Aussagenlogik, Mengenlehre, Wahrscheinlichkeit und Prüfstatistik sind eng miteinander verknüpft.

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1 Aussagenlogik, Mengenlehre, Wahrscheinlichkeit und Prüfstatistik sind eng miteinander verknüpft. Schon immer wurde die Menschheit von Krankheiten bedroht und oft konnte eine Frühdiagnose mit nachfolgender medizinischer Behandlung Leben retten. Die Lungentuberkulose wurde früher durch Reihen-(Röntgen)-Untersuchungen bekämpft, heute soll durch Vorsorgeuntersuchungen die Sterblichkeitsrate bei Karzinomen gesenkt werden. Es geht also um eine Krankheit, die bei manchen Menschen vorhanden ist und um eine Methode, diese Krankheit zu entdecken. Da jede Diagnose falsch sein kann und eine Falschdiagnose schlimme Folgen nach sich ziehen kann, wollen wir die mathematischen Zusammenhänge näher untersuchen. Zu den medizinischen Behandlungsmethoden können wir uns natürlich nicht äußern. Wir verallgemeinern das Problem und gehen vom folgenden Mengendiagramm (Abb. 1) aus: A T T not A Abb. 1 In einer Population (großer Mengenkreis) ist die bestimmte Eigenschaft A (z. B. eine Krankheit) entweder vorhanden, oder sie ist nicht vorhanden, in Abb. 1 mit not A bezeichnet. Man bildet eine Zufallsstichprobe (Teilmenge) und testet auf A. Der Test kann entweder positiv ausgehen, in Abb.1 mit T+ bezeichnet, oder aber negativ, im Mengendiagramm mit T beschriftet. Leider ist es so, dass ein Test auch falsche Befunde liefern kann, gerade in den Humanwissenschaften gibt es keine 100 %-richtigen-ergebnisse! Analy- 1

2 siert man die mit 1 bis 4 gekennzeichneten Teilmengen, so ergeben sich folgende Möglichkeiten: 1. M 1 = A T Das Merkmal A ist zwar vorhanden, aber der Test versagt, er diagnostiziert T, scheinbar ist A nicht vorhanden. Man sagt dem Kranken: Du bist gesund! 2. M 2 = A T+ Das Merkmal A ist vorhanden und wird vom Test richtig erkannt. Man sagt dem Kranken: Du bist leider krank! 3. M 3 = A T+ Das Merkmal A ist nicht vorhanden, der Test liefert jedoch die Falschdiagnose T+. Man sagt dem Gesunden: Du bist leider krank! (Mögliche Folge in Ihrer Berufsgruppe: Sie dürfen nicht mit Kindern und Jugendlichen arbeiten! ) 4. M 4 = A T Das Merkmal A ist nicht vorhanden, und der Test zeigt diesen Sachverhalt auch richtig an, er liefert T. Man sagt dem Gesunden: Du bist gesund! Jetzt erweitern wir dieses Modell auf die Wahrscheinlichkeitslehre. Wir gehen davon aus, dass der Test ein positives Ergebnis anzeigt (positiver Befund) und wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass die Eigenschaft A dann auch wirklich vorhanden ist. In den Fachbüchern spricht man von der bedingten Wahrscheinlichkeit nach Bayes P(A T+), lies: die Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass T+ vorliegt. Laut Definition der Wahrscheinlichkeit gilt: P = dabei bedeutet g = Anzahl der günstigen Fälle, n = Anzahl aller Möglichkeiten. Günstig im obigen Modell ist: A vorhanden und positiv getestet, alle Fälle bedeutet hier: positiv getestet, also T+ und A oder T+ und A. Daraus ergibt sich die Bayes-Formel PAT+ ( ) M 2 = = M 2 + M 3 Wenn man diesen Vorgang als zweistufiges Zufallsexperiment interpretiert, kann man zur Veranschaulichung ein Baumdiagramm heranziehen (s. Abb. 2). g -- n PA ( T+ ) PA ( T+ ) + P( A T+ ) PA ( ) PT+ ( A) = PA ( ) PT+ ( A) + P( A) PT+ ( A) 2

