Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [1] Funktionsanalyse a-b-c-formel / p-q-formel Polynomdivision Ableitung / Integration

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1 Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [] Funktionsanalyse a-b-c-formel / p-q-formel Polynomdivision Ableitung / Integration und mehr Kostenlose Videos mit Rechenwegen auf Mathe-Seite.de

2 Kombiniere Lern-Videos mit Lern-Schriften für bessere Noten. Du möchtest nicht nur die Lern-Videos schauen, sondern auch mal ein paar Übungsaufgaben rechnen oder Theorie nachlesen? Dann nutze die kostenlosen Lern-Schriften! Das Besondere an den Lern-Schriften ist, dass Struktur und Inhalte identisch mit den Lern-Videos auf der Mathe-Seite.de sind. Falls du also in den Lern-Schriften etwas nicht verstehst, findest du die nötigen Erklärungen im Lern-Video - am schnellsten via QR-Codes. Damit die Mathe-Seite.de kostenlos bleiben kann, braucht sie deine Hilfe! Bitte empfiehl die Mathe-Seite deinen Freunden. Lern-Schriften + Lern-Videos = bessere Noten Was dir das nützt: Dein Lernen wird wesentlich effektiver, denn du profitierst vom sogenannten "crossmedialen Effekt". Der kommt aus der Werbe-Psychologie und bewirkt, dass du die Thematik intensiver wahrnimmst, besser verstehst und länger memorierst. Das bietet übrigens nur die Mathe-Seite.de! facebook.com/matheseite Danke! Das Mathe-Trainings-Heft (MTH) Das vorliegende Mathe-Trainings-Heft beinhaltet Rechenaufgaben und Lösungen speziell zur Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur. Solltest du eine Aufgabe nicht lösen können, findest du den Rechenweg direkt per QR-Link im Lern-Video. Zum Beispiel: Den Lösungsweg zu den Übungsaufgaben [..] findest du online auf der Mathe-Seite.de im Kapitel [..]. Vermutlich brauchst du nicht alle der im MTH enthaltenen MatheThemen. Unter > Abi-Themen nach Bundesland findest du eine Liste mit denjenigen Themen, die für dein Bundesland und deine Schulart relevant sind. Ab 0: Weitere kostenlose Lern-Schriften auf Mathe-Seite.de Die Lernbuch-Reihe detailliertes Fachwissen in mehreren Bänden Die Mathe-Fibel alles Nötige in Kompaktform Die Lern-Kartei-Karten handlich und clever Die Formelsammlung das unverzichtbare Nachschlagewerk Die Anleitungen für Grafische Taschenrechner endlich verständlich

3 Videos mit Lösungsweg auf der Mathe-Seite.de; Ergebnisse hinten im Heft. [.] Bedeutung von f, f', f'', F,... [..] Bedeutung vom y-wert [] Bestimmen Sie den y-wert von f()=² + bei =. [] Die Temperatur in einem Ofen wird durch T(t)=0, t beschrieben. Bestimmen Sie die Temperatur nach Minuten. [] Der Punkt B(a 0) liegt auf der Funktion f()=³+. Bestimmen Sie a! [..] Bedeutung der Steigung [] Bestimme die Steigung von f()=² + bei =. [] Welche Steigung hat die Tangente an g()=³ in A( 0)? [] In welchem Punkt hat h()=²+ die Steigung m=? [..] Links- / Rechtskrümmung [] Prüfen Sie, ob f()=² + bei = links- oder rechtsgekrümmt ist. [] In welchem Bereich ist g()=³ linksgekrümmt? [] In welchem Bereich ist h()=³+² + rechtsgekrümmt? [..] Flächen Aufgaben zu diesem Thema finden Sie in Kap.. sowie Kap... [..] Definitionsmenge Bestimmen Sie die Definitionsmenge von: + [] f( ) = [] g() = + [] i()= ln(+) [] j()= +cos(π +) ² [..] Wertemenge Bestimmen Sie die Wertemenge von: [] f()=² [] g() = [] f()=- (+) + [..] [] h( ) = + [] h()=³ + [] g()= ++ Monotonie [] Untersuchen Sie f()=²+ auf Montonie. [Untersuchen Sie g()=³++ auf Monotonie. [] In welchem Bereich ist h()=0, ( ) + monoton? [] In welchem Bereich ist i()= ++ streng monoton fallend? [..] Krümmungsradius / Bogenlänge [] Bestimmen Sie den Krümmungsradius von f()=² an der Stelle =. [] Bestimmen Sie den Krümmungsradius von g()=³ ² im Schnittpunkt mit der y-achse. An welcher Stelle ist der Krümmungsradius minimal? (Letzte Frage nur lösen, falls Sie mit einem GTR/CAS arbeiten). [] Bestimmen Sie die Bogenlänge der Funktion f()=e 0,+e 0, im Intervall I=[-;]. [] Bestimmen Sie die Bogenlänge der Funktion g()=-²+ im ersten Quadranten. (Nur mit GTR/CAS lösbar!)

