Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen

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1 Prof. Dr. F. Otto Fachbereich Elektrotechnik/Informatik Universität Kassel Klausur zur Vorlesung Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen WS 2010/2011 Name: Vorname: Matrikelnummer: Hinweise: Tragen Sie zunächst Namen und Matrikelnummer oben ein. Die Klausur besteht aus 4 Aufgaben und einer Zusatzaufgabe, bei denen insgesamt 55 Punkte erreichbar sind. Die Bearbeitungszeit beträgt zwei Stunden. Lesen Sie sich die jeweilige Aufgabenstellung genau durch, ehe Sie mit der Bearbeitung anfangen. Schreiben Sie deutlich und gut leserlich, da unleserliche Antworten leider nicht gewertet werden können! Achten Sie ferner auf die korrekte formale Schreibweise und vergessen Sie nicht den entsprechenden Antwortsatz! Bearbeiten Sie die Aufgaben auf dem jeweiligen Blatt. Sollte der Platz nicht ausreichen, so können Sie auf dem freien Blatt gegenüber und auf den freien Blättern am Ende fortfahren. Im letzteren Fall bitte unbedingt einen entsprechenden Hinweis auf der Aufgabenseite angeben. Lose Blätter sind nicht erlaubt! Insbesondere werden sie bei der Korrektur nicht berücksichtigt. Ferner sind keine Hilfsmittel außer einem handschriftlich beschriebenen Blatt zugelassen. Die Ergebnisse finden Sie im Online-Prüfungsverwaltungssystem der Informatik. Der Ort und die Zeit für die Einsichtnahme in die Klausur werden durch Aushang und auf der WWW-Seite für die Klausur angekündigt. VIEL ERFOLG! Punktzahl (von 55): Note:

2 AUFGABE 1. [10 Punkte] a) Geben Sie einen NEA für die Sprache an. L 1 = {a, b} {b} {a, b} 3 {b} {a, b} b) Ist die Sprache L 2 = {a, b} L 1 regulär? Begründen Sie Ihre Antwort! c) Geben Sie eine reguläre Grammatik an für die Sprache L 3 = { w {0, 1} die Anzahl der 1 in w ist ungerade }. Hinweis: In a) ist nicht verlangt zu beweisen, dass Ihr NEA tatsächlich genau die Sprache L 1 akzeptiert. Ebenso ist in c) nicht verlangt zu beweisen, dass Ihre Grammatik tatsächlich genau die Sprache L 3 erzeugt. 1

3 AUFGABE 2. [15 Punkte] Gegeben ist die Grammatik G := ({A, B, C, R, S, T, U, V, X, Y, Z}, {a, b, c}, P, S) mit den Regeln P := { S T U, T BA BX BY, X T A, Y CA RA, U AB AV AZ, Z UB, V RB, R CR c, A a, B b, C c }. a) Woran ist zu erkennen, dass G in Chomsky-Normalform vorliegt? b) Prüfen Sie mithilfe des CYK-Algorithmus, ob die Wörter w 1 = bcaaacb und w 2 = bcaaabb in der von der Grammatik G generierten Sprache L(G) enthalten sind. c) Geben Sie eine Ableitung für das Wort w 3 = bcaab an. Ist die Grammatik G eindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Bestimmen Sie für alle Nichtterminale D {A, B, C, R, S, T, U, V, X, Y, Z} die Sprache L G (D) = { w {a, b, c} D G w }. Hinweis: Gehen Sie in einer geeigneten Reihenfolge vor, um den Aufwand zur Bestimmung dieser Sprachen zu minimieren. 2

4 AUFGABE 3. [10 Punkte] Gegeben sind die beiden Sprachen L 1 := {w {a, b, c} w a = w b } und L 2 := {w {a, b, c} w b = w c }. a) Zeigen Sie, dass L 1 kontextfrei ist, indem Sie eine Grammatik oder einen Kellerautomaten angeben, die genau L 1 generiert bzw. der genau L 1 akzeptiert. b) Geben Sie die Schnittmenge L 3 von L 1 und L 2 an (also L 3 := L 1 L 2 ). c) Zeigen Sie, dass L 3 nicht kontextfrei ist. d) Ist die Menge der kontextfreien Sprachen unter Durchschnitt abgeschlossen? Begründen Sie Ihre Antwort. Hinweis: In a) braucht nicht bewiesen zu werden, dass Ihre Grammatik (bzw. Ihr Kellerautomat) genau die Sprache L 1 erzeugt (bzw. akzeptiert). 3

5 AUFGABE 4. [10 Punkte] a) Zeigen Sie, dass die Funktion f : N N mit { 1, falls n durch 4 teilbar ist, f(n) = 0, sonst, Turing-berechenbar ist. b) Geben Sie alle Funktionen an, die sich allein mit Komposition und Nachfolgerfunktion (s(n) = n + 1, n N) darstellen lassen. Definition der Komposition: Für eine k-stellige Funktion g : N k N und k m- stellige Funktionen h 1,..., h k : N m N ist die m-stellige Funktion f(x 1,..., x m ) = g(h 1 (x 1,..., x m ),..., h k (x 1,..., x m )) die Komposition von g und h. Hinweis: Beachten Sie die Definition der Turing-Berechenbarkeit für Funktionen über den natürlichen Zahlen! 4

6 ZUSATZAUFGABE [10 Punkte] Zeigen Sie folgende Aussagen für eine beliebige unendliche Menge A N: a) Lässt sich A durch eine streng monoton wachsende, totale und berechenbare Funktion f : N N aufzählen, dann ist A entscheidbar. b) Wenn A entscheidbar ist, dann existiert eine streng monoton wachsende, totale und berechenbare Funktion f : N N, die A aufzählt. Hinweis: Eine Funktion f : N N zählt die Menge A N auf, wenn f(n) = A gilt. 5