R. Oldenbourg Verlag München Wien 1997

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1 Systemtheorie 1 Allgemeine Grundlagen, Signale und lineare Systeme im Zeit- und Frequenzbereich von Professor Dr.-Ing. Rolf Unbehauen 7., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 260 Abbildungen und 148 Aufgaben R. Oldenbourg Verlag München Wien 1997

2 Vorwort Kapitel I: Eingang-Ausgang-Beschreibung von linearen Systemen 1 1. Grundlegende Begriffe Signale Systeme Die Systemeigenschaften Standardsignale Kontinuierliche Standardsignale Diskontinuierliche Standardsignale Charakterisierung kontinuierlicher Systeme durch Sprung- und Impulsantwort Die Sprungantwort Die Impulsantwort Zusammenhang zwischen Sprungantwort und Impulsantwort Die Sprungantwort als Systemcharakteristik Die Impulsantwort als Systemcharakteristik Ein Stabilitätskriterium Beispiele Erweiterung Charakterisierung diskontinuierlicher Systeme durch Sprung- und Impulsantwort Die Sprungantwort Impulsantwort Sprung- und Impulsantwort als Systemcharakteristiken Ein Stabilitätskriterium und Erweiterung Beispiele Stochastische Signale und lineare Systeme Beschreibung stochastischer Prozesse Stationäre stochastische Prozesse, Ergodenhypothese Korrelationsfunktionen Korrelationsfaktor : Kreuzkorrelationsfunktion und Autokorrelationsfunktion Weitere Eigenschaften der Korrelationsfunktionen Experimentelle Bestimmung der Korrelationsfunktion Stochastische Prozesse und lineare Systeme Einige grundlegende Eigenschaften 55

3 Übergangsvorgänge Diskontinuierliche stochastische Prozesse 59 Kapitel II: Systemcharakterisierung durch dynamische Gleichungen, Methode des Zustandsraums Vorbemerkungen Beschreibung elektrischer Netzwerke im Zustandsraum Beschreibung kontinuierlicher Systeme im Zustandsraum Umwandlung von Eingang-Ausgang-Beschreibungen in Zustandsgleichungen Lineare Transformation des Zustandsraums Lösung der Zustandsgleichungen, Übergangsmatrix Der zeitinvariante Fall Der zeitvariante Fall Zusammenhang zwischen Übergangsmatrix und Matrix der Impulsantworten Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit linearer Systeme Einführendes Beispiel Steuerbarkeit Beobachtbarkeit Kanonische Zerlegung linearer, zeitinvarianter Systeme Ergänzungen zur Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit linearer, zeitinvarianter Systeme Stabilität Vorbemerkungen Definition der Stabilität bei nicht erregten Systemen Stabilitätskriterien für nicht erregte lineare Systeme Die Stabilitätskriterien von A. Hurwitz und E. J. Routh Die direkte Methode von M. A. Lyapunov Stabilität bei erregten Systemen Beschreibung diskontinuierlicher Systeme im Zustandsraum Umwandlung von Eingang-Ausgang-Beschreibungen in Zustandsgleichungen Lineare Transformation des Zustandsraums Lösung der Zustandsgleichungen, Übergangsmatrix Der zeitinvariante Fall Der zeitvariante Fall Zusammenhang zwischen Übergangsmatrix und Matrix der Impulsantworten Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit linearer Systeme Stabilität Anwendungen 162

4 5.1. Transformation auf kanonische Formen Zustandsgrößenrückkopplung Zustandsbeobachter Optimale Regelung Allgemeine Lösung des Optimierungsproblems Lineare Systeme mit quadratischem Güteindex Unendliche Steuerintervalle Optimale Regelung zeitdiskreter Systeme 196 Kapitel III: Spektralanalyse kontinuierlicher Signale und Systeme Die Übertragungsfunktion Die Fourier-Transformation Transformation stetiger Funktionen Transformation von Funktionen mit Sprungstellen, das Gibbssche Phänomen Der ideale Tiefpaß Kausale Zeitfunktionen Eigenschaften der Fourier-Transformation Elementare Eigenschaften Weitere Sätze Zeitdauer und Bandbreite Die Fourier-Transformation im Bereich der verallgemeinerten Funktionen Die Fourier-Transformierte der Delta-Funktion und der Sprungfunktion Weitere grundlegende Korrespondenzen Die Fourier-Transformation periodischer Zeitfunktionen Signale mit periodischen Spektren Zeitbegrenzte Signale, bandbegrenzte Signale, das Abtasttheorem Zeitbegrenzte Signale Bandbegrenzte Signale Abtasttheorem Bandbegrenzte Interpolation und Abtastung Bandbegrenzte Approximation Entwicklung von Signalen nach orthogonalen Funktionen Die Impulsmethode zur numerischen Durchführung der Transformation zwischen Zeit-und Frequenzbereich Die Poissonsche Summenformel und einige Folgerungen Die zeitvariable Fourier-Transformation Verwendung eines Rechteckfensters Verwendung allgemeiner Fenster, die Kurzzeit-Fourier-Transformation Die Wavelet-Transformation 265

