2 Mechanik des Massenpunkts und starrer Körper

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1 8 Mechanik des Massenpunks und sae Köpe MEV Mechanik des Massenpunks und sae Köpe Bewegung In diese Kapiel geh es u Bewegung: Geschwindigkei, Beschleunigung, Roaion ec Und zwa nu u den Velauf de Bewegung, nich u deen Usache Käfe und Dehoene und deen Wikung weden späe bespochen Bewegung beuh ie auf de gleichen Gundkonzep, nälich auf de Zuücklegen eine Wegsecke ode eines Winkels in eine besien Zeiinevall Geschwindigkei und Beschleunigung Geschwindigkei Geschwindigkei v (fü engl velociy) is die zuückgelege Wegsecke s po Zeiinevall : v = s Ugefo: s = v und = s v Wichige Geschwindigkeien, die an auswendig wissen solle, sind die Schallgeschwindigkei und die Lichgeschwindigkei Sie weden bei Püfungen anchal als bekann voausgesez Schallgeschwindigkei in Luf: 330 /s, das enspich ca k in 3 s Schallgeschwindigkei in Wasse (wasseeiche Gewebe): ca 500 /s Lichgeschwindigkei i Vakuu (enspich annähend de Geschwindigkei in Luf): /s /s ode ca k/s Rechenbeispiel : Bei eine Pobanden wid die Pulswellengeschwindigkei aus de Zeidiffeenz des R-Zackens, de den sysolischen Auswuf kennzeichne, bis zu Ankunf de Pulswelle an de echen A feoalis, besi Die Zeidiffeenz beäg 5 s, die Wegdiffeenz 75 c Wie goß is die Pulswellengeschwindigkei? Lösung: Die Definiion de Geschwindigkei is v = s Hie is s = 0,75 und = 0,5 s Daaus folg: 0,75 v = = 6 0,5 s s Rechenbeispiel : Bei eine Pobanden wid die Nevenleiungsgeschwindigkei duch einen künslichen elekischen Reiz des N edianus geessen Das ensehende Suenakionspoenial wid a Handgelenk (R ) und a Obea (R ) jeweils a a M abduco pollicis abgeleie (s Abb Abb ) Das Reizsignal vo Obea ezeug nach 0 s ein Suenakionspoenzial, de Reiz vo Handgelenk nach s Die beiden Reizoe sind 40 c voneinande enfen Wie goß is die ilee Nevenleigeschwindigkei zwischen den beiden Reizoen R und R? R Beschleunigung Beschleunigung a (fü engl acceleaion) is die Ändeung de Geschwindigkei po Zeieinhei: a = v Δs Abb Dasellung zu Rechenbeispiel Lösung: Die Nevenleigeschwindigkei folg aus de Definiion de Geschwindigkei: s R R v = = = = = 50 (0 ) 0 3 s 8s s Die Beschleunigung is soi ein Maß dafü, wie schnell sich eine Geschwindigkei ände Die Einhei de Beschleunigung is [a] = /s Lenipp Die Quadasekunden (s ) i Nenne egeben sich ein aheaisch auf Gund de Definiionsgleichung A leichesen gehen Sie dai u, wenn Sie es veeiden, sich ewas daune vozusellen Aen de Bewegung R Es gib veschiedene Aen de Bewegung, einfache Spezialfälle sind die Tanslaionsbewegung, die peiodische Bewegung und die Roaionsbewegung aus: Endspu die Skipen füs Physiku Physik (ISBN ) 0 Geog Thiee Velag KG

2 Bewegung 9 Tanslaionsbewegung Bei de Tanslaionsbewegung können wi die folgenden Aen je nach Geschwindigkei und Beschleunigung unescheiden (Tab ): Tab Aen de Tanslaionsbewegung A de Tanslaionsbewegung Geschwindigkei gleichföig v = konsan a = 0 gleichäßig beschleunig ungleichäßig beschleunig v ni gleichäßig zu ode ab v ände sich ungleichäßig Beschleunigung a = konsan a ände sich Die Beschleunigung is negaiv, da es sich ja u eine Abbesung handel Diese Rechnung gil, wenn Sie den Sicheheisgu angeleg haben alls nich, dann lieg die Bessecke nu bei Millieen Angenoen, ein Insasse in diese Auo wieg 75 kg Auf ihn wik in diese all eine Kaf von ewa N (wie an dies beechne, lenen Sie späe, S ) N enspich de Gewich eine Masse von,3 Tonnen! Es is zielich unwahscheinlich, dass jeand einen solchen Aufpall übeleb Peiodische Bewegung Peiodische Bewegungen sind Bewegungen, die sich nach eine konsanen Peiodendaue T