Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF

Transkript

1 Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (eite ). Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (eite ). Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel (eite 4) 4. Verteilung und Erwartungswert von ufallsgrößen (eite ). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechung Definition: Ein Versuch/Experiment, bei dem der Ausgang ungewiss ist, nennt man ufallsversuch oder ufallsexperiment. Die verschiedenen Ausgänge des Versuchs heißen Ergebnisse, ein Ereignis besteht aus einem oder mehreren Ergebnissen. Beispiele: einstufiger ufallsversuch Menge der Ergebnisse ein mögliches Ereignis ufallsversuch ufallsversuch ufallsversuch x Würfeln x Münze werfen Punkte einer Klausurnote {; ; ; 4; 5; } { ; W} {0; ; ;...; 5} A = gerade ahl = {; 4; } A = ahl = {} A = Note mindestens = {0,,,, 4, 5} mehrstufiger ufallsversuch Menge der Ergebnisse ein mögliches Ereignis ufallsversuch 4 x Würfeln {( ), ( ),..., ( ), ( ),, ( ),, ( ),, ( )} A = Pasch würfeln = {( ), ( ),..., ( )} ufallsversuch 5 Geburten {JJ, JM, MJ, MM} E = mindestens ein Mädchen = {MM, MJ, JM} ufallsversuch Teile werden kontrolliert, ob sie brauchbar sind, {bbb, bbu, bub, ubb, buu, ubu, uub, uuu} A= mindestens ein brauchbares Teil = {bbb, bbu, bub, ubb, buu, ubu, uub, uuu} Definition: Ist E ein Ereignis, so bezeichnet man mit E _ = das Gegenereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht eintritt.

2 . Grundlegende Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Für jedes Ereignis E gilt 0 P(E) [0% P(E) 00%] (Negative Wk oder Wk über 00% gibt es nicht.) Die Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis und für sein Gegenereignis ergänzen sich zu : _ P(E ) = P(E) ufallsversuch (s. o.) P(A) = P( A ) = P(uuu) Besteht ein Ereignis aus den Ergebnissen e, e,... e k, so gilt P(E) = P(e ) + P(e ) P(e k ). (ufallversuch ) D: Unter drei tücken sind genau brauchbar. D besteht aus drei Ergebnissen, deren Wahrscheinlichkeiten addiert werden müssen: D = {(bbu), (bub), (ubb)}; P(D) = P(bbu) + P(bub) + P(ubb) =... ind alle Ergebnisse eines V gleich wahrscheinlich (LAPLACE-Experiment), so gilt: Anzahl der zu E gehörenden ("günstigen") Ergebnisse P(E) = Anzahl aller Ergebnisse E: umme 5 beim fachen Würfeln; (Alle Möglichkeiten sind bei einem fairen Würfel gleich wahrscheinlich!) E= {( 4), ( ), ( ), (4 )}; P(E) = 4 = 9 Pfadregeln Pfadregeln:. Die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad in einem Baumdiagramm erhält man dadurch, dass man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.. Besteht ein Ereignis aus mehreren Pfaden, so muss man die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Pfade berechnen und die Ergebnisse addieren. Beispiel : Eine Münze wird zweimal geworfen 0,5 0,5 K 0,5 0,5 0,5 0,5 K K (K,K) (K,) (,K) (,) Menge der Ergebnisse = { KK, K, K, } E : Es fällt keinmal Kopf; E = {}

3 E : Es fällt einmal Kopf und einmal ahl; E = { K, K} E : Es fällt mindestens einmal Kopf; E = { KK, K, K} P(E ) = = 4 ; P(E ) = + = ; P(E ) = P(E ) = 4 Beispiel Ein Würfel wird mit den ahlen,,,,, beklebt und zweimal geworfen. umme der beiden ahlen ist kleiner als 4. E = { ( ), ( ), ( )}; P(E ) = + + = 9 E : Die E : Die beiden ahlen sind gleich. E = { ( ), ( ), ( )}; P(E ) = %. 9 4 Beispiel In einer Urne mit roten und einer schwarzen Kugel werden Kugeln ohne urücklegen gezogen. r s r s r E: Es werden zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe gezogen; E={rs, sr} P(E) = + = Oder über das Gegenereignis: E = {rr}; P(E ) = = ; P(E) = = Beachte: - Alle Pfade, die von demselben Punkt ausgehen, besitzen zusammen eine Wahrscheinlichkeit von. - Die Unterteilung in Pfade hängt von der Aufgabenstellung ab. Wenn z. B. beim Würfeln nur nach echsen gefragt wird, so unterteilt man in die beiden Pfade und (und nicht in,,, 4, 5, ).

