Gekoppeltes Pendel. Abbildung 1: Erdbebenwellen ko nnen große Scha den anrichten. Man unterscheidet longitudinale und transversale Erdbebenwellen.

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1 c Doris Samm Gekoppeltes Pendel 1 Der Versuch im U berblick Wasserwellen bereiten Ihnen Vergnu gen, Erdbebenwellen eher nicht, Schallwellen ko nnen manchmal nur Flederma use ho ren (Abb. 1, Abb. ). Abbildung 1: Erdbebenwellen ko nnen große Scha den anrichten. Man unterscheidet longitudinale und transversale Erdbebenwellen. Abbildung : Wasserwellen und Ultraschall (ausgesandt von Flederma usen) sind weitere Beispiele fu r Wellen. So unterschiedlich diese Naturpha nomene sind, basieren sie doch alle auf dem selben physikalischen Prinzip: Eine Sto rung breitet sich im Raum aus. Wie tut sie das? Wie entsteht eine Wasserwelle, eine Erdbebenwelle oder eine Schallwelle? Allen Pha nomenen ist gemeinsam, dass viele schwingungsfa hige Objekte, z. B. die Wasser- Erd- und Luftteilchen miteinander verbunden sind: Sie sind miteinander gekoppelt.

2 Gekoppeltes Pendel Wird ein Teilchen (Wasser, Erde, Luft) aus seiner Ruhelage ausgelenkt, beeinflusst es die Bewegung der Nachbarteilchen. Die Störung breitet sich im Raum aus: Es entsteht eine Welle. Allgemein gilt: Sind schwingungsfähige Systeme miteinander verknüpft, können sich die einzelnen Objekte nicht unabhängig voneinander bewegen. Es kommt zu sogenannten gekoppelten Schwingungen. Ein Beispiel eines gekoppelten Systems ist eine lineare Kette aus einzelnen Massen (hier kleine Hanteln), die mit einem Gummiband gekoppelt sind. Lenkt man eine Hantel aus der Ruhelage aus, überträgt sich die Störung auf die benachbarten Hanteln und die Störung breitet sich im Raum aus. Abbildung 3: Eine Störung breitet sich entlang eines gekoppelten Systems von Hanteln aus. Die Beschreibung dieser linearen Kette ist recht kompliziert. Im Rahmen des Praktikumversuchs beschränken wir uns auf ein einfaches Beispiel eines gekoppelten Systems, nämlich auf zwei Schwerependel (idealisiert als mathematische Pendel), die durch eine Feder miteinander verbunden sind. In diesem Fall erfolgt die Bewegung des ersten Schwerependels ebenfalls nicht unabhängig von der Bewegung des zweiten Pendels. Der Bewegungszustand des einen Pendels kann sich auf das andere Pendel übertragen.

3 c Doris Samm Die gekoppelten Pendel können unterschiedliche Schwingungsformen durchführen. Lenkt man z.b. beide Pendel aus, gibt es die Möglichkeit, dass beide Pendel gleichsinnig oder gegensinnig (Abb. 4) schwingen. Abbildung 4: Beispiel einer gekoppelten Schwingung: Die beiden Schwerependel schwingen gleichsinnig (oben) oder gegensinnig (unten). Mit Hilfe der gekoppelten Pendel sollen Sie unterschiedliche Schwingungsformen untersuchen und die entsprechenden Schwingungsdauern messen. Zusammenfassung Gekoppelte Schwingungen stellen eine Vorstufe zum Verständnis der Wellen dar. In diesem Versuch sollen Sie das Schwingungsverhalten zweier mit einer Feder gekoppelten Schwerependel untersuchen und den Kopplungsgrad bestimmen. Benötigte Kenntnisse: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, harmonische Schwingungen, Federpendel, mathematisches Pendel. (Zum Verständnis dieses Versuchs müssen Sie ebenfalls die Grundlagen zum Versuch Bestimmung der Federkonstanten nach der statischen und dynamischen Methode durcharbeiten.)

