Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD

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1 Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 6 Folgen Konvergenzkriterien Reihen Potenzreihen Gerd Rapin grapin@mathuni-goettingende Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p1/37

2 Übersicht Folgen, Konvergenz von Folgen Realisierung in MuPAD Reihen, Konvergenzkriterien Potenzreihen Exponentialfunktion, Logarithmus, Sinus, Cosinus, Tangens Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p2/37

3 Folgen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p3/37

4 Folgen Eine reelle Zahlenfolge kurz Folge genannt, ist eine Abbildung von in Statt schreibt man in Anlehnung an die Vektornotation Natürlich kann man auch Folgen auf beliebigen Mengen betrachten Aber wir beschränken uns auf den Fall Die Zahlen heißen Glieder der Folge Eine Teilfolge ist eine Abb, wobei eine Menge mit unendlich vielen Elementen ist Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p4/37

5 Konvergenz von Folgen Eine Zahlenfolge ist konvergent gegen den Grenzwert oder Limes, wenn es zu jedem ein gibt, so dass für alle die Abschätzung gilt Man schreibt Eine nicht konvergente Folge nennt man divergent Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p5/37

6 ! Bemerkungen Konvergiert eine Folge gegen sie eine Nullfolge Der Grenzwert mit, so nennt man einer konvergenten Teilfolge heißt Häufungspunkt Eine Cauchy-Folge ist eine Folge bei der für alle ein existiert, so dass für alle gilt: In ist eine Folge konvergent, genau dann wenn sie eine Cauchy-Folge ist (Vollständigkeit) Eine -Umgebung von ist definiert durch Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p6/37

7 - ) & # Beispiele %) %'( %'& # %'- %) %'& &,+ * & # 2 0 / # 8 89, konvergieren und / und *, divergieren Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p7/37

8 MuPAD Grenzwerte von Folgen können mit Hilfe von limit(a(n),n=infinity) berechnet werden ist dabei ein Ausdruck >> limit(1/(n+1),n=infinity) 0 >> limit(((n+2)/(n+1))ˆ(n+1),n=infinity) exp(1) >> limit((-1)ˆn,n=infinity) n limit((-1), n = infinity) >> limit(2ˆn,n=infinity) infinity >> limit(sin(n),n=infinity) [-1, 1] Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p8/37

9 ; ; ; Konvergenzkriterien Jede monotone, beschränkte Folge konvergiert Sind und auch die Folge Grenzwert : Sind und auch die Folge Grenzwert * : konvergente Folgen, so ist konvergent mit * : * * konvergente Folgen, so ist konvergent mit * : * * Weglassen oder Hinzufügen endlich vieler Glieder verändert das Konvergenzverhalten nicht * Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p9/37

10 Wichtige Sätze (Bolzano-Weierstrass) Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen den Grenzwert der ursprünglichen Folge Jede konvergente Folge ist beschränkt, dh es gibt ein, so dass gilt für alle Seien und mit konvergiert mit * < konvergente Folgen mit Dann gilt für eine Folge,, dass sie * * * Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p10/37

11 Reihen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p11/37

12 4 1 > ; ; ; 1? > > Reihen Sei eine Folge reeller Zahlen Eine (unendliche) Reihe mit den Gliedern, in Zeichen = ist definiert durch die Folge? = > der Partialsummen Der Grenzwert der Folge wird als Wert oder Summe der Reihe bezeichnet Man schreibt > = Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p12/37

13 Bemerkungen Beginnt die Indizierung statt bei anderen ganzen Zahl, so wird entsprechend eingeführt mit einer = Bei Abänderung, Weglassen oder Hinzufügen endlich vieler Glieder bleiben Konvergenz und Divergenz unberührt IA wird sich aber der Grenzwert ändern Reihen sind eine spezielle Art von Folgen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p13/37

