VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)

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1 VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien für jedes x E konvergent. Dnn ist durch f(x) := lim n f n (x) für x E eine neue Funktion f uf E definiert. Mn sgt: {f n } konvergiert punktweise uf E gegen die Funktion f. Konvergiert die Reihe n=1 f n(x) für jedes x E, so definiert mn nlog f(x) := n=1 f n(x) für x E. Es stellt sich die Frge, ob Stetigkeit, Differenzierbrkeit oder Integrierbrkeit bei diesen Genzprozessen erhlten bleibt. Die Antwort ist im llgemeinen NEIN (siehe Beispiele in der Vorlesung). So ist etw die Stetigkeit der Grenzfunktion f in einem Häufungspunkt x von E gleichbedeutend mit lim t x f(t) = f(x). Sind lle f n stetig n der Stelle x, so ist die Grenzfunktion f genu dnn stetig n der Stelle x, wenn lim lim f n(t) = lim lim f n (t). t x n n t x Es kommt hier lso druf n, ob mn die beiden Limiten miteinnder vertuschen knn. Um positive Resultte in dieser Richtung erhlten zu können, führt mn den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz ein. Gleichmäßige Konvergenz Definition. Eine Folge von Funktionen {f n } konvergiert gleichmäßig uf E gegen eine Funktion f, wenn für jedes ɛ > 0 ein N N existiert, sodss für lle n N und für lle x E gilt: f n (x) f(x) ɛ. Die Reihe n=1 f n(x) konvergiert gleichmäßig uf E, wenn die Folge {s n } der Prtilsummen s n (x) = n k=1 f k(x) gleichmäßig uf E konvergiert. Stz (Cuchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz). Die Folge von Funktionen {f n } definiert uf E konvergiert genu dnn gleichmäßig uf E, wenn für jedes ɛ > 0 ein N N existiert, sodss für jedes m, n N und für jedes x E stets f n (x) f m (x) ɛ gilt. Für die Anwendungen von besonderer Bedeutung sind die beiden folgenden Sätze: Stz. Es sei lim n f n (x) = f(x) für x E. Weiters sei M n = sup x E f n (x) f(x). Dnn erfolgt die Konvergenz von f n gegen f genu dnn gleichmäßig uf E, wenn lim n M n = 0. 1

2 2 Stz. Für die Folge {f n } von Funktionen uf E gelte : f n (x) M n für n N und für jedes x E. Wenn n=1 M n konvergiert, dnn konvergiert die Summe n=1 f n gleichmäßig uf E. Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit Stz. Die Funktionenfolge {f n } konvergiere gegen f gleichmäßig uf einer Menge E in einem metrischen Rum. Sei x ein Häufungspunkt von E und sei lim t x f n (t) = A n für n N. Dnn konvergiert die Folge {A n } und es gilt lim t x f(t) = lim n A n. Anders formuliert: dnn gilt Drus ergibt sich nun sofort: lim lim f n(t) = lim lim f n (t). t x n n t x Stz. Ist {f n } eine Folge von stetigen Funktionen uf E und konvergiert {f n } gleichmäßig uf E gegen eine Funktion f, dnn ist f stetig uf E. Die Umkehrung dieses Stzes ist im llgemeinen flsch, sie gilt jedoch im folgenden Fll: Stz. Sei K eine kompkte Menge und {f n } eine Folge stetiger Funktionen uf K. {f n } konvergiere punktweise gegen eine stetige Funktion f uf K, ferner sei f n (x) f n+1 (x) für jedes x K und für jedes n N. Dnn konvergiert {f n } gleichmäßig uf K gegen f. Definition. Sei X ein metrischer Rum und C(X) die Menge ller komplexwertiegen, stetigen, beschränkten Funktionen mit Definitionsbereich X. ( Ist X kompkt, so besteht C(X) us llen stetigen Funktionen uf X.) Für f C(X) definieren wir f = sup x X f(x). Dnn ist. eine Norm uf C(X) und d(f, g) = f g eine Metrik uf C(X). C(X) ist ein normierter Vektorrum. Eine Folge {f n } us C(X) konvergiert bezüglich der Metrik uf C(X) genu dnn gegen f, wenn {f n } gleichmäßig uf X gegen f konvergiert. Aus dem Cuchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz erhlten wir Stz. C(X) ist mit der obigen Norm ein vollständiger, normierter Vektorrum (Bnchrum).

3 3 Gleichmäßige Konvergenz und Integrtion Stz. Sei α monoton uf [, b]. Sei ferner f n R(α) uf [, b] für n N, weiters konvergiere {f n } gleichmäßig uf [, b] gegen eine Funktion f. Dnn ist f R(α) uf [, b] und es gilt f dα = lim n f n dα. Korollr. Ist f n R(α) uf [, b] und ist f(x) = n=1 f n(x), wobei die Reihe gleichmäßig uf [, b] konvergiert, dnn gilt f dα = f n dα n=1 (d.h. die Reihe knn gliedweise integriert werden). Gleichmäßige Konvergenz und Differentition Stz. Sei {f n } eine Folge von uf [, b] differenzierbren Funktionen, so dss {f n (x 0 )} für einen Punkt x 0 [, b] konvergiert. Konvergiert {f n} gleichmäßig uf [, b], dnn konvergiert uch {f n } gleichmäßig uf [, b] gegen eine Funktion f, und es gilt f (x) = lim n f n(x), x [, b]. Bemerkung. Mit den nun entwickelten Methoden knn mn eine stetige Funktion f : R R konstruieren, die n keiner Stelle differenzierbr ist. Die in diesem Abschnitt erzielten Resultte lssen sich besonders gewinnbringend uf Potenzreihen nwenden. VIII. Potenzreihen Wir beschränken uns nun uf reelle Funktionen. Definition. Konvergiert die Potenzreihe f(x) = c n (x x 0 ) n für x x 0 < R, R > 0, so nennt mn die Funktion f reell nlytisch uf (x 0 R, x 0 + R).

