Raumgeometrie. 1. Die folgende Skizze stellt das Schrägbild eines Würfels mit einer Kantenlänge von 6cm dar.

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1 Raumgeometrie 1. Die folgende Skizze stellt das Schrägbild eines Würfels mit einer Kantenlänge von 6cm dar. H G E F K D C A B (a) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABK. Runde das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma. (b) Vergleiche den Flächeninhalt des Dreiecks ABK mit dem des Dreiecks BGK. Begründe deine Antwort. Lösung: (a) A = 12,73cm 2 (b) Das rechtwinklige Dreieck ABC mit γ = 90, AC = 8cm, CB = 6cm ist Grundfläche eines geraden Prismas mit der Höhe 5cm. Verkürzt man die Seite [BC] um xcm und verlängert man die Höhe des Prismas um 2xcm, so ergeben sich neue Prismen mit der Grundfläche AB n C. (Siehe Schrägbild) Fn E n 2x cm F E Dn D 5cm 8cm C Bn x cm B A (a) Berechne das Volumen der Prismen AB n CD n E n F n in Abhängigkeit von x. [Ergebnis: V(x) = ( 8x 2 +28x+120)cm 3 ] (b) Berechne das maximal mögliche Volumen und gib den zugehörigen x Wert an. (c) Berechne die x Werte, bei denen Prismen das Volumen V = 130cm 3 besitzen. Lösung: (a) V(x) = ( 8x 2 +28x+120)cm 3 1

2 (b) V max = 144,5cm 3 für x = 1,75 (c) x 1 = 3,10 x 2 = 0,40 3. Gegeben ist eine würfelförmige Wanne mit der Seitenlänge 10 cm die bis zum Rand mit Wasser gefüllt ist. Kippt man sie längs einer Kante, sodass die gegenüberliegende Grundkante auf 6cm angehoben wird, so läuft Wasser aus. Wie viel ml laufen aus? Die Dicke der Wanne ist zu vernachlässigen. 10 cm 6 cm Lösung: V = 375ml 4. In der Figur 1 und in der Figur 2 sind die Punkte 1 und 2 die ittelpunkte der zugehörigen Kreisbögen. Jede der beiden grau getönten Flächen rotiert um die betreffende Achse s 1 bzw. s 2. 2

3 s 1 s 2 5 cm 5 cm 2 cm 1 2,5 cm 2 2 cm 2,5 cm Figur 1 Figur 2 (a) Berechne den Unterschied der Rauminhalte der beiden Rotationskörper. (b) aria behauptet: Die Oberflächen der beiden Rotationskörper sind gleich groß. Hat aria Recht? Begründe deine Antwort. Lösung: (a) Am besten zeichnest du dir erst einmal die Axialschnitte der beiden Rotationskörper hin: Zur Figur 1 Zur Figur 2 (b) Der zur Figur 1 gehörende Rotationskörper R 1 besteht aus einem Kegel, an dessen Grundfläche eine Halbkugel hängt. Aus dem Kegel des Rotationskörpers R 2 ist eine Halbkugel mit dem gleichen Radius herausgebohrt worden. Beide Kegel von R 1 und R 2 sind kongruent. Also unterscheiden sich die entsprechenden Rauminhalte V 1 und V 2 der beiden Rotationskörper lediglich um das Volumen einer Kugel mit Radius 2 cm: V 1 V 2 = V = πcm 3 = 32 3 πcm3 33,51cm 3. (c) Die Oberflächen O 1 und O 2 der Rotationskörper R 1 und R 2 bestehen aus paarweise kongruenten Teilflächen: 3

4 Zwei Kreisringe mit dem Durchmesser 9cm, die jeweils 2,5cm breit sind Zwei Kegelmäntel Zwei Halbkugeln mit dem Durchmesser 4cm Folglich hat aria Recht: O 1 = O 2. Anmerkung: Natürlich kannst du die Oberflächen auch jeweils berechnen, aber dadurch verzögerst du nur die Entscheidung, ob aria Recht hat. 5. Die antelfläche einer geraden quadratischen Pyramide ABCDS mit der Spitze S besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge a cm. Der ittelpunkt der Grundfläche ist. (a) Skizziere eine solche Pyramide. Zeige: Für die Pyramidenhöhe h gilt in Abhängigkeit von a: h = a 2 2cm. (b) Zeichne für q = 0,5 und ω = 30 ein Schrägbild der Pyramide mit a = 6. Dabei soll [AB] auf der Schrägbildachse liegen. (c) Untersuche das Dreieck DBS auf seine Besonderheiten. (d) Verbinde die ittelpunkte der vier Seitenkanten sowohl untereinander zu dem Viereck EFGH als auch mit dem ittelpunkt. Dadurch entsteht eine einbeschriebene Pyramide EF GHS. Berechne das Verhältnis der Oberflächen der beiden Pyramiden EF GHS und ABCDS. Berechne das Verhältnis der Rauminhalte der beiden Pyramiden EF GHS und ABCDS. Lösung: (a) h = a 2 2 wird in (b) gezeigt. (b) S ψ h D ϕ C A Im rechtwinkligen Dreieck S gilt: ( S 2 = S 2 2 a ) 2 ( a 2, also h 2 3 = 3 = 2 2) 4 a2 1 4 a2 h = a 2. 2 B 4