3 P( A) kein Krebs A P(T A) P(T + A) T T + P(A) Krebs A P(T A) P(T + A) T T + Abb. 2: P(T+ A): Wahrscheinlichkeit für T+ unter der Bedingung, dass A zutrifft P(T+ A): Wahrscheinlichkeit für T+ unter der Bedingung, dass A zutrifft Im folgenden Beispiel zeigen wir, dass ein positives Testergebnis sehr aufmerksam analysiert werden muss, damit man nicht leichtfertig zu falschen und schwerwiegenden Entschlüssen kommt. In der Literatur spricht man auch von der Analyse seltener Ereignisse. Wir rechnen mit echten Zahlen! Bei Frauen ist die Angst vor Brustkrebs verbreitet und wegen der schwerwiegenden Folgen berechtigt. Deshalb wurde die Vorsorgeuntersuchung eingeführt, eine Untersuchungsmethode ist die Mammographie. In der Altersgruppe Jahre sind 0,046 % der symptomfreien Frauen an Brustkrebs erkrankt. Durch die Untersuchung können 94 % der Erkrankten erkannt werden. Leider erbringt die Mammographie bei 5 % der gesunden Frauen eine verdächtige Diagnose. Was bedeutet es nun, wenn eine junge Frau ohne Symptome nach einer Vorsorgeuntersuchung erfährt, die Mammographie zeige einen verdächtigen Befund? Muss sie wirklich in Panik verfallen? Übungen Wir rechnen, zuerst nach der (unanschaulichen) Bayes-Formel: P(A) = 0,00046; P( A) = 1 0,00046 = 0,99954; P(T+ A) = 0,94; P(T+ A) = 0,05. P(A T+) = , ,94 = 0, , ,94 + 0, ,05 In Worten: Wenn eine junge symptomfreie Frau bei einer Vorsorgeuntersuchung von einem verdächtigen Ergebnis erfährt, besteht eine Wahrscheinlichkeit von nur 0,857 %, dass wirklich ein Mammakarzinom vorliegt! 3

4 Einsichtiger wird dieses Ergebnis dann, wenn man nicht nur mit Prozentwerten, sondern auch mit absoluten Zahlen rechnet. Für das eben gerechnete Beispiel gilt: Bei symptomfreien Frauen der Altersgruppe von Jahren haben 46 von Brustkrebs, die übrigen sind also gesund. Eine gute Trefferquote bei der Mammographie bedeutet: Von 100 Frauen mit noch unerkanntem Brustkrebs haben 94 tatsächlich auch einen positiven Befund, 6 jedoch einen negativen Befund. Die Trefferquote bei gesunden Frauen liegt bei 95 / 100, d. h.: Von 100 Frauen ohne Brustkrebs haben 95 einen normalen Befund, jedoch 5 haben (fälschlicherweise) einen verdächtigen Befund. Das bedeutet in Absolutzahlen: Von Frauen dieser Altersgruppe haben 46 Brustkrebs, haben keinen Brustkrebs. Von den 46 Erkrankten entdeckt die Mammographie 94 %, das sind 43 Frauen. Von den Gesunden werden aber 5 % fälschlicherweise als verdächtig eingestuft, das sind 0, = gesunde Frauen, die man in Angst und Schrecken versetzt, wenn nicht weitere Untersuchungen folgen würden! P(A T+) = = 0, Wer wirklich krank ist, wird mit hoher Wahrscheinlichkeit entdeckt. Ein positiver Test bedeutet aber in den wenigsten Fällen eine Brustkrebserkrankung! Ein verdächtiger Befund bei der Mammographie ist der Anlass für weitere Untersuchungen, darf aber niemals der einzige Grund für eine (verstümmelnde) Operation sein. Dies ist keine medizinische Aussage, sondern ein Ergebnis der richtig angewandten Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik mit den Zahlen, die die Mediziner zur Verfügung stellen. Noch anschaulicher wird die Rechung, wenn Sie den Untersuchungsgegenstand als zweistufiges Experiment auffassen und einen Entscheidungsbaum benutzen (s. Abb. 3) kein Krebs 95 % 85 % T T Population % T 3 Krebs 94 % T+ 43 Abb. 3 4

