.1a) Veranschaulichung der Flache durch eine Hohenkarte mit den Hohen z = 1, z = 1 und z = 3 Losung von Aufgabe 8.1a): Die Hohenlinien ergeben sich aus der Bedingung z = konstant Hohe denierende Beschreibung Gleichung Normalform z = c = 0 y = 0 x-achse z = c = 1 y = 1 + x Parabel x 1 = (y Onung p = z = c = 1 y = 1 + x Parabel x = 1 (y 1) : Scheitel in (0; 1), Onung p = 1 z = c = 3 3 x Parabel x = (y 3 Onung p = z = c = y = (1 + x ) Parabel x = (y + 1): Scheitel in (0; 1 Onung p = z = c = 1 y = (1 + x ) Parabel x = 1 (y + 1): Scheitel in (0; 1), Onung p = 1 z = c = 3 y = (1 + 3 x ) Parabel x = (y + 3) : Scheitel in (0; 3 ), Onung p = 3 3 Aufgabe 8.1a): Hohenlinien

2 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.1b) Veranschaulichung der Flache durch ein Blockbild Bei der hier gewahlten axonometrischen Darstellung (siehe nebenstehende Darstellung eines Wurfels) werden folgende Winkel verwendet: Die x-achse wird um = um (0; 0; 0) in der x; z-ebene gedreht, die y-achse wird auf die Halfte gekurzt und im Winkel von = gegenuber der positiven x-achse gezeichnet. die z-achse behalt ihre Richtung und Lange. Ein Blockbild\ kann als ein Gipsmodell interpretiert werden, in dem die Geometrie durch " Spanten\ in einen Rahmen mit den Abmessungen des Bereiches B gegeben wird (siehe Bild " unten). Aufgabe 8.1b): Darstellung durch ein Blockbild Es ist daher folgende Projektion f notwendig: f : x y z 1 A! x cos() + y cos() x sin() + y sin() + z Aufgabe 8.1b): Lage der Spanten zur Erzeugung eines Blockbildes Losung von Aufgabe 8.1b): Es werden Spanten eingezogen a) fur x 1 = 1, x = 0 und x 3 = 1. Fur jede Spante und fur den Rand wird jeweils die Hohe z = f(x i ; y) mit i f0; 1; ; 3; 4g und y berechnet. z(x 0 ; y) = f( ; y) = y 5 z(x 1 ; y) = f( 1; y) = y z(x ; y) = f(0; y) = y z(x 3 ; y) = f(1; y) = y z(x 4 ; y) = f(; y) = y 5 b) fur y 1 = 1, y = 0 und y 3 = 1. Fur jede Spante und den Rand wird jeweils die Hohe z = f(x; y i ) mit i f0; 1; ; 3; 4g und x berechnet. z(x; y 0 ) = f(x; ) = 1+x z(x; y 1 ) = f(x; 1) = 1 1+x z(x; y ) = f(x; 0) = 0 z(x; y 3 ) = f(x; 1) = 1 1+x Aufgabe 8.1b): Blockbild z(x; y 4 ) = f(x; ) = 1+x

3 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.1c) Zeichnen Sie in das Blockbild (b) die Hohenlinien aus (a) ein. Losung: Aufgabe 8.1c): Blockbild und Hohenlinien Aufgabe 8.1d) Erzeugen Sie die Flache aus Kurvenscharen z = f(x; y i ) mit y i = + 0:5 i (i = 0; :::; 8) und den Kurvenscharen z = f(x i ; y) x i = + 0:5 i (i = 0; :::; 8). Kennzeichnen Sie den Punkt mit den Koordinaten (1; 1; 0:5). Losung von Aufgabe 8.1d) Aufgabe 8.1d): Erzeugende Kurvenscharen bei = und =