14 1 > 3B C Beispiele Die geometrische Reihe Partialsummen lauten = Die falls falls Also divergiert die Reihe für und konvergiert für mit dem = Die Reihe = 5 konvergiert gegen %'D Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p14/37

15 3B A F E + > > 1 > Beispiele Die harmonische Reihe = divergiert Die alternierende harmonische Reihe konvergiert = Die Reihe Die Reihe = = und divergiert für Gkonvergiert für EHJIK FGkonvergiert für Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p15/37

16 N = * O Reihen mit MuPAD Der Befehl sum(f,i=ab) sucht eine geschlossene Darstellung der Summe Dabei sind, ganze Zahlen, wobei auch unendlich (also infinity) erlaubt ist f ist ein Ausdruck in >> sum(1/iˆ2,i=1infinity) 2 PI >> sum((-1)ˆ(i+1)/i,i=1infinity) ln(2) >> sum(1/i,i=1infinity) infinity L M PO Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p16/37

17 Reihen mit MuPAD Oft ist die Konvergenz einer Reihe abhängig von bestimmten Parametern, wie zb bei der geometrischen Reihe Und je nach Parameterwert zeigt die Reihe unterschiedliches Konvergenzverhalten >> sum(xˆi,i=0infinity) infinty x x x - 1 Entsprechend gibt es keine geschlossene Form Für gilt jedoch >> x:=1/2: sum(xˆi,i=0infinity) 2 %'& Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p17/37

18 Q Etwas mehr MuPAD Definieren der Partialsumme >> delete x >> s:=sum(xˆi,i=0n) Die ersten n x x x - 1 >> s n=15 Glieder der Partialsumme x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 x , , , , x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p18/37

19 Etwas mehr MuPAD II Bestimmen des Grenzwertes der Folge der Partialsummen > limit(s,n=infinity) infinity x x x - 1 Einschränken des Bereichs für >> assume(x<1), assume(x>-1,_and) < 1, ]-1, 1[ >> limit(s,n=infinity) x - 1 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p19/37

20 S R R assume Mit der Funktion assume kann man Funktionen wie expand, simplify oder solve mitteilen, dass für gewisse Bezeichner Annahmen über ihre Bedeutung gemacht wurden Beispiele: assume(x,type::real) assume(x>a) wird auf wird auf eingeschränkt! Z XY W U S V TU eingeschränkt! Möchte man für einen Bezeichner mehrere Annahmen machen, so hilft die Option _and (siehe oben) Ruft man assume für einen Bezeichner auf, wird ansonsten die erste Annahme überschrieben Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p20/37

21 Beispiele zu assume >> sqrt(xˆ2) 2 1/2 (x ) >> assume(x>0) > 0 >> sqrt(xˆ2) x >> simplify(ln(exp(x))) ln(exp(x)) >> assume(x>0): >> simplify(ln(exp(x))) x >> assume(x,type::integer): >> solve((x-1)*(x+15),x) 1 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p21/37

22 ? & 1 A Konvergenzkriterien (Cauchykriterium) Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ein gibt, so dass für alle gilt? = = Konvergiert eine Reihe, so bilden ihre Glieder eine Nullfolge (Verdichtungskriterium) Eine Reihe einer Folge nichtnegativer, monoton fallender Glieder konvergiert genau dann, wenn die Reihe konvergiert = = mit Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p22/37

23 Majorantenkriterium Gilt für alle man eine Minorante und Majorante von = = *, so nennt eine = * Besitzt eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern eine konvergente Majorante, so konvergiert sie Besitzt eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern dagegen eine divergente Minorante, so divergiert sie Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p23/37

24 [ 3B N A [ N A [ A [ Konvergenzkriterien Die Reihe = konvergiert, wenn (Quotientenkriterium) die Glieder positiv sind und ein existiert, so dass für gilt (Wurzelkriterium) die Glieder positiv sind und ein existiert, so dass für gilt (Leibnizsches Kriterium) Die Reihe = konvergiert, wenn die Folge eine monoton fallende Nullfolge ist Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p24/37

