Grundlagen der Mathematik - Lösungsskizze zur Aufgabensammlung

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1 Grundlagen der Mathematik - Lösungsskizze zur Aufgabensammlung Dr. Claudia Vogel WS 01/013 Im folgenden nden Sie die Endergebnisse der Übungsaufgaben. Bei Fragen zum Rechenweg können Sie sich gern an mich wenden. 1. Elementare Grundlagen ax + ay + 6z 6a y 8 c 3 16c 3b 1. bc x 5c 4x x n+11 v w 5 4. u 5. (5a 4b) + 36ab c (b c) ab 1 a b 8. 6 x 5 9. ln x 1 3 z b n y 1 5 1

2 11. (yb) 6 5 m ab 1. y x y z (y + z) 15. ln u 7 6. Gleichungen 1. x = 5. x = 4 3. x 1 = 0 x = 3 x 3 = 3 4. x = 8 5. x 1 = 1 4 x = 1 Die bisherige Miete beträgt 85 Euro. Aufgabe 3 Zur Kostendeckung muss Paul 80 Gurken verkaufen, für einen Gewinn von 30 Euro 180. Aufgabe 4 1 kg Kartoeln kostet 0,60 Euro, 1 kg Kohl 1,10 Euro. Aufgabe 5 Die Einlage von Paul ist 4000 Euro, die von Franz Euro. Aufgabe 6 P = 40 C = 5 B = 15 R = 60

3 Aufgabe 7 D = 10 K = C = 5 Aufgabe 8 K = 5 F = 0 Z = 7 Aufgabe 9 1. x >. 1 < x 3. L = { } x x < 0 x > L = {x < x < 10} 0 Kosten pro Monat: , 16x Wenn die Telefonrechnung zwischen 10 und 16 Euro liegen soll, können Sie zwischen 7,5 und 10 Stunden telefonieren (x 5 + x 6 + x 7 + x 8 ). 0 i=1 1 = x + 4x + 56 Schreiben Sie die folgenden Summen unter Verwendung des Summenzeichens i i=1 7 i=1 i i + 1 3

4 3. Grundzüge der Mengenlehre 1. A = {x (x R) ( 1 x 1) (x 0)}. B = {x (x N) (8 < x < 4)} 3. C = {x (x N) (x < 0)} = {} 1. B. {x (x N) (x > 6)} 3. {x (x N) ( x < 6)} = {, 3, 4, 5} 4. N 5. {x (x R) ( < x < 1) (6 < x < )} Aufgabe 3 1., 3, 4, 6, 7, , 4, , 7, 8 Aufgabe 4 1. A \(B D). (A B) \D 3. B \(A D) 4. (A D) \B 5. A B D 6. (B D) \A 7. D \(A B) 8. Ω \(A B D) 4

5 Aufgabe 5 1. A B C = a 1, a 4. A \(B C) = a, a 5 3. B \(A C) = {} 4. C \(A B) = a 8 5. (A B) = a 1, a, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7 6. (B C) = a 1, a 3, a 4, a 6, a 7, a 8 Aufgabe Funktionen mit einer Variablen 1. Denitionsbereich: x R Nullstellen: x 1 = 0, x = 3, x 3 = 3. Denitionsbereich: x R mit x > 3 Nullstellen: x 1 =, x = 3. Denitionsbereich: x R Nullstellen: x 1 = 0, x = 4. Denitionsbereich: x R Nullstellen: keine 5. Denitionsbereich: x R mit x > 0 Nullstellen: x = 1 e 6. Denitionsbereich: x R \{ 1} Nullstellen: keine Nullstellen: x 1 = 3, x = 1, x 3 = 1 5

6 Aufgabe 3 Nullstellen: x 1 =, x = 3, x 3 = 0, x 4 = 3, x 5 = Aufgabe Aufgabe 5 C = 3 x + 50 Aufgabe 6 C = 0, 8y Aufgabe 7 1. P (t) = t. W (t) = t Aufgabe 8 10 für 0 < A 4 30 für 4 < A 1 p (A) = 70 für 1 < A < für A Dierentialrechnung Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung. 1. f (x) = 9 x. f (x) = (x 1) ln x + x x + 1 x 3. u (z) = xze z ( + z) 4. f (x) = x + 8x 4 ( x + ) 5. u (z) = z (a + b) (bz + 1) 6