4 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.1e) Erzeugen Sie die Flache aus Kurvenscharen z = f(x; y i ) mit y i = + 0:5 i (i = 0; :::; 8) und den Kurvenscharen z = f(x i ; y) x i = + 0:5 i (i = 0; :::; 8) (wie in Teil d)), aber wahlen Sie zur axonometrischen Darstellung die Winkel = 45 und = 15. Kennzeichnen Sie den Punkt mit den Koordinaten (1; 1; 0:5). Losung 8.1e): Aufgabe 8.1e): Erzeugende Kurvenscharen bei = 45 und = 15

5 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.1f): Tangentialebene Bestimmen Sie die Tangentialebene im Punkt (1; 1) und zeichnen Sie diese in eine der Zeichnungen d) oder e) ein. Versuchen Sie - zeichnerisch - herauszunden, ob bzw. wie die Tangentialebene die Fl ache im Bereich B 1 := f(x; y) j 0 x ; 0 y ; g schneidet. Losung von Aufgabe 8.1f): Es ist f x = x y (1 + x ) f y = x Hier ist f(1; 1) = 1 f x (1; 1) = (1 + 1 ) = 1 f y (1; 1) = 1 und damit fur (x 0 ; y 0 ) = (1; 1) oder z = f(x 0 ; y 0 ) + f x (x 0 ; y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0 ; y 0 ) (y y 0 ) = 1 1 (x 1) + 1 (y 1) z = 1 (x 1) + (y 1) = 1 x + y oder x y + z = 1 Damit lautet hier die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (1; 1) an die Flache z = f(x; y) T = f(x; y; z) j x y + z = 1g Aufgabe 8.1f): Tangentialebene im Punkt (1; 1) an die Flache z = f(x; y) links: = 45 und = 15 rechts: = 45 und = 15

6 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.1f): Tangentialebene im Punkt (1; 1) an die Flache z = f(x; y) mit Schnittlinien zwischen Flache und Tangentialebene Naturlich kann die Schnittlinie zwischen Flache und Tangentialebene bestimmt werden: Es muss gelten z = und damit y 1 + x = 1 x + y oder y = (1 + x ) (1 x + y) = 1 x + y + x x 3 + x y y (1 x ) = 1 x + x x 3 oder y = 1 x + x x 3 Folglich ist die Schnittkurve S bestimmt durch S = 1 x (x; y; z) ; x R; y = 1 x + x x 3 ; z = 1 x + y 1 x

7 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Gradient Falls fur einen Punkt (x 0 ; y 0 ) einer Funktion f(x; y) sowohl f(x 0 ; y 0 ) als auch die partiellen Ableitungen f x (x 0 ; y 0 ) und f y (x 0 ; y 0 ) deniert sind, so heit grad f x y der Gradient von f Aufgabe 8.1g) (Gradient): Berechnen Sie fur die Funktion z = f(x; y) = y den Gradient im Punkt 1+x (x 0 ; y 0 ) = (1; 1). - Zeichnen Sie diesen Gradienten in die Hohenkarte dieser Flache ein (der Gradient in (x 0 ; y 0 ) steht senkrecht auf der Hohenlinie durch diesen Punkt) - Zeichnen Sie diesen Gradienten in das Blockbild dieser Flache ein (der Gradient in (x 0 ; y 0 ; z 0 ) zeigt in Richtung der maximalen Steigung) Losung von Aufgabe 8.1g): Es ist nach 8.1f) f(1; 1) = 1 f x (1; 1) = (1 + 1 ) = 1 f y (1; 1) = 1 Also ist der Gradient grad f(1; 1) = 1 ; 1 und der Gradient hat die Steigung m gradient = 1. Andererseits geht durch den Punkt (1; 1) die Hohenlinie zur Hohe z = 1. Die Hohenlinie hat nach 8.1a) die Gleichung y = 1 (1 + x ) Damit kann die Steigung dieser Kurve im Punkt (1; 1) berechnet werden: y 0 = x, alsoy 0 (x=1) = m T angente = 1 Auf der Tangente steht also der Gradient senkrecht, denn es ist m T angente m gradient = 1