exak wiedeholen Die Anzahl de Peioden po Zeieinhei heiß equenz f Es gil: f = T Lenpake Geadlinige gleichföige Bewegung Bei eine geadlinigen gleichföigen Bewegung gil: s = v Die Geschwindigkei v is dabei konsan und ände sich nich i de Zei Beschleunige Bewegung (= Beschleunigung ode Abbesung) Ie, wenn auf einen Köpe eine Kaf wik, i eine Ändeung seine Geschwindigkei (= Beschleunigung ode Abbesung, Abb ) auf Ein Sondefall is die gleichäßige Beschleunigung, wenn auf einen Köpe eine konsane Kaf einwik und e nich duch andee Käfe beeinfluss wid Die Geschwindigkei ni dann linea i de Zei zu: v = a, ugefo a = v (d h Beschleunigung is die Ände- ung de Geschwindigkei po Zei) Die zuückgelege Wegsecke ni quadaisch i de Zei zu, es gil: s= a und a = v s Die Einhei de equenz f is Hez, abgeküz Hz: [f] = Hz Hz enspich eine Peiode po Sekunde: Hz = /s Rechenbeispiel Das Hez eines gesunden jungen Menschen schläg i Schni 80-al in de Minue Welche equenz enspich das? Lösung: 80 Schläge in Minue enspechen 80 Schläge/60 Sekunden =,3 Schläge po Sekunde =,3 Hz Rechenbeispiel : Ein ewachsene Mensch ha eine Aefequenz von 0, Hz Wie lange daue ein Aezug bei diese equenz und wie viele Aezügen po Minue enspich diese equenz? Lösung: 0, Hz = 0, Aezüge po Sekunde = 60 0, Aezüge in de Minue = Aezüge in de Minue Ein Aezug daue dann 60/ Sekunden = 5 Sekunden Ode aheaisch: f = T = = = s = 5s T f 0, s 0, Bei feien all wik z B die Edanziehungskaf als konsane Kaf, was in eine gleichäßigen Beschleunigung des Köpes esulie ( Edbeschleunigung von 9,8 /s ) Bei feien all wid fü den Weg s die allhöhe h und fü die Beschleunigung a die Edbeschleunigung g in die oel eingesez: h= g Die ilee Beschleunigung, die ein Köpe übe eine besie Secke ien aus eine Beschleunigung heaus efäh, beechne sich aus: a = v v s Rechenbeispiel Mi diese oel kann an beechnen, i welche Beschleunigung an z B bei Aufpall i de Auo auf eine Wand abgebes wid: Angenoen, jeand fäh i eine Geschwindigkei von 30 k/h auf eine Maue und bleib nach eine Secke von 0 c ( Knauschzone ) sehen Mi welche ileen Beschleunigung wid das Auo abgebes? Lösung: v = 30 k/h = 8,3 /s; v = 0 /s; s = 0, Einsezen in die oel egib: (0 ) (8,3 ) a = s s = 7 0, s Geschwindigkei Beschleunigung a v Weg s Zei Zei Zei Abb Dasellung veschiedene Bewegungsaen Weg-Zei-, Geschwindigkei-Zei- und Beschleunigung-Zei-Diaga eine gleichäßigen Beschleunigung aus: Endspu die Skipen füs Physiku Physik (ISBN ) 0 Geog Thiee Velag KG

3 0 Mechanik des Massenpunks und sae Köpe Keisbewegung (Roaionsbewegung) Lenipp De folgende Abschni zu Roaionsbewegung is nich diek püfungselevan Man uss seinen Inhal abe vesanden haben, u späe z B bei den Schwingungen und Wellen ode bei de Radioakiviä, enspechende Aufgaben beanwoen zu können Bei den Roaionsbewegungen is es hilfeich, sich nochals veschiedene Tasachen zu Winkeln, Keisufang, Geschwindigkeien ec in Einneung zu ufen: Winkel weden in Radian angegeben, wenn i ihnen geechne wid (360 = π ad) Keisufang: s = π ü einen Keisbogen (Teil des Keisufangs) gil: s = α Geschwindigkei: v = s Ulaufpeiode und Ulauffequenz Bei eine Keisbewegung beweg sich ein Objek (in de Physik als Massenpunk bezeichne) auf eine Keisbahn u einen Keisielpunk (Abb 3) Die Keisbahn des Objeks übeseich dabei einen besien Winkel po Zeieinhei Nachde das Objek einal i Keis gelaufen is (Ulaufpeiode T = ) beäg de Winkel α insgesa 360, ode in Radian ausgedück: π Die Anzahl de Uläufe po Zeieinhei wid als Ulauffequenz f (auch Dehzahl) bezeichne und enspich de Kehwe de Ulaufpeiode (s o) f = T i de Einhei [f] = s (Hz); ugefo T = f Angenoen, in eine Zenifuge deh sich ein