4 4 Gekoppeltes Pendel Grundlagen Gekoppelte Schwingungen kommen häufig vor und sind der erste Schritt zum Verständnis von Wellen. Beispiele wie Wasserwellen, Erdbebenwellen und Schallwellen wurden bereits genannt. Weiterhin stellen z.b. Festkörper ein System von schwingungsfähigen Objekten dar: Sie bestehen aus Atomen und Molekülen, die durch ihre Bindungskräfte miteinander gekoppelt sind. Das bei diesem Versuch genutzte gekoppelte Pendel (Abb. 5) besteht aus zwei identisch aufgebauten Schwerependeln, die durch eine Feder miteinander verbunden und somit elastisch gekoppelt sind. Die Schwerependel bestehen jeweils aus einer Metallmasse, die an einer dünnen Stange befestigt ist. Abbildung 5: Zwei Schwerependel sind mit einer Feder gekoppelt. Werden die Pendel um eine Strecke x 1 bzw. x aus ihrer Gleichgewichtslage ausgelenkt, so kann es je nach Art der Auslenkung zu unterschiedlichen Schwingungsformen kommen. Abbildung 6: Gleichsinnige Auslenkung der Schwerependel. Betrachten wir als Beispiel die gleichsinnige Auslenkung der beiden Schwerependel (Abb. 6).

5 c Doris Samm Hierbei werden beide Pendel in gleicher Richtung ausgelenkt, wobei die Beträge der Auslenkungen x 1 und x unterschiedlich sein dürfen. Die rücktreibenden Kräfte nach der Auslenkung aus der Gleichgewichtslage der Pendel setzen sich im Fall des gekoppelten Pendels aus der Schwerkraftm g und der Federkraft F F zusammen. Zur mathematischen Beschreibung der Bewegung idealisieren wir das Schwerependel zu einem mathematischen Pendel und unterstellen, dass die Kräfte im Schwerpunkt angreifen. Den Einfluss der Schwerkraft beschreiben wir zunächst nur für die Auslenkung von Pendel 1. Es hat die Länge l 1 und die Masse m 1. In der Gleichgewichtsposition wird die wirkende Schwerkraft m g vollständig durch die Kraft im Faden ( F F a ) kompensiert, das Pendel ruht. Wird das Pendel ausgelenkt, kann der Faden die Schwerkraft nicht vollständig kompensieren. Es bleibt eine resultierende Kraft F g übrig, die das Pendel in Richtung der Gleichgewichtslage beschleunigt (Abb. 7). Für kleine Auslenkungen gilt für den Betrag der rücktreibenden Kraft F g = m 1 g x1 l 1. (1) Abbildung 7: Kraft auf die Pendelmasse m 1. Weiterhin wirkt die Federkraft F f, die proportional zur Auslenkung ( x = x x 1 ) ist F f = k x, ()

6 6 Gekoppeltes Pendel k ist die Federkonstante. Beachten Sie, dass nicht die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage die Federkraft bestimmt, sondern die Differenz der Auslenkungen zwischen Pendel 1 und Pendel also x = x x 1, also die Dehnung der Feder! Bis hierher haben wir nur die Beträge der Kräfte betrachtet, doch was ist mit ihren Richtungen? (Sie wissen doch: die Kraft ist ein Vektor und somit nur eindeutig durch ihren Betrag und ihre Richtung bestimmt.) Im Gegensatz zur Gravitation (ihr Vorzeichen ist negativ) versucht die Federkraft die Auslenkung von Pendel 1 zu vergrößern. Daher muss das Vorzeichen der Federkraft entgegengesetzt zur Komponente der Gravitationskraft und somit positiv sein (Abb. 8). Abbildung 8: Federkraft und Gravitationskraftkomponente auf Pendel 1. Man erhält für die Kraft auf das erste Pendel der Masse m 1 und der Länge l 1 F 1 = F g + F f = m 1 g x 1 l 1 + k x. (3) Nach dem. Newton schen Gesetz ist eine Kraft F Ursache für eine Beschleunigung a und es gilt m 1 g x 1 l 1 + k x = m 1 a. (4) Auf das. Pendel, mit der Länge l und der Masse m, wirken ebenfalls die Gravitation und die Federkraft. Da x größer als x 1 ist (Abb. 9), versucht in diesem