8 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August relative Extremwerte 3D: Notwendige Bedingung fur das Auftreten eines relativen Extremwertes: Es seien B IR und f : B! IR eine dierenzierbare Funktion. Wenn der Graph von z = f(x; y) in (x e ; y e ) ein relatives Extremum besitzt, so ist f x (x e ; y e ) = 0 und f y (x e ; y e ) = 0 (1) 3D: Hinreichende Bedingung fur das Auftreten eines relativen Extremwertes: Es ist zunachst die Determinante D(x; y) := f xx f yx f xy f yy () zu berechnen. Dann ist fur jedes mogliche Extremum (x e ; y e ) der Wert D(x e ; y e ) zu berechnen: - wenn D(x e ; y e ) > 0 und f xx < 0, dann besitzt die Flache z = f(x; y) im Punkt (x e ; y e ) ein relatives Maximum - wenn D(x e ; y e ) > 0 und f xx > 0, dann besitzt die Flache z = f(x; y) im Punkt (x e ; y e ) ein relatives Minimum - wenn D(x e ; y e ) < 0, dann besitzt die Flache z = f(x; y) im Punkt (x e ; y e ) ein kein Extremum (es liegt ein Sattelpunkt vor) - wenn D(x e ; y e ) = 0, dann ist keine Aussage uber ein Extremum moglich Aufgabe 8.1h) (Extremwerte): Bestimmen Sie die (relativen und absoluten) Extremwerte von z = f(x; y). Losung von Aufgabe 8.1h): Nach 8.1f) ist f x = Aus der notwendigen Bedingung folgt x y und f (1 + x ) y = x x = 0 oder y = 0 wegen f x = 0 Aus der Zeichung ist ersichtlich, dass weder die x-achse noch die y-achse ein relatives Extremum bildet. Ein absolutes Minimum tritt auf dem Rand im Punkt (0; ) auf. Ein absolutes Maximum tritt auf dem Rand im Punkt (0; ) auf. Zur hinreichenden Bedingung: Es ist f xx = 8 x y y x und f (1 + x ) 3 (1 + x ) xy = (1 + x ) und f yy = 0 und folglich f xx (0; y) = y und f xy (0; y) = 0 und f yy (0; y) = 0 also ist D(0; y) = f xx (x; 0) = 0 und f xy (x; 0) = y = 0 und D(x; 0) = x (1 + x ) und f yy (x; 0) = 0 0 x (1+x ) x (1+x ) 0 = 4 x (1 + x ) 4 Also ist fur zwar (0; y) keine Aussage uber ein Extremum moglich. Fur (x; 0)ist zwar D(x; 0) > 0, aber es ist f xx (x; 0) = 0.

9 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.: Veranschaulichen Sie sich die durch die Funktion z = f(x; y) = sin(x) sin(y) beschriebene Flache im Bereich B := f(x; y) j x ; y ; g a) durch eine Hohenkarte fur die Hohen z 0 = 0, z 1 = 1, z = 1 p und z 3 = 1 p 3 Losung von Aufgabe 8.a): Die Gleichung z = const: = sin(x) sin(y) lasst sich nach y auosen: y = arcsin z sin(x) und y = arcsin z sin(x) z = 1 p 3! 1 z = p! 1 z =! z = 1! z = 1 p Aufgabe! 8.a): Hohenlinien der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y) z = 1 p 3! b) durch ein Blockbild fur die zylindrischen Spanten f (x; y; z) ; x = cos('); y = sin('); 0 ' g und f (x; y; z) ; x = cos('); y = sin('); 0 ' g Zeichnen Sie jeweils die Kurve z = f(') auf ein Blatt, das ba) zu einem Zylinder f (x; y; z) ; x + y = 1 g bb) zu einem Zylinder f (x; y; z) ; x + y = g geformt werden kann und dann eine Spante des Blockbildes liefert.