5 (c) Der ittelpunkt halbiert die Quadratdiagonale [BD]. Also gilt: D = a 2 2 = h. dann muss das Dreieck DS gleichschenklig-rechtwinklig mit (d) ϕ = ψ = 45 sein. Weil die beiden Dreiecke DS und BS kongruent sind, ist auch das Dreieck DBS gleichschenklig-rechtwinklig. S G F H E D C A Du siehst z.b., dass die Seitenkante [EH] der kleinen Pyramide halb so lang wie die Seitenkante [BA] der großen Pyramide ist. Alle anderen Seitenkanten der kleinen Pyramide und deren Höhe sind ebenfalls halb so lang wie die entsprechenden Seitenkanten der großen Pyramide bzw. deren Höhe. Wenn aber die entsprechenden Seitenkanten im Verhältnis 1 : 2 stehen, dann müssen die Seitenflächen der kleinen und der großen Pyramide jeweils im Verhältnis (1 : 2) 2 stehen. Damit stehen die Oberflächen der beiden Pyramiden im Verhältnis 1 : 4. Wenn die entsprechenden Seitenkanten im Verhältnis 1 : 2 stehen, dann müssen dierauminhaltederbeidenpyramideim(1 : 2) 3 stehen. Damitstehen dierauminhalte der beiden Pyramiden im Verhältnis 1 : 8. Hinweis: Du hättest auch das Volumen und die Oberfläche der beiden Pyramiden in Abhängigkeit von a einzeln berechnen können. Doch für die kleine Pyramide EF GH hättest du mehrfach Ählichkeitssätze anwenden müssen, die aber für ähnliche Körper, wie es diese beiden Pyramiden nun einmal sind, allgemein gelten: O = k 2 O und V = k 3 V (hier mit k = 0,5). Das jeweilige Ergebnis wäre das gleiche. B 6. Frau Lunde will für ihre Familie 0,5kg Spaghetti in einem Topf mit 20cm Durchmesser kochen. In der Anleitung steht: Für 100g Spaghetti rechnet man einen Liter Wasser. Wie hoch muss das Wasser nach dieser Anleitung im Topf anfangs stehen, wenn 15% der eingefüllten Wassermenge während des Kochvorgangs verdampfen? Lösung: 0,5kg = 500g. Wenn für 100g Spaghetti ein Liter Wasser benötigt wird, müssen also zunächst 5 Liter = 5000cm 3 Wasser in den Topf. Zusätzlich muss noch diejenige Wassermenge berücksichtigt werden, die während des Kochvorgangs verdampft. Insgesamt müssen sich dann 5000cm 3 1,15 = 5750cm 3 Wasser im Topf sein. 5

6 Die Wassermenge im Topf hat eine zylindrische Form mit einem Radius von 10cm und der Einfüllhöhe h: 5750cm 3 = (10cm) 2 π h h 18,3cm Das Wasser im Topf muss knapp 20cm hoch stehen. 7. xcm 30cm Lösung: (a) Die Darstellung zeigt den Axialschnitt eines Zimmerbrunnens: Eine Kugel aus armor mit dem Radius r = xcm ist in eine unbewegliche Halbkugelschale mit einem äußeren Durchmesser von 30 cm aus dem gleichen aterial eingepasst. Ein dünner Wasserfilm in der Berührfläche der beiden Körper bewirkt, dass die Kugel fast reibungsfrei rotieren kann. (a) Zeichne die Figur für x = 7,5 im aßstab 1 : 5. (b) Berechne für x = 7,5 die Oberfläche der Halbkugelschale in der Einheit dm 2. (c) Zeige: Für die Oberfläche O der Kugelschale gilt in Abhängigkeit von x: O(x) = (x ) πcm 2 Bestätige damit dein Ergebnis der Aufgabe (b). (d) Berechne x so, dass die Oberfläche der Halbkugelschale fünfmal so groß wie die der Vollkugel ist. (e) Berechne für x = 7,5 das Volumen der Halbkugelschale in der Einheit dm 3. (f) Zeige: Für das Volumen V der Kugelschale gilt in Abhängigkeit von x: V(x) = ( x3 ) πcm 3 Bestätige damit dein Ergebnis der Aufgabe (e). (g) Berechne x so, dass die Halbkugelschale genau so schwer wie die Vollkugel ist. 6

