Bei gekoppelten Pendeln breitet sich die Schwingung von einem zum nächsten aus

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Jakob Krüger
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1 7. Wellen Ausbreitung von Schwingungen -> Wellen Bei gekoppelten Pendeln breitet sich die Schwingung von einem zum nächsten aus Welle entsteht durch lokale Anregung oder Störung eine Mediums, die sich durch Kopplung auf benachbarte schwingungsfähige Systeme ausbreitet

2 Dabei wird bei klassischer Welle keine Materie aber eine lokale Störung des Mediums und somit Energie transportiert. Das Medium wird lokal verändert, die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt vom Medium (Kopplungsstärke, Trägheit) ab. Die Störung kann pulsförmig oder periodisch (z.b. sinus-förmig) sein. Longitudinale Welle (z.b. Schall): Transversale Welle (Versuch Wellenkette):

3 Wasserwellen: Kombination beider Typen, Kreisbahnen, deren Radii mit der Tiefe abnehmen. Ebene Wellen und Elementarwellen: Versuche Wasserwanne Wellenfronten (WF) = Flächen in 3 (Linien in 2) Dimensionen, deren Punkte gleichphasig schwingen Ausbreitungsrichtung senkrecht zu WF -Flächen Bei ebenen Wellen sind WF Ebenen Bei Elementarwellen sind WF Kugeloberflächen Huygens Prinzip: 1) Jeder Punkt einer WF ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle 2) Die Einhüllenden (Tangentenflächen) bilden neue WF

4 Wellenausbreitung, mathematische Darstellung z z z t

5 Wellenausbreitung, mathematische Darstellung für eine in z-richtung laufende (ebene) Welle: A (z,t) = A 0 sin(ωt-kz) Wellenzahl (oder Wellenvektor) k = 2π λ Phasengeschwindigkeit: v ph = f λ = λ T Definition der Wellenlänge λ: für feste Zeit (Schnappschuß) entspricht λ der Weglänge z, für die gilt z k = 2π, d.h. das Argument der Sinusfunktion ändert sich um eine Periode.

Definition der Phasengeschwindigkeit: v ph ist die Geschwindigkeit von Orten gleicher Amplitude, d.h. gleicher Phase, wobei die Phase das Argument der Sinus- oder Cosinusfunktion ist:.

6 Definition der Phasengeschwindigkeit: v ph ist die Geschwindigkeit von Orten gleicher Amplitude, d.h. gleicher Phase, wobei die Phase das Argument der Sinus- oder Cosinusfunktion ist:. Phase = ωt kz Aus Bedingung: ωt kz = const. folgt A (z,t) = const. und folgt ωt 2 kz 2 (ωt 1 kz 1 ) = const. const. = 0, ω t k z = 0, wobei t = t 2 -t 1 und z = z 2 -z 1 daraus folgt: z/ t = ω/k = f λ = λ/t A(z,t) = A 0 sin(ωt kz)

7 Superposition =Überlagerung = Interferenz von Wellen Wellen überlagern sich ungestört, d.h. eine Welle läuft weiter, auch wenn es Bereiche mit destruktiver Interferenz (lokaler Auslöschung) gibt. Zwei ebene Wellen treffen sich. Wir betrachten Überlagerung an einem Ort P

8 Superposition von Wellen - stehende Wellen zwei gegenläufige Wellen gleicher Frequenz und Amplitude A(z,t) = A 0 cos(ωt - kz) + A 0 cos(ωt + kz ) = 2A 0 cos (kz ) cos (ωt ) Stationäres Wellenbild, wenn Gleiche Frequenz (sonst Schwebung) Feste Phasenbeziehung (Kohärenz) also entweder durch Reflexion oder phasenstarre Quellen Versuch zur Schwebung

9 Superposition von Wellen - stehende Wellen nach Reflexion Je nach Art der Reflexion kann eine zusätzliche Phase auftreten: Freies, weiches Ende -> kein Phasensprung Festes, hartes Ende -> Phasensprung um π (senkrechte Kraft) λ = 2L Bei zwei festen Enden (schwingende Saite) ergeben sich aus den Randbedingungen feste Schwingungsmoden (sonst Auslöschung), Grundton (n=1) und Obertöne (n>1) n

10 Doppler-Effekt Bewegte Quelle: Doppler-Effekt Bewegt sich die Quelle auf den Empfänger zu, so nimmt dieser eine höhere Frequenz wahr f E = f 0 v ph v ph v Q aufeinander zu : f E > f 0 voneinander weg : f E < f 0 Überschallgeschwindigkeit: - Bei v Q > v ph überholt die Quelle die von ihr ausgesandten Wellen. - Es bildet sich eine kegelförmige Wellenfront aus (Mach-Kegel). - Sinus des Öffnungswinkels: v ph /v Q (=Mach-Zahl)

8. Akustik, Schallwellen Schallwellen: wellenförmige Fortpflanzung von Druck- oder Dichteschwankungen in elastischen Medien wie Gasen,Flüssigkeiten, Festkörpern.

11 8. Akustik, Schallwellen Schallwellen: wellenförmige Fortpflanzung von Druck- oder Dichteschwankungen in elastischen Medien wie Gasen,Flüssigkeiten, Festkörpern. In Fluiden: longitudinal (Orientierung der Bewegungsamplitude von Molekülen parallel zur Ausbreitungsrichtung) In Festkörpern: transversal (Bewegungsamplitude senkrecht zur Ausbreitungsrichtung), oder longitudinal wie bei Fluiden. Einteilung nach Frequenzen: Infraschall : ν <= 16 Hz Hörbarer Schall: 16 Hz < ν < 16 khz Versuch Ultraschall : 16 khz < ν Hyperschall : 10 MHz < ν P: Druck S: Auslenkung

8. Akustik, Schallwellen Schall-Erzeugung: Schallerzeugung durch stehende Wellen auf Festkörpern: schwingende Saite Stimmgabel Orgelpfeife Lautsprechermembran

12 8. Akustik, Schallwellen Schall-Erzeugung: Schallerzeugung durch stehende Wellen auf Festkörpern: schwingende Saite Stimmgabel Orgelpfeife Lautsprechermembran Beispiel 1: beidseitig eingespannte Saite l -> stehendes Wellenfeld bei bestimmten Eigen- oder Resonanzfrequenzen λ l = n, n = 1,2,3,... 2 = n f, n 1,2,3,.. f n 1 =

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