10 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Losung 8.b): Aufgabe 8.b): Blockbild der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y) mit x; y Wenn fur x und y jeweils die Zylinderkoordinaten eingesetzt werden, ergibt sich - fur den Zylinder mit Radius 1: z = sin(cos(')) sin(sin(')) fur 0 ' Aufgabe 8.b): Blockbild der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y) mit x; y, geschnitten mit dem Zylinder f (x; y; z) ; x + y = 1 ; 1 z 1 g Die Abwicklung des oben dargestellten Zylinders hat dann folgende Form: Aufgabe 8.b): Abwicklung der zylindrischen Spante f (x; y; z) ; x = cos('); y = sin('); z = sin(cos(')) sin(sin(')); 0 ' g

11 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August fur den Zylinder mit Radius : z = sin(cos( ')) sin(sin( ')) fur 0 ' Aufgabe 8.b): Blockbild der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y), geschnitten mit dem Zylinder f (x; y; z) ; x + y = 4 g Die Abwicklung des oben dargestellten Zylinders hat dann die Form der gestrichelten Linie: Aufgabe 8.b): Abwicklung der zylindrischen Spante f (x; y; z) ; x = cos('); y = sin('); z = sin( cos(')) sin( sin(')) fur 0 ' g

12 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August c) Tangentialebene Berechnen Sie fur die Flache z = sin(x) sin(y) die Tangentialebene in den Punkten P 1 = (x 1 ; y 1 ) = ( ; ) und P 4 4 = (x ; y ) = ( ; ) und zeichnen Sie diese jeweils in die 6 Hohenkarte a) ein. Verwenden Sie dabei folgende Berandungen f ur die Tangentialebene im Punkt P i : x x x i 4 i + und y y y 4 i 4 i + 4 Losung von Aufgabe 8.c): Es ist f x = cos(x) sin(y) und f y = sin(x) cos(y) und daher - fur den Punkt P 1 : f x ( 4 ; 4 ) = 1 f y ( 4 ; 4 ) = 1 f( 4 ; 4 ) = 1 Dann ist die Tangentialebene in dem Punkt P 1 deniert durch T = f(x; y; z) j z = f(x 1 ; y 1 ) + f x (x 1 ; y 1 ) (x x 1 ) + f y (x 1 ; y 1 ) (y y 1 )g also T = (x; y; z) j z = (x 4 ) + 1 (y 4 ) = f(x; y; z) j x + y 4 z = g Aufgabe 8.c): Tangentialebene der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y) im Punkt P 1 = ( 4 ; 4 ) - fur den Punkt P = ( ; 6 ): f x ( ; 6 ) = 0 f y( ; 6 ) = 1 p 3 f( ; 6 ) = 1 Dann ist die Tangentialebene in dem Punkt P deniert durch T = f(x; y; z) j z = f(x ; y ) + f x (x ; y ) (x x ) + f y (x ; y ) (y y )g also T = (x; y; z) j z = p 3 (y n 6 ) = (x; y; z) j 6 p 3 y 1 z = p o 3 6

13 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.c): Tangentialebene der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y) im Punkt P = ( ; ) 6 (Tangentialebene fur x + und y