5 Mithilfe dieses Vorgehens können Sie auch die Bedeutung von Signifikanztests besser einschätzen, wie wir als nächstes zeigen. Signifikanz und bedingte Wahrscheinlichkeit Im Kapitel 7 haben Sie die Philosophie von Signifikanztests kennen gelernt und zahlreiche t-tests durchgeführt. Beim klassischen Signifikanztest formuliert man zwei gegenteilige Hypothesen H 0 und H t mit dem Ziel, H 0 zu verwerfen. Dazu führt man an einer Stichprobe eine Datenerhebung durch. Die gefundenen Daten vergleicht man mit der Nullhypothese. Wenn es sehr unwahrscheinlich ist, solche Daten unter H 0 zu erhalten, dann wird sie wohl falsch sein. Folglich muss das Gegenteil, also die Alternativhypothese H 1 richtig sein. Man spricht dann von einem signifikanten Ergebnis für H 1 bzw. gegen H 0. Das hört sich zunächst recht schlüssig an. Wir werden im Folgenden aber sehen, dass man mit dieser Einschätzung bei bestimmten Situationen gewaltig daneben liegen kann. Betrachtet man die Angelegenheit Signifikanz aus dem Blickwinkel der Wahrscheinlichkeitsrechnung, dann lassen sich Signifikanz und Signifikanztest durch ein Baumdiagramm visualisieren (vgl. Abb. 4). Einen Signifikanztest fasst man dabei als zweistufiges Zufallsexperiment auf: 1. Stufe: H 0 trifft zu bzw. H 1 trifft zu 2. Stufe: D Stichprobendaten liegen im Ablehnungsbereich von H0 bzw. D Stichprobendaten liegen nicht im Ablehnungsbereich von H0 1 α D H 0 β P(H 0 ) D P(H 1 ) β D H 1 1 β D Abb. 4: H 0 : Nullhypothese trifft zu. H 1 : Alternativhypothese trifft zu. 5

6 Beim klassischen Signifikanztest gibt man das Signifikanzniveau a vor. Erhalten wir Stichprobendaten, die unter H 0 nur eine Wahrscheinlichkeit von α oder weniger haben, verwerfen wir die Nullhypothese. Dabei gehen wir ein Risiko von α ein, einen Fehler 1. Art zu machen, also etwas Richtiges irrtümlich für falsch zu halten (rot markierter Zweig im Baumdiagramm). Erhalten wir jedoch Stichprobendaten, die nicht im Ablehnungsbereich von H 0 liegen, würde man die Nullhypothese nicht verwerfen können. Falls sie in Wirklichkeit aber doch falsch ist, würden wir einen Fehler 2. Art begehen, also etwas Falsches irrtümlich für richtig halten. Das Risiko dafür beträgt β (grün markierter Zweig im Baumdiagramm). Nehmen wir an, wir hätten auf dem α = 5 %-Niveau ein signifikantes Ergebnis erhalten. Die Blickrichtung beim klassischen Signifikanztest ist: Falls H 0 richtig ist, dann kann ein solches Ergebnis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von maximal 5 % auftreten. Häufig wird das aber als Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen der Alternativhypothese fehlinterpretiert. Z. B. in der Form: H 1 trifft mit 95 %-iger Wahrscheinlichkeit zu. Das Signifikanzniveau (die Signifikanz) ist lediglich die bedingte Wahrscheinlichkeit für die Stichprobendaten, unter der Voraussetzung, dass H 0 gilt, also P(D H 0 ) (vgl. auch Abb. 2) bzw. die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen. Die Signifikanz eines Testergebnisses wird deshalb häufig überbewertet. Die eigentlich interessierende Frage ist: Wie wahrscheinlich ist es, dass die Hypothese H 1 zutrifft, wenn ich Stichprobendaten im Ablehnungsbereich von H 0 erhalten habe? (Durch die beschriebene Fehlinterpretation wird versucht, genau diese Frage zu beantworten.) Mit dem Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Bayes'schen Formel gelingt es, diese Frage korrekt zu beantworten. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen von H 1 unter der Voraussetzung, dass wir Daten im Ablehnungsbereich gefunden haben, also P(H 1 D). Mithilfe des Baumdiagramms (vgl. Abb. 5) lässt sich diese Wahrscheinlichkeit finden: 1 α D H 0 α P(H 0 ) D P(H 0 ) α P(H 1 ) β D H 1 1 β D P(H 1 ) 1 β Abb. 5 6