7 c Doris Samm Abbildung 9: Federkraft und Gravitationskraftkomponente auf das Pendel. Fall die Federkraft die Auslenkung von Pendel zu verringern. Die Federkraft ist daher in diesem Fall negativ. Für die Kraft auf das zweite Pendel erhält man somit: Nach dem. Newton schen Gesetz folgt: F = F g + F f = m g x l k x. (5) m g x l k x = m a. (6) Löst man die Gleichungen (4) und (6) nach der Beschleunigung auf, erhält man die Bewegungsgleichungen. Zur Vereinfachung wurden für die beiden Pendel dieselben Massen m 1 = m = m und dieselben Längen l 1 = l = l gewählt: a 1 = d x 1 dt = ω gx 1 + ω f(x x 1 ) (7) a = d x dt = ω gx ω f(x x 1 ). (8) Außerdem haben wir die Kenntnis genutzt, dass die Eigenfrequenz des reinen Schwerependels durch ω g = g/l und die Eigenfrequenz der reinen Federschwingung durch ω f = k/m gegeben ist.

8 8 Gekoppeltes Pendel Die Herleitung der Lösungen der Bewegungsgleichungen ist ziemlich kompliziert und übersteigt den theoretischen Rahmen der Versuchsanleitung. Wir geben daher nur die Lösungen an: mit x 1 = A sin ω g t C sin ω gf t (9) x = A sin ω g t + C sin ω gf t, (10) ω gf = ω g + ω f. (11) Sie können relativ leicht durch Einsetzen überprüfen, dass die Gleichungen (9) und (10) die Differentialgleichungen (7) und (8) lösen. (Bitte tun Sie dies!) Die Bewegung der Pendelmassen wird mit Hilfe der Gleichungen (9) und (10) vollständig beschrieben. Wir haben zwar einen Speziallfall der Auslenkung der Pendelmassen betrachtet, dennoch ist unsere Lösung allgemein gültig für alle denkbaren Auslenkungen der Pendel. Die spezielle Art der Schwingung steckt in den Konstanten A und C, die aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Anfangsbedingungen sind z.b. die Auslenkungen x 1, x und die Geschwindigkeiten v 1, v zum Zeitpunkt t = 0. Im Folgenden wird die Berechnung der Konstanten A, C beschrieben, wobei wir drei verschiedene Arten der Auslenkung betrachten: beide Pendel werden gleichsinnig ausgelenkt, die Pendel werden gegensinnig ausgelenkt, ein Pendel wird ausgelenkt, das andere ruht..1 Gleichsinniges Schwingen Betrachten wir zunächst den Fall, dass beide Pendel gleich stark und in gleicher Weise angestoßen werden (Abb. 10). Zum Zeitpunkt t = 0 erhalten beide Pendel dieselbe Anfangsgeschwindigkeit v 0. Was passiert? Da die beiden Pendel in gleicher Weise angestoßen werden, bleibt die Feder entspannt und hat somit keinen Einfluss auf die Bewegung. Als Ergebnis vollziehen beide Pendel eine harmonische Schwingung mit jeweils gleicher Schwingungsdauer T g bzw. gleicher Kreisfrequenz ω g. Zur vollständigen Beschreibung der Bewegung der Pendel differenzieren wir die Gleichungen (9),(10) jeweils nach der Zeit und erhalten allgemeingültige Gleichungen für die Geschwindigkeiten der beiden Pendel.