14 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August d) (Extremwerte) Bestimmen Sie (relative und absolute) Extremwerte im Bereich B := f(x; y) j x ; y ; g und vergleichen das Ergebnis mit Ihrer Zeichung. Losung 8.d): Zunachst sollen die relativen Extrema in B gesucht werden: Es ist Folglich fuhrt f x = cos(x) sin(y) und f y = sin(x) cos(y) 1. die Bedingung f x (x e ; y e ) = 0 zu den Losungen ( ; y) oder (x; ) oder (x; 0). die Bedingung f x (x e ; y e ) = 0 zu den Losungen ( ; y) oder (0; y) oder (x; ) Es sollen beide Bedingungen gleichzeitig gelten, also gibt es 13 mogliche Extremwerte: (x 1 ; y 1 ) = ( ; ) (x ; y ) = ( ; ) (x 3; y 3 ) = (; ) (x 4 ; y 4 ) = (; ) (x 5 ; y 5 ) = ( ; ) (x 6 ; y 6 ) = ( ; ) (x 7 ; y 7 ) = (; 0) (x 8 ; y 8 ) = ( ; 0) (x 9 ; y 9 ) = (0; ) (x 10 ; y 10 ) = (0; ) (x 11 ; y 11 ) = (0; 0) (x 1 ; y 1 ) = ( ; ) (x 13 ; y 13 ) = ( ; ) Nun soll fur jeden dieser Punkte gepruft werden, ob die hinreichende Bedingung erkennen lat, ob es sich wirklich um ein Extremum handelt - und wenn ja, dann um welches. Es ist nach () D(x; y) = f xx f yx f xy f yy = sin(x) sin(y) cos(x) cos(y) cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) D(x 1 ; y 1 ) = 1, f xx < 0: Max D(x ; y ) = 1, f xx > 0: Min D(x 3 ; y 3 ) = 1: SP D(x 4 ; y 4 ) = 1: SP D(x 5 ; y 5 ) = 1: SP D(x 6 ; y 6 ) = 1: SP D(x 7 ; y 7 ) = 1: SP D(x 8 ; y 8 ) = 1: SP D(x 9 ; y 9 ) = 1: SP D(x 10 ; y 10 ) = 1: SP D(x 11 ; y 11 ) 1: SP D(x 1 ; y 1 ) = 1, f xx > 0: Min D(x 13 ; y 13 ) = 1, f xx > 0: Max SP = Sattelpunkt Also gibt es nur die vier relativen Extrema (x 1 ; y 1 ), (x ; y ), (x 1 ; y 1 ) und (x 13 ; y 13 ); die maximale Hohe ist +1 und die minimale Hohe ist -1. Auf den Randern gilt: fur x = ist z = 0, also kein absolutes Extremum. fur x = ist z = 0, also kein absolutes Extremum. fur y = ist z = 0, also kein absolutes Extremum. fur y = ist z = 0, also kein absolutes Extremum.

15 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.3: Veranschaulichen Sie sich die durch die Funktion z = f(x; y) = x y x + y beschriebene Flache im Bereich B := f(x; y) j x ; y ; g 8.3a) durch eine Hohenkarte fur die Hohen z 0 = 0 und z 1 = 1 4 Losung 8.3a): Aufgabe 8.3: Flache z = f(x; y) = x y x +y z 0 = 0 liefert x = 0 oder y = 0 - im Punkt (0; 0) ist die Flache nicht deniert.

16 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August z 1 = 1 4 liefert die Kurven 1 4 = x y x + y oder x + y = 4 x y Aufgabe 8.3a): Hohenlinien der Hohe z 1 = 1 x y der Flache z = f(x; y) = 4 x +y fur x und y 8.3b) durch ein Blockbild Erzeugen Sie die Spanten aus den Kurvenscharen z = f(x; y i ) mit y i = + i (i = 0; :::; 4) und z = f(x i ; y) mit x i = + i (i = 0; :::; 4). Losung 8.3b): In der Gleichung der Flache z = f(x; y) = x y werden zunachst die Ebenen x +y y i betrachtet: z = f(x; y 0 ) mit y 0 = : z = x (durchgezogene Linie) x +4 z = f(x; y 1 ) mit y 1 = 1: z = x 1 x +1 (100 Striche) z = f(x; y ) mit y = 0: z = 0 (im Punkt (0; 0) ist die Flache nicht deniert) z = f(x; y 3 ) mit y 3 = 1: z = x 1 x +1 z = f(x; y 4 ) mit y 4 = : z = x x +4 (30 Striche) (15 Striche) Diese einzelnen Spanten sind im folgenden Bild fur x + dargestellt.

17 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.3b): Spanten-Kurven der Flache z = f(x; y) = x y x +y 8.3c) Untersuchen Sie die Flache in der Umgebung des Nullpunktes (0; 0), indem Sie zunachst f(0; 0) denieren und dann versuchen, eine Tangentialebene in (0; 0) zu bestimmen.