4.6 Berechnung von Eigenwerten

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1 4.6 Berechug vo Eigewerte 4.6 Berechug vo Eigewerte I diesem Abschitt befasse wir us mit dem Eigewertproblem: zu gegebeer Matrix A R sid die Eigewerte (ud gegebeefalls Eigevektore) gesucht. Wir erier a Defiitio 4.9 ud formuliere Satz 4.70 (Eigewert). Es sei A R. Da gilt: Die Matrix A hat geau Eigewerte, ihrer Vielfachheit ach gezählt. Die Eigewerte sid Nullstelle des charakteristische Polyoms: det(a λi) = 0. Reelle Matrize köe komplexe Eigewerte habe, komplexe Eigewerte trete stets als kojugierte Paare λ, λ auf. Eigevektore zu uterschiedliche Eigewerte sid liear uabhägig. Falls liear uabhägige Eigevektore existiere, so existiert eie reguläre Matrix S R, so dass S AS = D eie Diagoalmatrix ist. Die Spaltevektore vo S sid die Eigevektore ud die Diagoaleiträge vo D die Eigewerte. Symmetrische Matrize A = A T habe ur reelle Eigewerte. Es existiert eie Orthoormalbasis vo Eigevektore ud eie Diagoalisierug Q T AQ = D mit eier orthogoale Matrix. Bei Dreiecksmatrize stehe die Eigewerte auf der Diagoale. Zu eiem Eigewert λ sid die Eigevektore als Lösug des homogee lieare Gleichugssystems bestimmt: (A λi)w = 0. Umgekehrt gilt: Defiitio 4.7 (Rayleigh-Quotiet). Sei A R sowie w R ei Eigevektor. Da ist durch de Rayleigh-Quotiete der zugehörige Eigewert gegebe: λ = (Aw, w) 2 w 2. 2 Mit Hilfe dieser Defiitio folgt eie eifache Schrake für die Eigewerte: (Aw, w) 2 λ sup w 0 w 2 2 A 2 w 2 2 w 2 2 = A 2. Wir habe i Abschitt 4. bereits gesehe, dass diese Schrake für die Beträge der Eigewerte i jeder Matrixorm mit verträglicher Vektororm gilt. 69

2 4 Numerische Lieare Algebra 4.6. Koditioierug der Eigewertaufgabe Bevor wir auf kokrete Verfahre zur Eigewertberechug eigehe, aalysiere wir die Koditio der Aufgabe, d.h. die Abhägigkeit der Eigewerte vo der Störug der Matrix. Hierfür beötige wir zuächst eie Hilfsatz: Hilfsatz Es seie A, B R beliebige Matrize. Da gilt für jede Eigewert λ vo A, der icht zugleich Eigewert vo B für jede atürliche Matrizeorm die Abschätzug: (λi B) (A B). Beweis: Es sei w 0 ei Eigevektor zu λ. Da gilt: (A B)w = (λi B)w. We λ kei Eigewert vo B ist, so ist die Matrix (λi B) regulär, d.h. es folgt: Ud schließlich durch Normbilde: (λi B) (A B)w = w. = (λi B) (A B)w w sup x (λi B) (A B)x x = (λi B) (A B). Auf dieser Basis erhalte wir ei eifaches Kriterium zur Eigrezug der Eigewerte eier Matrix: Satz 4.73 (Gerschgori-Kreise). Es sei A R. Alle Eigewerte λ vo A liege i der Vereiigug der Gerschgori-Kreise: K i = {z C : z a ii k=,k i a ik }, i =,...,. Ageomme zu de Idexmege I m = {i,..., i m } ud I m = {,..., } \ I m seie die Vereiiguge U m = i I m K i ud U m = i I m K i disjukt. Da liege geau m Eigewerte (ihrer algebraische Vielfachheit ach gezählt) i U m ud m Eigewerte i U m. Beweis: (i) Es sei D R die Diagoalmatrix D = diag(a ii ). Weiter sei λ ei Eigewert vo A mit λ a ii. (I diesem Fall wäre die Aussage des Satzes trivial erfüllt). Hilfsatz 4.72 besagt bei Wahl der maximale Zeilesummeorm: (λi D) (A D) = max (λ a i ii ) a ij = max i λ a ii a ij. j=,j i j=,j i 70

