Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November

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1 Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November Erinnerungen und Ergänzugen zur Vorlesung: Der Vollständigkeit halber sei noch nachgetragen: Definition. Es sei K ein Körper. Ein Vektorraum über K (oder K-Vektorraum) ist eine abelsche Gruppe (V, +) zusammen mit einer Abbildung (genannt Skalarmultiplikation) K V V (a,v) av mit folgenden Axiomen (mit a, b K, v, w V) a(bv) = (ab)v (a+b)v = av +bv a(v +w) = av +aw 1v = v Die Elemente von V heißen Vektoren, die Elemente von K heißen Skalare. Das neutrale Element 0 = 0 V von (V,+) heißt der Nullvektor. Für die Multiplikation mit dem Skalar 0 = 0 K gilt 0 K v = 0 V (v V) was man leicht aus 0v = (0+0)v = 0v+0v erhält. Beispiele: Der Nullraum: Besteht V nur aus dem Nullvektor, so heißt V der Nullraum und man schreibt V = {0} = 0 Der Körper: Der Körper K selbst ist ein Vektorraum über K. Die Skalarmultiplikation ist einfach die Multiplikation im Körper. Die Vektorraum-Axiome folgen sofort aus den Köper-Axiomen.

2 2 Der K n : Für n 0 ist K n = K } K {{} n Faktoren ein K-Vektorraum. Zunächst einmal ist K n eine abelsche Gruppe, nämlich das n-fache Produkt der abelschen Gruppe (K, +). Die Addition ist also (b 1,...,b n )+(c 1,...,c n ) = (b 1 +c 1,...,b n +c n ) Die Skalar-Multiplikation ist die komponentenweise Multiplikation im Körper: a(b 1,...,b n ) = (ab 1,...,ab n ) Häufig werden die Elemente des K n als Spalten-Vektoren geschrieben, d. h. man identifiziert K n mit M(n,1,K). Die direkte Summe: An dieser Stelle soll eine Definition eingefügt werden, die noch nicht in der Vorlesung besprochen wurde. Definition (direkte Summe). Es seien V, W Vektorräume über K. Die direkte Summe V W von V und W ist der K-Vektorraum V W = V W mit komponentenweiser Addition und Multiplikation: (v,w)+(v,w ) = (v +v,w+w ) a(v,w) = (av,aw) Als Gruppe ist V W einfach das Produkt der Gruppen V und W. Die Definition verallgemeinert sich leicht auf endlich viele Summanden: Sind V 1,..., V r K-Vektorräume, so ist ihre direkte Summe r V i = V 1 V r = V 1 V r wieder ein K-Vektorraum komponentenweiser Addition und Multiplikation. Mit diesen Definitionen kann man K n als Vektorraum auch definieren als K n = K K }{{} n Summanden

3 3 Lineare Abbildungen: Definition. Es seien V, W Vektorräume über K. Eine lineare Abbildung von V nach W ist eine Abbildung f: V W mit f(av +bw) = af(v)+bf(w) (a,b K, v,w V) Man spricht auch genauer von einer K-linearen Abbildung. Das Axiom der Linearität läßt sich ersetzen durch die Axiome f(v +w) = f(v)+f(w) f(av) = af(v) Eine lineare Abbildungen von Vektorräumen heißt auch Vektorraum-Homomorphismus oder einfach Homomorphismus. Wie üblich, wenn man einen Homomorphismus-Begriff hat, definiert man einen Isomorphismus als einen Homomorphismus zu dem es einen inversen Homomorphismus gibt. Wir hatten in der Vorlesung gesehen, daß ein bijektiver Homomorphismus ein Isomorphismus ist. Zwei Vektorräume V, W heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus V W gibt. Man schreibt dann V W. Ein Homomorphismus V V heißt Endomorphismus von V. Man schreibt Hom(V,W) = Hom K (V,W) = {f: V W f ist K-linear} End(V) = End K (V) = Hom K (V,V) für die Menge der Homomorphismen bzw. Endomorphismen. Hom(V, W) ist wieder ein Vektorraum. Addition und Skalarmultiplikation sind gegeben durch (f +g)(v) = f(v)+g(v) (af)(v) = af(v) An dieser Stelle sei errinnert an einige grundlegende Definitionen wie Linear- Kombinationen, Untervektorräume, Basis, etc. Siehe auch Blatt 4. Die Standard-Basis von K n sind die Einheitsvektoren e 1, e 2,..., e n mit e i = (0,...,0,1,0,...,0) i Schreibt man die Elemente von K n als Spalten-Vektoren, so sind die e i gerade die Spalten der Einheits-Matrix E n. Man hat die folgenden Sätze:

4 4 Satz. Ein von endlichen vielen Vektoren erzeugter Vektoraum hat eine Basis v 1,..., v n. Ist w 1,..., w m eine weitere Basis, so ist m = n. Je zwei Basen haben also die gleiche Länge. Diese Zahl heißt die Dimension des Vektoraumes. Man schreibt dimv = dim K V für die Dimension eines K-Vektoraumes V. Ferner gilt folgender wichtiger Satz (er steht auch auf Blatt 5): Satz. Es seien V, W K-Vektorräume, es sei v 1,..., v n eine Basis von V und es seien w 1,..., w n W beliebige Vektoren. Dann gibt es genau eine K-lineare Abbildung f: V W mit f(v i ) = w i (i = 1,...,n) Dieser Satz ist deshalb wichtig, weil damit leicht Homomorphismen (und gegebenfalls Isomorphismen!) konstruiert werden können. Zum Beispiel: Satz. Ein n-dimensionaler K-Vektorraumes V ist isomorph zu K n. Zum Beweis wähle man eine Basis v 1,..., v n von V und definiere den Homorphismus f: K n V n f(a 1,...,a n ) = a i v i f ist tatsächlich ein Isomorphismus. (Dies war Übungsaufgabe 3(a) auf Blatt 5. Eine detailierte Musterlösung wird nachgereicht). Wennzwei VektorräumeV undw isomorphsind,sobedeutetdies, daßes keinen Unterschied zwischen V und W gibt. Alle Rechnungen und Gleichungen in V können mittels eines Isomorphismus f: V W nach W übertragen und mit der inversen Abbildung wieder zurück übertragen werden. Nachdem wir nun gesehen haben, daß alle endlich-dimensionalen Vektorräume isomorph sind zum einem K n, könnte man versucht sein, sich immer nur auf den Standard-Fall K n zu beschränken. Dies ist sowohl theoretisch als auch praktisch unbefriedigend. Betrachten wir z. B. den Untervektorraum des K n+1 bestehend aus denvektoren mit verschwindender Quersumme: n U = {(a 0,...,a n ) K n+1 a i = 0} i=0

5 Dies ist ein n-dimensionaler Vektorraum. Er ist also isomorph zu K n. Bei der Wahl einer Isomorphie f: K n U muß man aber eine Basis von U wählen (nämlich die Bilder f(e i ) der Einheitsvektoren e i ). Eine Basis kann man sich natürlich leicht verschaffen: Z. B. bilden die n Vektoren (1, 1,0,...,0), (1,0, 1,0,...,0),... (1,0,...,0, 1) eine Basis, eine andere Basis wäre etwa (1, 1,0,...,0), (0,1, 1,0,...,0),... (0,...,0,1, 1) Weitere Basen kann man durch Permutation der Komponenten des K n+1 erhalten. Allerdings gibt es keine natürliche Wahl einer Basis. Vor allem bei theoretischen Überlegungen ist es meist am besten, überhaupt keine spezielle Basis zu wählen, sie ist oft nur hinderlich. Natürlich darf man jederzeit eine Basis wählen, wenn einem dabei auch nur für einen Moment wohler wird. Vor allem zu Beginn des Studiums wird man gerne Basen wählen, weil man damit lineare Abbildungen in konkreter Form als Matrizen schreiben kann. Dies soll nun wiederholt werden. Wir betrachten zunächst lineare Abbildungen von K n nach K m. Die Vektoren werden als Spalten-Vektoren geschrieben, wir machen also die Identifikationen Wir wollen die natürliche Identifikation K n = M(n,1,K), K m = M(m,1,K) M(m,n,K) = Hom K (K n,k m ) beschreiben. Die Multiplikation mit einer Matrix A M(m, n, K) definiert eine lineare Abbildung f A : K n K m f A (v) = Av Es ist leicht zu sehen, daß f A linear ist (dies folgt einfach aus den Regeln für das Rechnen mit Matrizen), also Ist und so sind f A (v) i = f A Hom K (K n,k m ) A = (a i,j ),...,m j=1,...,n v = (b j ) j=1,...,n n a i,j b j j=1 (i = 1,...,n) 5

6 6 die Komponenten von f A (v). Es seien nun e 1,..., e n die Einheitsvektoren im K n und e 1,..., e m die Einheitsvektoren im K m. Dann gilt m m f A (v) = f A (v) i e i = n a i,j b j e i Speziell für v = e r ist b j = δ rj (Kronecker-Symbol) und es ergibt sich m ( ) f A (e r ) = a i,r e i j=1 Dies ist gerade die r-te Spalte der Matrix. Ferner ist die i-te Komponente dieser Spalte. a i,r = f A (e r ) i Es sei nun f: K n K m eine lineare Abbildung. Wir definieren die Matrix A f = (a ij ),...,m j=1,...,n M(m,n,K) wobei wir für a ij die i-te Komponente des Vektors f(e j ) nehmen. Es ist also a ij der i-te Koeffizient wenn man f(e j ) in der Basis e 1,..., e m ausdrückt: m ( ) f(e j ) = a ij e i Wir haben nun einer Matrix A M(m,n,K) eine lineare Abbildung f A Hom K (K n,k m ) zugeordnet und einer linearen Abbildung f Hom K (K n,k m ) eine Matrix A f M(m,n,K) zugeordnet. Ein Vergleich von ( ) und ( ) zeigt, daß diese Zuordnungen zu einander invers sind: ( ) A fa = A, f Af = f