7 A B xcm xcm C D 15cm Für die Zeichnung gilt: Kugelradius r = (7,5 : 5)cm = 1,5cm und äußerer Radius der Halbkugelschale R = (15 : 5)cm = 3cm. Beginne am besten mit dem Vollkreis. (b) Äußere Halbkugel: O a = πcm 2 = 250πcm 2 Innere Halbkugel: O i = ,52 πcm 2 = 112,5πcm 2 Kreisring aus [AB] bzw. [CD]: A KR = (15 2 π 7,5 2 π)cm 2 = 168,25cm 2 Somit ergibt sich für die Oberfläche der Halbkugelschale in diesem Fall: O HKS = 531,25πcm ,97cm cm 2 16,7dm 2. (c) Äußere Halbkugel: O a = πcm 2 = 250πcm 2 Innere Halbkugel: O i = x2 πcm 2 = 2x 2 πcm 2 Kreisring aus [AB] bzw. [CD]: A KR = (15 2 π x 2 π)cm 2 = = (225π x 2 π)cm 2 Somit ergibt sich: O(x) = (250+2x x 2 )πcm 2 = (x )πcm 2. O(7,5) = (7, )πcm 2 = 531,25πcm 2, siehe Lösung (b). (d) Die aßzahlengleichung für x R + heißt: 5 4x 2 π = (x )π 19x 2 = 475 x = 5 ( 1 (e) V = ) cm 3 = 1968,75πcm cm 3 6,2dm 3 (f) V(x) = 2 3 π( 15 3 x 3) cm 3 = ( ) x3 πcm 3 V(7,5) = ( ) 7,53 π = 1968,75πcm 3, siehe Lösung (e). (g) In der Angabe steht, dass die Halbkugelschale und die Vollkugel aus dem gleichen aterial sind. Wenn das Volumen der beiden Körer identisch ist, dann müssen auch die zugehörigen assen gleich sein. Daraus ergibt sich die zugehörige aßzahlengleichung mit x R + : 7

8 ( x3 ) π = 4 3 x3 π 2250 = 2 x 3 x 10,40 8. A Kreis = 6400πmm 2 Kegel = 4000πmm 2 s = 60mm S Egon hat die antelfläche eines Kegels und dessen Grundfläche aus Papier ausgeschnitten. Zeige durch Rechnung, dass er die die beiden Teile nicht lückenlos und nicht bündig zu einem Kegel zusammenfügen kann. Lösung: Aus A Kreis = 6400πmm 2 folgt r = 80mm. Wegen Kegel = r π s folgt dann Kegel = 80 π 60mm 2 = 4800πmm 2 und nicht wie angegeben 4000πmm 2. Also passen Grundkreis und antelfläche des Kegels nicht zusammen. 9. A Kreis = 6400πmm 2 Kegel = 4000πmm 2 s = 60mm S 8

9 Erich hat die antelfläche eines Kegels und einen Kreis ausgeschnitten. Zeige rechnerisch, dass die antelfläche des Kegels und der Kreis als dessen Grundfläche nicht lückenlos und bündig zusammengefügt werden können. Lösung: Für den Kreisradius r gilt: r 2 π = 6400 πmm 2 r = 80mm. Nach der Formelgleichung für den Kegelmantel muss gelten: 80mm π 60mm = 4000 πmm 2, was falsch ist. Also passen die beiden Flächenstücke nicht zusammen. 10. Ein halbkugelförmiges Glasgefäß mit einer Wandstärke von 5 mm hat ein Fassungsvermögen von 10l. Berechne den Außendurchmesser des Gefäßes in mm. Lösung: 10l = 10dm 3 = 10 4 cm 3 = 10 7 mm 3. Für den Innenradius r i des Gefäßes gilt dann: 2 3 r3 i = 107 mm 3 r i 168,4mm. d i 337mm d a 347mm. 9