Roo 000 al po Sekunde, dann daue eine Udehung: T = = 0,0005 s= 0,5s 000 s Ode andesheu geechne: Wenn Udehung eines Roos in eine Zenifuge s daue, dann is die equenz (Dehzahl) de Zenifuge f = = = 000 s, s 0,00s das sind also 000 Udehungen po Sekunde Winkelgeschwindigkei Die Winkelgeschwindigkei ω is analog zu lineaen Geschwindigkei (Weg po Zei) definie als Winkel po Zei: ω = α Sie is also ein Maß dafü, wie schnell sich ewas deh Bei eine gleichäßigen Keisbewegung übeseich de Massenpunk wähend eines Ulaufs T den Winkel α = π (egal, bei welche Dehzahl): π ω = = π = π f T T Die Winkelgeschwindigkei ha die Einhei [ω] = ad/s (und wenn an die Einhei ad wegläss, nu [ω] = /s) Bahngeschwindigkei De Weg, den de Massenpunk auf de Keisbahn zuückleg, is duch die Bogenlänge s = α gegeben (S 4) Mihilfe de Bogenlänge kann an die Bahngeschwindigkei des Massenpunks auf de Keisbahn angeben: v Bahn = s/ Daaus folg fü die Bahngeschwindigkei s α α vbahn = = = = ω Die Einhei de Bahngeschwindigkei is [v Bahn ] = ad /s (also /s) Zenipealbeschleunigung In jede Punk de Keisbahn zeig de Veko de Bahngeschwindigkei angenial nach außen (Abb 3) Dai jedoch eine Keisbewegung zusande ko, uss die Richung des Vekos in jede Punk geände weden Die Richungsändeung is gleichbedeuend i eine Beschleunigung Als Hilfe dien hie vielleich die Vosellung, dass in jede Punk de Keisbahn auf die gleichföige Bewegung des Massenpunks eine Kaf wiken uss, u ihn auf eine Keisbahn zu halen (ansonsen wüde e davonfliegen) und dies bedeue, dass de Punk beschleunig wid (ie, wenn eine Kaf auf einen Köpe i gleichföige Bewegung wik, spich an von eine Beschleunigung, s o) Diese Beschleunigung wid Radialbeschleunigung ode Zenipealbeschleunigung a P genann, und ih Beag is duch den folgenden Ausduck gegeben: Bahn a P = v = ω Rechenbeispiel Bei de Gewinnung von Bluplasa weden Blupoben in eine Zenifuge i 44 ad/s (ω = 35π/s, ca 4050 Udehungen po Minue) zenifugie De Roo ha einen Duchesse von 0 c, sodass sich die Blupoben in 0 c Enfenung von de Dehachse befinden Welche Beschleunigung wik auf die Poben? Lösung: 44ad ap = ω = 0,= 7978, ca,8 0 4 /s s s Apopos In de oschung wid besondes bei Ulazenifugen, die i seh hohen Dehzahlen abeien, of angegeben, i wie viel g eine Pobe zenifugie wid g seh dabei fü die Edbeschleunigung 9,8 /s ü die Zenifuge oben in de Aufgabe wüde die beechnee Beschleunigung von,8 0 4 /s eine Zenifugaion i,8 04 s = 835 g enspechen 98, s α s α a p v Bahn dα v Bahn dv Bahn Abb 3 Keisbewegung Ein Massenpunk auf eine Keisbahn i konsane Radius und i eine konsanen Winkelgeschwindigkei ω u das Zenu ha eine de Beag nach konsane Bahngeschwindigkei v Bahn Jedoch ände sich die Richung de Bahngeschwindigkei in jede Moen Die Richungsändeung de Bahngeschwindigkei po Zeieinhei v/ auf de Keisbahn is gleichbedeuend i eine Zenipealbeschleunigung a P in Richung des Keiszenus aus: Endspu die Skipen füs Physiku Physik (ISBN ) 0 Geog Thiee Velag KG

4 Ipuls, Kaf, Dehoen Welche Käfe bei eine solchen Zenifugaion wiken, ach folgende Vosellung deulich: Vesezen Sie sich in Gedanken selbs an die Selle de Pobe in de Zenifuge Auf Sie wüde eine Kaf wiken, die de 835-fachen Ihes Köpegewichs enspich! Ulazenifugen, die in de oschung eingesez weden, abeien i Beschleunigungen von g bis zu g Dabei weden die Poben anchal ehee Tage lang zenifugie azi Das üssen Sie wissen Geschwindigkei: v = s ; s = zuückgelege Wegsecke; = Zei Lichgeschwindigkei i Vakuu und in Luf: ca k/s Bei eine gleichäßigen Beschleunigung ni die Geschwindigkei linea i de Zei zu: v = a ; a = Beschleunigung, = Zei Milee Beschleunigung (ode Abbesung): a = v, bzw a = v v ; v = Geschwindigkei, s = zuückgelege Weg secke s equenz: f = T ; T = Peiodendaue Die Einhei de equenz f is Hez (abgeküz Hz) Hz enspich eine Peiode po Sekunde Hz = /s Zenipealbeschleunigung: a P = ω ; ω = Winkelgeschwindigkei, = Radius Ipuls, Kaf, Dehoen Ipuls und Ipulsehalung Wenn ein Laswagen und ein Kleinwagen die gleiche Geschwindigkei haben, dann sag unse Gefühl, dass ein Zusaensoß de beiden fü den Kleinwagen ungünsig ausgehen kann De Gund dafü is die uneschiedliche Masse de beiden Wagen Masse uliplizie i Geschwindigkei egib Ipuls: p = v Diese Definiion uss an einfach lenen und glauben, dass an i diese Begiff viele wichige Poblee lösen kann Bei gleiche Geschwindigkei v is de Ipuls des Laswagens deshalb wesenlich göße als de Ipuls des Kleinwagens A besen übesezen läss sich Ipuls i Schwung ode Wuch eines Köpes Kaf und Kafaen Kaf Die physikalische Definiion de Kaf weich von de allgeeinen Vosellung sak ab Isaac Newon idenifiziee i 7 Jahhunde die Kaf als Usache fü jede Veändeung des Bewegungszusands eines Köpes Außede ekanne e, dass es zu jede Kaf eine Reakionskaf gib Kaf is physikalisch definie als Masse al Beschleunigung: = a, Einhei = kg s = N ( N = kg /s, N seh fü Newon) Kaf bewik also eine Ändeung de Geschwindigkei und dai auch des Ipulses eines Köpes Solange keine (esulieende) Kaf auf den Köpe wik, is sein Ipuls zeilich konsan, d h an de Bewegungs-A des Köpes ände sich nichs Das is de Inhal des Tägheisgesezes nach Newon Ohne esulieende Gesakaf bleib ein Köpe in Ruhe ode füh eine gleichföige und geadlinige Bewegung aus Insbesondee wid ein Köpe ohne Kaf nich beschleunig Gleichgewich Wenn die Gesakaf null is, dann spich an von eine Käfegleichgewich Käfegleichgewiche sogen fü Sabiliä Die Muskelkaf des As häl das Gewich i Gleichgewich (Abb 4): ha den gleichen Beag wie, is abe in die engegen geseze Richung geiche, sodass die Gesakaf null is: + = 0 Die Saik de Achieku wie des Köpebaus beuh auf de Käfegleichgewich Zenipealkaf und Zenifugalkaf Bei de Roaionsbewegung (S 0) haben wi fesgesell, dass auf ein Objek auf eine Keisbahn eine Beschleunigung wiken uss, da es in jede Punk seine Bahn die Richung ände Es handel sich dabei u die Zenipealbeschleunigung Bahn a = v P Nach de Definiion Kaf = Masse al Beschleunigung bedeue dies, dass auf das Objek auf de Keisbahn eine Kaf wik (denn es besiz ja auch eine Masse) In diese all is dies die Zenipealkaf: Bahn = a = v P P Lenpake Apopos Auf Englisch heiß de Ipuls oenu De Ipuls p is ein Veko und ha die gleiche Richung wie v (Einhei: [v] = kg /s) Abb 4 Käfegleichgewich Ipulsehalungssaz De Ipulsehalungssaz besag, dass die Sue alle Ipulse vo eine Soß gleich de Sue alle Ipulse nach de Soß is Das gil abe nu, wenn es sich bei de Soß u einen vollsändig elasischen Soß handel, bei de keine de beiden Köpe ievesibel vefo wid Bei eine ievesiblen Vefoung wid Defoaionsabei geleise, die de Syse nich eh zu Vefügung seh (wie es bei de Zusaensoß zwischen Laswagen und Kleinwagen de all is) aus: Endspu die Skipen füs Physiku Physik (ISBN ) 0 Geog Thiee Velag KG

5 Mechanik des Massenpunks und sae Köpe Diese Zenipealkaf is nach innen auf das Zenu geiche Andenfalls wüde de Gegensand seine oenanen Bahngeschwindigkei folgend nach außen wegfliegen Bekanne als die Zenipealkaf is die Zenifugalkaf Die Zenifugalkaf is de Zenipealkaf genau engegengeiche, abe exak gleich goß, und eechne sich nach deselben oel Sie spiel bei de Zenifugaion eine Rolle (siehe folgende Aufgabe) Die Teilchen fliegen bei Zenifugieen so lange nach außen, bis sie vo Boden des Zenifugengefäßes daan gehinde weden, weie zu fliegen