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1 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit annimmt, besitze die folgende unvollständig gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x): x P(x) a) Vervollständigen Sie diese Wahrscheinlichkeitsfunktion und stellen Sie sie graphisch dar. b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F(t) = P(X t) und stellen Sie sie graphisch dar. Lösung: a) x P(x) = 1 = P(5) =. P(x) x b) F(t) = X tp(x) für t < 1.1 für 1 t <.3 für t < 3 F(t) =.6 für 3 t < 4.8 für 4 t < 5 1 für t 5

2 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1..8 F(t) t Beispiel : Es sei c y + 1 für y f (y) = c y + 1 für < y sonst, so dass f (y) eine Dichtefunktion ist. a) Berechnen Sie die Konstante c und stellen Sie die f (y) graphisch dar. b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F(t) = P(Y t) und stellen Sie sie graphisch dar. Lösung: a) f (y)dy = = = + f (y)dy + dy + f (y)dy + ( c y + 1 [ 1 c y + 1 y ] ) dy + + f (y)dy + = [ ( c 1)] + [( c + 1) ] = 4 c f (y)dy ( c y + 1 ) dy + [ 1 c y + 1 y ] + dy

3 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 3 f (y)dy = 4c = 1 c = y + 1 für y f (y) = 1 4 y + 1 für < y sonst.5 f(y) y b) F(t) = t f (y)dy F(t) = für t < t ( 1 F(t) = 4 y + 1 ) [ 1 dy = 8 y + 1 ] t y = 1 8 t t 1 = 1 8 t + 1 t + 1 t F(t) = F() + ( 1 4 y + 1 = t + 1 t für t )dy = 1 + [ 1 8 y + 1 y ] t = 1 8 t + 1 t + 1 für < t F(t) = 1 für t >

4 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 4 für t < 1 8 t + 1 t + 1 für t F(t) = 1 8 t + 1 t + 1 für < t 1 für t > F(t) t Beispiel 3: Die Zufallsvariable X habe folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: x P(x) a) Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung. b) Berechnen Sie auch E (g(x)) = x g(x) P(x), wobei g(x) = x. Lösung: x P(x) x P(x) x P(x) g(x) g(x) P(x)

5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 5 a) EX = x P(x) =.5 EX = x P(x) = 5.75 Var X = EX (EX) = = σ X = Var X = 1.44 b) g(x) = x E (g(x)) = g(x) P(x) = 35 oder E (g(x)) = (1 + 1x)P(x) = 1 P(x) + 1 x P(x) = E X = = 35 Beispiel 4: Es sei folgende Funktion gegeben: x < f (x) = x e x x < a) Zeigen Sie, dass es sich bei der Funktion um eine Dichtefunktion handelt. (Hinweis: Verwenden Sie die partielle Integration) b) Berechnen Sie E X und Var X. Lösung: a) f (x)dx = x e x dx = lim x e x dx = 1 Lösung durch partielle Integration (Verwenden Sie Formel (9.5.) aus Sydsæter und Hammond): lim x e x [ ( dx = lim x e x )] b lim 1 ( e x) dx [ ( = lim b e b)] [ lim e x ] b = ( e ) = 1

6 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 6 b) E X = x f (x)dx = x (x e x) dx = lim x e x dx Auch hier führt die partielle Integration zur Lösung: lim x e x [ dx = lim x ( e x)] b lim [ ( = lim b ( = = = lim e b)] x ( e x) dx [ lim x e x ] b lim ) [ b e b] [ lim e x ] b ( [ lim e b [ e ]]) e x dx Die Varianz berechnet sich wie folgt: Var X = E X [E X] = x f (x)dx x f (x)dx = x (x e x) dx x (x e x) dx = lim x 3 e x dx 4 [ = lim x3 ( e x)] b lim [ ( = lim b 3 = [ lim e b)] 3 b e b] 3 x ( e x) dx 4 [ lim 3 x e x] b lim [ lim 3 x ( e x)] b lim [ ( = lim 3 b e b)] [ lim 6 e x ] b 4 ( = lim 6 e b 6 e ) 4 = 6 4 = 6 x e x dx 4 6 ( e x) dx 4

