Lösungsvorschläge zu ausgewählten Übungsaufgaben aus Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mathematik Band 2, 2.Aufl. (Version 2010), Kapitel 6

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1 Lösungsvorschläge zu usgewählten Übungsufgben us Storch/Wiebe: Lehrbuch der Mthemtik Bnd,.Aufl. Version, Kpitel 6 7 Normierte Vektorräume Abschnitt 7.A, Aufg., p : Mn beweise 7.A.: Für einen normierten Vektorrum V sind die Addition V V V, die Sklrmultipliktion K V V und die Norm V R stetig. Beweis: Es genügt jeweils zu zeigen, dss jede bgeschlossene ε-kugel des Bildrums ds Bild einer bgeschlossenen Kugel des Urbildrums enthält. Sei lso, b V V, wobei wir uf V V die Mximumsnorm mit x, y : Mx x, y wählen, und sei ε> vorgegeben. Aus x, y, b : Mx x, y b δ : ε folgt dnn in der Tt x+y +b x + y b δ ε. Sei ferner r, K V, wobei wir uf K V wieder die Mximumsnorm mit t, x : Mx t, x benutzen, und sei ε> vorgegeben. Wir wählen δ : Min, ε/ + + r. Aus t, x r, : Mx t r, x δ folgt dnn zunächst x x δ, lso x + und dmit tx r t rx + rx t r x + r x δ x + r δ δ ++ r ε. Sei schließlich V und ε > vorgegeben. Aus x δ : ε folgt dnn x x ε und x x x ε, lso x ε. Abschnitt 7.A, Aufg., p : Mn führe den Beweis von 7.A.4 für K C us: Eine Norm uf einem K-Vektorrum V kommt genu dnn von einem Sklrprodukt uf V, wenn die Prllelogrmmregel für diese Norm gilt. x + y + x y x + y, x, y V, Beweis: Für Elemente x, y des C-Vektorrums V definieren wir x, y : x+y x y i ix+y x y. Die Prllelogrmmregel liefert ix + y + ix y ix + y x + y, lso ix+ y x y ix y y x iiy+x y x iy+x y x. Es folgt: x, y x+y x y + i ix+y x y y+x y x i iy+x y x y, x. Dmit erhält mn x, x x, x, d.h. x, x Re x, x x+x x x x. Wir zeigen nun x +x, y x, y + x, y für x, x, y V und gehen dbei wie im Beweis zu Stz 7.A.4 vor. Mit dreimligem Anwenden der Prllelogrmmregel ergibt sich x + x + y + y x + x + y + x + x x + y + x + y x x + x + x x + y + x + y + x + x x x, lso x + x + y x + x y x + y x y + x + y x y Ersetzt mn drin x und x durch ix bzw. ix, so erhält mn wegen ix x, ix x ußerdem ix + ix + y ix + ix y ix + y x y + ix + y x y.

2 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 Dmit sieht mn x + x, y x+x +y x+x y i ix+ ix +y x+x y x + y x y + x + y x y i ix+y x y i ix +y x y x, y + x, y. Die Gleichung x, y x, y gilt bei festen x, y V wegen der schon bewiesenen Additivität für lle Q. D ber beide Seiten dieser Gleichung stetige Funktionen in sind, gilt sie für lle R. Hben wir die Gleichung uch für i gezeigt, so ist sie dmit für lle C bewiesen. Die Prllelogrmmregel liefert in der Tt y+x + y x y + x, d.h. x+y x y x+y x y, und somit ix, y ix+y ix y i x+y ix y i i ix+y x y + x+y x y i x, y. Schließlich folgt us dem Bewiesenen y, x + x x + x, y x, y + x, y y, x + y, x und x, y y, x y, x x, y. Insgesmt ist gezeigt, dss, ein Sklrprodukt ist mit ls zugehöriger Norm. Bemerkung: Mn hätte uch ds reelle Resultt 7.A.4 benutzen können, um zu sehen, dss es sich bei der betrchteten Funktion x, y um eine reell-bilinere Funktion uf V hndelt, und ht dnn nur noch die Gleichungen ix, y i x, y und y, x x, y für lle x, y V zu prüfen. Abschnitt 