Einführung in die Matrixalgebra
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- Charlotte Falk
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1 Einführung in die Matrixalgebra Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg Bachelor S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 1 / 55
2 Agenda Matrizen Quadratische Matrizen Rechnen mit Matrizen Multiplikation von Matrizen Determinante Inverse einer Matrix Kronecker Produkt Übungen S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 2 / 55
3 Matrizen Definition Definition einer Matrix Eine Matrix (Mehrzahl: Matrizen) ist eine Tabelle mit Zahlen. Die Größe einer Matrix wird angegeben durch die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Spalten. Eine Datenmatrix vom Typ 3 2 hat 3 Zeilen und 2 Spalten. Eine Datenmatrix vom Typ 5 5 hat 5 Zeilen und 5 Spalten. Geläufige Indizes für die Anzahl der Zeilen und Spalten sind: sind z. B. i und j, oder m, n und p, q. Indizes können unter der Bezeichnung der Matrix stehen. Jede Zahl (Element) in der Datenmatrix kann durch die Indizes für die Zeile und für die Spalte eindeutig bestimmt werden. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 3 / 55
4 Matrizen Definition Beispiel X = (3 4) und allgemein A (m n) = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 4 / 55
5 Matrizen Definition Die Sache mit den Klammern Es gibt unterschiedliche Methoden, Matrizen zu klammern: = = S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 5 / 55
6 Matrizen Definition Rechnen mit Matrizen Mit Matrizen kann gerechnet werden. Für Matrizen gelten besondere Rechenregeln. Mit Hilfe der Matrixalgebra können z. B. Probleme aus der Statistik, Geometrie und Vektorrechnung kompakt angegangen werden. Der Aufwand der Berechnungen kann sehr komplex sein. Viele Statistikprogramme bzw. Mathematikprogramme haben Routinen zur Matrixalgebra. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 6 / 55
7 Matrizen Vektoren und Skalare Vektoren und Skalare Hat eine Matrix nur eine Spalte, aber mindestens zwei Zeilen, spricht man von einem Spaltenvektor. 1 3 a = (m 1) a 1 a 2., Beispiel: a = a m Hat eine Matrix nur eine Zeile aber mindestens zwei Spalten, spricht man von einem Zeilenvektor.. 45 b = [a 1, a 2,..., a n ], Beispiel: b = [1, 3, 5, 6] Hat eine Matrix lediglich eine Zeile und nur eine Spalte, spricht man von einem Skalar. Matrizen werden immer mit einem Großbuchstaben abgekürzt, Vektoren und Skalare mit einem kleinen Buchstaben. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 7 / 55
8 Matrizen Transponieren Transponieren I Wird eine Matrix gekippt, d.h. werden Zeilen und Spalten vertauscht, spricht man von einer transponierten Matrix. Eine transponierte Matrix wird mit einem Hochkomma gekennzeichnet, gelegentlich mit dem Zeichen. Umformung: A = (m n) a 11 a a 1n a 21 a a 2n... A a m1 a m2... a mn Es gilt: (A ) = A bzw. (A ) = A. (n m) = a 11 a a m1 a 12 a a m2... a 1n a 2n... a mn S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 8 / 55
9 Matrizen Transponieren Transponieren II Beispiel: B = (4 3) B (3 4) = S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 9 / 55
10 Quadratische Matrizen Definition Quadratische Matrizen I Hat eine Matrix ebenso viele Zeilen wie Spalten, spricht man von einer quadratischen [ ] Matrix. Beispiel: 4 7 A = (2 2) 7 6 Eine obere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix mit Nullen unterhalb der Hauptdiagonalen: u 11 u 12 u 1n 0 u 22 u 2n U = (n n)......, Beispiel: U = u 1n S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 10 / 55
11 Quadratische Matrizen Definition Quadratische Matrizen II Eine untere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix mit Nullen oberhalb der Hauptdiagonalen: l L = l 21 l (n n)......, Beispiel: L = l n1 l n2 l nn Bei einer Diagonalmatrix sind alle Elemente außer der Hauptdiagonalen Null: d D = diag(d 0 d , d 2,..., d b ) = (n n) d n S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 11 / 55