7 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 7 B: Übungsaufgaben [ 1 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, ist gleich Null. b) Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen ist durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion festgelegt. c) Für eine stetige Zufallsvariable gilt F(t) = t f (x)dx. d) Für eine stetige Zufallsvariable gilt F(t) = für alle möglichen Werte von t. e) Eine stetige Zufallsvariable kann nur Werte im Intervall [; ) annehmen. [ ] Welche der folgenden Behauptungen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. a) Bei einer diskreten Zufallsvariablen haben alle Ausprägungen die gleiche Wahrscheinlichkeit. b) Zwischen der Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen besteht folgender Zusammenhang: F(t) = X tp(x). c) Für eine stetige Zufallsvariable gilt: P(a X b) = P(a < X < b). d) Für eine diskrete Zufallsvariable gilt: P(a X b) = P(x). a X b e) Jede Zufallsvariable, die nicht diskret ist, ist stetig. [ 3 ] Welche der folgenden Funktionen sind Dichtefunktionen? Kreuzen Sie sie an! { 3x für x 4 a) f (x) = sonst { 1/ für 3 x < b) f (x) = 1/4 für x < sonst { x für x 1 c) f (x) = sonst { 6 9x für 1 x 1 d) f (x) = sonst { e) f (x) = 4x(6 x) für 1 x 4 sonst

8 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 8 [ 4 ] Die Zufallsvariable X hat die Ausprägungen und 1. Den Wert 1 nimmt sie mit der Wahrscheinlichkeit π ( < π < 1) an. t = 1 t = Bestimmen Sie F(t): t =.5 t = 1 t = [ 5 ] Die Zufallsvariable X hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion x 1 3 P(x) 1/ 1/1 3/1 1/1 Berechnen Sie die Erwartung E X und die Varianz Var X. E X = Var X = [ 6 ] Sei X eine diskrete Zufallsvariable und x 1,x IR mit x 1 < x. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. a) P(x 1 X x ) = P(x 1 < X x ) + P(X = x 1 ) b) P(x 1 X x ) = F(x 1 ) + F(x ) c) F() = d) P(x 1 X x ) = P(X x ) P( X x 1 ) e) P(X x ) = 1 P(X > x )

9 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 9 [ 7 ] Welche der Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. Für eine stetige Zufallsvariable X mit Dichtefunktion f (x) und Verteilungsfunktion F(x) ist P(X 1) gegeben durch a) F(1) + F() + F(3) + b) 1 c) F(1) d) 1 e) 1 f (x)dx f (x)dx 1 f (x)dx [ 8 ] Die diskrete Zufallsvariable X besitzt die Verteilungsfunktion für x < 3.1 für 3 x <.4 für x < 1 F(x) =.6 für 1 x <.9 für x < 1 1 für 1 x Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X. P(x) = für

10 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 [ 9 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. X ist eine stetige, Y eine diskrete Zufallsvariable. b a) P(a X b) = P(x) X=a b) P(a X b) = F x (a) F x (b) c) P(Y b) = 1 Y bp(y) d) P(a Y < b) = P(Y > a) Y bp(y) + P(a) a e) F X (b) = f (x)dx + P(a X < b) mit a < b [ 1 ] Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X mit Dichte: 1 (x 1) 1 x < f (x) = 6 /3 x 3 sonst F(x) = für [ 11 ] Ein Zufallsexperiment bestehe aus dem einmaligen Werfen eines verfälschten Würfels. Die Zufallsvariable X gebe die dabei erzielte Augenzahl an. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet: { P(x) = c x für x = 1,,...,6 sonst Berechnen Sie die Konstante c! c =