7 Es gibt zwei Wege, die zum Ergebnis D führen. Nur der Weg H 1 D ist der günstige Weg. (Auf dem anderen Weg würden wir einen Fehler 1. Art begehen. H 0 trifft zu, wird aber verworfen.) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(H 1 D) ergibt sich wieder mit der Formel P = Angewendet auf unseren Fall (vgl. Abb. 5) ergibt sich: g -- n PH ( 1 ) ( 1 β) PH ( 1 ) ( 1 β) + PH ( 0 ) α Mit dieser Formel kann man die Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen von H 1 angesichts der experimentell gefundenen Daten bestimmen. Ähnlich wie beim t-test entscheidet man sich dann, die Alternativhypothese anzunehmen oder die Nullhypothese beizubehalten. Die folgende Tabelle zeigt nochmals die verschiedenen Sichtweisen der beiden Verfahren. Klassischer Signifikanztest Ausgehend davon, dass H 0 zutrifft, wird die Wahrscheinlichkeit bestimmt, die erhobenen Stichprobendaten erhalten zu können. P(D H 0 ) Signifikanztest mit bedingten Wahrscheinlichkeiten Ausgehend von den erhobenen Stichprobendaten wird die Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen der H1 bestimmt. P(H 1 D) Tab. 1 Das folgende Beispiel zeigt das Vorgehen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten: Beispiel 1 Brustkrebs und Mammographie: Altersgruppe von Anzahl der Frauen, bei denen in der jeweiligen Altersgruppe Brustkrebs diagnostiziert wird. Pro Frauen Jahre Jahre Jahre Jahre Jahre Jahre Jahre und älter 2605 Tab. 2: Quelle: 7

8 Im vorangegangenen Kapitel haben Sie folgende Daten über die Mammographie erfahren: 94 % der Erkrankten können erkannt werden. 5 % der gesunden Frauen erhalten leider fälschlicherweise einen positiven Befund. Eine Mammographie lässt sich als Signifikanztest betrachten. Da eine Krankheit vermutet wird, lauten die Hypothesen: H 0 : Patientin ist gesund, H 1 : Patientin ist erkrankt. Das Baumdiagramm zur Mammographie bei 80-jährigen Patientinnen zeigt Abb. 6. (P(H 1 ) = = 0,026; P(H 0 ) = 1 P(H 1 ) = 0, vgl. Tabelle 2). 0,974 gesund H 0 0,95 0,05 T T+ 0,974 0,05 = 0,0487 0,026 krank H 1 0,06 0,94 T T+ 0,026 0,94 = 0,02444 Abb. 6 Klassischer Signifikanztest: Vergleichen Sie diese Abbildung bitte mit Abb. 6. Beim klassischen Signifikanztest wird nur das Fehlerrisiko α betrachtet. Es beträgt hier α = 0,05 = 5 %. Erhält man ein positives Testergebnis, dann ist es auf dem α = 5 %-Niveau signifikant. Die Nullhypothese wird folglich verworfen, d. h. es wird angenommen, dass die Patientin krank ist. Signifikanztest mit bedingten Wahrscheinlichkeiten Bei dieser Vorgehensweise benötigt man alle Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm. Gehen wir auch hier davon aus, es läge ein positiver Befund (T+) vor. Geklärt wird jetzt, wie hoch dann die Wahrscheinlichkeit für H 1 ist, die Patientin also tatsächlich Brustkrebs hat. Zu bestimmen ist P(H 1 T+). Im Baumdiagramm gibt es zwei mögliche Wege mit dem Ergebnis T+. Der günstige Weg ist der über H 1 T+. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet sich wieder aus: also (vgl. Abb. 6): PH ( 1 T+ ) P = günstige Fälle mögliche Fälle 0,02444 = ,334 = 33,4 % 0, ,0487 8

