3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.

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1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, , 1

2 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie Folge ist eie geordete Mege vo Elemete a (de sogeate Glieder ), die eideutig de atürliche Zahle zugeordet sid ( N ; auch üblich: N 0 ): { a } = a 1, a 2, a 3,, a. Ma uterscheidet edliche Folge mit N ud uedliche Folge mit. Wir betrachte hier ausschließlich uedliche Folge. Die Vorschrift zur Vorgabe eier Zahlefolge ka etweder i Form eies aalytische Ausdrucks oder i Form eier Rekursiosformel erfolge. Beispiel: Der aalytische Ausdruck (a ) N = (a ) 1 = (2 ) 1 (Kurzschreibweise: a = 2 ) ergibt die Zahlefolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,. 2

3 Arithmetrische Folge (Rekursiosformel): Die Differez beachbarter Glieder ist kostat: a - a 1 = d N Beispiel: a = 2 ergibt eie arithmetrische Folge 2, 4, 6, 8, 10, 12,. a = a 1 + ( - 1) 2 Geometrische Folge (Rekursiosformel): Der Quotiet beachbarter Glieder ist kostat: a +1 : a = q N Beispiel: a = 1 2 ergibt eie geometrische Folge. 1 2, 1 4, 1 8, 1, a = a ( 1 2 ) -1 3

4 Exkurs : Arithmetrisches Mittel a arithm = 1 (a 1 + a a 1 + a ) Geometrisches Mittel a geom = a 1 a 2 a 1 a 4

5 Eigeschafte uedlicher Folge: streg mooto falled a +1 < a mooto falled a +1 a streg mooto steiged mooto steiged kostat a +1 > a a +1 a a +1 = a x ist utere Schrake der Folge x a y ist obere Schrake der Folge y a beschräkte Folge alterierede Folge x a y Werte sid abwechseld positiv ud egativ 5

6 Beispiele a) a = 2 mit 1, 4, 9, 16, 25, 36,. ist ubeschräkt ud streg mooto steiged. 1 ist die utere Schrake. b) a = 1 mit 1, 1, 1, 1, ist eie beschräkte ud streg mooto fallede Folge. Die obere Schrake ist 1, die utere Schrake ist 0. c) a = 1 (-1) mit -1, + 1 2, 1 3, + 1 4, 1 5, + 1 6, 1 7, ist eie alterierede (icht mootoe) Folge. Die obere Schrake ist 1/2, die utere Schrake ist -1. 6

7 3.1.1 Kovergez vo Folge Die Werte der Folge aus de Beispiele b) ud c) äher sich mit zuehmede immer mehr der Null a. We sich eie Folge a für beliebig ahe a eie Wert a aähert, da ist a der Grezwert der Folge, d.h. die Folge kovergiert gege a. Zur exakte Defiitio der Begriffe Grezwert ud Kovergez wird ε > 0 eigeführt (ε ist eie beliebig kleie, positive Zahl). 7

8 3.1.1 Kovergez vo Folge Defiitio Grezwert: Eie Zahlefolge { a } hat de Grezwert a, we für alle ε > 0 eie Zahl 0 N existiert, die die folgede Bedigug erfüllt: Für alle 0 gilt: a a < ε. Der Grezwert wird auch als Limes bezeichet. Die gebräuchliche Schreibweise ist lim a = a. 8

9 Beispiel: Wir überprüfe die Aahme, dass a = 1 ( N ) de Grezwert a = 0 hat. Zuerst bestimmt ma a - a : a - a = a - 0 = a = 1. Für alle 0 (, 0 N ) gilt: < ε 0 0 > ε, d.h. alle a mit 0 liege beliebig ahe am Grezwert a = 0. 9

10 Kovergete Folge: Eie Folge, für die ei Grezwert existiert, heißt kovergete Folge. Eie kovergete Folge mit dem Grezwert a = 0 heißt Nullfolge. Kovergete Folge sid immer beschräkt. Allerdigs ist icht jede beschräkte Folge koverget! a = ( 1) = -1; +1; -1; +1; -1;.. +1 ud -1 bilde sogeate Häufugspukte, d.h. i der ε -Umgebug um +1 bzw. -1 liege uedlich viele Glieder der Folge. Eie kovergete Folge hat geau eie Häufugspukt, ämlich ihre Grezwert. 10

11 Divergete Folge: Eie divergete Folge ist eie icht kovergete Folge. Beispiele: a = (-1) ud a = ². Arithmetrische Folge sid diverget. Geometrische Folge sid koverget für q 1 ud diverget für q > 1. 11