9 c Doris Samm Abbildung 10: Beide Pendel werden in gleicher Weise angestoßen. v 1 = dx 1 dt = Aω g cos ω g t Cω gf cos ω gf t (1) v = dx dt = Aω g cos ω g t + Cω gf cos ω gf t. (13) Setzt man für den Zeitpunkt t = 0 die Bedingungen v 1 = v = v 0 in die beiden Gleichungen ein, ergibt sich nach ihrer Addition (bitte nachvollziehen): v 0 = Aω g = A = v 0 ω g = C = 0. (14) Wir haben somit für den Spezialfall des gleichsinnigen Schwingens die Konstanten A und C mit Hilfe der Anfangsbedingungen bestimmt. Für die Lösung der Bewegungsgleichung x(t) erhält man nach Einsetzen der Konstanten A und C in die Gleichungen (7) bzw. (8): x 1 (t) = x (t) = v 0 ω g sin ω g t. (15) Die zeitliche Änderung der Auslenkung beider Pendel ist in Abb. 11. dargestellt. Beide Pendel schwingen gleichsinnig mit der Frequenz des Schwerependels. Die elastische Kopplung ist ohne Wirkung. Das Ergebnis ist sicherlich nicht überraschend und war Ihnen vielleicht bereits vor der Rechnung anschaulich klar. Betrachten wir im nächsten Abschnitt was passiert, wenn die Pendel entgegengesetzt angestoßen werden.

10 10 Gekoppeltes Pendel Abbildung 11: Die Auslenkungen x(t) der beiden Pendel sind phasengleich.. Gegensinniges Schwingen Die beiden Pendel werden zum Zeitpunkt t = 0 wieder gleich stark angestoßen, in diesem Fall aber gegensinnig (Abb. 1). Dem Pendel 1 wird die Anfangsgeschwindigkeit v 0 dem Pendel die Anfangsgeschwindigkeit +v 0 erteilt. Die Beträge der Geschwindigkeiten sollen gleich sein, die Richtungen sind aber entgegengesetzt. Abbildung 1: Die Pendel werden zur Zeit t = 0 gegensinnig angestoßen. Es gelten somit die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t = 0: v 1 = v 0, v = +v 0.

11 c Doris Samm Wir nutzen unsere allgemein gültigen Gleichungen (1), (13) zur Beschreibung der Geschwindigkeiten und setzen die Anfangsbedingungen ein. Man erhält: v 0 = Aω g Cω gf (16) +v 0 = Aω g + Cω gf, (17) womit man für die Konstanten A, C nach Addition von Gl. (16) und Gl. (17) erhält: A = 0 = C = v 0 ω gf. (18) Setzt man diese Werte für die Konstanten in Gl. (9) und Gl. (10) ein, erhält man für die Lösungen der Bewegungsgleichungen: x 1 = v 0 ω gf sin ω gf t (19) x = v 0 ω gf sin ω gf t. (0) Die Auslenkungen der beiden Pendel sind nun nicht mehr phasengleich sondern schwingen phasenverschoben (Abb. 13). Abbildung 13: Die Auslenkungen der beiden Pendel sind phasenverschoben. Sie schwingen gegensinnig. Die Kreisfrequenz der Schwingung der Pendel setzt sich aus der Frequenz des reinen Schwerependels und der der elastischen Feder zusammen. Sie ist somit größer als ω g allein (es galt nach Gl. (11): ω gf = ω g + ω f ).

12 1 Gekoppeltes Pendel Die Pendel schwingen wieder mit derselben Amplitude und Frequenz aber in diesem Fall gegensinnig. Im letzten Teil kommen wir zum schwierigsten aber auch zum interessantesten Schwingungsfall: Es wird nur ein Pendel angestoßen, während das zweite in Ruhe ist. In diesem Fall wird der Schwingungszustand von dem einen Pendel auf das andere übertragen, es entsteht eine sogenannte Schwebung..3 Schwebung Wir betrachten nun den Fall, dass zum Zeitpunkt t = 0 Pendel angestoßen wird und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 erhält, während Pendel 1 in Ruhe bleibt (Abb. 14). Abbildung 14: Zur Zeit t = 0 wird Pendel angestoßen, Pendel 1 ruht. Die Anfangsbedingungen lauten somit: v 1 = 0, v = v 0. Die Konstanten werden in gleicher Weise berechnet, wie in den vorausgegangenen Fällen. Man erhält: 0 = A ω g C ω gf (1) v 0 = A ω g + C ω gf () = A = v 0 ω g, C = v 0 ω gf. (3)