4 [.9.] [.] Nullstellen / Gleichungen lösen [..] einfache Gleichungen, die nur ein einziges enthalten Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen. [] ( ) = [..] [] ²+ = [] ³+ [.9.] = [] 9 = 0 gt'()=²+t, g t''()=+t, gt'''()= keine Symmetrie erkennbar N,(0 0), N(-t 0) H(-t t³), T(0 0) W(-t t³) t [] ht'() = ( )² ( ), ht''()=t( )(-+), h t'''()=-t+t [] [] [] [] Ausklammern [] -²+=0 [] [] [] [] [] [] ³+² =0 keine Symmetrie erkennbar N(0 0), N..( 0) H( 9t) W( 0), W t ( ) [..]; [..] Mitternachtsformeln (a-b-c-formel; p-q-formel) [] ²+ =0 [] ² =0 [] ²+0+=0 [] +=0 [] [] ² +=0 [..] Substitution [] +=0 [..] [] + +=0 [] ³ ²++9=0 Horner-Schema [] ³ ²+ =0 [] ³ ²+ =0 [..] [] + +=0 [] ³ ²++9=0 Auf Form bringen [] ( ) (+)+ (+) = (+)+ [] + 9 ² ² [..9] =0 Polynomdivision [] ³ ²+ =0 [] ³ ²+ =0 [..] = [] + = + + ² Verwandte Themen finden Sie hier: Kapitel [..] Nullstellen bei e-funktionen Kapitel [..] Nullstellen bei sin/cos-funktionen Kapitel [..] Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen Kapitel [..] Nullstellen bei Logarithmus-Funktionen Kapitel [..] Nullstellen bei Wurzel-Funktionen

5 [..] [..] [] f(): Punktsymmetrie zum Ursprung g(): Achsensymmetrie zur y-achse h(): keine Symmetrie erkennbar [] f(): Punktsymmetrie zum Ursprung gt(): Achsensymmetrie zur y-achse ht(): keine Symmetrie erkennbar 0 [] [] [] [] [..] [] [] 0 f( )d = 0, = 0, 0 A = f() d + 0 f() d, =, A = f( ) g( )d 0, A = 0 f () g()d =0 0 A = f() g( )d + 0 g( ) f ()d 0,+0, = 0, A = 0 g( ) f ()d =, A = f() d + g() d,+ = 9, [] Tangente in P(- ): y Tan=+, Ableitungen Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen. [] A = f() d = [] A = f() d + [..] [.] [..] Polynome [] f()=³+² + [] g()=0, +,+, [] h()=-+0, -+-, t [] f t() = t ³+( t² ) ² + + t² [] gt() = sin( t) + t t² [..] Wurzeln / Brüche [] f( ) = ³ [] g( ) = 0, + [] i( ) = + ² [] h( ) = + 9 [..] [] f()= (+), g()= ( ³) [..] [..] [..] [..] [..9] [] A = +d + [] f() = ² (+) [] A = 0 d + [..0] [.9.] ²+ d,+, =, ( 0,) d = + = [] [] [] [] [] [] ( [] g'() = W,(±,,) 9 + ², g''() = + ), g'''() = + [] [] [] [] [] [] [.9.] Punktsymmetrie zum Ursprung N,,(0 0), N, (±, 0) H(,), T(- -,) W(0 0), W, (±, ±,9) m=0, m,= A=, [] h'() = ² ++, h''() = +, h'''() = [..], i( ) = [..] [] g() = Quotientenregel ²+ f', f'' [] g() = + (von f() und h() zwei Ableitungen bilden!!) [] f( ) = [..] [] h( ) = ²+ h', h'' Verwandte Themen finden Sie hier: Kapitel [..] Ableitungen bei e-funktionen Kapitel [..] Ableitungen bei sin/cos-funktionen Kapitel [..] Ableitungen bei gebrochen-rationalen Funktionen Kapitel [..] Ableitungen bei Logarithmus-Funktionen Kapitel [..] Ableitungen bei