3 4.6 Berechug vo Eigewerte D.h. es existiert zu jedem λ ei Idex i {,..., } so dass gilt: λ a ii a ij. j=,j i (ii) Es seie durch I m ud I m Idexmege mit obe geater Eigeschaft gegebe. Wir defiiere die Matrix A s := D + s(a D), mit A 0 = D ud A = A. Etspreched defiiere wir die Vereiiguge: U m,s := i I m K i (A s ), U m,s := i I m K i (A s ), K i (A s ) = {z C, z a ii s j i a ij }. Aufgrud der stetige Abhägigkeit der Kreisradie vo s gilt U m,s U m,s = für s [0, ]. Im Fall s = 0 gilt A 0 = D ud jeder Eigewert vo A 0 liegt im Mittelpukt (also λ i = a ii ) des triviale Kreises mit Radius Null. Das Ergebis folgt u durch die stetige Abhägigkeit der Eigewerte vo s. Wir betrachte hierzu ei Beispiel: Beispiel 4.74 (Gerschgori-Kreise). Wir betrachte die Matrix A = , mit de Eigewerte spr(a) {.9, 3.0, 5.08}. Eie erste Schrake liefer verschiedee mit Vektororme verträgliche Matrixorme vo A: Die Gerschgori-Kreise vo A sid: A = 5.5, A = 6, A K = {z C, z 2 0.6}, K 2 = {z C, z 3 0.7}, K 3 = {z C, z 5 0.5}. Diese Abschätzug ka verfeiert werde, da A ud A T die gleiche Eigewerte besitze. Die Radie der Gerschgori-Kreise köe auch als Summe der Spaltebeträge berechet werde. Zusamme ergibt sich: K = {z C, z 2 0.6}, K 2 = {z C, z 3 0.2}, K 3 = {z C, z 5 0.5}. Alle drei Kreise sid disjukt. Wir köe u de allgemeie Stabilitätssatz für das Eigewertproblem beweise: 7

4 4 Numerische Lieare Algebra Satz 4.75 (Stabilität des Eigewertproblems). Es sei A R eie Matrix mit liear uabhägige Eigevektore w,..., w. Durch à = A + δa sei eie beliebig gestörte Matrix gegebe. Da existiert zu jedem Eigewert λ(ã) vo à = A + δa ei Eigewert λ(a) vo A so dass mit der Matrix W := (w,..., w ) gilt: λ(a) λ(ã) cod 2(W) δa. Beweis: Es gilt für i =,..., die Beziehug Aw i = λ i (A)w i, oder i Matrixschreibweise AW = W diag(λ i (A)), also W AW = diag(λ i (A)). Wir betrachte u eie Eigewert λ = λ(ã). Falls λ auch Eigewert vo A ist, so gilt die Behauptug. Also sei λ u kei Eigewert vo A. Da folgt: ( λi A) 2 = W [ λi diag( λ i (A))] W 2 cod 2 (W) [ λi diag(λ i (A))] 2. Für die (symmetrische) Diagoalmatrix λi diag(λ i (A)) gilt [ λi diag(λ i (A))] 2 = max i=,..., λ λ i (A). Mit Hilfsatz 4.72 folgt das gewüschte Ergebis: [ λi A) δa 2 [ λi A) δa 2 cod 2 (W) max i=,..., λ λ i (A) 2 δa 2. Die Koditioierug des Eigewertproblems eier Matrix A hägt vo der Koditioszahl der Matrix der Eigevektore ab. Für symmetrische (hermitesche) Matrize existiert eie Orthoormalbasis vo Eigevektore mit cod 2 (W) =. Für solche Matrize ist das Eigewertproblem gut koditioiert. Für allgemeie Matrize ka das Eigewertproblem beliebig schlecht koditioiert sei Direkte Methode zur Eigewertberechug Die Eigewerte eier Matrix A köe prizipiell als Nullstelle des charakteristische Polyoms χ A (z) = det(zi A) berechet werde. Die Berechug der Nullstelle ka zum Beispiel mit dem Newto-Verfahre geschehe, Startwerte köe mit Hilfe der Gerschgori-Kreise bestimmt werde. I Kapitel 2 habe die Berechug vo Nullstelle eies Polyoms jedoch als ei sehr schlecht koditioiertes Problem keegelert. Wir betrachte hierzu ei Beispiel. Beispiel 4.76 (Direkte Berechug vo Eigewerte). Es sei A R 5 5 eie Matrix mit de Eigewerte λ i =, i =,..., 5. Da gilt: 5 χ A (z) = (z i) = z 5 5z x 3 225x z 20. i= 72