12 3.1.2 Reche mit Grezwerte (vo kovergete Folge) Für zwei kovergete Folge a ud b ud c R gilt: lim (a + b ) lim (a + b ) lim (a b ) lim (a b ) lim ( a ) b = lim (a ) + lim (b ) = lim (a ) + lim (b ) = lim (a ) + lim (b ) = lim (a ) lim (b ) = lim (a ) / lim (b ) ( mit lim (b ) 0 ) lim ( c a ) = c lim (a ) 12

13 Beispiele: a = 22 3 a = a =

14 3.1.3 Spezielle Folge ud ihr Grezwert Für zwei kovergete Folge a ud b ud c R gilt: lim ( 1 α ) = 0 für α { α Q α > 0 } lim = 1 lim p = 1 für p R + lim ( ) = e 2,

15 3.2 Reihe Defiitio: Eie Reihe ist die Summe der Elemete eier Folge. =1 a = a 1 + a 2 + a 3 + Eie Summatioe vo uedlich viele Summade ist i der Realität icht möglich. Ma ka aber Partialsumme s = i=1 a i a der Reihe betrachte: s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a s = a 1 + a 2 + a a. 15

16 Die Teilsumme s bilde wieder eie Folge. Wie wir zuvor gesehe habe, gibt es zwei Möglichkeite: a) Die Folge mit de Glieder a kovergiert gege eie Grezwert S. I dem Fall ist auch die Reihe =1 a koverget. Der Grezwert der Reihe ist S ud ma schreibt: lim a = S =1 = S. b) Die Folge mit de Glieder a ist diverget. I dem Fall ist auch die Reihe =1 diverget. a a 16

17 3.2.1 Kovergezkriterium Kovergezkriterium für eie Reihe a) Notwedige (,aber icht hireichede ) Bedigug: a ist eie Nullfolge, d.h. lim a = 0. b) Majorate-Kriterium: Gilt a b ud ist =1 b koverget, so ist auch =1 a koverget. c) Quotiete-Kriterium: =1 a ist koverget, we gilt lim a +1 a < 1. 17

18 d) Wurzelkriterium: =1 1 a ist koverget, we gilt lim a < 1. e) Leibizkriterium: We a eie mooto fallede Nullfolge ist, kovergiert die alterierede Reihe =1 1 a. Defiitio: Absolute Kovergez Eie Reihe =1 a ist absolut koverget, we =1 a koverget ist. Absolute Kovergez ist ei stregeres Kriterium als Kovergez. Quotiete- ud Wurzelkriterium zeige absolute Kovergez, das Leibiz-Kriterium icht. 18

19 3.2.2 Divergezkriterie Eie Reihe =1 a divergiert, we a). a keie Nullfolge ist, b) Miorate-Kriterium: Gilt a b ud ist =1 b diverget, so ist auch =1 a diverget. c) Quotiete-Kriterium: d) Wurzelkriterium: lim a +1 a > 1. lim a > 1. 19

20 Hiweis Für die Fälle lim a +1 a = 1 lim a = 1 ka keie Aussage über die Kovergez oder Divergez gemacht werde. 20

21 3.2.3 Spezielle Reihe Harmoische Reihe 1 =1 = Geometrische Reihe =0 q = =1 q 1 = q 0 + q 1 + q 2 + q 3 +. = 1 = q < 1 1 q Reihe für l 2 ( 1) +1 =1 = = l 2 Reihe für π2 6 1 =1 = = π2 6 21

22 3.2.3 Spezielle Reihe Eulersche Zahl e Die Zahl e ka als uedliche Reihe beschriebe werde. 1 1 =1 = =0 = ! 3! 4! 5! 1!! = = 2, ( Alterative Darstellug der Zahl e zu lim ( ) = e 2, ) 22

23 3.2.4 Potezreihe Potezreihe sid Reihe der Form =0 a x = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 +a 3 x 3 + = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +a 3 x 3 + mit a, x R. Um eie Potezreihe auf Kovergez zu utersuche, ka das Wurzelkriterium verwedet werde. Zuerst wird der folgede Grezwert berechet: lim = a. We a = ist, ist die Reihe diverget. We a higege eie edliche reelle Zahl ist, gilt lim a x = lim lim x = x a. a a Gemäß des Wurzelkriteriums kovergiert die Reihe für x a < 1 geau da, we x = 1 a =: r gilt. r = 1/a wird Kovergezradius der Potezreihe geat. =0 a x kovergiert für x < a ud divergiert für x > a. 23

24 Bemerkug: Eie Sequez vo Produkte ka durch die folgede (Kurz-) Schreibweise dargestellt werde: x a a=m = : x m x m+1 x m+2 x 1 x 24