9 Mit dem klassischen Signifikanztest wird H 0 signifikant verworfen. Das Verfahren mit bedingten Wahrscheinlichkeiten begründet immerhin einen erheblichen Zweifel am Zutreffen von H 0. Der behandelnde Arzt wird weitere Untersuchungen veranlassen. In diesem Zusammenhang sei nochmals auf die eingangs erwähnte Fehlinterpretation von Signifikanz hingewiesen. Bei dieser Untersuchung war das Ergebnis signifikant auf dem 5 %-Niveau. Die Wahrscheinlichkeit, dass dann H 1 zutrifft beträgt aber nicht 95 % sondern nur 33,4 %. Am Anfang dieses Kapitels haben Sie gelesen, dass man mit dem eigentlich schlüssig klingenden Verfahren des klassischen Signifikanztests, die Nullhypothese abzulehnen, wenn das Auftreten der gefundenen Daten genügend unwahrscheinlich also signifikant ist, manchmal erheblich daneben liegen kann. Betrachten wir dazu noch einmal das Beispiel aus dem vorangegangenen Kapitel: Beispiel 2 Wenn bei einer 29-jährigen Frau ein positiver Befund vorliegt, dann ist dieses Ergebnis ebenfalls auf dem 5 %-Niveau signifikant. Das Fehlerrisiko der Mammographie ist unabhängig vom Alter der Patientinnen. Der rechte Teil des Baumdiagramms bleibt also gleich. Nur die beiden Wahrscheinlichkeiten P(H 1 ) und P(H 0 ) ändern sich (vgl. Tabelle 2): P(H 1 ) = = 0,00046 P(H 0 ) = 1 P(H 1 ) = 1 0,00046 = 0, Mithilfe des Baumdiagramms oder der Bayes schen Formel lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit P(H 1 T+) dafür ausrechnen, dass eine 29-jährige Patientin mit einem positiven Befund tatsächlich Brustkrebs hat: 0, ,94 P(H 1 T+) = ,00857 = 0,857 % 0, ,94 + 0, ,05 Der klassische Signifikanztest liefert jedoch ein auf dem 5 %-Niveau signifikantes Ergebnis. (H 0 würde verworfen, es würde angenommen, die Patientin sei krank). Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass H 1 bei einem positiven Befund zutrifft beträgt aber nur 0,86 %. In diesem Fall liegt man mit dem signifikanten Ergebnis des klassischen Tests weit neben der Realität. Signifikanz wird leider häufig überbewertet. Um solche Fehlinterpretationen zu vermeiden, wird bei klassischen Signifikanztests zusätzlich zur Signifikanz des Ergebnisses auch noch die Testgüte (Stärke, Power) bestimmt. Sie ist abhängig von der Größe des Effekts (z. B. Mittelwertunterschied zwischen den Populationen) und vom Stichprobenumfang. Die Berechnung der Testgüte und des Mindeststichprobenumfangs soll jedoch nicht mehr Gegenstand dieses Mathematikkurses sein. Sie werden das an der FH lernen. 9

10 Aufgabe 1 Das letzte Beispiel hat gezeigt, dass beim klassischen Signifikanztest die Gefahr besteht, dass man ein signifikantes Ergebnis überbewertet. Das Vorgehen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und der Bayes'schen Formel hat dagegen den Vorteil, die Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen einer Hypothese direkt bestimmen zu können. Warum wird der klassische Signifikanztest dann immer noch benutzt? Übungen 1. Berechnen Sie bitte wie in Beispiel 1 und 2 die Wahrscheinlichkeiten P(H 1 T+) für die restlichen Altersgruppen aus Tabelle Michael OAKES hat 1986 eine Untersuchung an 70 Studenten und Dozenten der Psychologie durchgeführt, um zu klären ob sie verstanden haben, was Signifikanz bedeutet. Er entwickelte dazu folgenden Fragebogen: Nehmen Sie an, Sie hätten bei einem t-test die Nullhypothese auf dem 1 % Signifikanzniveau verworfen. Geben Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen an: a) Es ist eindeutig bewiesen, dass die Nullhypothese falsch ist. b) Sie haben die Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen der Nullhypothese gefunden. c) Es ist eindeutig bewiesen, dass die Alternativhypothese wahr ist. d) Man kann nun die Wahrscheinlichkeit angeben, dass die Alternativhypothese zutrifft. Sie haben natürlich bemerkt, dass alle Aussagen falsch sind. Begründen Sie das bitte für jede Aussage. 10