Mathe GK, Henß. Kreis in der Ebene

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Karoline Grosse
vor 7 Jahren
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1 in der Ebene Einen in der Ebene kann man vektoriell einfach beschreiben, denn er ist dadurch festgelegt, dass seine Punkte zum ittelpunkt denselben Abstand r haben. Statt müsste genauer linie gesagt werden. rand Punktmenge, deren Punkte alle einen gleichen Abstand vom ittelpunkt haben gleichung ( x r m ) + ( y m ) (Koordinatengleichung) oder ( x m) r (Vektorgleichung) Für eine gleichung brauche also ich ittelpunkt und Radius r. Beispiel Geben Sie für den mit dem ittelpunkt ( / 3) und dem Radius r eine Vektor- und Koordinatengleichung an. Koordinatengleichung: ( x ) + ( y + 3) Vektorgleichung: x 3 Beispiel Ist Punkt P( /) ein Punkt des es ( x ) + ( y + 3)? In gleichung für x und y einsetzen: ) + ( + 3) ( P liegt nicht auf dem rand. Binomis ( a + b) a + ab + b ( a b) a ab + b Achtung!! ( a b) ( a + b) Seite / 6 Lene Baur

2 Bestimmung von ittelpunkt und Radius Beispiel 3 Bestimme den ittelpunkt und den Radius des es mit der Gleichung x + y x + 6y 6 0. Die Gleichung des es ist in die Form ( x m r ) + ( y m ) zu bringen. x x + y + 6y 6 / sortieren nach x, y auf der einen und Zahlen auf der anderen Seite ( x x + + y + 6y / quadratische Ergänzung (Zahlen auf beiden Seiten dazu addieren) x ) + ( y + 3) / Binomis zusammenfassen ( / 3), r Formelsammlung: S. 9 Seite / 6 Lene Baur

3 Lage von Punkten zu en Beispiel Welche Lage haben der C( 3/ ) zueinander? ( x ) + ( y + 3) 5 und die Punkte A ( /), B( / ) und Es wird der Abstand des Punktes vom ittelpunkt des es mit dem Radius verglichen. A ( /) : A ( ) + ( + 3) 5 Punkt A liegt auf dem rand. B ( / ) : B ( ) + ( + 3) 8 < 5 Punkt B liegt innerhalb des es. C ( 3/ ) : C ( 3 ) + ( + 3) 50 > 5 Punkt C liegt außerhalb des es. ausführliche Rechnung zu Punkt A: ( / 3), r 5 3 A 3 A / ittelpunkt und Radius aus gleichung ablesen / Vektor berechnen: Spitze - Fuß / Betrag berechnen 5 5 / Ergebnis mit r vergleichen Punkt A liegt auf dem rand Seite 3 / 6 Lene Baur

4 und Gerade in der Ebene Ein und eine Gerade haben keinen gemeinsamen Punkt oder genau einen gemeinsamen Punkt oder genau zwei gemeinsame Punkte. Passante keine : kein Schnittpunkt Tangente : Berührungspunkt Sekante en: Schnittpunkte Welche der drei öglichkeiten vorliegt, kann man untersuchen, indem man die zughörigen Gleichungen von und Gerade als ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten auffasst und dieses löst. Keine Angst, klingt viel schlimmer, als es ist - Schaut euch einfach mal das Beispiel an ;) Beispiel 5 Überprüfe, ob die Gerade g Sekante, Tangente oder Passante des es k ist, und bestimme gegebenenfalls gemeinsame Punkte von g und k. : x + y 6x y 0 Gerade: x + 3y ( 7 x 3 y / g nach x auflösen x 3) + ( y ) 5 / gleichung aufstellen 7 ( 3 5 3) + ( y ) 9 ( 3 5 ) + ( y ) y y y + y / für x in die gleichung einsetzen y / Zahlen in Klammern zusammenfassen y 5 / Binomis auflösen 9y + y y 6y / * 6 5y + 50y / zusammenfassen y + y + 0 / y berechnen (mit pq-formel oder abc-formel) y 7 x 3 ( ) / in g einsetzen Antwort: S ( / ) g ist eine Tangente des es mit dem Berührungspunkt S( / ). Seite / 6 Lene Baur

5 Tangente an einen Gleichung einer tangenten gegeben: - k mit dem ittelpunkt m / m ) und dem Radius - ein Punkt P x / ) des es 0 ( 0 y0 ( r ( x r 0 m )( x m ) + ( y0 m )( y m ) (Koordinatengleichung) ( 0 0 x p )( p m) 0 (vektorielle Gleichung) Beispiel 6 Gegeben ist der ( x 3) + ( y + 3) 5 und der Berührungspunkt B ( /).Bestimme die Gleichung der Tangente im Berührungspunkt. x a + λ r r x + λ r / Geradengleichung allgemein / B als Stützvektor einsetzen Den Richtungsvektor kennen wir nicht. Allerdings wissen wir, dass die Tangente senkrecht zum Radius verläuft. Es gilt: r + r 0. r / Ersten Wert frei wählen, z.b. + r 0 / einsetzen r / Tangentengleichung x + λ Seite 5 / 6 Lene Baur

6 Lagebeziehungen von en. Fall e liegen auseinander. Fall e haben Berührungspunkt + > r r + r r 3. Fall e haben Schnittpunkte. Fall e liegen ineinander < r + r und > r r < r + r und < r r Beispiel 7 Untersuche die gegenseitige Lage der beiden e. : x + y + x 9 : x 6x + y 8y : ( x + ) + y ( / 0), r 0 : ( x 3) + ( y ) (3/ ), r / gleichungen aufstellen / ittelpunkt und Radius der beiden e bestimmen 3 / Betrag von ,66 0 ("Spitze-Fuß") r + r 6,7 / Fall 3 oder Fall r r,8 Antwort: e haben Schnittpunkte Seite 6 / 6 Lene Baur

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