1 Zahlen. 1.1 Bruchteile und Bruchzahlen. Grundwissen Mathematik 6. Bruchteile von Ganzen lassen sich mit Hilfe von Bruchzahlen angeben. Z.B.

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1 Zahlen. Bruchteile und Bruchzahlen Bruchteile von Ganzen lassen sich mit Hilfe von Bruchzahlen angeen. Z.B. Rot: Blau: 5 5 Kreisdiagramm: Beispiel Klassensprecherwahl Kandidat A B C Ungültig Stimmenzahl Anteil 30 Mittelpunktsw inkel 0 30 Nenner = Anzahl der gleichen Teile des Ganzen; Zähler = Anzahl der markierten Teile C B A Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite von 2

2 Anteile git man häufig in Prozent (%) an: z. B %; Brüche haen die Form z n mit z I N 0, n I N. z heißt der Zähler, n der Nenner des Bruches. Bedingung z > n z < n z = z ist Vielfaches von n oder Null Bezeichnung Unechter Bruch Echter Bruch Stammruch Scheinruch Unechte Brüche kann man in gemischte Zahlen umwandeln. 7 3 Bsp.:. 4 4 Zu jeder Bruchzahl gehören unendlich viele verschiedene Brüche. 2 3 Bsp.: Die Menge der positiven und negativen Bruchzahlen ilden mit der Zahl 0 die Menge der rationalen Zahlen QI.( IN 0 Z QI ). Z. B. 4 QI, QI Es gilt: z : n = n z. Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite 2 von 2

3 .2 Formänderung von Brüchen a) Erweitern eines Bruches edeutet: Zähler und Nenner werden mit derselen natürlichen Zahl multipliziert. z n z k, k IN Bsp.: n k ) Kürzen eines Bruches edeutet: Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen Teiler k dividiert. z:k 4 4:7, k IN Bsp.: z n n:k Einen Bruch, den man nicht mehr kürzen kann, nennt man vollständig gekürzt ( = Grundform des Bruches)..3 Anordnung der Bruchzahlen Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige der größere, der den kleineren Nenner hat. Bsp.: Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige der größere, der den größeren Zähler hat. Bsp.: Brüche mit verschiedenen Nennern ringt man vor dem Vergleichen auf den Hauptnenner (= kgv aller Nenner)..4 Addieren und Sutrahieren von Brüchen Regel: Zähler addieren (sutrahieren) und den Nenner eiehalten. Bsp.: , Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite 3 von 2 2 2:

4 Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zuerst auf den Hauptnenner. Bsp.: Multiplizieren und Dividieren von Brüchen Regel: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen! Bsp.: Gemischte Zahlen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche verwandeln! Regel: Bruch : Bruch = Bruch Kehrruch (Vorher kürzen!) a : c d a d c Bsp.: 3 : Bruchteil eines Bruches Das Wort von wird nach einem Bruch durch ersetzt. Bsp.: Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite 4 von 2 4 von kg 2 kg kg kg Dezimalzahlen Kommazahlen wie z.b.,356 heißen Dezimalzahlen..Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. H Z E, z h t, z = Zehntel, h = Hundertstel, t = Tausendstel usw Bsp.: 0,04 = 4 ;,234=

5 .8 Ordnen von Dezimalzahlen nach der Größe Von zwei Dezimalzahlen ist diejenige die größere, die von links nach rechts gelesen an entsprechender Stelle zuerst eine höhere Ziffer hat. Bsp.:,2345 <, Runden von Dezimalzahlen Ist die erste wegzulassende Ziffer 0,, 2, 3, 4, so wird agerundet, ist sie 5, 6, 7, 8, 9, so wird aufgerundet. Bsp. Runden auf Dez. 2 Dez. 3 Dez. 3,4564 3,5 3,46 3,456.0 Addition und Sutraktion von Dezimalzahlen Regel: Addition (Sutraktion) der Stellen gleichen Wertes Bsp.: 3,76 + 4,32 = 8,08. Multiplikation und Division mit Stufenzahlen Regel: Verschieen des Kommas um so viele Stellen nach rechts (links), wie die Stufenzahl Nullen hat. Bsp.: 2, = 2040; 4,73 : 00 = 0,473.2 Multiplikation und Division von Dezimalzahlen Die Kommata leien eim Multiplizieren zunächst unerücksichtigt. Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite 5 von 2