12 Quadratische Matrizen Definition Quadratische Matrizen III Stimmen alle Elemente d 1, d 2,..., d b auf der Hautdiagonalen einer diagonalen Matrix überein, nennt man diese Skalarmatrix. Beispiele: D = 0 2 0, S = S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 12 / 55
13 Quadratische Matrizen Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix Stehen in einer quadratischen Matrix auf der Hauptdiagonalen nur Einsen und ansonsten nur Nullen, spricht man von einer Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix I: I = (n n) , Beispiel: I 4 = Hinweis: der Indizes wird i. d. R. weggelassen. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 13 / 55
14 Quadratische Matrizen Symmetrische Matrizen Symmetrische Matrizen Eine quadratische Matrix A ist symmetrisch, wenn gilt A = A. Es gilt a mn = a nm. Beispiel: C = S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 14 / 55
15 Quadratische Matrizen Spur einer Matrix Spur einer Matrix Als Spur einer quadratischen Matrix wird die Summe der Hauptdiagonalen bezeichnet: n Spur(A) = i=1 a ii Beispiel: B = hat Spur(B) = 3 i=1 b ii = = 7. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 15 / 55
16 Rechnen mit Matrizen Addition von Matrizen Addition von Matrizen Matrizen gleicher Ordnung, d.h. sie haben die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten, können miteinander addiert werden. Es werden alle korrespondierenden Elemente beider Matrizen addiert. Beispiel: A = 5 2, B = dann: C = A + B = = Die Addition ist kommutativ: A + B = B + A. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 16 / 55
17 Rechnen mit Matrizen Subtraktion von Matrizen Subtraktion von Matrizen Matrizen gleicher Ordnung, d.h. sie haben die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten, können voneinander subtrahiert werden. Es werden alle korrespondierenden Elemente beider Matrizen subtrahiert. Beispiel: dann: A = [ ] [ ] , B = D = A B = [ ] [ ] [ ] = S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 17 / 55
18 Multiplikation von Matrizen Multiplikation mit einem Skalar Multiplikation mit einem Skalar Bei der Multiplikation eines Skalars mit einer Matrix wird jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert: B = ca, wobei b mn = ca mn. Beispiel: [ ] A =, c = 3, [ ] B = 3 A = A 3 = S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 18 / 55
19 Multiplikation von Matrizen Multiplikation zweier Matrizen Multiplikation zweier Matrizen I Matrixmultiplikation hat keine direkte Entsprechung in der skalaren Multiplikation. Zwei Matrizen können miteinander multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der linken Matrix identisch ist mit der Anzahl der Zeilen der rechten Matrix: Multiplikation möglich: [ ] (2 3) (3 3) Multiplikation nicht möglich: [ ] (3 3) (2 3) S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 19 / 55
20 Multiplikation von Matrizen Multiplikation zweier Matrizen Multiplikation zweier Matrizen II Allgemein: Damit zwei Matrizen multipliziert werden können, müssen die inneren Typenangaben übereinstimmen. Eine Matrix X vom Typ 2 3 kann z.b. mit einer Matrix vom Typ 3 4 multipliziert werden: (2 3) (3 4). Als Ergebnis bekommt man eine Matrix, deren Größe durch die äußeren Typenangaben bestimmt ist, hier: (2 4). Dann werden die korrespondierenden Elemente jeweils multipliziert und aufaddiert. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 20 / 55
21 Multiplikation von Matrizen Vorgehen bei der Multiplikation Vorgehen bei der Multiplikation a11 a12... a1p a21 a22... a2p an1 an2... anp A : n rows p columns b11 b12... b1q b21 b22... b2q bp1 bp2... bpq B : p rows q columns c11 c12... c1q c21 c22... c2q cn1 cn2... cnq a21 b12 a22 b22 a2p bp C = A B : n rows q columns Abbildung von S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 21 / 55
