Musterlösung 2. Klausur Physik für Maschinenbauer

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1 Universität Siegen Sommersemester 2010 Fachbereich Physik Musterlösung 2. Klausur Physik für Maschinenbauer Prof. Dr. I. Fleck Aufgabe 1: Freier Fall im ICE Ein ICE bewege sich mit der konstanten Geschwindigkeit v = 280km/h. Vom 2,2m hohen Gepäckplatz fällt ein Gegenstand zu Boden. a) Nach welcher Zeit trifft dieser Gegenstand auf dem Boden des ICE auf? b) Berechnen Sie die Bahnkurve, die ein Passagier des ICE beobachtet. c) Berechnen Sie die Bahnkurve, die ein auf dem Bahndamm stehender Beobachter sieht. a) t = s = 1 2 at2 2s a = 2 2,2m 9,81 m = 0,67s b) c) r(t) = r a t2 ( ) 0 = 1 ( ) 0 2,2m 2 9,81m s t ) = (2,2 4,905 t2 m e y r(t) = r 0 + v 0 t+ 1 2 a t2 ( ) ( ) 0 280km/h = + t 1 ( ) 0 2,2m 0 2 9,81m s t ( ) ( ) 0 77,8m/s = + t 4,905 m ( ) 0 2,2m 0 s t 2 2 1

2 2 Koordinatenschreibweise: x(t) = v 0 t = 77,8 m s t y(x) = 1 2 at2 +r 0 = 8, m x2 +2,2m

3 3 Aufgabe 2: Kinetische Energie und Arbeit Der Warpantrieb der 100 Tonnen schweren USS Victory ist defekt. Die USS Enterprise ist zufällig in der Nähe und leistet Starthilfe. Dazu schiebt sie die USS Victory an. Die Bahnkurve der beiden Schiffe wird dabei durch x(t) = 1000 m t 2 beschrieben. a) WiegroßistdieKraft,diedieUSSEnterprise aufbringenmuss umdieussvictory anzuschieben? b) Wie groß ist die Arbeit, die die USS Enterprise leisten muss um die USS Victory 100 Sekunden lang anzuschieben? c) Wie groß ist die Geschwindigkeit der USS Victory nach dem Anschub? d) Damit die USS Victory wieder eigenständig weiterfliegen kann braucht sie eine Energie von E = J. Wie lange muss die USS Enterprise sie dazu anschieben? a) x(t) = 1000m t2 ẋ(t) = 2000m t ẍ(t) = 2000m 1 F(t) = ma(t) = mẍ(t) = kg 2000 m = N = F b) W = F x(t) = F x(10s) = N m = J c) Arbeit wird in kinetische Energie umgewandelt, es gilt: W = E kin = 1 2 mv(t)2 2W v = = J = m kg 20000m s bzw.: W = mẍ x(10s) = 1 2 mv(t)2 = E kin v = 2ẍx(10s) = m m = m s alternativ: Geschwindigkeit aus der Bahnkurve: v(t) = ẋ(t) = ẋ(10s) = m s d) Es gilt E = 1 2 mv2 (t) 2E v = = J = m kg 2 107m s Außerdem gilt v = 2000m t t = m s2 v = m s m = 10000s s

4 4 Aufgabe 3: Killer-Satellit Ein militärischer Aufklärungssatellit kreist mit der Geschwindigkeit v 1 = 3080ms 1 um die Erde. Er hat die Masse m 1 = 1800kg. Ein Killer-Satellit (Masse m 2 = 600kg) holt ihn mit der Geschwindigkeit v 2 = 3150ms 1 ein. Beide Satelliten bewegen sich auf der gleichen Bahn. Der Killer-Satellit rammt den Aufklärungssatelliten. Der Rammstoß soll in Näherung als vollkommen unelastischer Stoß betrachtet werden. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v, die der Klumpen aus beiden Satelliten nach dem Stoß hat. b) Berechnen Sie die Energie E, die zur Zerstörung nutzbringend verwendet werden kann. Lösung a) Nach dem vollkommen unelastischen Stoß hat der Satellitklumpen die Geschwindigkeit v. Aus Impulserhaltung folgt: m 1 v 1 +m 2 v 2 = (m 1 +m 2 )v v = m 1v 1 +m 2 v 2 m 1 +m 2 v = 1800kg 3080ms kg 3150ms kg v = 3097,5ms 1 b) Die zur Zerstörung nutzbringend angewendete Energie E ist die Differenz von kinetischer Gesamtenergie vor dem Stoß und kinetischer Energie nach dem Stoß: E = 1 2 (m 1v 1 2 +m 2 v 2 2 ) 1 2 (m 1 +m 2 )v 2 E = 1 2 (1800kg m 2 s kg m 2 s 2 ) 1 2 (2400kg 3097,5m2 s 2 ) E = 1, J