Wurzel-Funktionen [] keine Symmetrie erkennbar [] N(0 0), N,(- 0) [] H(- 0), T(- -,) 0 ( ) Produktregel [] h() = (-) (+) =0 Eine Nullstelle bei N( 0). Keine weitere, da J() monoton steigend. f'()=³, f''()=², f'''()= Achsensymmetrie zur y-achse N, ( 0), N,(- 0) H(0 ), T, (± 0) [] h( ) = [] j() = +, i( ) = ²+, [] J() = ³ ²+ + [] W, ± [.9.] Kettenregel A =, y Tan d +, y Tan g()d 0,+0, = [] [] [] [] [] V 0, [] V,0 [] V=, π 0,9 [] Ø=, [] Ø, [] A= [] A=9 t a² (a )

6 [.] Stammfunktionen / Integrale [..] Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktionen. [] [..] Polynome [] [] f()=³+² + [] g()=0, +,+, [..] [] h()= -+0, -+-, [] g() = [] h( ) = ³+² ² [..] [] f()= (+), g()= ( ) [] j() = +, k( ) = [] h( ) = ( ), i( ) = [] a² (a ) [..] t t² [] t t² [] g() = (-) (+) [] f() = (²+) [..] [] F() = (+) [] f( ) = [] h( ) = [.] ² ³+ ² ² [] [] ³ ²+ + ³+ ²+ ³ ²+ 0 ³ ² + [] [] g() = [] i( ) = [..] [ [..] [..] Wendetangente Bestimmen Sie die Wendetangente von f() [] f() = + [] G() = ln [] H() = t ln t² (+) [] f() = ³+²+9 9 (+) =...= [] ytan=+ y Nor = + [] ytan= y Nor = + [] ytan=-9 N= y Nor = [] ytan=- [] ytan=- [] f()=² + an P(?) [] f() = 0,³ ] in W(- 0): [..] bzw. [..] Tangentengleichung Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten und Normalen an f() im Punkt P. [] f()=³ an P(?) K( ) [] in W( 0): Tangenten und Normale [] f()=-²+ an P(?) a² 9(a ) = (t t²) t I() = F() = (²+) F() = (³+) 9 ln = ln() [..] und..] f( ) = G() = ( ) [] H() = ²( + ) (+) + [..] Integration über Partialbruchzerlegung [] [] G() = ( )(+) (+) =...= ( 0) (+) [..] [] f( ) = ² ³+ [] F() = ln + [] h() = ² (+) [..] Integration durch Substitution + ³ H() = ² + + F() = (+) F() = ( ) J() = (+) 9 [..] [..] Produkt-Integration [] f( ) = + [] [] [..] Stammfunktionen, die auf ln(..) führen [] f( ) = + [] g() = [] h t() = [] F() = ³+ (+) [] G() = [..] Lineare Substitution (umgekehrte Kettenregel) [] [] G() = 0, +-+, [] H() = +,+ + [..] Einfache Brüche und Wurzeln [] f( ) = + f ''() = (+) (+) g'() = ² g''() = ( ) ( ) h'() = ² h''() = ³+ (²+) ( ²+ ) F() = [] f '( ) = = ytan=-+ y Nor = ytan=+ y Nor y Nor = [] B(0 0) mit ytan= B(,) mit ytan=, 9 B( 0) mit ytan= [] B( -), B ( ) [] B(0 ) mit ytan= B( ) mit ytan=-+ B(- ) mit ytan=+ (² 9+9) (+)

7 Ergebnisse [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [] [] [] [] [] [] [] [] y=- [] T=9,9 [] a= m=- [] m= [] P(- -0) Linkskurve [] >0 [] <-0, D=ℝ\{} [] D={ -} [] D=ℝ D={ >-} [] D=ℝ W={y y -9} [] W=ℝ\{0} [] W=ℝ W={y y -} [] W={y y -} für >-,: f() streng monoton wachsend (steigend) für -,: f() monoton wachsend (steigend) für <-,: f() streng monoton fallend (abnehmend) für -,: f() streng monoton fallend (abnehmend) [] streng monoton steigend (wachsend) (für alle ℝ) [] monoton steigend (wachsend) (für alle ℝ) [] für <- [] r(), [] rmin 0, [] b=e e, [] b, [] = [] = [] =0 [] =0, =- [],,=0,,=± [] =0, =, =- [] =, =- [] =-, = [],=- [] keine Lösung [] =, =- [] =-, = [],=- [] keine Lösung [].