22 Multiplikation von Matrizen Beispiele Beispiele I 1 Multiplikation mit Einheitsmatrix: [ ] (2 3) (3 3) [ ] 1(1) + 2(0) + 3(0), 1(0) + 2(1) + 3(0), 1(0) + 2(0) + 3(1) = 4(1) + 5(0) + 6(0), 4(0) + 5(1) + 6(0), 4(0) + 5(0) + 6(1) [ ] = Zwei Matrizen: [ ] [ ] = [ ] [ ] 1(0) + 2(2), 1(3) + 2(1) 4 5 = 3(0) + 4(2) 3(3) + 4(1) 8 13 S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 22 / 55
23 Multiplikation von Matrizen Beispiele Beispiele II 3 Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor: 1 [2, 0, 1, 3] 6 0 = 2( 1) + 0(6) + 1(0) + 3(9) = 25 9 S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 23 / 55
24 Multiplikation von Matrizen Eigenschaften der Matrixmultiplikation Eigenschaften der Matrixmultiplikation Einige der Eigenschaften der Matrixmultiplikation lauten: (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC Matrixmultiplikation ist nicht unbedingt kommutativ: zwei Matrizen sind nur dann multiplizierbar, wenn ihre inneren Typangaben gleich sind. Beispiel: Eine (4 2) Matrix kann mit einer (2 3) Matrix multipliziert werden, eine (2 3) aber nicht mit einer (4 2). S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 24 / 55
25 Multiplikation von Matrizen Übungen Übungen Berechnen Sie: [ ] [ ] =? [ ] [ ] 2 0 =? S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 25 / 55
26 Multiplikation von Matrizen Übungen Übungen Berechnen Sie: [ ] [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] = S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 25 / 55
27 Multiplikation von Matrizen Der Sinn hinter der Matrixmultiplikation Der Sinn hinter der Matrixmultiplikation Mit Hilfe der Multiplikation von Matrizen können Gleichungssysteme kompakt geschrieben werden. Beispiel: 2x 1 + 5x 2 = 4 x 1 + 3x 2 = 5 Mit Matrizen geschrieben: [ ] [ ] [ ] 2 5 x1 4 = bzw. x 2 Ax = b, mit A = [ ] 2 5, x = 1 3 [ x1 x 2 ], b = [ ] 4 5 S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 26 / 55
28 Determinante Determinante Determinante Eine Determinante ist eine Kennzahl einer quadratischen Matrix, in deren Berechnung sämtliche Elemente der Matrix einbezogen werden. Bis zu einer Größe von (3 3) lässt sich die Determinante relativ einfach per Hand rechnen. In der Statistik kommen Determinanten z. B. bei der multivariaten Normalverteilung vor, oder werden gelegentlich zur Bestimmung der Inversen einer Matrix genutzt. Man schreibt det A bzw. A. Es gilt: det I = 1. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 27 / 55
29 Determinante Bestimmung der Determinate einer (2 x 2) Matrix Bestimmung der Determinate einer (2 2) Matrix Berechnung: det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Beispiel: det A = = = = 14 S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 28 / 55
30 Determinante Bestimmung der Determinate einer (3 x 3) Matrix Bestimmung der Determinate einer (3 3) Matrix Die Berechnung wurde mit der Regel von Sarrus vereinfacht: Beispiel: a b c det A = d e f = aei + bfg + cdh gec hfa idb g h i det A = = = = 118 S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 29 / 55
31 Determinante Bestimmung bei Matrizen höherer Ordnung Bestimmung bei Matrizen höherer Ordnung Zur Berechnung der Determinante höherer Ordnung gibt es verschiedene Algorithmen. Per Hand sind diese alle recht aufwendig zu rechen. In einigen Lehrbüchern, z. B. [Bortz, 1999, S. 693ff], wird die Determinate höherer Matrizen über Kofaktoren bzw. Minoren berechnet. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 30 / 55
32 Determinante Singuläre Matrizen Singuläre Matrizen Ist die Determinante einer Matrix 0, wird diese als singulär bezeichnet. Ursachen: Mindestens eine Zeile (bzw. Spalte) lässt sich als Linearkombination einer anderen Zeile (bzw. Spalte) darstellen. Es gibt identische Zeilen bzw. Spalten. Beispiel, Zeile 2 ist das 1.5fache der Zeile 1: det A = = = 0 Eine singuläre Matrix hat nicht den vollen Rang. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 31 / 55