Rechenbeispiel Dai bei eine Zenifugaion die Abennung zelluläe Besandeile des Blues vo Bluplasa auseichend gu efolg, uss eine besie Zei lang zenifugie weden Die Zenifugaionsdaue is ugekeh popoional zu Zenifugalkaf, die auf die Bluzellen wik U welchen ako velänge sich die Zenifugaionsdaue, wenn die Dehzahl de Zenifuge vedoppel wid? Lösung: Die Zenifugalkaf is dafü veanwolich, dass sich die Zellen i de Zei vo Zenu des Roos enfenen Sie wid nach folgende oel beechne v P = Rechenbeispiel : Ein PKW ko duch einen fonalen Aufpall aus volle ah von 7 k/h (0 /s) nach 00 s zu Sehen Dabei wid das auf eine Kindesiz fesgeschnalle einjähige Baby (0 kg) i eine Kaf in die Sicheheisgue gepess Wie goß is de Beag de Kaf, die duch die Vezögeung ausgelös wid, i Vegleich zu Gewichskaf G des Babys? Das heiß, u welchen ako is göße als G ode: i welche Kaf wid das Kind in den Siz gepess? Lösung: Die Gewichskaf des Babys is G = g = 0 kg 0 /s = 00 N Die Kaf, i de das Baby in die Sicheheisgue gepess wid, folg aus de Masse al de negaiven Beschleunigung, die von volle ah zu Sillsand füh Die Beschleunigung is gleich de Ändeung de Geschwindigkei po Zei, d h in unsee all Δv 0/s 0 s a = = = 00 Δ 0,s s Die Kaf is dann Masse al Beschleunigung, also = 0 kg 00 /s = 000 N Diese Kaf is 0-al göße als die eigene Gewichskaf des Babys! Vgl dazu auch Rechenbeispiel S 9 Rechenbeispiel : Abb 5 zeig scheaisch ein Geä zu Kafaining Wid nun die Dehzahl de Zenifuge vedoppel, ehöh sich die Bahngeschwindigkei v auf das Doppele Dai eechne sich die neue Zenifugalkaf P (die popoional v is) zu: = 4 Die Zenifugaionsdaue wiedeu is ugekeh popoional zu Zenifugalkaf Seig die Zenifugalkaf auf das Viefache, veinge sich die Daue also auf ¼ Kafaen Gaviaion Gaviaionskaf is eine enkaf, d h sie wik übe goße Disanzen ohne dieken Konak Wi spüen sie duch die iesige Masse de Ede in o von Gewich Wie jede Kaf bewik die Gaviaionskaf eine Beschleunigung, sofen keine Gegenkaf den Köpe i Gleichgewich häl (Newon s fallende Apfel) An de Edobefläche ha die Beschleunigung den nahezu konsanen We g = / (Beag g = 9,8 /s ) Die Edbeschleunigung g is ie auf das Edzenu zu geiche (Hinweis: Zu Kennzeichnung de Beschleunigung wid üblicheweise de Buchsabe a vewende Nu fü den Spezialfall de Edbeschleunigung ha sich de Buchsabe g duchgesez ü Abschäzungen eich es aus, fü den Beag von g 0 / s zu sezen) Gewichskaf Die Gewichskaf is die Kaf, die aufgewand weden uss, u einen Köpe an de Edobefläche i Gleichgewich bzw in Ruhe zu halen (ypischeweise Gewich eine Peson auf eine Waage; die edekaf de Waage häl i de Gewich de Peson das Gleichgewich) Das Gewich wid wie alle andeen Käfe in Newon angegeben Beispiel: eine Peson i de Masse von 50 kg ha das Gewich von 50 kg 9,8 /s 500 N Wegen de geingeen Masse des Mondes ha die gleiche Peson auf de Mondobefläche nu ca /6 des Gewichs auf de Ede (also ewa 83 N, die Masse beäg abe nach wie vo 50 kg) Die Gewichskaf wid häufig i de folgenden Gleichung angegeben: G = g (G fü Gewich, g fü die Edbeschleunigung) Abb 5 Dasellung zu Rechenbeispiel Die a Seil hängende Masse kann von 5 kg bis 50 kg veände weden Alle andeen Massen des Seils und Käfe, die duch Reibung aufeen, sollen nich beücksichig weden Mi welche Kaf uss de Spole an de Seil ziehen, u die Gewiche i eine Masse zwischen 5 kg und 50 kg i Gleichgewich zu halen? Lösung: Wenn abgesehen von de hängenden Masse alle andeen Teile des Geäs und Reibungskäfe nich beücksichig weden, häng die Kaf, i de de Spole a Seil zieh, alleine von de Gewichskaf G de Masse ab, denn die Rollen R, R und R 3 lenken nu die Kaf in de Richung u, ohne ihen Beag zu veänden (Abb 6) Dai eechne sich die Zugkaf bei Kafaining des Spoles: G = g, wobei g die Edbeschleunigung (ungefäh 0 /s ) dasell Bei eine Masse von 5 kg is G = g = 5 kg 0 /s = 50 N, bei eine Masse von 50 kg is G = g = 50 kg 0 /s = 500 N aus: Endspu die Skipen füs Physiku Physik (ISBN ) 0 Geog Thiee Velag KG