5 4.6 Berechug vo Eigewerte Der Koeffiziet 55 vor z 9 sei mit eiem relative Fehler vo 0.% gestört: χ A (z) = z z x 3 225x z 20. Dieses gestörte Polyom hat die Nullstelle (d.h. Eigewerte): λ 0.999, λ , λ , λ 4/ ± 0.430i. Die Eigewerte köe also ur mit eiem (ab λ 3 ) wesetliche Fehler bestimmt werde. Es gilt etwa: i 5 0., 5 d.h. der Fehler i de Eigewerte beträgt 0%, eie Fehlerverstärkug vo 00. Das Aufstelle des charakteristische Polyoms erfordert eie Vielzahl schlecht koditioierter Additioe sowie Multiplikatioe. Für allgemeie Matrize verbietet sich dieses direkte Verfahre. Lediglich für spezielle Matrize wie Tridiagoalsysteme lasse die Eigewerte bestimme, ohe das zuächst die Koeffiziete des charakteristische Polyoms explizit berechet werde müsse Iterative Verfahre zur Eigewertberechug Das voragegagee Beispiel widerspricht scheibar zuächst der (auf jede bei hermitesche Matrize) gute Koditioierug der Eigewertsuche. Wir leite u stabile umerische Verfahre her, die die Eigewerte icht mehr direkt bereche, soder sie iterativ approximiere. Zur Herleitug eies erste eifache Iteratiosverfahre mache wir die folgede Beobachtug: ageomme, zu gegebeer Matrix A R existiere eie Basis aus Eigevektore {w,..., w }, d.h. die Matrix sei diagoalisierbar. Weiter gelte λ > λ λ > 0. Da sei x R i Basisdarstellug: x (0) = α j w j. j= Wir ehme a, dass α 0, dass also die Kompoete zum Eigevektor des betragsmäßig größte Eigewertes icht trivial ist. Wir defiiere die Iteratio Da gilt x (i+) = Ax(i) Ax (i). x (i+) = A Ax(i ) Ax (i ) A Ax(i ) Ax (i ) = A 2 x (i ) Ax (i ) A 2 x (i ) Ax (i ) = = Ai+ x (0) A i+ x (0). (4.0) 73