7.A, Aufg. 4, p : Mn zeige, dss die Mximumsnorm und die Summennorm uf K I bei I nicht von einem Sklrprodukt herrühren. b Mn zeige, dss die Supremumsnorm und die L -Norm uf C K [, b], < b, beide nicht von einem Sklrprodukt herrühren. Beweis: Nch Stz 7.A.4 genügt es jeweils ein Beispiel zu geben, bei dem für die betrchtete Norm die Prllelogrmmregel verletzt ist. Seien i, j I mit i j. Wir definieren x x i und y y i durch x i :, x j : und x i : für i i, j bzw. durch y i :, y j : und y i : für i i, j. Dnn gilt x y x+y x y und wegen x+y + x y + x + y + 4 ist die Prllelogrmmregel verletzt. Die Mximumsnorm rührt dher nicht von einem Sklrprodukt her. Ferner gilt dnn x y, x+y x y und wegen x+y + x y + 8 x + y + 4 ist die Prllelogrmmregel verletzt. Die Summennorm rührt somit ebenflls nicht von einem Sklrprodukt her. b Sei etw xt : t /b und yt :, zt : für lle t [, b]. Dnn ist x [,b], y [,b], x+ y [,b] und x y [,b], x+ y [,b] + x y [,b] + 5 x [,b] + y [,b + 4. Bei der Supremumsnorm [,b] ist lso die Prllelogrmmregel verletzt. Sie rührt dher nicht von einem Sklrprodukt her. b b b, z b t t Ferner ist x dt b b b x+z t b + b dt x z b t b + t b dt dt b +b/ sowie t b dt + dt b, b +b/ t b dt 4 b 8 b b 4 b 4 b, lso x+z + x z + 6 b 7 6 b x + z b b. Die L -Norm verletzt lso ebenflls die Prllelogrmmregel und rührt dher nicht von einem Sklrprodukt her.

3 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 3 Abschnitt 7.A, Aufg. 5. p : Die Vervollständigung von K I bzgl. der Norm, die vom Stndrdsklrprodukt herrührt, ist der Hilbert- Rum l K I der q u d r t s u m m i e r b r e n F m i l i e n i K I, d.h. der Fmilien i in K I, für die i I i endlich ist. Ds Sklrprodukt uf l K I ist gegeben durch i, b i i b i. i I Für I N schreibt mn einfch l K sttt l K N. Dieser Rum heißt der H i l b e r t s c h e F o l g e n r u m. b Die Vervollständigung von K I bzgl. der Mximumsnorm ist der Bnch-Rum l K I der Nullfmilien i K I für die in jeder Umgebung von K fst lle Glieder der Fmilie liegen. Die Norm uf l K I ist die Mximumsnorm i : Mx { i i I }. l K I ist ein bgeschlossener Unterrum von B KI. Ebenso ist bei unendlichem I der Rum c K I : K+l K I der konvergenten Fmilien über der Indexmenge I vgl. Bd., Anschnitt 6.B ein bgeschlossener Unterrum von B K I. c Die Vervollständigung von K I bzgl. der Summennorm ist der Bnch-Rum l K I der summierbren Fmilien i K I mit der Norm i : i. i I Beweis: l K I ist ein Unterrum vonki : Für i, b i l K I und K gilt nämlich i, b i < i I i I und folglich i < sowie i +b i i + b i < letzteres wegen i +b i i I i I i I i I i + b i + Re i b i i + b i + i b i i + b i, lso i, i +b i l K I. Ferner ist, offenbr ein Sklrprodukt uf l K I. l K I ist vollständig: Zum Beweis sei ik, k N, eine Cuchy-Folge in l K I. Es ist zu zeigen, dss ik in l K I konvergiert. Sei dzu ε > vorgegeben. Dnn gibt es ein k N mit ik il ik il ε für lle k, l k, lso mit ik il ε für jede endliche Teilmenge H von I und erst i I i H recht ik il ε für lle k, l k. Für jedes i I ist lso ik, k N, eine Cuchy-Folge und konvergiert somit wegen der Vollständigkeit von K gegen ein i K. Für l ergibt sich ik i ε, lso uch