6 Ipuls, Kaf, Dehoen 3 ugewandel und kann nich als echanische Enegie zuück gewonnen weden R R G = g R 3 G = g Abb 6 Lösung zu Rechenbeispiel G = g Haf- und Gleieibung U einen Köpe auf eine Obefläche in Bewegung zu vesezen, uss zues die Hafeibung übewunden weden Die Kaf, die dafü aufgewende weden uss, heiß Hafeibungskaf und is popoional zu Gewich des Köpes Sobald ein Köpe in Bewegung is bzw gleie, uss an nu noch die Gleieibungskaf übewinden Diese is niedige als die Hafeibungskaf Rolleibung Auße de Haf- und Gleieibung gib es auch eine Rolleibung, die noch geinge is als die Haf- bzw Gleieibung Apopos Reibung gib es auch zwischen Knochen in Gelenken Zu Veingeung de Abnuzung duch Reibung wid i Gelenkspal die Synovialflüssigkei poduzie Sie dien sozusagen als Schieiel Außede füh sie de Knopel wichige Nähsoffe zu und häl den Gelenkspal saube, inde sie Abbaupoduke abanspoie Lenpake edekaf Die edekaf is die Kaf, die an benöig, u eine ede u eine besi Länge zu dehnen I Gleichgewich is die edekaf gleich und engegensez geiche zu de Gewichskaf G = g des Gewichs, das an de ede zieh Je göße das Gewich, deso weie dehn sich die ede ü nich zu goße Dehnungen de ede is die Längenändeungen de ede popoional zu Gewich De Popoionaliäsfako wid edekonsane genann und is eine Maeialkonsane de ede Mi Hilfe de Längenändeung eine ede kann an leich Käfe bzw Gewiche essen (edewaage) Modene Waagen haben alledings elekonische Kafsensoen eingebau Man kann eden auch paallel schalen Dabei veeil sich die Kaf, die zu Dehnung aufgewende wid, enspechend de jeweiligen edekonsanen auf die eden: Die ede i de gößeen edekonsane beko eh Kaf als die ede i de kleineen edekonsane Haben beide eden dieselbe Konsane, veeil sich die Kaf auf beide eden gleichäßig Aufiebskaf Saische Aufiebskäfe (Schwien, Schweben, Sinken) spielen ie dann eine Rolle, wenn Köpe in ein andees Mediu eingeauch sind, wie z B in Wasse ode Luf, und innehalb des Medius ein Duckgefälle beseh (S 4) Beispiele dafü sind das Schwien von Schiffen und das Schweben von Heißlufballons und Zeppelinen, abe nich das liegen von lugzeugen Das liegen von lugzeugen beuh auf eine dynaischen Aufieb Käfepaalleloga Da Käfe Vekoen sind, kann an sie in ihe Koponenen zelegen, in sogenanne Käfepaallelogae (Abb 4; S 3) Dies is in de Medizin z B bei de Diskussion von Käfen auf Knochen elevan (siehe Rechenbeispiel S ) 3 Reibungskäfe Die Newon schen Geseze de Bewegung sezen ideale Bedingungen voaus, insbesondee das ehlen von Reibung Duch Reibung zwischen zwei Obeflächen wid eine Bewegung abgebes Die echanische Enegie wid in Wäeenegie Innee Reibung (Viskosiä) Nach Newon sind i eibungsfeien all Kaf und Beschleunigung übe die Masse veknüpf: = a Bei Aufeen von Reibung is die Kaf i de Geschwindigkei veknüpf und nich i de Beschleunigung Bei feien all i lufleeen Rau is die Edbeschleunigung g = / Läss an jedoch eine Kugel in eine lüssigkei fallen, dann sell sich nach kuze Zei eine konsane Geschwindigkei ein, die sogenanne Sedienaionsgeschwindigkei Diese häng von de Geoeie des sinkenden Köpes und von de Viskosiä (inneen Reibung) de lüssigkei ab Die Viskosiä is eine Maeialeigenschaf von lüssigkeien, die deen dynaisches Vehalen (ließen) sak beeinfluss Wi weden späe bei de Söungslehe daauf zuückkoen (S 30) 4 Dehoen und Hebel Ein Hebel is ein Balken, de u eine