6 4 Numerische Lieare Algebra Weiter gilt mit der Basisdarstellug vo x (0) : A i x (0) = α j λ i jw j = α λ i α j λ w i j + α j= j= λ i. (4.) Es gilt λ j /λ < für j <, daher folgt: Hieraus folgt durch Normierug: A i x (0) = α j λ i jw j = α λ i (w + o()), j= A i x (0) ( A i x (0) = α λ i ) w α λ i w + o() spa{w } (i ). Die Iteratio läuft i de Raum, der durch w aufgespat wird. Für eie Vektor w, der Vielfaches eies Eigevektors ist w = sw gilt: Aw = saw = sλ w = λ w. Diese vektorwertige Gleichug gilt i jeder Kompoete, ka daher ach dem Eigewert aufgelöst werde: Wir fasse zusamme: λ = [Aw] k w k. Satz 4.77 (Potezmethode ach vo Mises). Es sei A R eie Matrix liear uabhägige Eigevektore {w,..., w }. Der betragsmäßig größte Eigewert sei separiert λ > λ λ. Es sei x (0) R ei Startwert mit ichttrivialer Kompoete i Bezug auf w. Für eie beliebige Idex k {,..., } kovergiert die Iteratio x (i) = Ax (i ), x (i) := x(i) (i), λ(i) := x(i) k gege de betragsmäßig größte Eigewert: λ (i+) λ = O ( λ λ i), i. x (i ) k, Beweis: Wir küpfe a der Vorbereitug des Beweises (4.0) a. Es gilt: λ (i) = x(i) k x (i ) k = [Ax(i ) ] k x (i ) k = [Ai x (0) ] k [A i x (0) ] k. 74

7 4.6 Berechug vo Eigewerte Weiter, mit (4.) gilt: ( a λ i λ (i) [w ] k + ) α j λ i j j= α [w λ i j ] k = ( a λ i [w ] k + α j λ i j j= α λ i ( ) [w ] k + α λ α + o() i λ [w ] k = λ ( ) [w ] k + α λ α + o() λ [w j ] k ) = λ i [w ] k = λ Die letzte Abschätzug utzt die Reiheetwicklug: + x + + x = + O( x ). [w ] k + j= [w ] k + j= α k ( + O ( α j λ i j α [w λ i j ] k λ i j α λ i λ λ [w j ] k i )). Die Potezmethode ist eie sehr eifache ud umerisch stabile Iteratio. Sie ka allerdigs ur de betragsmäßig größte Eigewert ermittel. Der Kovergezbeweis ka verallgemeiert werde auf Matrize, dere größter Eigewert mehrfach vorkommt. Kovergez gilt jedoch ur da, we aus λ = λ i auch λ = λ i folgt. Es darf also icht zwei verschiedee Eigewerte gebe, die beide de gleiche, größte Betrag aehme. Dies schließt zum Beispiel de Fall zweier komplex kojugierter Eigewerte λ ud λ als beträgsgrößte aus. Bemerkug 4.78 (Potezmethode bei symmetrische Matrize). Die Potezmethode ka im Fall symmetrischer Matrize durch Verwede des Rayleigh-Quotiete verbessert werde. Die Iteratio λ (i) = (Ax(i ), x (i ) ) 2 (x (i ), x (i ) ) 2 = ( x (i), x (i ) ) 2, liefert die Fehlerabschätzug: λ (i) = λ + O ( λ λ 2i). Beispiel 4.79 (Potezmethode ach vo Mises). Es sei: 2 2 A = 2, 2 4 mit de Eigewerte: λ 0.803, λ 2 = , λ 3 =

8 4 Numerische Lieare Algebra Wir starte die Potezmethode mit x (0) = (,, ) T, ud wähle zur Normierug die Maximumsorm. Weiter wähle wir als Idex k = : 5 i = : x () = Ax (0) = 2, x () = x() () 0.286, λ () = x() x (0) 5, 3.7 i = 2 : x (2) = Ax () = 0.857, x (2) = x(2) (2) 0.62, λ (2) = x(2) x () 5.9, 3.57 i = 3 : x (3) = Ax (2) = 0.24, x (3) = x(3) 0.70 (3) 0.24, λ (3) = x(3) x (2) 5.077, 3.54 i = 4 : x (4) = Ax (3) = 0.538, x (4) = x(4) (4) 0.08, λ (4) = x(4) x (3) 4.999, 3.54 i = 5 : x (5) = Ax (4) = 0.502, x (5) = x(5) (5) 0.02, λ (5) = x(5) x (4) 4.950, i = 6 : x (6) = Ax (5) = 0.486, x (6) = x(6) 4.92 (6) , λ (6) = x(6) x (5)