5 5 Aufgabe 4: Yo-Yo Ein Yo-Yo der Masse M = 350g besteht aus drei Kreisscheiben mit homogener Massenverteilung (siehe Skizze). Das Trägheitsmoment J 1 einer der großen Scheiben, mit Symmetrieachse als Drehachse, ist J 1 = 2000gcm 2. Die Masse der kleinen Kreisscheibe beträgt m = 30g und ihr Radius r = 1cm. Das Trägheitsmoment eines Zylinders mit Symmetrieachse als Drehachse beträgt J z = 1 2 m zr 2 z. Die Masse und Ausdehnung des Fadens sowie Reibung kann venachlässigt werden. a) Wie groß ist das Trägheitsmoment des Yo-Yo s mit Symmetrieachse als Drehachse? b) Das Yo-Yo rollt nun ab. Was ist die Drehachse? Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Yo-Yo s bezüglich dieser Achse! c) Berechnen Sie den Betrag des angreifenden Drehmoments und bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit! (Das Yo-Yo startet aus der Ruhe) d) Wenn das Yo-Yo aus der Ruhe startet, wie weit wickelt es sich in einer Sekunde ab? a) Die Trägheitsmomente addieren sich: J ges = 2J mr2 = ( ) g cm 2 b) Die Drehachse ist da wo der Faden aufliegt, also senkrecht von der Symmetrieachse im Abstand r. Das Trägheitsmoment J r ist dabei nach dem Satz von Steiner gegeben mit: J r = J ges +Mr 2 = ( )g cm 2 = 4365 g cm 2

6 6 c) Das Drehmoment ist: D = r F mit F = Mg D = rmg = g cm 2 s 2 = g cm 2 s 2 Mit Newton 2 für Drehbewegungen gilt: J r ω = rmg ω = rmgt J r = 78,66 t s 2

7 7 Aufgabe 5: Federschwingung Ein Quader der Masse m = 50 g ist mit einer masselosen Feder horizontal an einer Wand befestigt. Der Quader kann reibungsfrei auf der Unterlage gleiten und befinde sich zunächst in Ruhe. Der Quader wird nun um x 0 = 20cm ausgelenkt und zum Zeitpunkt t = 0 losgelassen. Die Periodendauer der anschließenden ungedämpften Schwingung wurde dabei zu T = 0,5s bestimmt. a) Bestimmen Sie die Federkonstante k. b) Schreiben Sie die Bewegungsgleichung x(t) auf und geben Sie die Zahlenwerte von Amplitude, Kreisfrequenz und Phase an. c) Welche Geschwindigkeit hat der Quader im Nulldurchgang der Schwingung? d) Nehmen Sie nun an, dass der Quader nun unter Einfluss von Reibung auf der Unterlagegleitet(Gleitreibungskoeffezient µ R = 0,3).BerechnenSiedieverrichtete thermische Arbeit und die Geschwindigkeit des Quaders im zweiten Nulldurchgang nach dem Loslassen! a) ω = 2π und ω = k, also k = 4π2 m T m T 2 = 4π2 50g (0,5s) 2 = 7,9N/m b) x(t) = A cos(ωt+ϕ) mit A = 20cm, ω = 2π T = 12,6s 1, ϕ = 0 c) Energieerhaltung (im Nulldurchgang ist max. potentielle Energie vollständig in kin. Energie umgewandelt): E pot = E kin 1kx = 1 2 mv2 v = k x m 0 = ωx 0 = 12,6s 1 20cm = 2,5m/s d) verrichtete therm. Arbeit durch Reibung bis zum zweiten Nulldurchgang: W therm = x 1 0 F R dx mit x 1 = 60cm und F r = µ R mg, also:

8 8 W therm = µ R mgx 1 = 0,3 50g 9,81m/ 0,6m = 88,3mJ Geschwindigkeit aus neuer Energieerhaltung: E kin = E pot W therm 1 2 mv2 = 1kx µ R mgx 1 kx v = 2 0 2µ R mgx 1 = 1,67m/ m

9 9 Aufgabe 6: Asteroid Ein kugelförmiger Asteroid (Radius R = 600 km) habe an der Oberfläche eine Fallbeschleunigung von g = 3,0m/ und besitze keine Atmosphäre. Von der Oberfläche des Asteroiden wird ein Geschoss senkrecht nach oben abgefeuert. 11 m3 (Die Gravitationskonstante beträgt G = 6,67 10 kg.) a) Bestimmen Sie die Masse und die Fluchtgeschwindigkeit des Asteroiden. b) Wie weit wird sich das Geschoss vom Asteroiden maximal entfernen, wenn es mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v 0 = 1000m/s abgefeuert wurde? c) Wie groß ist die Umlaufzeit eines Forschungssatelliten, der in einer Höhe von 50 km um den Asteroiden kreist? a) Zusammenhang Fallbeschleunigung Gravitationskraft auf Oberfläche: GMm R 2 = mg M = gr2 = 3,0m/s m G 6, m3 kg = 1, kg Bedingung Fluchtgeschwindigkeit: E kin +E pot = 0 1 mv 2 f 2 GMm 2GM = 0 v R f = = 1,9km/s R b) Energieerhaltung: E pot = E kin +E pot GMm r 1 = 1 v 0 2 = 2GM Rv 0 2 r R 2GM 2GMR = 1 2 mv 0 2 GMm R r = 2GMR 2GM Rv 0 2 = 830,6km Höhe: h = r R = 830,6km 600km = 230,6km c) Kräftegleichgewicht: F G = F Z GMm = mω 2 (h+r) ω = (h+r) 2 Umlaufzeit: T = 2π, also: T = 2π (h+r) 3 = 2π (50km+600km) 3 ω GM GM GM (h+r) 3 = 504s = 8,4min