33 Inverse einer Matrix Was ist die Inverse? Was ist die Inverse? I In der skalaren Algebra ist die Division entscheidend zur Lösung einfacher Gleichungen, z. B. 6x = 18 x = 18 6 = 3 bzw. äquivalent: 1 6 6x = x = 3 Die Multiplikation eines Skalars mit seinem Kehrwert (Reziprokem) ergibt 1: a 1 a = 1 bzw. a a 1 = 1. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 32 / 55
34 Inverse einer Matrix Was ist die Inverse? Was ist die Inverse? II In der Matrixalgebra gibt es keine direkte Entsprechung zur Division, aber viele quadratische Matrizen haben eine Inverse. Wird eine quadratische Matrix A mit ihrer Inversen A 1 multipliziert, resultiert die Einheitsmatrix I: AA 1 = A 1 A = I Die Inverse A 1 hat die gleiche Ordnung (Anzahl an Zeilen und Spalten) wie A. Existiert zu einer quadratischen Matrix eine Inverse, nennt man die Matrix nicht-singulär, existiert die Inverse nicht, nennt man die Matrix singulär. Ist die Determinante einer quadratischen Matrix 0, existiert die Inverse nicht, die Matrix ist dann singulär. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 33 / 55
35 Inverse einer Matrix Was ist die Inverse? Berechnung der Inversen Es gibt viele Möglichkeiten, die Inverse einer Matrix zu berechnen. Anschaulich ist die Gauß-Jordan Methode. Auch mittels der Determinanten lässt sich die Inverse bestimmen. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 34 / 55
36 Inverse einer Matrix Gauß-Jordan Verfahren Prinzip des Gauß-Jordan Verfahrens 1 Erstellung einer erweiterten (augmentierten) Matrix: links ist die zu invertierende Matrix und rechts die Einheitsmatrix. 2 Die linke Seite der augmentierten wird durch Umformungen mit den Regeln des Gaußschen Eliminationsverfahrens in die Einheitsmatrix überführt. Auf der rechten Seite kann dann die Inverse abgelesen werden. 3 Ist die Matrix singulär (d. h. sie hat nicht vollen Rang), kann die Matrix nicht in die Einheitsmatrix überführt werden. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 35 / 55
37 Inverse einer Matrix GaußschesEliminationsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Die Umformungen des Gaußschen Eliminationsverfahrens lauten: Multiplikation einer Zeile mit einer Konstanten ( 0). Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Vertauschen zweier Zeilen. Diese Umformungen lassen die Lösung des Gleichungssystems unverändert. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 36 / 55
38 Inverse einer Matrix GaußschesEliminationsverfahren Beispiel zu Gauß-Jordan I Für die Matrix soll mittels Gauß-Jordan Elimination die Inverse gefunden werden. R 1, R 2, R 3 sind die erste, zweite und Dritte Zeile: 1 Bilde erweiterte Matrix, operiere auf Zeile R 2 und R 3 : R 2 R R 3 3R 1 2 Subtrahiere R 2 von R 1 und R 3 : R R 2 S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 37 / 55
39 Inverse einer Matrix GaußschesEliminationsverfahren Beispiel zu Gauß-Jordan II 3 Division auf Zeile R 1 und R 3 : : : 8 4 Operiere auf Zeile R 1 und R R R Letzte Multiplikation in R 3 : ( 1) S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 38 / 55
40 Inverse einer Matrix GaußschesEliminationsverfahren Beispiel zu Gauß-Jordan III 6 Die Inverse kann rechts abgelesen werden: Prüfung: = S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 39 / 55
41 Inverse einer Matrix Berechnung der Inversen mittels Determinante Berechnung der Inversen mittels Determinante Die Inverse einer Matrix kann auch über die Determinante und der Adjunkten einer Matrix erfolgen: A 1 = 1 det A adj(a) Die Adjunkte oder Komplementäre einer Matrix ist die transponierte Kofaktorenmatrix (zur Adjunkten einer Matrix vgl. z. B. [Bortz, 1999, S. 696ff]). Die Adjunkte ist bei quadratischen Matrizen mit Ordnung über 3 aufwendig zu berechnen. Sollen Inverse bis zu einer Ordnung von 3 berechnet werden, sind die Rechenschritte aber überschaubar, vgl. z. B. Wikipedia, ( ). S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 40 / 55