11 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 11 [ 1 ] Eine Dichtefunktion f (x) nehme nur über dem Intervall (, ) positive Werte an. Geben Sie den zugehörigen Verteilungsfunktionswert an der Stelle x = 3 an: F(3) = [ 13 ] Eine Zufallsvariable X habe folgende Verteilung: x i 1 3 n P(x i ) 1/n 1/n 1/n 1/n Bestimmen Sie die Erwartung und die Standardabweichung. Hinweis: Benutzen Sie die Formeln (3..4) und (3..5) aus Sydsæter und Hammond: Mathematik für n n(n + 1) n Wirtschaftswissenschaftler: i = ; i = 1 n(n + 1)(n + 1) 6 i=1 i=1 E X = StAX = [ 14 ] Bei einem Würfelspiel gelten folgende Regelungen: Es wird mit einem Würfel gespielt. Würfelt man eine gerade Zahl, so bekommt man das 4-fache dieser Zahl als Gewinn ausgezahlt. Bei einer ungeraden Zahl muss man das 5-fache dieser Zahl einzahlen. Alle Zahlen seien gleich wahrscheinlich (= 1 6 ). Berechnen Sie die Erwartung des Gewinns. Die Erwartung dieses Gewinns ist =

12 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 [ 15 ] Der Besitzer eines Zeitungskiosks weiß aus Erfahrung, dass die Zahl X der verkauften Exemplare einer bestimmten Tageszeitung folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt : x P(x) Der Einkaufspreis liegt bei EUR., der Verkaufspreis bei EUR.3. Unverkaufte Zeitungen können nicht zurückgegeben werden. Wieviele Exemplare X dieser Zeitung muss der Kioskbesitzer täglich bestellen, damit sein zu erwartender Gewinn möglichst groß wird? X = [ 16 ] Die folgende Tabelle enthalte in der zweiten Spalte die Wahrscheinlichkeitsfunktion und in der dritten Spalte die Verteilungsfunktion. Außerdem sei bekannt: E X =.5. Vervollständigen Sie die Tabelle und berechnen Sie die Varianz. x P(x) F(x) Var X = [ 17 ] Eine diskrete Zufallsvariable X habe die Verteilungsfunktion für x < 1 i F(x) = für i x < i + 1, i = 1,,...,5 6 1 für 6 x Berechnen Sie EX! EX =

13 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 13 [ 18 ] Die Zufallsvariable X habe die Wahrscheinlichkeitsfunktion { 1/5 für x =,1,,3,4 P(x) = sonst E X beträgt. Wie groß ist Var X? Var X = [ 19 ] Die stetige Zufallsvariable X besitzt folgende Dichtefunktion f (x): Berechnen Sie den Wert a. f (x) = { x für 1 x a sonst a = [ ] Welche Zahl ergibt sich im Mittel, wenn ein symmetrischer Würfel sehr oft gewürfelt wird? [ 1 ] Die Zufallsvariable X nimmt nur die Werte 4, und an. Außerdem gilt : F ( 1.9) = 3 4, EX = 1.8 a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X. c) Zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion.

14 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 14 [ ] X Sei X eine stetige Zufallsvariable. Bestimmen Sie E(X µ) und Var. σ X E(X µ) = Var = σ [ 3 ] Gegeben sei die Dichte f (x) einer stetigen Zufallsvariablen X : { 3 f (x) = 4 (1 x ) für 1 x 1 sonst Berechnen Sie die Erwartung und die Varianz von X. E X = Var X = [ 4 ] Die Dichte der Zufallsvariablen X sei f (x) = { 1 x für x sonst Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F (x), die Wahrscheinlichkeit P( 3 X 4 ) und den Erwartungswert von 3 X. a) F(x) = für b) P( 3 X 4 3 ) = c) E X = [ 5 ] Über eine Zufallsvariable X, die ausschließlich negative Werte annehmen kann, sei bekannt, dass E (X ) = 64 und Var X = 15. Wie groß ist der Erwartungswert E X? E X =