25 > 1 Beispiele Betrachte = >> f:= n -> nˆ4*exp(-n*n): >> g:=f(n+1)/f(n): >> limit(g,n=infinity) 0 Betrache =, 5F EHJIK >> f:= n -> 1/(n*(ln(n)ˆ2)): >> g:=n-> 2ˆn*f(2ˆn): >> h:=n-> 2ˆn*g(2ˆn): >> limit(h(n+1)/h(n),n=infinity) 1/2 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p25/37

26 Absolute und bedingte Konvergenz Eine Reihe dann wenn konvergiert Eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe heißt bedingt konvergent = heißt absolut konvergent genau = Absolut konvergente Reihen können beliebig umgeordnet werden Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p26/37

27 Potenzreihen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p27/37

28 \ ]O A _^ > \ \ Potenzreihen Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form = mit Das Konvergenzverhalten für verschiedene wird durch den Konvergenzradius bestimmt Für konvergiert die Potenzreihe absolut und für divergiert sie Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p28/37

29 ` ` N A 3B ` N A _^ > ]O \ \ \ Bemerkungen Für den Konvergenzradius gilt auch ` Potenzreihen konvergieren innerhalb ihres Konvergenzradius absolut Die Konvergenz an den Stellen und muss bei jeder Reihe individuell geprüft werden Potenzreihen sind ein mächtiges Werkzeug innerhalb der Mathematik Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p29/37

30 a Beispiele = >> f:=n ->xˆn/(n!) >> rho:=limit(expand(f(n+1)/f(n)), n=infinity) 0 Die Potenzreihe konvergiert für alle b = >> f:= n -> nˆs: >> limit(expand(f(n)ˆ(1/n)),n=infinity) 1 Der Konvergenzradius ist Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p30/37

31 4 1 _ 8 c ( c & c = Exponentialfunktion Wir erklären die Exponentialfunktion durch c M Die Funktion ist auf ganz definiert Plot: >> plotfunc2d(exp(x),-55) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p31/37

32 g f Eigenschaften der Exponentialfunktion de ; f de f de Es gilt f de Es gilt f de % f de Es gilt Die Umkehrfunktion auf Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion Es gilt # der ihj f de hj ihj f de Die allgemeine Potenz ist durch, hj f # definiert Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p32/37

33 MuPAD >> sum(xˆn/n!,n=0infinity) exp(x) >> exp(ln(x)) x >> simplify(ln(exp(x))) ln(exp(x)) >> assume(x,type::real): >> simplify(ln(exp(x))) x Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p33/37

34 k c k ho Trigonometrische Funktionen Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion sind definiert durch # 1n '& = ml 1n '& = c Die Potenzreihen konvergieren für alle Plotten: >> plotfunc2d(sin(x),cos(x),x=04*pi) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p34/37

35 g k g g g C C C C Eigenschaften Es gelten die Additionstheoreme: ml k k ho g k ho l kl ml k k ho ml k g k ho k ho 1 k ho 1 ml k Es gilt, indem wir die kleinste positive als definieren k ho Wir definieren Nullstelle von %& k ho, %'& ml k Es gilt: %'& ml k k ho Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p35/37

36 MuPAD >> solve(cos(x)=0,x) { 1/2*PI + X2*PI X2 in Z_ } >> assume(0<x<2): >> solve(cos(x)=0,x) { PI } { -- } { 2 } Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p36/37

37 > q p O > p u E u Iy Weitere Eigenschaften Man kann die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion auch geometrisch deuten Die Umkehrfunktionen von Sinus und Cosinus werden mit und bezeichnet In MuPAD: arcsin und arccos Plotten: >> plotfunc2d(arcsin(x), arccos(x),x=-11) Der Tangens ist definiert durch rtsl F vxw >> plotfunc2d(tan(x),x=-44) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD p37/37