ik i ik i ε, d H eine beliebige endliche Teilmenge von I ist. Mit der i I Dreiecksungleichung sieht mn i ik i + ik ε + ik <. Dmit ist gezeigt, dss i in l K I liegt und dss die Cuchy-Folge ik, k N, gegen i konvergiert. Offenbr gilt K I, l K I. Ferner ist K I dicht in l K I: Ist nämlich i l K I und ist ε >, so gibt es eine endliche Teilmenge H von I mit i i i ε. Setzt mn b i : i i I H i I i H für i H und b i : für i I H. so liegt b i in K I und es gilt nch Konstruktion i b i ε. Ferner ist i i I ie i und folglich e i, i I, eine Hilbert-Bsis des Hilbert-Rums l K I. Vgl. dzu Abschnitt 9.A und insbesondere dort die Aufg. 6, die zeigt, dss die Räume l K I bis uf Isomorphie die einzigen Hilbert-Räume sind. b Offenbr ist l K I ein normierter Unterrum von B KI. l K I ist vollständig: Zum Beweis sei ik, k N, eine Cuchy-Folge in l K I. Es ist zu zeigen, dss ik in l K I konvergiert. Sei dzu ε > vorgegeben. Dnn gibt es ein k N mit ik il Mx { ik il i I} ε für lle k, l k, lso erst recht ik il ε für lle i I und k, l k. Für jedes i I ist ik, k N, dher eine Cuchy-Folge und konvergiert somit wegen dervollständigkeit vonkgegen ein i K. Für hinreichend großek N gilt lso ik i ε und ferner ik ε wegen ik l K I. Für diese k gilt dnn uch i ik i + ik ε, d.h. es ist i l K I. Ferner erhält mn ik i Mx { ik i i I} ε für diese k, d.h. die Folge ik konvergiert in l K I gegen i. Offenbr gilt K I, l K I. K I ist dicht in l K I: Ist nämlich i l K I und ist ε >, so ist die Menge H : {i I i > ε} nch Definiton von l K I endlich. Setzt mn b i : i für i H und b i : für i I H. so liegt b i in K I und es gilt nch Konstruktion i b i ε. i H

4 4 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 Nch ANH.E.5 ist l K I ls vollständiger Teilrum in B KI bgeschlossen. Mn hätte uch umgekehrt zunächst zeigen können, dss l K I bgeschlossen in der Bnch-Algebr B KI ist. l K I ist ntürlich uch multipliktiv bgeschlossen, ber bei unendlichem I keine Unterlgebr, d dnn ds Einselement fehlt. Sei nun I unendlich. Für K ist dnn + l K I die Menge der konvergenten Fmilien über I mit Grenzwert, lso K+l K I die Menge ller konvergenten Fmilien über I. Wir zeigen noch, dss uch K+ l K I in B KI bgeschlossen und dmit eine K-Bnch-Unterlgebr von B K I ist. Sei dzu ik, k N, eine konvergente Folge von konvergenten Fmilien über I mit der Fmilie b i B K I ls Grenzwert. Wir hben zu zeigen, dss uch b i eine konvergente Fmilie ist, lso in K+ l K I liegt. Sei dzu ε > vorgegeben. Bezeichnet k K für jedes k N den Grenzwert der Fmilie ik, so gibt es eine endliche Teilmenge H k von I mit ik k ε für lle i I H k und lle k. Die Folge ik, k N, konvergiert gegen b i, es gibt dher ußerdem ein k N mit ik b i Mx { ik b i i I } ε für lle k k, lso mit b i k b i ik + ik k ε für lle k k und lle i I H H k. D I unendlich ist, besitzt die beschränkte Fmilie {b i i I} nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß einen Häufungspunkt b K, d.h. für unendlich viele i I gibt es ein b i mit b i b ε. D H H k endlich ist, gibt es insgesmt ein i I mit b i b ε und b i k ε für lle k k, lso mit k b b i k + b i b 3ε für lle k k. Die Folge k, k N konvergiert