Prüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen- Gruppe A

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1 Prüfung aus Statistik 1 für SoziologInnen- Gruppe A 26. Juni 2012 Gesamtpunktezahl =80 Prüfungsdauer: 2 Stunden 1) Wissenstest (maximal 20 Punkte) Lösungen Kreuzen ( ) Sie die jeweils richtige Antwort an. Jede richtige Antwort gibt 2 Punkte. Pro falsche Antwort werden 2 Punkte abgezogen, wobei ein etwaiger negativer Gesamtwert für den Wissenstest auf Null gesetzt wird. Es ist auch zulässig, Fragen nicht zu beantworten. ja nein (1) Bei einer rechtsschiefen Verteilung ist der Median immer kleiner als das arithmetische Mittel. (2) Die Varianz einer Grundgesamtheit bestehend aus 2 Teilpopulationen A und B ergibt sich aus der gewichteten Summe der Varianzen der beiden Teilpopulationen. Nein, da fehlt noch die Varianz zwischen den Gruppen (3) Ein Stem & Leaf Diagramm basiert auf 5 Quantilen einer Verteilung. Nein der Boxplot basiert auf 5 Quantilen einer Verteilung (4) Prozentuelle Veränderungen sind bei intervallskalierte Merkmale sinnlos. Da intervallskalierte Merkmale keinen fixen Nullpunkt aufweisen. (5) Die Multiplikation aller Merkmalswerte um einen Faktor 10 führt zur Verzehnfachung des Variationskoeffizienten. Der Variationskoeffizient ist dimensionslos und ändert sich nicht gegenüber linearen Transformationen. (6) Wenn der Korrelationskoeffizient nach Pearson für zwei Merkmale X und Y null ist, so folgt daraus, dass die beiden Merkmale unabhängig sind. Nein, weil der Korrelationskoeffizient nur lineare Abhängigkeiten misst. (7) Der Korrelationskoeffizient nach Spearman erfordert, dass beide Merkmale zumindest ordinal skaliert sind. (8) Es gilt immer: PA ( B) PA ( ) PB ( ) (9) Wenn 2 Ereignisse A und B unabhängig sind, gilt P(A) = P(A B) (10) Die Fusion zweier Merkmalsträger führt zwangsläufig zu einer Zunahme des Herfindahl-Indexs zur Messung der relativen Konzentration. Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 1 von 9

2 2) Interpretieren Sie die beiden Lorenzkurven (4 Punkte) Population A Population B Beschreiben Sie, wie sich in den beiden Populationen die Merkmalssumme auf die Merkmalsträger aufteilt. In welcher Population ist die Konzentration höher? Siehe Folie 35 zur Konzentrationsmessung, wo dieses Beispiel erklärt wird! Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 2 von 9

3 3) Die nachfolgenden Tabellen stellen die Analyse einer Umfrage unter n=1.240 Wahlberechtigten zu den aktuellen Budgetausgaben für die Rüstungspolitik dar. Beobachtet liberal moderat konservativ Gesamt Erwartet liberal moderat konservativ Gesamt zu wenig zu wenig 89,6 83,0 83,4 256 gerade richtig gerade richtig 224,0 207,5 208,5 640 zu viel zu viel 120,4 111,5 112,1 344 Gesamt Gesamt 434,0 402,0 404,0 1240,0 Berechnung des Chi-Quadrat Wertes liberal moderat konservativ Gesamt zu wenig 0,79 5,31 1,90 gerade richtig 0,45 0,20 0,06 zu viel 0,02 1,88 2,31 Gesamt Chi²-Wert: 12,92 a) Erklären Sie anhand einer konkreten Leseprobe/Rechenanleitung beim obigen Beispiel, wie in der Tabelle der erwarteten Häufigkeiten de Wert 207,5 (in der2.zeile und 2.Spalte) zu Stande kommt: Erwartet liberal moderat konservativ Gesamt zu wenig 89,6 83,0 83,4 256 gerade richtig 224,0 207,5 208,5 640 zu viel 120,4 111,5 112,1 344 Gesamt ,5 = 402 * 640 / 1240 b) Berechne Cramer s V 2 12,92 V 0,0052 0,072 N min(i 1,J 1) c) Berechne das Prädiktionsmaß nach Goodman für das Merkmal Beurteilung der Budgetausgaben in Abhängigkeit von der politischen Einstellung (4 Punkte) E0 = =600 E1 = ( )+( )+( ) = 600 = (E0-E1)/E0 = 0 Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 3 von 9