Achse dehba gelage is Geif a Ende des Balkens eine Kaf an, beweg sich dieses Ende auf eine Keisbahn, deen Mielpunk die Dehachse is, und es enseh ein sogenannes Dehoen (Abb 7) Das Dehoen M is abhängig von de angeifenden Kaf und von de Länge des Hebelas (de Absand zwischen Balkenende und Dehachse); es is gleich Kaf al Hebela: M = Sein Beag is: M = sinα, wobei α de Winkel zwischen angeifende Kaf und Hebela is An diese oel kann an ekennen, dass, je länge de Hebela is, uso kleine is die Kaf, die an bauch, u das gleiche Dehoen zu ezeugen Dieses Phänoen kenn jede: Je weie außen an an eine Hebel angeif, deso leiche läss e sich bewegen: Man siz a längeen Hebel Die Einhei des Dehoens is [M] = [] []= Mee Newon = N (eis scheib an N) Lenipp ü die Lösung von Püfungsaufgaben eich es in de Regel, sich die oel M = zu eken, denn eisens wid in den Aufgaben davon ausgegangen, dass die Kaf senkech zu Hebela wik Dann is de Winkel α = 90 und soi sinα = Geif die aus: Endspu die Skipen füs Physiku Physik (ISBN ) 0 Geog Thiee Velag KG

7 4 Mechanik des Massenpunks und sae Köpe M = ax M < ax M = 0 Abb 7 Dehoen Bei 90 zwischen Hebela und Kaf is das Dehoen axial Bei jede Abweichung von 90 wid das Dehoen kleine Bei 80 is das Dehoen 0 und de Hebel kann nich eh gedeh weden Kaf nich i echen Winkel an, uss de Winkel alledings in de oel i de Sinus ibeücksichig weden In den IMPP-Aufgaben wid de Hebela of i l bezeichne und nich i Hebelaen Die Lage des Dehpunks an eine Hebel kann uneschiedlich sein Je nach Anodnung von Las, Kaf und Dehpunk unescheiden wi dei Aen von Hebeln (Abb 8) Hebel A: Las- und Kafa befinden sich auf veschiedenen Seien des Dehpunks Ein Beispiel dafü wäe das Kopfgelenk (Abb 8 a) Hebel A: Las- und Kafa befinden sich auf de gleichen Seie des Dehpunks und de Kafa is länge als de Lasa (Beispiel Spunggelenk, Abb 8 b) Hebel 3 A: Hie befinden sich wie bei Hebeln A Lasund Kafa auf de gleichen Seie des Dehpunks, jedoch is hie de Kafa küze als de Lasa (z B bei Ellbogengelenk, Abb 8 c) Hebel funkionieen nach de Pinzip des Dehoengleichgewichs: Wenn auf beiden Seien eines Dehpunks das gleiche Dehoen ausgeüb wid, d h wenn auf beiden Seien das Poduk aus Kaf al Hebela gleich is, dann is de Gleichgewichszusand eeich: Kaf Kafa = Las (Gewich) Lasa; l K = G l l K K l K K K K L = g L = g L = g L = Las, = Lasa K = Kaf, l K = Kafa l l l M l M l M = Lasa, l M = Muskela a b c Abb 8 Veschiedene Aen von Hebeln a Hebel A, Las- und Kafa sind auf veschiedenen Seien des Dehpunks b Hebel A Lasund Kafa sind auf de gleichen Seie des Dehpunks De Kafa is länge als de Lasa c Hebel 3 A Las- und Kafa sind auf de gleichen Seie des Dehpunks De Kafa is küze als de Lasa aus: Endspu die Skipen füs Physiku Physik (ISBN ) 0 Geog Thiee Velag KG

8 3 Abei, Enegie, Leisung 5 Hebel haben den Sinn, goße Lasen duch kleine Käfe heben zu können, denn wenn de Kafa länge is als de Lasa, dann liefe dies einen echanischen Voeil hinsichlich de anwendenden Kaf De echanische Voeil eines Hebels is das Vehälnis von Las zu Kaf Je länge de Kafa i Vehälnis zu Lasa is, deso kleine is die benöige Kaf, u die Las zu heben Bei Hebel 3 A is das Vehälnis kleine als, d h es gib keinen Kaf-Voeil sonden einen Weg- Voeil Apopos De Hebel des Uneas is ein Hebel 3 A (Abb 8), denn de Kafa, an de de Bizeps bzw Tizeps angeif, is wesenlich küze als de Lasa bei Halen eines Gewichs in de Hand Die eisen Hebel i Köpe sind Hebel de 3 A Sie sind nich fü das Tagen von schween Lasen opiie, sonden fü höhee Geschwindigkei und fü goße Bewegungen Nu das Spunggelenk ha einen Hebel A A Kopf is de echanische Voeil ungefäh eins Rechenbeispiel