4 . Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel Definition: Unter P A (E) versteht man die Wahrscheinlichkeit von E unter der Bedingung A. [Es ist auch die chreibweise P(E A) üblich.] Man fragt sich also, mit welcher Wk E eintritt, falls man die zusätzlich weiß, dass A eingetreten ist. Beispiel für eine Wk ohne Bedingung: Mit welcher Wk löst ein zufällig ausgesuchter chüler eine bestimmte Aufgabe? Bedingte Wk: Mit welcher Wk löst ein zufällig ausgesuchter chüler eine bestimmte Aufgabe, falls dieser chüler in Mathematik eine hat? Fragen zur bedingten Wk kann man immer in die Form bringen: Mit welcher Wk, falls. Von den zwei Kindern einer Familie ist das eine ein Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere ein Junge? Mit welcher Wk ist ein Kind aus einer wei-kind-familie ein Junge, falls das andere ein Mädchen ist? Mit einer Vierfeldertafel lässt sich der Unterschied zwischen bedingter und nicht bedingter Wk gut darstellen: Jugendliche wurden nach Rauchverhalten (Raucher R oder Nichtraucher und nach ihrer ufriedenheit mit dem Körpergewicht ( oder befragt. R 5% % 7% R 45% % 7% 0% 40% 00% Aus der Tabelle entnimmt man die (unbedingten) Wahrscheinlichkeiten: 5% aller Befragten sind Raucher und mit ihrem Gewicht zufrieden. % aller Befragten sind Raucher und mit ihrem Gewicht nicht zufrieden. 45% aller Befragten sind Nichtraucher und mit ihrem Gewicht zufrieden. % aller Befragten sind Nichtraucher und mit ihrem Gewicht nicht zufrieden. 7% aller Befragten sind Raucher. 7% aller Befragten sind Nichtraucher. 0% aller Befragten sind mit ihrem Gewicht zufrieden. 40% aller Befragten sind mit ihrem Gewicht nicht zufrieden. Wie erhält man nun z. B. die Wk, dass ein Befragter mit seinem Gewicht zufrieden ist, falls dieser Befragte Raucher ist? Die zufriedenen Raucher werden jetzt nur noch auf die Raucher bezogen, da Nichtraucher in diesem Falle ausgeschlossen sind, d.h. man muss berechnen, wie hoch der Anteil der zufriedenen Raucher an allen Rauchern (und nicht an allen Befragten) ist. P R () = 5% von 7 % = 5 9. R ) Man trifft eine Person, die nicht mit ihrem Gewicht zufrieden ist. Mit welcher Wk raucht die Person? P (R) =% von 40% = 0, = 0% Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit: P A (E) = P(E A) P(A)

5 usammenhang zwischen Baumdiagramm und Vierfeldertafel F 40% 0% 70% F 0% 0% 0% 0% 40% 00% Die vier inneren Wahrscheinlichkeiten der Vierfeldertafel sind die Wahrscheinlichkeiten für die 4 Pfade. Die beiden Wahrscheinlichkeiten auf der ersten tufe findet man am rechten oder unteren Rand, je nachdem welches Merkmal auf der ersten tufe unterschieden wird. Die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten tufe des Baumdiagramms sind bedingte Wahrscheinlichkeiten, z. B. P (F) = (oberes Baumdiagramm) oder P F () = 4 (unteres Baumdiagramm) 7 Mit der Vierfeldertafel müsste man diese folgendermaßen berechnen: P (F) = 40% von 0% =. F 0,7 0, 0,4 0, 0, 0, P F () = 40% von 70% = 4 7. Wenn im Baumdiagramm die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten tufe fehlen, könnte man sie mit Hilfe der ersten Pfadregel ermitteln. 0, P (F) = 0,4 P (F) = 0,4 : 0, = 0,7 P F () = 0,4 P F () = 0,4 : 0,7 = 4 7 (oberes Baumdiagramm) (oberes Baumdiagramm)