dher gegen b. Nch Konstruktion liegt die konvergente Folge ik k, k N, konvergenter Fmilien in l K I und konvergiert gegen die Fmilie b i b. D l K I in B KI bgeschlossen ist, liegt b i b ebenflls in l K I, d.h. die Fmilie b i konvergiert gegen b. Bemerkung. Der Rum l K I ist der Rum der stetigen K-wertigen Funktionen uf dem kompkten Rum I {ω}, der die Ein-Punkt-Kompktifizierung von I mit der diskreten Topologie ist, vgl. Bd. 3, Beispiel.B.8. c Offenbr ist l K I ein Unterrum von KI. l K I ist vollständig: Zum Beweis sei ik, k N, eine Cuchy-Folge in l K I. Es ist zu zeigen, dss ik, k N, in l K I konvergiert. Sei dzu ε> vorgegeben. Dnn gibt es ein k N mit ik il ik il ε für lle k, l k, lso mit ik il ε i I i H für jede endliche Teilmenge H von I und erst recht ik il ε für lle i I und k, l k. Für jedes i I ist ik, k N, dher eine Cuchy-Folge und konvergiert somit wegen der Vollständigkeit von K gegen ein i K. Für l ergibt sich ik i ik i ε, d H eine beliebige endliche Teilmenge von i I I wr. Mit der Dreiecksungleichung sieht mn i ik i + ik ε + ik <. Dmit ist i l K I gezeigt und dss die Cuchy-Folge ik, k N, gegen i konvergiert. Offenbr ist K I, l K I. Ferner ist K I dicht in l K I: Ist nämlich i l K I und ist ε >, so gibt es eine endliche Teilmenge H von I mit i i i ε. Setzt mn b i : i für i I H i I i H i H und b i : für i I H. so liegt b i in K I und es gilt nch Konstruktion i b i ε. Abschnitt 7.A, Aufg. 6. p : Seien m N {, ω} und V : CK m [, b] der Vektorrum der m-ml stetig differenzierbren bzw. bei m ω der nlytischen K-wertigen Funktionen uf dem Intervll [, b] R, < b. Bei m ist V, versehen mit der Supremumsnorm, kein Bnch-Rum. b Für m N wird durch { m } f m : Sup f k t t [, b] eine Norm uf V gegeben, bezüglich der V ein Bnch-Rum ist. Diese Norm heißt uch die C m - N o r m. Beweis: Sei f : [, b] : K eine stetige, nicht differenzierbre Funktion. Nch dem Weierstrßschen Approximtionsstz.A.4 us Bnd gibt es sogr eine Folge f n von Polynomfunktionen uf [, b], die gleichmäßig gegen f konvergiert. Nch dem Cuchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz.A. us Bnd ist die Folge bzgl. der Supremumsnorm eine Cuchy-Folge, die in CK [, b] gegen f konvergiert, ber wegen f / CK m [, b] nicht im Rum C m K [, b] für m. Es genügte ntürlich ein einziges Beispiel einer gleichmäßig konvergenten Folge von Polynomen nzugeben, deren Grenzfunktion nicht differenzierbr ist. Nch Bnd, Beispiel 3.C.7 konvergiert zum Beispiel die Reihe n uf [, ] gleichmäßig gegen x. / n x n

5 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 5 b Sei f n eine Cuchy-Folge in CK m [, b] bezgl. der Norm m. Für k,..., m ist jede der Folgen f k n eine Cuchy-Folge bzgl. der Supremumsnorm, konvergiert lso uf [, b] gleichmäßig. Nch Bd., 4.E., ist dnn f : lim f n m-ml differenzierbr, und es gilt f k lim f n k für k,..., m. Die Folge f n konvergiert lso in CK m [, b] gegen f. Abschnitt 7.A, Aufg. 5. p : Die Multipliktion A A A einer normierten K-Algebr A ist stetig. Beweis: Es genügt zu zeigen, dss jede bgeschlossene ε-kugel des Bildrums ds Bild einer bgeschlossenen Kugel mit positivem Rdius des Urbildrums