5. Arbeit und Energie

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1 5. Arbeit und Energie 5.1 Arbeit 5.2 Konservative Kräfte 5.3 Potentielle Energie 5.4 Kinetische Energie

2 5. Arbeit und Energie Konzept der Arbeit führt zur Energieerhaltung. 5.1 Arbeit Wird Masse m mit einer Kraft F von einem Punkt P 1 zu einem Punkt P 2 gebracht, verrichtet die Kraft F eine Arbeit W. Beachte: Frage: F: (resultierende) Kraft ds: Verschiebungsvektor W: Arbeit, die von F längs ds verrichtet wird. Zur Arbeit trägt nur Komponente der Kraft bei, die längs zum Verschiebungsvektor ds ist. Einheit von W =? Ist W Skalar oder Vektor?

3 Beispiele zur Arbeit 1. Beispiel: Punktmasse wird horizontal von x 1 nach x 2 verschoben. x 1 x 2 Annahmen: Kraft zur Verschiebung ist konstant. Kraft ist parallel zur Verschiebung. Es gilt für die von Kraft F verrichtete Arbeit W: Bekannt unter: Arbeit ist Kraft mal Weg!!!

4 2. Beispiel: Punktmasse wird horizontal von x 1 nach x 2 verschoben. Annahmen: Kraft zur Verschiebung ist konstant. Kraft wirkt unter Winkel θ relativ zur Verschiebung. x 1 x 2 Es gilt für die von Kraft F verrichtete Arbeit W:

5 3. Beispiel: Eine Feder wird von der Kraft F um Δx ausgelenkt. Annahmen: Kraft ist parallel zur Auslenkung. Kraft ist proportional zur Auslenkung F = k x Es gilt für die von Kraft F verrichtete Arbeit W: Oder einfach: Frage: Welche Arbeit verrichtet Federkraft? Frage: Welche Arbeit verrichtet Zentripetalkraft?

6 4. Beispiel: Ladung q 1 = +e in Abstand x 2 von negativer Ladung q 2 = e. Welche Arbeit wird von Coulombkraft verrichtet, wenn der Abstand auf x 1 verringert wird? Es gilt: Kraft verrichtet Arbeit.? > 0

7 5.2 Konservative Kräfte Beispiel: Die Masse m werde durch die Kraft F reibungsfrei von P 1 zu P 2 verschoben. Die Masse gewinnt an Höhe h. F sei so gerichtet, dass sie gerade die abwärts gerichtete Komponente der Erdanziehung kompensiert. Es gilt: Kraft F verrichtet Arbeit. s β h Durch die Kraft F verrichtete Arbeit ist unabhängig vom Weg.!!!!!

8 Wegunabhängigkeit der Arbeit bei Verschiebung von Ladung im Feld einer Punktladung mit folgt: - Arbeit ist nur Funktion der radialen Verschiebung. - Arbeit ist wegunabhängig.

9 Eine Kraft, deren verrichtete Arbeit nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt (unabhängig vom Weg ist), nennt man Konservative Kraft Konservative Kräfte: Gravitation Nichtkonservative Kräfte: Reibungskraft Coulombkraft Federkraft

10 5.3 Potentielle Energie Es gilt: Für konservative Kräfte ist Arbeit unabhängig vom Weg. Man kann formal einzelnen Raumpunkten potentielle Energie E pot zuordnen. Man definiert: Bedeutung: Potentielle Energie = Fähigkeit Arbeit zu verrichten

11 Beispiele für potentielle Energie 1. Beispiel: Die Masse m wird im Gravitationsfeld auf Höhe h gehoben. Gravitationskraft verrichtet Arbeit W: Der Masse m wird in Höhe h potentielle Energie mgh zugeordnet. Lässt man die Masse m aus Höhe h fallen, wird Arbeit, die zum Anheben notwendig war, vollständig zurückgewonnen.

12 2. Beispiel: Spannen eines Feder-Masse-Systems um Strecke x. Für die von einer Feder verrichtete Arbeit gilt: Feder-Masse-System hat potentielle Energie, die beim Entspannen vollständig in Arbeit umgesetzt wird. Frage: Ist E pot unabhängig davon, ob Feder gestaucht oder gestreckt wurde????

13 3. Beispiel: Potentielle Energie einer Ladung in einem homogenen elektrischen Feld

14 Beachte: Potentielle Energie in Punkt nur bis auf Konstante festgelegt Aber: Nur Differenzen von E pot sind von Bedeutung Konstante ist frei wählbar! Beispiel: Im Gravitationsfeld E pot = mgh Man wählt Konstante zu null

15 5.4 Kinetische Energie Es gilt: Man kann nicht nur durch Lage Fähigkeit haben, Arbeit zu verrichten, sondern auch durch Geschwindigkeit. Es gilt: 2 1 Man definiert: Kinetische Energie E kin = ½ m. v 2

16 Es gilt: Es gilt für konservative Kräfte: Umformen ergibt: Es gilt: In konservativen Systemen bleibt die Gesamtenergie erhalten.

17 Beispiel: Energie der Satellitenbewegung Potentielle Energie Gesamtenergie Annahme: v M = 0 Für Kreisbahn gilt E ges < 0 = Gebundener Zustand