13 c Doris Samm Zur weiteren Diskussion der Bewegungsgleichung wählen wir eine Näherung. Wir nehmen an, dass die Kopplung der Pendel schwach ist. Dies bedeutet, dass sich die beiden Kreisfrequenzen ω g und ω gf nur wenig voneinander unterscheiden. Näherungsweise gilt: ω gf ω g, ω gf ω g ω gf + ω g. (4) In diesem Fall sind die Konstanten A und C gleich: A = v 0 ω g = C. Einsetzen der Konstanten in die allgemein gültigen Lösungen der Schwingungsgleichungen führt zu: Durch Anwendung der Additionstheoreme x 1 = v 0 ω g (sin ω g t sin ω gf t) (5) x = v 0 ω g (sin ω g t + sin ω gf t). (6) sin α sin β = cos α + β sin α + sin β = sin α + β sin α β cos α β können die Gleichungen (5) und (6) in eine für die weitere Diskussion übersichtlichere Form gebracht werden. Man erhält:, x 1 = v 0 cos ω gf + ω g t sin ω g ω gf ω g x = v 0 sin ω gf + ω g t cos ω g ω gf ω g t (7) t. (8) Da ω gf > ω g ist, andererseits jedoch nur positive Kreisfrequenzen sinnvoll sind, müssen die Gleichungen (7),(8) unter Nutzung von sin( α) = sin α cos( α) = + cos α

14 14 Gekoppeltes Pendel umgeformt werden. Man erhält: x 1 = v 0 cos ω gf + ω g t sin ω gf ω g t (9) ω g x = v 0 sin ω gf + ω g t cos ω gf ω g t. (30) ω g Aus den Gleichungen (9), (30) ist zu sehen, dass die Bewegung eines jeden Pendels aus der Überlagerung zweier Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen besteht. In Abb. 15 sind die Auslenkungen als Funktion der Zeit der beiden Pendel dargestellt. Sie sind um 90 gegeneinander phasenverschoben. Abbildung 15: Auslenkungen der Pendel als Funktion der Zeit. Es entsteht eine Schwebung. Unter der in Gl. (4) gemachten Voraussetzung, dass die Frequenzen sich nur wenig unterscheiden wenn nämlich die Kopplung schwach ist, können diese überlagerten Schwingungen (Koppelschwingungen genannt) als eine Schwingung der Frequenz ω gf + ω g angesehen werden, deren Amplitude mit der Frequenz ω gf ω g. schwankt. Diese Erscheinung wird als Schwebung bezeichnet.

15 c Doris Samm Schwingungsdauern beim gekoppelten Pendel Der Messung zugänglich sind die Schwingungsdauern, d.h. die Perioden der Schwingungen. Zwischen Schwingungsdauer und Kreisfrequenz besteht die Beziehung: T = π ω, ω = π T Zusammenfassend können beim gekoppelten Pendel folgende Schwingungsdauern auftreten: Schwingungsdauer bei gleichsinninger Schwingung Schwingungsdauer bei gegensinniger Schwingung Schwingungsdauer der Koppelschwingung T g = π ω g, (31) T gf = π ω gf, (3) T K = Schwingungsdauer der Schwebung T sch = 4π ω gf + ω g, (33) 4π ω gf ω g. (34) Die Schwingungsdauer der Koppelschwingung und die der Schwebung kann man mit Hilfe der Schwingungsdauern der gleichsinnigen und gegensinnigen Schwingung darstellen. Setzt man ω g aus der umgeformten Gl. (31) und ω gf aus der umgeformten Gl. (3) in die Gl. (33) und Gl. (34) ein, erhält man für die Schwingungsdauer der Koppelschwingung Für die Schwingungsdauer der Schwebung erhält man T k = T g T gf T gf + T g. (35) T sch = T g T gf T g T gf. (36) Kennt man also die Schwingungsdauer T g der gleichsinnigen Schwingung, sowie die Schwingungsdauer T gf der gegensinnigen Schwingung, kann man die Schwingungsdauer der Koppelschwingung sowie die der Schwebung berechnen.