5 5. Idealisierte Tiefpaß-und Bandpaßsysteme Amplitudenverzerrte Tiefpaßsysteme Amplituden- und phasenverzerrte Tiefpaßsysteme Bandpaßsysteme Einseitenband-Modulation Darstellung stochastischer Prozesse im Frequenzbereich Die spektrale Leistungsdichte Spektrale Leistungsdichten und lineare Systeme Allgemeine Aussagen Beispiele Einige Anwendungen Bestimmung von Systemcharakteristiken durch Kreuzkorrelation Signalerkennung im Rauschen Suchfilter (matched filter) 299 Kapitel IV: Spektralanalyse diskontinuierlicher Signale und Systeme Die Übertragungsfunktion Spektraldarstellung diskontinuierlicher Signale Die Grundgleichungen Die Spektraltransformation im Bereich der verallgemeinerten Funktionen Eigenschaften der Spektraltransformation Elementare Eigenschaften Weitere Sätze Digitale Simulation kontinuierlicher Systeme Spektraldarstellung periodischer diskontinuierlicher Signale Die zeitvariable Spektral-Transformation Verwendung eines Rechteckfensters Verwendung allgemeiner Fenster, die diskontinuierliche Kurzzeit-Fourier- Transformation Die diskontinuierliche Wavelet-Transformation Diskretisierung der Fourier-Transformation Die diskrete Fourier-Transformation Die Transformationsbeziehungen Beziehung zur Spektraltransformation diskontinuierlicher Signale Die schnelle Fourier-Transformation Diskontinuierliche Systeme zur digitalen Signalverarbeitung Nichtrekursive Systeme 344

6 4.2. Rekursive Systeme Beschreibung diskontinuierlicher stochastischer Prozesse im Frequenzbereich Grundlegende Begriffe und Zusammenhänge Signalerkennung 352 Kapitel V: Beschreibung kontinuierlicher Signale und Systeme in der komplexen Ebene Die Laplace-Transformation Die Grundgleichungen der Laplace-Transformation Zusammenhang zwischen Fourier- und Laplace-Transformation Die Übertragungsfunktion für komplexe Werte des Frequenzparameters Eigenschaften der Laplace-Transformation Die zweiseitige Laplace-Transformation Verfahren zur Umkehrung der Laplace-Transformation Der Fall rationaler Funktionen Der Fall meromorpher Funktionen Weitere Anwendung der Residuenmethode Umkehrung der zweiseitigen Laplace-Transformation Anwendungen der Laplace-Transformation Analyse von linearen, zeitinvarianten Netzwerken mit konzentrierten Elementen Bestimmung des stationären Anteils einer Zeitfunktion Anwendung der Laplace-Transformation bei der Systemanalyse im Zustandsraum Realisierung von linearen, zeitinvarianten Systemen im Zustandsraum Der skalare Fall Der Matrix-Fall Systementkopplung Das Polplazierungsproblem Graphische Stabilitätsmethoden Das Kriterium von H. Nyquist Die Methode der Wurzelortskurve Nichtlineare Rückkopplung, Popow-Kriterium und Kreiskriterium Die Verknüpfung von Realteil und Imaginärteil einer Übertragungsfunktion Beziehung zwischen Realteil und Imaginärteil bei rationalen Übertragungsfunktionen

7 5.2. Die Hilbert-Transformation Eine Methode zur praktischen Durchführung der Hilbert-Transformation Die Verknüpfung von Dämpfung und Phase Der Fall rationaler Übertragungsfunktionen Allgemeine Mindestphasensysteme Die Frage der Realisierbarkeit einer Amplitudencharakteristik, das Paley- Wiener-Kriterium Die Nulldynamik linearer Systeme Optimalfilter Das Wienersche Optimalfilter Kalman-Bucy-Filter Vorbetrachtung Signalmodell Optimaler Zustandsschätzer Zustandsschätzung für deterministische Systeme 453 Kapitel VI: Beschreibung diskontinuierlicher Signale und Systeme in der komplexen Ebene Die Z-Transformation Die Grundgleichungen der Z-Transformation Eigenschaften der Z-Transformation Umkehrung der Z-Transformation Die Übertragungsfunktion für komplexe z-werte Anwendung der Z-Transformation bei der Systembeschreibung im Zustandsraum Beziehung zwischen Realteil und Imaginärteil bei Übertragungsfunktionen diskontinuierlicher Systeme Rationaler Fall Integral-Transformationen Die Verknüpfung von Dämpfung und Phase Der Fall rationaler Übertragungsfunktionen Diskontinuierliche Systeme mit streng linearer Phase Optimalfilter Wiener-Filter Kalman-Filter 494

8 6. Das Nyquist-Verfahren zur Stabilitätsprüfung Multiratensysteme Vorbereitungen Dezimator und Expander Dezimations- und Interpolationssysteme Polyphasen- und Modulationszerlegung diskontinuierlicher Signale Digitalfilterbänke Analyse- und Synthesefilterbänke Basisfilterbänke N-Kanal-QMF-Bank Transmultiplexer Lineare, periodisch zeitvariante Systeme Interpretation der diskontinuierlichen Wavelet-Transformation Eine Analysefilterbank und eine Synthesefilterbank Konstruktion einer orthonormalen Basis 534 Korrespondenzen Korrespondenzen der Fourier-Transformation Korrespondenzen der Laplace-Transformation Korrespondenzen der Z-Transformation 541 Formelzeichen und Abkürzungen 542 Aufgaben 544 Kapitel I 544 Kapitel II 545 Kapitel III 551 Kapitel IV 558 Kapitel V 560 Kapitel VI 565 Literatur 570 Sachregister 576