Eine Peson äg in ihe Hand eine Sahlkugel i eine Masse von 0 kg Gehen Sie von eine idealisieen Modell aus und venachlässigen Sie das Eigengewich von Unea und Hand Weiehin nehen Sie an, dass de Lasa l A = 3 c lang is und de Muskela l M = 4 c lang U welche A von Hebel handel es sich? Wie goß is die Kaf, die de Bizeps ausüben uss, dai die Kugel in ewa waageeche Posiion bleib? Was is de echanische Voeil dieses Hebels? l M Abb 9 Abbildung zu Rechenbeispiel l A Lösung: a Es handel sich u einen Hebel 3 A, denn Lasa und Muskela liegen auf de gleichen Seie des Dehpunks und de Lasa is viel länge als de Muskela b Die Kaf des Muskelas kann an aus de Gleichgewichsbedingung fü Dehoene beechnen: G l A = Bizeps l M Wi lösen diese Gleichung nach de Kaf Bizeps auf und ehalen: Bizeps = G (l A / l M ) Die Gewichskaf G = Kugel g = 0 kg 0 /s = 00 N und das Vehälnis von Lasa zu Muskela is 3/4 Dai folg fü die Kaf, die de Bizeps ausüben uss: 3 Bizeps = 00 N = 00 N 8= 800 N 4 azi Das üssen Sie wissen Kaf gleich Masse al Beschleunigung: = a Einhei de Kaf: N = kg /s Zenifugalkaf: P = v ; = Masse, v = Geschwindigkei, = Radius Die Edbeschleunigung g beäg g = 9,8 /s ü Beechnungen eich die Annäheung g = 0 /s Gewich eines Köpes (Gewichskaf): G = g; = Masse, g = Edbeschleunigung Bei de Paallelschalung von eden veeil sich das Gewich de anhängenden Masse popoional zu den jeweiligen edekonsanen auf die eden Dehoen: M = sinα Wik die Kaf senkech auf den Hebela, gil M = ; = Radius (Länge des Hebelas); = Kaf; α = Winkel zwischen Hebela und Kafichung Bei Hebel i Gleichgewich gil: Kaf Kafa = Las (Gewich) Lasa; l K = G 3 Abei, Enegie, Leisung Abei, Enegie und Leisung sind Begiffe, die an auch aus de Allag kenn In de Physik sind diese Begiffe alledings ganz kla definie, was den Ugang i ihnen wiedeu elaiv einfach ach Das is auch gu so, denn zu diesen Theen weden gene und viele agen gesell Die Begiffe Abei und Enegie weden in de Physik of synony vewende Physikalisch wid Abei in o von Enegie gespeiche und Enegie in o von Abei wiede feigesez Zu Beispiel wid bei Hochheben eines Köpes die dabei veichee Abei als poenzielle Enegie in de Köpe gespeiche Bei Heunefallen sez e diese Enegie wiede fei und kann dabei Abei leisen Nach diese Pinzip funkionie z B ein Wassekafwek: Wasse wid in einen Speichesee gepup und bei Enleeen des Speiches eib das Wasse eine Tubine, i de dann die Enegie des Wasses wiede gewonnen wid Wenn an danach fag, wie schnell eine Abei veiche wid (z B nach de Säke eines Moos), ko an zu Leisung: Leisung is Abei (ode Enegie), die po Zeieinhei ebach (ode feigesez) wid Abei und Enegie weden nach denselben oeln beechne und haben auch dieselbe Einhei, nälich Joule Die Einhei de Leisung is dann logischeweise Joule/Sekunde (= Wa) 3 Abei und Enegie Die Abei W is definie als Kaf al Wegdiffeenz s: W = s Zu Beechnung de Abei daf nu de Kafaneil (die Kafkoponene) in Richung de Wegsecke genoen weden: Lenpake c De echanische Voeil is definie als das Vehälnis aus Gewichslas zu Muskelkaf Dieses is 00 N zu 800 N, d h de echanische Voeil is /8, dai kleine als eins Ein Voeil beseh bei diese Hebel nich; lediglich ein Weg-Voeil W = s cosα (Abb 0) Wenn die Vekoen von Kaf und Weg senkech aufeinande sehen, wid denach keine Abei geleise Das gil z B bei Schleppen eine Kise übe den ebenen Hof: Die Kaf, i de die Kise hochgehoben wid, seh senkech auf de Wegsecke Wid die Kise alledings übe den ebenen Hof gezogen, dann wid seh wohl physikalische Abei aufgewende, denn die Kaf, i de die Kise gezogen wid, geh in die gleiche aus: Endspu die Skipen füs Physiku Physik (ISBN ) 0 Geog Thiee Velag KG