4 4) Das Lehrpersonal einer bestimmten Universität setzt sich aus ProfessorInnen und AssistentInnen zusammen. Von der Universität kennen wir folgende Daten: 40% des Lehrpersonals sind Frauen. 30% der weiblichen Lehrenden sind Professorinnen. Der Anteil der Männer beträgt bei den ProfessorInnen 75%. a) Wie teilt sich das Lehrpersonal in ProfessorInnen und Assistenten auf? (5 Punkte) b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig herausgegriffener männlicher Mitarbeiter des Lehrpersonals als Professor tätig ist? (5 Punkte) c) Sind die beiden Merkmale Geschlecht und Art der Lehrtätigkeit unabhängig? Begründung! Anteil Frauen 40% Anteil Männer 60% Prof gegeben weiblich 30% Mann gegeben Prof 75% Männer Frauen Prof Ass a) 48,0% 52,0% b) 60,00% c) Nein 2 mögliche Begründungen zu c) Bedingten Wahrscheinlichkeiten entsprechen nicht der marginalen Verteilung z.b. Anteil Männer bei Prof. 75% bei Ass.46% und Gesamt 60% Das Produkt der Randverteilungen dividiert durch die Gesamtzahl der Beobachtungen entspricht nicht den Zellenhäufigkeiten Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 4 von 9

5 5) Die Fluglinie YLF-IKIN hat für einen Flughafen folgende Tabelle für die Verspätungen beim Abflug ermittelt: Verspätung in Minuten Anzahl Flüge (a) Zeichnen Sie ein korrektes Histogramm, um das Muster der Verspätungen zu beschreiben und beantworten Sie folgende Frage: Um welchen Faktor ist der Histogrammbalken der Klasse höher als jener der Klasse 50 90? (5 Punkte) Histogrammbalken ist in Klasse mal so hoch als in der Klasse (siehe Tabelle auf der nächsten Seite) Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 5 von 9

6 (b) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Verspätungen! Verspätung in Minuten Anzahl Flüge mi hi Hi mi*hi bi di ,3125 0,3125 1, , ,2500 0,5625 3, , ,1875 0,7500 4, , ,1875 0,9375 7, , ,0625 1,0000 4, , ,8750 Arith. Mittel 21,875 0,0938/0,0156=6 Einheit für bi ist 10 Minuten (c) Berechnen Sie den Median der Verspätungen. Median 17,5 =10+10*(0,5 0,3125)/(0,5625 0,3125) Median liegt bei der 160 ten Beobachtung ==> 100+3/4 der Intervallbreite von In der Medianklasse liegen 80 Beocbachtungen ==> /80 der Intervallbreite von ==> *3/4 Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 6 von 9

7 6) Im Zuge einer Umfrage wurde folgende Frage gestellt: Wie viele Kraftfahrzeuge nutzen Sie in Ihrer Familie?. Dabei wurde für eine bestimmte Stadt folgende Verteilung ermittelt: Anzahl der Relative KFZ Häufigkeit 0 0,25 1 0,45 2 0,20 3 0,10 a) Angenommen Sie wählen aus dieser Stadt zufällig eine Familie aus. Wie groß ist der Erwartungswert für die Zufallsvariable X ~ Anzahl der KFZ? Anzahl der KFZ b) Angenommen Sie ziehen aus der Stadt eine Zufallsstichprobe von 5 Familien: Wie groß ist der Erwartungswert für die Summe der von diesen 5 Familien genutzten KFZ? Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte 1,15+1,15+1,15+1,15+1,15=5*1,15=5,75 Relative Häufigkeit Prob(X=x)*x Prob(X=x)*x² 0 0,25 0,00 0,00 1 0,45 0,45 0,45 2 0,20 0,40 0,80 3 0,10 0,30 0,90 1,1500 2,1500 E(X) 1,15 V(X) 0,8275 EX ( ) VX ( ) EX ( ²) EX ( )² i xp i i c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 5 ausgewählten Familien über ein KFZ verfügt? (4 Punkte) = 0,25^5 = 0, ,1% Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 7 von 9

8 7) Eine Grundgesamtheit enthält 10 Personen. 6 Männer und 4 Frauen. Es soll ein Ausschuss bestehend aus 3 Personen gebildet werden. a) Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es aus den 10 Personen einen Ausschuss von 3 Personen zu bilden? (2 Punkte) b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ausschuss mit 3 Personen nur durch männliche Personen gebildet wird, wenn die Auswahl der Personen rein nach dem Zufallsprinzip erfolgt? Hinweis: bestimme die Anzahl der günstigen und die Anzahl der möglichen Fälle Günstige Fälle: Mögliche Fälle: 120 Wahrscheinlichkeit = 1/6 = 0,167 c) Wie viele unterschiedliche Zusammensetzungen gibt es, wenn der Ausschuss aus 2 Frauen und einem Mann gebildet werden soll? (2 Punkte) Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 8 von 9

9 8) Für ein Land, das aus 2 Regionen besteht, sind folgende Daten zur Einkommenssituation bekannt. Anzahl der Erwerbstätigen Mittleres Monatseinkommen in Standardabweichung des Monatseinkommens Region-1 n= Region-2 n= a) Bestimme den Variationskoeffizienten für das Einkommen in jeder der beiden Regionen. (2 Punkte) a) VC für Region 1 0,125 =150/1200 VC für Region 2 0,125 =100/800 b) Wie hoch ist das durchschnittliche Monatseinkommen in diesem Land? Gesamteinkommen in beiden Regionen =200* *800 Durchschnitt Gesamteinkommen durch Gesamtzahl aller Erwerbstätigen =560000/ ,33 Prüfung - Statistik 2 für SoziologInnen 9 von 9