4 4 Stz. Konvergiert die Reihe c nx n für x < R, so ist f(x) = c nx n uf jeder kompkten Teilmenge von ( R, R) gleichmäßig konvergent, weiters ist f stetig und differenzierbr uf ( R, R) und es gilt f (x) = nc n x n 1, x < R, n=1 mn knn die Potenzreihe gliedwiese differenzieren. Die Funktion f ht uf ( R, R) Ableitungen beliebiger Ordnung und es gilt f (k) (x) = n(n 1)... (n k + 1)c n x n k, n=k insbesondere ist f (k) (0) = k!c k für k = 0, 1, 2,.... Ist 0 < x < R, so gilt x x n+1 f(t) dt = c n n + 1, 0 mn knn die Potenzreihe gliedweise integrieren. Bemerkung. Die Funktion f(x) = e 1/x für x > 0 und f(x) = 0 für x 0 besitzt n der Stelle x = 0 Ableitungen beliebiger Ordnung und es gilt f (k) (0) = 0 für k = 0, 1, 2,.... Die Funktion f ht keine Tylorentwicklung um x = 0, sie ist zwr eine C -Funktion uf R, d.h. besitzt uf gnz R Ableitungen beliebiger Ordnung, ist jedoch uf keinem offenen Intervll, ds den Nullpunkt enthält, reell nlytisch. Stz (Abel scher Grenzwertstz). Konvergiert die reelle Reihe c n und setzt mn f(x) = c nx n für x < 1, so gilt lim f(x) = c n. x 1 Als Anwendung dieses Stzes erhält mn us der Tylorentwicklung rctn x = ( 1) k x2k+1 2k + 1, x < 1 die Formel k=0 rctn 1 = π 4 = Stz. Gegeben sei eine Doppelfolge { ij }, i, j N. Gilt j=1 ij = b i für i = 1, 2,... und konvergiert die Reihe i=1 b i, so folgt: ij = ij. i=1 j=1 j=1 Als Anwendung dieser Summenvertuschung erhält mn i=1

5 Stz. Die Potenzreihe f(x) = c nx n sei konvergent uf ( R, R). Ist ( R, R), dnn knn f in eine Tylorreihe um den Punkt entwickelt werden und es gilt für x < R : f(x) = f (n) () n! (x ) n. Von großer theoretischer Bedeutung ist der folgende Stz (Identitätsstz für Potenzreihen). Angenommen die Reihen nx n und b nx n konvergieren uf S = ( R, R). Sei E die Menge ller x S, für die nx n = b nx n gilt. Ht die Menge E einen Häufungspunkt in S, dnn folgt n = b n für lle n = 0, 1, 2,.... Also gilt dnn nx n = b nx n für lle x S. 5 Die Gmmfunktion Stz (Hölder sche Ungleichung). Seien p, q > 1 mit p q seien f, g R(α) uf [, b]. Dnn gilt ( ) 1/p ( 1/q f g dα f p dα g dα) q. Definition. Sei 0 < x < : Γ(x) =: 0 t x 1 e t dt. = 1, und Ds obige Integrl ist n beiden Grenzen uneigentlich, ber konvergent. Stz. () Für 0 < x < gilt Γ(x + 1) = xγ(x). (b) Γ(n + 1) = n! für n N (die Gmmfunktion ist eine Fortsetzung von n n! uf R + ). (c) log Γ ist eine konvexe Funktion uf (0, ), d.h. für x, y (0, ) und λ (0, 1) gilt log Γ(λx + (1 λ)y) λ log Γ(x) + (1 λ) log Γ(y). Die obigen drei Eigenschften chrkterisieren die Gmmfunktion vollständig: Stz (Bohr-Mollerup). Ist f eine positive Funktion uf (0, ) und gilt: () f(x+1) = xf(x), (b) f(1) = 1, (c) log f ist eine konvexe Funktion, dnn ist f(x) = Γ(x). Stz. Für x > 0 gilt Γ(x) = lim n n!n x x(x + 1)...(x + n).

6 6 Für x, y > 0 gilt 1 t x 1 (1 t) y 1 dt = Γ(x)Γ(y) 0 Γ(x + y) die Funktion B heißt Betfunktion. Drus ergeben sich die folgenden Formeln : Γ(1/2) = ( π, Γ(x) = 2x 1 x ) Γ Γ π 2 = B(x, y), ( x + 1 Ds Verhlten der Gmmfunktion bei x beschreibt die Stirling sche Formel: Γ(x + 1) ( x ) x = 1. e 2πx lim x 2 ).

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