1.7 lineare Gleichungen und Ungleichungen mit 2 Unbekannten

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1 1.7 lineare Gleichungen und Ungleichungen mit 2 Unbekannten Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten Was ist eine lineare Gleichung mit 2 Unbekannten? Was ist eine Lösung einer linearen Gleichung mit 2 Unbekannten? Wie finde ich eine Lösung einer linearen Gleichung mit 2 Unbekannten? Wie sieht die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit 2 Unbekannten graphisch aus? Die Lösung eines lin. Gleichungssystems mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten wird zeichnerisch ermittelt Lineare Ungleichung mit 2 Unbekannten 4 3 Lineare Ungleichungssysteme 5 1

2 lineare Gl. und Ungl Theorie und Übungen 2 1 Lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten 1.1 Was ist eine lineare Gleichung mit 2 Unbekannten? Wir betrachten die Gleichung x+y = 2 Diese Gleichung heisst lineare Gleichung mit 2 Unbekannten. Linear, weil die beiden Unbekannten x und y den Exponenten 1 haben. Eine lineare Gleichung mit 2 Unbekannten können wir allgemein folgendermassen notieren: Bemerkung ax+by = c Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten besteht aus 2 linearen Gleichungen mit 2 Unbekannten. 1.2 Was ist eine Lösung einer linearen Gleichung mit 2 Unbekannten? Wir haben schon die Gleichung 2x = 4 gelöst. Hier ist 2 eine Lösung, weil wenn wir 2 in die Gleichung einsetzen, erhalten wir links und rechts das Gleiche: 2 2 = 4 4 = 4. Bei der Gleichung 2x + y = 4 haben wir nun 2 Unbekannte. Wir müssen nun für x und für y eine Zahl einsetzen und schauen, ob es links und rechts das Gleiche gibt: x = 1 und y = 2. Einsetzen: = = 4 4 = 4. Wir erhalten links und rechts das Gleiche, somit ist x = 1 und y = 2 eine Lösung der Gleichung. x = 2 und y = 2. Einsetzen: = = 4 6 = 4. Wir erhalten links und rechts nicht das Gleiche, somit ist x = 2 und y = 2 keine Lösung der Gleichung. 1.3 Wie finde ich eine Lösung einer linearen Gleichung mit 2 Unbekannten? Gegeben ist die Gleichung x+3y = 5. Wir können nun ganz einfach eine Lösung finden: Nimm für x irgendeinen Wert, z.b. 8. Setze den Wert in die Gleichung ein: 8+3y = 5 Löse die obige Gleichung nach y auf: 8+3y = 5 3y = 3 y = 1. Wir haben nun einen x- und einen y-wert: x = 8,y = 1.

3 lineare Gl. und Ungl Theorie und Übungen Wie sieht die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit 2 Unbekannten graphisch aus? Gegeben ist die Gleichung 2x+4y = 6. Wir berechnen nun 3 Lösungen: 1.Lösung 2.Lösung 3.Lösung x-wert bestimmen x = 1 x = 2 x = 3 Einsetzen: 2 1+4y = y = y = 6 Ausrechnen: 2+4y = 6 4+4y = 6 6+4y = 6 nach y auflösen: 4y = 4 4y = 2 4y = 0 nach y auflösen: y = 1 y = 0.5 y = 0 x- und y-wert: x = 1,y = 1 x = 2,y = 0.5 x = 3,y = 0 Wir zeichnen diese drei Werte in ein Koordinatensystem: Beobachtung: Übungen 1. Gib ein Beispiel einer Gleichung, die nicht eine lineare Gleichung mit 2 Unbekannten ist, weil a) die Anzahl der Unbekannten nicht stimmt. b) die Linearität verletzt ist. 2. Stelle die Lösungsmenge graphisch dar! Bestimme nachher jeweils die ungefähre Steigung und die ungefähre Schnitthöhe mit der y-achse. Gibt es einen Zusammenhang mit der Gleichung? a) y = 4x+5 b) 3 = 2y 6x c) 3 4 = 2x 3 + y 6 3. Die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen sind Geraden. Zeichne diese Geraden in ein Koordinatensystem, ohne dass Du Punkte der Geraden berechnest. a) y = 4x+5 b) 3 = 2y 6x 1.5 Die Lösung eines lin. Gleichungssystems mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten wird zeichnerisch ermittelt Wir wollen die Gedanken aus dem oberen Abschnitt übertragen auf ein Gleichungssystem.

4 lineare Gl. und Ungl Theorie und Übungen 4 Beispiel Löse folgendes Gleichungssystem zeichnerisch! Überprüfe Dein Ergebnis durch Einsetzen! x+y = 4 2x+y = Übung 4. Löse das folgende Gleichungssystem zeichnerisch! Überprüfe durch Einsetzen! Wieviele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten haben? 2x+y = 1 x+2y = 3 2 Lineare Ungleichung mit 2 Unbekannten Unter einer linearen Ungleichung mit 2 Unbekannten verstehen wir eine Ungleichung der Form wobei anstatt auch <, oder > stehen kann. Es jetzt natürlich wieder um die Frage: ax+by c Frage: Wie kann die Lösungmenge einer solchen Ungleichung ermittelt werden? Wir wollen die Frage anhand eines Beispiels beantworten. Wir nehmen obiges Beispiel, ersetzen aber das Gleichheitszeichen mit einem -Zeichen. So können wir auch gleich den Zusammenhang zur Gleichung aufstellen. Beispiel 2x+4y 6 1.Lösung 2.Lösung 3.Lösung x-wert bestimmen x = 1 x = 2 x = 3 1.Zahlenpaar: 2.Zahlenpaar: 3.Zahlenpaar: 4.Zahlenpaar: 5.Zahlenpaar:

5 lineare Gl. und Ungl Theorie und Übungen 5 Wir zeichnen diese Lösungen ins untenstehende Koordinatensystem ein Beobachtung: Übung 5. Welche Zahlenpaare sind Lösungen der Ungleichung 10x 12y < 9? a) (0;0) b) (6;5) c) (5;6) d) (-1;0) e) (-0.5;0.5) f) (1000;1001) 6. Stelle die Lösungsmenge für die folgenden Ungleichungen grafisch dar. a) y x+1 b) y > 3x 1 c) 2x+3y x+1 7. Stelle die Lösungsmenge für die untenstehenden Gleichungen/Ungleichungen graphisch dar. Benutze für (a) die Farbe Rot, für (b) die Farbe blau und für (c) die Farbe Grün. a) y = x+1 b) y < x+1 c) y > x+1 3 Lineare Ungleichungssysteme Der Begriff Ungleichungssystem ist selbsterklärend. Im Gegensatz zum Gleichungssystem haben wir nun Ungleichungen, die alle gleichzeitig erfüllt sein müssen. Beispiel

6 lineare Gl. und Ungl Theorie und Übungen 6 Stelle die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems zeichnerisch dar. 2x+y < 3 x y > 2 8. Stelle die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungssysteme zeichnerisch dar. a) y < 3x+5 y > x b) x+2y < 2 2x y+2 > 0 x y > 3 c) x 2y 2 < 0 y+3 > 0