=±,, =± [] =, = [],=±0, [] =, =, = [],,, = [],,= [] =-,, = [] =, =, = [],,, = [],,= [] =-,, = [] = [] =-, = [] = [] f'()=²+0-, f''()=+0 [] g'()=³ 9²+, [] h'()=--+-0,+-,-, t [] f t '() =t ²+(t² ) + [..] [] gt'()=0 [] f '( ) = + [] h'() = [..] [..] + 9 ² t [] g't() = ² + [] i'()=-- -+,-,,-, [] f'()= (+)³ 0 [] h'() = [] g'()=-² ( ³) [] i'( ) = [] j'() = [] k'() = ( ) + (a+ ) (a+ ) [] f()=0,³ ²+ mit A( ) [] h()= + mit A(0 ) [] g()=² mit A( -) [..] Normale mit unbekanntem Berührpunkt ( Normale von außen ) [] Bestimme eine Normale an f()=² + durch A(- ). [] Bestimme einen Punkt des Schaubilds von g()=0,³, in welchem die Normale an g durch den Punkt B(- -) verläuft. [.] Asymptoten [.] Symmetrie Dieses Thema finden Sie auf der Mathe-Seite.de [..] Symmetrie von ganzrationalen Funktionen Geben Sie die Symmetrieeigenschaften der Funktionen an: [] f()=³+, g()=0, +-++, h()= + [] f()= 0, +, gt()=+t t, ht()=t +t [..] Symmetrie am Ursprung bzw. an y-achse Beweisen Sie die Symmetrieeigenschaften der Funktionen: [] f() = ³+, [] h()= + [] h()= + g() = 0, +-++ f() = 0,+ f() = 0,+ [..]; [..] Symmetrie über Formeln; Symmetrie über Verschieben Weisen Sie nach, dass f() zum angegebenen Punkt S bzw. zur angegebenen Achse symmetrisch ist: [] f() = ³ ²+ [] f() = 0,²++ [.] Symmetriepunkt: S( -) Symmetrieachse: =- Integrale und Flächeninhalte [..] Flächen zwischen f() und -Achse Bestimmen Sie die Fläche, die von f() und der -Achse eingeschlossen wird. [] f() = -²++ [] f() = ³ 9 [] f() = 0,, (letzte Umformung ist nicht zwingend notwendig) [] f'() = (+)+² =...= ²+0 [..] Flächen zwischen zwei Funktionen Bestimmen Sie die Fläche, die von f() und g() eingeschlossen wird. [] g'() = ( ) 0, + ( )-0, =...= [] f() = -+ g() = ²+ [] f() = -³+²++ [] f() = ³++ g() = + [] h'() = - ( ) (+) + ( ) (+) = = ( ) (+) [-0+] [..] Tangente mit unbekanntem Berührpunkt ( Tangente von außen ) Von Punkt A wird eine Tangente an f() gelegt. Bestimmen Sie den Berührpunkt und die Tangentengleichung. g() = -²++