15 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 15 [ 6 ] Die Zufallsvariable X besitze die Verteilungsfunktion für x < 1 F(x) = 6 x für x 1 3 x + x für < x 3 1 für x > 3 Berechnen Sie die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X. f (x) = für [ 7 ] Das Zufallsexperiment Münzwurf lässt sich durch die Zufallsvariable X mit den möglichen Ausprägungen ( Kopf ) und 1 ( Zahl ) beschreiben. Bestimmen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten P({X = } {X = 1}) und P({X } {X = }). P({X = } {X = 1}) = P({X } {X = }) = [ 8 ] Sei X eine stetige und Y eine diskrete Zufallsvariable. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) P(X = a) = für alle a IR b) P(Y = a) = für alle a IR c) E(X ) = EX EX d) Var X e) VarY

16 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 16 [ 9 ] Eine Zufallsvariable X besitze die Dichtefunktion a für 1 x < a für x < 3 f (x) = a für 3 x 4 sonst Geben Sie den Wert für a an und berechnen Sie Var X. a = Var X = [ 3 ] Eine Zufallsvariable X besitze die Wahrscheinlichkeitsfunktion.4 für x = 1.3 für x = P(x) =. für x = 3.1 für x = 4 sonst Die Zufallsvariable Y sei durch Y = X gegeben. Berechnen Sie EY und VarY. E Y = VarY = [ 31 ] Gegeben sei die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X: x + 1 für 1 x < f (x) = 1 x für x < 1 sonst Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x). F(x) = für

17 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 17 [ 3 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. Für jede Zufallsvariable X gilt: a) F(x) = P(X x) für alle x IR b) F(x) 1 für alle x IR c) P(x) 1 für alle x IR d) EX 1 e) Var X 1 [ 33 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist stets eine ganze Zahl. b) Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist nicht negativ. c) Die Varianz einer Zufallsvariablen ist nicht negativ. d) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen nimmt keine negativen Werte an. e) Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist stets eine reelle Zahl. [ 34 ] Drei faire Würfel werden gleichzeitig geworfen. X sei definiert als das Minimum der dabei auftretenden Augenzahlen, Y sei die Anzahl der Würfel, die eine gerade Augenzahl anzeigen. Berechnen Sie P(X 5) und P(Y 1). P(X 5) = P(Y 1) =

18 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 18 C: Klausuraufgaben [ 35 ] II7S1 Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X, die die Werte 1,, 3, 4, 5 annehmen kann..3 Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.5 Wahrscheinlichkeiten x Stellen Sie die Verteilungsfunktion F(t) auf und geben Sie den Erwartungswert E(X) an. F(t) = E(X) =

19 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 19 D: Lösungen 1) a, c ) b, c, d, e 3) b, c 4) ; 1 π ; 1 π ; 1 ; 1 5) 1 ; 1. 6) a, e 7) b, e 8) P(x) = 9) d, e 1) F(x) = 11) 1) x = 3.3 x =. für x = 1.3 x =.1 x = 1 sonst x < (x x) 1 x < 3 x 1 für x < 3 1 x > 3 13) n ).5 ; n ) 16) ) ) 19)

20 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen ) x = 4.6 für x = 1) P(x) =.5 x = sonst x < x < ; F(x) =.75 für x < 1 x ) ; 1 3) ;. x < 1 4) F(x) = 4 x x < 1 x ; 1 3 ; 4 3 5) x für x 6) f (x) = 3 x + für < x 3 sonst 7) ; 1 8) a, d 9) 1 4 ; 7 1 3) 4 ; 4 31) F(x) = x < 1 1 x + x x < 1 x + x +.5 x < 1 1 x 1 3) a, b, c 33) c, d, e 34) 1 7 ; ) F(t) = t < t <.48 für t < t < t < 5 1 t 5 ;.79

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