16 16 Gekoppeltes Pendel 3 Versuchsanordnung Die Versuchsanordnung besteht aus zwei Schwerependeln, die durch eine Feder miteinander gekoppelt sind und einer Winkelskala. Die beiden Schwerependel - aufgebaut aus einer Pendelstange an der eine Metallmasse befestigt ist - haben gleiche Schwingungseigenschaften. Die Feder ist im Schwerpunkt der Schwerependel angebracht. Abbildung 16: Versuchsaufbau. Mit Hilfe der Winkelskala können Sie die Auslenkwinkel aus der Gleichgewichtslage überprüfen. Zur Zeitmessung steht Ihnen eine Stoppuhr zur Verfügung.

17 c Doris Samm Versuchsdurchführung Beachten Sie bei der Durchführung aller Versuchsteile, dass die Auslenkung aus der Ruhelage nicht größer als 5 sein darf, da die abgeleiteten Schwingungsgleichungen nur für kleine Auslenkungen gelten. Wie üblich müssen Sie zu jedem Versuchspunkt eine Fehlerrechnung durchführen! 1. Die beiden Pendel werden entkoppelt (Abb. 17) (die Feder wird vorsichtig abgenommen) und die Schwingungsdauer jedes einzelnen Pendels getrennt aus jeweils 10 Schwingungen bestimmt. Die Messungen werden 5-mal wiederholt. Abbildung 17: Die Pendel sind entkoppelt.. Befestigen Sie vorsichtig die Feder wieder an die Pendel. Achten Sie darauf, dass die Federn im Schwerpunkt der Schwerependel angebracht werden. Fragen Sie hierzu die Laboringenieurin oder den Laboringenieur. Lenken Sie die Pendel nach der Kopplung gleichsinnig (Abb. 18) aus und bestimmen Sie die Schwingungsdauer aus 10 Schwingungen. Wiederholen Sie die Messung 5-mal. Abbildung 18: Die Pendel werden gleichsinnig ausgelenkt.

18 18 Gekoppeltes Pendel 3. Lenken Sie die Pendel gegensinnig aus (Abb. 19) und messen Sie die Schwingungszeit aus 10 Schwingungen. Wiederholen Sie die Messung 5-mal. Abbildung 19: Die Pendel werden gegensinnig ausgelenkt. 4. Lenken Sie ein Pendel aus, das zweite Pendel bleibt unausgelenkt (Abb. 0), und messen Sie aus 10 Schwingungen die Schwingungszeit der Koppelschwingung. Wiederholen Sie die Messung 5-mal. Abbildung 0: Ein Pendel wird ausgelenkt, das zweite bleibt in Ruhe. 5. Bestimmen Sie die Schwebungsfrequenz aus 5 Stillständen eines der beiden Pendel. Wiederholen Sie die Messung 10-mal. Starten Sie die Zeitmessung erst, wenn das zweite Pendel bei maximaler Amplitude (das erste Pendel ruht) seinen Nulldurchgang hat (Abb. 1). Sie erhöhen damit beträchtlich die Messgenauigkeit. 6. Berechnen Sie die theoretischen Werte für T k und T sch und vergleichen Sie die Werte mit Ihren Messwerten.

19 c Doris Samm Abbildung 1: Die Zeitmessung wird erst bei maximaler Amplitude von Pendel gestartet (Pendel 1 ruht).