8 [..] Flächen zwischen drei Funktionen Definieren Sie, welche Fläche durch die drei Grenzen eingeschlossen wird. [.9] Funktionsanalyse [] f()=³+, g()=-+, y-achse [] f()=³+, g()=-+, -Achse [] f()=³+, Tangente an f() in P(-?), -Achse [.9.] f() = ¼ + [] Bilden Sie drei Ableitungen von g(). [] Untersuchen Sie g() auf Symmetrie. [] Berechnen Sie die Nullstellen von g(). [] Berechnen Sie die Etrempunkte von g(). [] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(). [] Zeichnen Sie g(). [..] Uneigentliche Integrale (e-funktion, Hyperbeln) Bestimmen Sie die Fläche, die von f() und der -Achse eingeschlossen wird. u [] lim u d ² [] lim z z 0 a d ² [] lim a d [] lim t t 0 d [..] Rotationsvolumen Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der bei Drehung von f() um die -Achse entsteht. [] f( ) = + [] f()=-²+ Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der bei Drehung der Fläche zwischen f() und g() um die -Achse entsteht. [] f()=²+ g()=+ [..] Mittelwert / Durchschnitt Bestimmen Sie den durchschnittlichen Funktionswert (=Mittelwert) von: [] f()=³ 9 im.quadranten [] f()=² + im Bereich [;] [..] Dreiecksflächen Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche gebildet von: [] f()=-½+ und den Koordinatenachsen [] g()=+,.winkelhalbierenden und der -Achse [..9] zusammengesetzte Funktionen Bestimmen Sie die Fläche, die von f() und der -Achse gebildet wird. [] f( ) = + ²+ { für für < [] f( ) = [..0] Integralfunktionen { ³ ( 0,)³ für für > [] Bestimmen Sie die Integralfunktion J() = f(t)dt zu f()=² + [] Bestimmen Sie die Etremstellen der Integralfunktion J() = k dk k³+ [] Zeigen Sie, dass J() = (t 0,) dt genau eine Nullstelle besitzt. [.9.] g() = + 0 [] Bilden Sie drei Ableitungen von g(). [] Untersuchen Sie g() auf Symmetrie. [] Berechnen Sie die Nullstellen von g(). [] Berechnen Sie die Etrempunkte von g(). [] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(). [] Zeichnen Sie g(). [] Berechnen Sie die Steigungen der Wendetangenten von g(). [] Berechnen Sie die Fläche zwischen f() und -Achse. [.9.] h( ) = ³+²+ [] Bilden Sie drei Ableitungen von h(). [] Untersuchen Sie h() auf Symmetrie. [] Berechnen Sie die Nullstellen von h(). [] Berechnen Sie die Etrempunkte von h(). [] Berechnen Sie die Wendepunkte von h(). [] Zeichnen Sie h(). [] Berechnen Sie die Wendenormale von h(). [] Berechnen Sie die Fläche zwischen h() und der an der -Achse gespiegelten Funktion. [.9.] ft() = ³+t² t>0 [] Bilden Sie drei Ableitungen von g(). [] Untersuchen Sie g() auf Symmetrie. [] Berechnen Sie die Nullstellen von g(). [] Berechnen Sie die Etrempunkte von g(). [] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(). [] Zeichnen Sie g(). [.9.] ht() = t ( )³ t>0 [] Bilden Sie drei Ableitungen von g(). [] Untersuchen Sie g() auf Symmetrie. [] Berechnen Sie die Nullstellen von g(). [] Berechnen Sie die Etrempunkte von g(). [] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(). [] Zeichnen Sie g().