7 7 Matrixdarstellung von linearen Abbildungen bezgl. Basen Es seien V und W Vektorräume und f: V W eine lineare Abbildung. Ferner seien Basen v 1,..., v n von V bzw. w 1,..., w m von W gegeben. Jeder der Vektoren f(v j ) läßt sich als Linearkombination der w i schreiben: m f(v j ) = a ij w i mit eindeutig bestimmten a ij K. Die Matrix A = (a i,j ),...,m M(m,n) j=1,...,n heißt die Matrix-Darstellung von f bezüglich der gegebenen Basen. Man kann dies auch so sehen: Sind ϕ: K n V, ϕ(e j ) = v j ψ: K m W, ψ(e i ) = w i die zu den Basen gehörigen Isomorphismen, so ist die Matrix zur Komposition von A = A ψ 1 f ϕ ψ 1 f ϕ: K n K m K n ϕ V f W ψ 1 K m Ist ein Endomorphismus f: V V gegeben, so benutzt man die gleiche Basis für die Matrix-Darstellung. Ist also v 1,..., v n eine Basis von V, so ist die zugehörige Matrix bestimmt durch A = (a i,j ),...,n j=1,...,n f(v j ) = M n (K) n a ij v i

8 8 Aufgabe 1. Es seien K n f K m g K l lineare Abbildungen. (a) Man zeige, daß die Matrix zur Komposition g f gerade das Matrizen- Produkt der Matrizen zu f bzw. g ist: A g f = A g A f (b) Man zeige die Umkehrung: Für A M(m,n) und B M(l,m) gilt f BA = f B f A Hinweis. Es reicht zu zeigen, daß die Abbildungen auf einer Basis übereinstimmen. Hinweis. (a) und (b) sind äquivalent (benutze ( )). Aufgabe 2. Es sei die K-lineare Abbildung mit σ(e i ) = { σ: K n K n e i+1 e 1 für 1 i n 1 für i = n (Man nennt σ auch die zyklische Vertauschung der Basisvektoren.) Ferner sei n U = {(a 1,...,a n ) K n a i = 0} (1) Es sei n = 5. Man gebe die Matrix von σ an. (2) Man zeige σ(u) = U. (3) Es sei n = 5. Man wähle eine Basis von U und gebe bezüglich dieser Basis die Matrix von σ U an. Hinweis. σ U bezeichnet die Einschränkung von σ auf U, also (wegen (2) ist σ(u) U). σ U: U U u σ(u)

9 Aufgabe 3. (a) Wir betrachten den Körper der komplexen Zahlen C = R+iR als R-Vektorraum. 1) Die komplexe Konjugation (siehe Blatt 3) γ: C C γ(z) = z ist ein R-linearer Endomorphismus (sie nicht C-linear!). Man gebe die Matrix von γ bezüglich der Basis 1, i an. 2) Es seien b, c R und a = b+ic. Die Multiplikation mit a f: C C f(z) = az ist ebenfalls ein R-linearer Endomorphismus (sie ist auch C-linear). Man gebe die Matrix von f bezüglich der Basis 1, i an. (b) Wir betrachten den Körper Q( 2) = {x+ 2y R x,y Q} als Q-Vektorraum. Es seien b, c Q und a = b+ 2c. Die Multiplikation mit a f: Q( 2) Q( 2) f(z) = az ist ein Q-linearer Endomorphismus. Man gebe die Matrix von f bezüglich der Basis 1, 2 an. 9

10 10 Aufgabe 4. Es sei V n der K-Vektorraum der Polynome vom Grad n: { n } V n = a i x i a i K K[x] i=0 Eine Basis von V n ist x 0 = 1, x, x 2,..., x n. Wir betrachten den Endomorphismus (a) Man bestimme F(x k ) (k 0). F: V n V n F ( P(x) ) = ( (x+1)p(x) ) (b) Für n = 4 gebe man die Matrix von F bezüglich der Basis 1, x, x 2, x 3, x 4 an. Anmerkung. P(x) bezeichnet die Ableitung von P(x). Sie ist definiert mit der üblichen Formel, siehe die Anmerkung auf Präsenzblatt 4. Ist P(x) von Grad n, so ist (x+1)p(x) vom Grad n+1, die Ableitung davon ist aber wieder vom Grad n.