6 4. Verteilung und Erwartungswert einer ufallsgröße Bei vielen ufallsexperimenten ist nicht so sehr an den eigentlichen Ergebnissen sondern an den Konsequenzen, z.b. Gewinn oder Verlust, Anzahl der brauchbaren tücke, Anzahl der Jungen, interessiert. Die Ergebnisse werden also unter einem bestimmten Aspekt zusammengefasst. Definition: Eine ufallsgröße X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines ufallsversuches (unter einem bestimmten Aspekt) eine reelle ahl zuordnet. Beispiele: ufallsexperiment ufallsgröße X Wertemenge von X a) Geburten Anzahl der Jungen W(X) = {0;;;} b) Qualitätskontrolle bei 4 ausgewählten Teilen Anzahl der brauchbaren Teile W(X) ={0; ; ; ; 4} c) Münze mal werfen Nettogewinn von pieler A nach Gewinnplan (*) W(X) = {; 4; 0; -} d) Würfel mal werfen umme der beiden Augenzahlen W(X) = {; ; 4;...; } (*) wei pieler A und B werfen drei Münzen und vereinbaren folgenden Gewinnplan: der pieler A erhält vom pieler B, wenn dreimal Wappen fällt, und 4, wenn zweimal Wappen fällt. Der pieler A zahlt an pieler B, wenn einmal Wappen fällt. Erscheint dreimal ahl, so braucht keiner der pieler zu zahlen. u jedem Wert k einer G kann man nun die zugehörige Wahrscheinlichkeit berechnen. Definition: Die Tabelle mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) für alle möglichen Werte k heißt Verteilung der ufallsgröße X. Beispiele: (Definition der ufallsgrößen siehe oben.) a) Annahme: P(J)=P(M)=0,5 k 0 P(X=k) b) Annahme: P(b) = 0,9 k 0 4 P(X=k) 0,000 0,00 0,04 0,9 0,5 c) Annahme: Laplace-Münze k P(X=k) d) Annahme: Laplace-Würfel k P(X=k)

7 Häufig ist man bei ufallsgrößen daran interessiert, womit man im Durchschnitt rechnen kann (Gewinnspiele, Ausschussstücke,...). Dies führt zu der Definition: ind k, k,..., k n die Werte einer ufallsgröße X, so heißt k P(X=k )+ k P(X=k )+...+k n P(X=k n ) der Erwartungswert der ufallsgröße X und wird mit E(X) bezeichnet. In der Verteilungstabelle braucht man also nur alle Werte mit ihrer zugehörigen Wahrscheinichkeiten zu multiplizieren (zu gewichten) und die Ergebnisse zu addieren. Beispiele: (ufallsgrößen siehe oben) a) E(X) =,5 b) E(X) =, c) E(X) = ( (-4) ) = 0,75 d) E(X) = 7 In Aufg. c) bedeutet das Ergebnis, dass pieler A pro piel im chnitt mit 75 Cent Gewinn rechnen kann, was umgekehrt einen Verlust von 75 Cent pro piel für pieler B bedeutet. Das piel ist nicht fair. Definition: Ein piel ist fair, wenn der Erwartungswert des Nettogewinns (=Auszahlung minus Einzahlung) gleich 0 ist (oder: wenn der Erwartungswert der Auszahlung gleich dem Einsatz ist.) unterscheidbare Münzen werden geworfen. Der pieler erhält für dreimal Wappen, für zweimal Wappen ; er muss für einmal Wappen und keinmal Wappen 5 bezahlen. X = Gewinn bei einer pieldurchführung in. Verteilung: k - -5 umme P(X=k) Erwartungswert: E(X) = + 5 = 0,5 Bei diesem piel kann man mit,5 Ct Gewinn pro piel rechnen. Beachte, dass die bekannte Berechnung der Durchschnittsnote bei einer Klassenarbeit auch die obige Formel verwendet: Note 4 5 Anzahl P(X=k) E(X) = ( ):0 = =,5