42 Inverse einer Matrix Berechnung der Inversen mittels Determinante Inverse einer (2 2) Matrix mittels Determinante Beispiel: A 1 = (2 2) [ ] 1 a b = 1 [ ] d b = c d det A c a [ ] 1 A = = [ ] 3 5 = 1 2 Kontrolle: [ ] [ ] = [ ] ad bc [ ] 3 5 = [ d ] b c a [ 3 ] S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 41 / 55
43 Inverse einer Matrix Berechnung der Inversen mittels Determinante Inverse einer (3 3) Matrix mittels Determinante a b c A 1 = d e f (3 3) g h i 1 = 1 ei fh ch bi bf ce fg di ai cg cd af det A dh eg bg ah ae bd S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 42 / 55
44 Inverse einer Matrix Berechnung der Inversen mittels Determinante Beispiel I Wie lautet die Inverse der Matrix 1 1 3? Berechnung der Determinante: det A = = = = 4 S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 43 / 55
45 Inverse einer Matrix Berechnung der Inversen mittels Determinante Beispiel II 2 det A ist nun bekannt, die Formel kann komplett ausgefüllt werden: A 1 = = = = S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 44 / 55
46 Inverse einer Matrix Berechnung der Inversen mittels Determinante Beispiel III 3 Gegenprobe: = Die Inverse zu lautet demnach S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 45 / 55
47 Kronecker Produkt Definition Kronecker Produkt Das Kronecker Produkt einer Matrix A der Ordnung (m n) und der Matrix B der Ordnung (p q) wird geschrieben als A B und ist definiert als: A B = (mp nq) a 11 B a 12 B a 1n B a 21 B a 22 B a 2n B a m1 B a m2 B a mn B S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 46 / 55
48 Kronecker Produkt Beispiel Beispiel Kronecker Produkt einer (3 3) Einheitsmatrix mit einer (2 2) Matrix: [ ] σ 2 1 σ 12 σ σ2 2 = σ1 2 σ σ 12 σ σ1 2 σ σ 12 σ σ1 2 σ σ 12 σ2 2 S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 47 / 55
49 Kronecker Produkt Beispiel Eigenschaften Einige Eigenschaften des Kronecker Produkts: A (B + C) = A B + A C (B + C) A = B A + C A (A B) D = A (B D) c(a B) = (ca) B = A (cb) S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 48 / 55
50 Kronecker Produkt Anwendungen Anwendungen Mit dem Kronecker Produkt lassen sich dessinierte Matrizen kompakt darstellen. Sinnvoll z. B. bei linearen Modellen, um Kovarianzen mit korrelierten Einflussgrößen abbilden zu können. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 49 / 55
51 Übungen Häufige Anwendungsfälle Übungen Häufige Anwendungen mit Matrizen: Regressionsanalyse: Multiplikation einer Matrix mit ihrer transponierten: Z = XX. Bei multivariaten Methoden: u Au, wobei A mit Ordnung (n n) und u und u ein n-dimensionaler Spalten- bzw. Zeilenvektor darstellt. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 50 / 55
52 Übungen Multiplikation einer Matrix mit ihrer Transponierten Beispiel Z = XX Daten: 1 5 X = 4 2 (5 2) , 7 8 Z = XX =? S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 51 / 55
53 Übungen Multiplikation einer Matrix mit ihrer Transponierten Beispiel Z = XX Lösung: X = , [ ] Z = XX = = S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 52 / 55
54 Übungen Multiplikation einer Matrix mit zwei Vektoren Beispiel u A u Daten: u = [3, 1, 2], A = 3 4 2, u Au =? S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 53 / 55
55 Übungen Multiplikation einer Matrix mit zwei Vektoren Beispiel u A u Lösung: u = [3, 1, 2], A = 3 4 2, u Au = [3, 1, 2] = [20, 6, 1] 1 = Das Ergebnis ist ein Skalar. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 54 / 55
56 Übungen Multiplikation einer Matrix mit zwei Vektoren Literaturverzeichnis Bortz, J. (1999). Statistik für Sozialwissenschaftler. Berlin: Springer, 5. edition. Fox, J. (2008). A Mathematical Primer for Social Statistics. Sage Pubn Inc, 1 edition. S. Garbade (SRH Heidelberg) Matrixalgebra Bachelor 55 / 55
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