6 Das Ergenis erhält so viele Dezimalen, wie die Faktoren zusammen haen. z.b.:,86 0,54 =,0044 Beim Dividieren durch eine natürliche Zahl wird vor dem Heraholen der. Ziffer hinter dem Komma im Ergenis das Komma gesetzt. Bsp.: 9,2 : 8 =,5 Beim Dividieren ändert sich der Quotientenwert nicht, wenn man ei eiden Zahlen das Komma um gleich viele Stellen in gleicher Richtung verschiet (=gleichsinnige Kommaverschieung). Das Komma wird eim Divisor so weit verschoen, is er eine natürliche Zahl ist. Bsp.: 2,56 :,6 = 25,6: 6 =,6.3 Umformen eines Bruches in eine Dezimalzahl und umgekehrt Bruch Dezimalzahl z = z:n = ergit eine n endliche Dezimalzahl, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren 2 oder 5 enthält. unendliche periodische Dezimalzahl sonst. Die sich wiederholende Ziffernfolge heißt Periode. Periodische Dezimalzahl Bruch Falls die Periode direkt hinter dem Komma eginnt: Zähler = Periode, Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite 6 von 2

7 in den Nenner schreit man so viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat. Bsp.:, Rechnen mit rationalen Zahlen Die Rechengesetze für die ganzen Zahlen gelten auch für die rationalen Zahlen. z. B. Multiplikation und Division (+,2) (+ 0,) = + 0,2 (+,2) : (+ 0,) = + 2 (-,2) (+ 0,) = - 0,2 (-,2) : (+ 0,) = -2 (-,2) (- 0,) = + 0,2 (-,2) : (- 0,) = + 2 usw. 2 Geometrie 2. Flächeninhalte von Parallelogramm, Dreieck und Trapez Parallelogramm: d.. h a c h.. a A P = a h a = h A = Grundlinie mal zugehörige Höhe Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite 7 von 2

8 Dreieck: C. h a. A D a h 2 a h 2 c h ; 2 c A h a c h c. B A = Hale Grundlinie mal zugehörige Höhe Trapez: D c C d h A T = 2 (a + c) h A a B A = Hale Summe der parallelen Seitenlängen mal Höhe Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite 8 von 2

9 2.2 Körper und ihr Volumen a) Volumeneinheiten Hat ein Würfel die Kantenlänge, so ist sein Volumen mm mm 3 cm dm cm 3 = ml dm 3 = l m m 3 Umrechnungen mm 3 cm 3 dm 3 m 3 Umrechnungszahl 000 ) Das Volumen von Quader und Würfel l V Q = l h l = Länge, = Breite, h = Höhe V w = s 3 h s s = Seitenlänge Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite 9 von 2

10 3 Funktionen Bei einer Zuordnung wird jeder Zahl (aus einer Menge von Zahlen) eine weitere Zahl zugeordnet. Beschreiungsmöglichkeiten: Taelle, Graph, Vorschrift 3. Direkte Proportionalität Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,...wert der einen Größe, das doppelte, dreifache,... der anderen Größe zugeordnet. Bsp.: Liter Benzin Preis in 3.2 Schlussrechnung (Dreisatz): Bsp.: 7 l Benzin kosten 9,80. Wie viel kosten 20 l? 7 l 9,80 l 9,80 : 7 =,40 20 l,40 20 = 28, Prozentrechnung Prozent = Hundertstel Bsp.: 5% = 0,05 0,25 25% = 4 Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite 0 von 2

11 Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert p p % = 00 Es gilt: p % von G = P p % = Prozentsatz, G = Grundwert, P = Prozentwert Dem Grundwert werden immer 00% zugeordnet. Prozentsatz und Prozentwert sind zueinander direkt proportional. Beispiele: Eine Ware kostet 50,00 und wird um 6% verteuert. 00% 50,00 % 50,00 : 00 = 0,5 6% 0,5 6 = 58,00 Eine Ware wird von 50 auf 58 verteuert % 00% : 50 = 2% 8 2% 8 = 6% Eine Ware kostet 58,00 und wird um 6% verilligt. 00% 58,00 % 58,00 : 00 = 0,58 84% 0,58 84 = 48, Zinsrechnung Zins Z = Leihgeühr in Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite von 2

12 Kapital K = ausgeliehener Geldetrag Zinssatz p % = Leihgeühr in % t p Zinsformel: Z = K Zinsjahr = 360 Tage, Zinsmonat = 30 Tage 4 Stochastik 4. Zufallsexperimente Experimente wie z. B. das Werfen eines Spielwürfels oder einer Münze, das Drehen eines Glücksrades usw., deren Ergenis vom Zufall ahängt, nennt man Zufallsexperimente. 4.2 Relative Häufigkeit Bsp. : Wirft man einen Würfel 00 mal und tritt daei die Augenzahl fünf 3 mal ein, so sagt man die asolute Häufigkeit der Augenzahl fünf ist 3, die relative Häufigkeit ist Relative Häufigkeit = asolute Häufigkeit Gesamtzahl Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Wird ein Zufallsexperiment sehr oft ausgeführt, dann stailisiert sich die relative Häufigkeit eines einzelnen Ergenisses um eine estimmte Bruchzahl. Rhön-Gymnasium Bad Neustadt 08 Seite 2 von 2