7 6. x (t) = 1 s t 1 + ln t t 3 s 7. f (x) = 10x ( x + 1 ) 4 8. f 4x 1 (x) = x x f (x) = xe x +1 ( 1 x ) 10. f (x) = 11. f (x) = x 3 1. f (x) = 4 x 3 x 1 x ln x x ln x (x 1) 13. f (x) = 4x ln x + x 14. f (x) = 6x x 3 x + 1 e x ( 15. f (x) = e x3 3x ln x + 1 ) x 16. f (x) = x x ( ln x + ) 17. f (x) = 3 5x ( ) 18. f (x) = x x ln x + x 19. f (x) = ( x ) x ( ) ln x + 1 Bestimmen Sie dy dx und d y dx 1. y 5 = (1 3x) y = 30 (1 3x) 3 durch implizites Dierenzieren, für. y = 6 5 x 1 5 y = 6 5 x 4 5 7

8 6. Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung 1. f (r) = a + c r mit a > 0, c > 0. f (r) = Denitionsbereich: r R mit r 0 Stetigkeit: stetig für alle r D f Nullstellen: keine Extrema: keine Monotonie: streng monoton wachsend Wendepunkte: keine Krümmungsverhalten: streng konkav ln (r 1) (r 1) Denitionsbereich: r R mit r > 1 Stetigkeit: stetig für alle r D f Nullstellen: r = Extrema: Maximum bei r = e Monotonieverhalten: für r < e streng monoton wachsend für r > e streng monoton fallend Wendepunkt: r = e Krümmungsverhalten: für r < e streng konkav für r > e streng konvex Stellen Sie die gleichen Untersuchungen für die folgenden Funktionen an. Untersuchen Sie zusätzlich das Verhalten der Funktion an den Enden des Denitionsbereiches. 1. f (x) = x ln x Denitionsbereich: x R mit x > 0 Stetigkeit: stetig für alle x D f Nullstellen: x = 1 Extrema: Minimum bei x = e 1 8

9 Monotonieverhalten: für x < e 1 für x > e 1 streng monoton fallend streng monoton wachsend Wendepunkt: x = e 3 Krümmungsverhalten: für x < e 3 für x > e 3 streng konkav streng konvex Verhalten am Ende des Denitionsbereiches lim x 0 x ln x =0 lim x x ln x = 1. f (x) = 3xe x Denitionsbereich: x R Stetigkeit: stetig für alle x D f Nullstellen: x = 0 Extrema: Minimum bei x = 1 Monotonieverhalten: für x < 1 streng monoton fallend für x > 1 streng monoton wachsend Wendepunkt: x = Krümmungsverhalten: für x < streng konkav für x > streng konvex Verhalten am Ende des Denitionsbereiches lim x 3xex = lim x 3xex = 0 Aufgabe 3 Das Volumen V (c) = 60c 6c 3 wird maximal für c = 0 3. Aufgabe 4 1. Der Gewinn des Unternehmens π (Q) = 100Q 8 15 Q wird maximal für Q = 93, 75.. Der neue Gewinn ˆπ (Q) = 90Q 8 15 Q wird maximal für Q = 84,

10 Aufgabe 5 1. Die Provision für 60 + x Passagiere ergibt sich als P (x) = x x. Die Provision wird maximiert für x = 10, d.h. 70 Passagiere. Aufgabe 6 Der Gewinn des Unternehmens π (x) = 10x 0, 003x wird maximiert für x = Aufgabe 7 1. die Grenzkostenfunktion: K (x) = 6. die Durchschnittskostenfunktion: K x = x 3. die Erlösfunktion: E (x) = 30x x 4. die Grenzerlösfunktion: E (x) = 30 4x 5. den Bereich positiver Gewinne: π (x) = 4x 3x 40 > 0 für < x < die gewinnmaximale Ausbringungsmenge: x = 6 Aufgabe 8 Die Ausgabekosten K (x) = 10 x 7. Integralrechnung + 1x werden minimal für x = 10, also für 3 Arbeitskräfte x4 8x x 3x + C. x x + C x 3 x x x x 6 x 5 4. e 6x ( x 1 3 x x4 ln x 1 16 x4 6. e rx [ a + bx r 7. ln x + 3x 8. ln x b ] r ) 10

11 1. 1. Aufgabe 3 C (Y ) = 0, 69Y Aufgabe 4 Gleichgewichtsmenge: Q = 600 Gleichgewichtspreis: P = 70 Konsumentenrente = 9000 Produzentenrente = Aufgabe 5 Gleichgewichtsmenge: Q = 50 Gleichgewichtspreis: P = 670 Konsumentenrente = 1158,88 Produzentenrente =