enthält wobei die Norm uf A A so gewählt ist, dss sie die Produkttopologie definiert. Sei lso, b A A, wobei wir uf A A die Mximumsnorm mit x, y : Mx x, y wählen, und sei ε > vorgegeben. Sei δ : Min, ε/ + b +. Aus x, y, b : Mx x, y b δ folgt dnn zunächst x x δ, lso x + und xy b xy b + x b x y b + x b +δ + δ b ε. Abschnitt 7.A, Aufg. 8, p : Für Vektoren x, x, x 3, x 4 eines normierten K-Vektorrums gilt x x 3 + x x 4 x x + x x 3 + x 3 x 4 + x 4 x. Die Summe der Längen der beiden Digonlen eines beliebigen Vierecks ist kleiner-gleich der Summe der Längen der vier Seiten. Beweis: Mn knn ohne Einschränkung der Allgemeinheit x x 3 x x 4 nnehmen. Dnn bekommt mn durch zweimliges Anwenden der Dreiecksungleichung: x x + x x 3 + x 3 x 4 + x 4 x x x 3 + x 3 x x x 3 + x x 4. Abschnitt 7.B, Aufg.. p : Sind V und W normierte K-Vektorräume, ist V nicht endlichdimensionl und ist W, so ist L K V, W Hom K V, W. Beweis: Nch Stz 3.A.8 besitzt V eine Bsis v i, i I. Indem wir jedes v i durch v i / v i ersetzen, können wir v i für lle i I nnehmen. D V nicht endlichdimensionl ist, ist I eine unendliche Menge. Für jede nicht beschränkte Fmilie i K I und jedes w W, w, ist dnn die durch f v i : i w, i I, definierte linere Abbildung f : V W nicht stetig, d ds f -Bild der Einheitskugel B V ; eine nicht beschränkte Menge in W ist, vgl. Stz 7.B.. Abschnitt 7.B, Aufg.. p : Seien und zwei nicht äquivlente Normen uf einem normierten K-Vektorrum V. Dnn gibt es eine Folge in V, die bezüglich einer der beiden Normen eine Nullfolge ist und bezüglich der nderen unbeschränkt ist. b Sei f : V W eine linere Abbildung normierter K-Vektorräume. Genu dnn ist f stetig, wenn für jede Nullfolge x n n N in V die Bildfolge f x n in W beschränkt ist. n N Beweis: Gemäß Stz 7.B.9 können wir ohne Einschränkung nnehmen, dss es kein β R gibt mit x β x für lle x V. Zu jedem n N gibt es dnn ein x n V {} mit x n n x n. Für y n : x n gilt lim n x n y n wegen y n x n n n x n n bei n, ber y n x n x n n x n n x n n x n n x n n. Die Folge y n ist lso bzgl. eine Nullfolge, ber bzgl. unbeschränkt. b Wenn f stetig ist, so gilt lim f x n f lim x n f für jede Nullfolge xn in V. Dnn ist n n die Bildfolge f x n ls Nullfolge in W erst recht beschränkt. Sei umgekehrt f nicht stetig. Dnn ist f nicht beschränkt, d.h. es gibt keine reelle Zhl C > mit f x C x für lle x V. Zu jeder ntürlichen Zhl n N gibt es somit ein x n V {} mit f x n n x n.

6 6 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 Für die Folge y n mit x n : x n V gilt lim n x n y n wegen y n x n bei n, n n x n n ber f y n f x n f x n n x n n x n n x n n x n n. Dher ist y n eine Nullfolge in V, deren Bildfolge unter f in W nicht beschränkt ist. Mn bechte, dss uch us b folgt. Abschnitt 7.B, Aufg. 3. p : Eine Norm uf einem K-Vektorrum V heißt f e i n e r ls die Norm uf V, wenn es eine positive reelle Zhl β gibt mit x β x für lle x V. Zwei Normen heißen v e r g l e i c h b r, wenn eine der beiden feiner ls die ndere ist. Zwei Normen sind lso äquivlent, wenn jede dvon feiner ls die ndere ist. Folgende Aussgen sind äquivlent: ist feiner ls. Die Identität V V von V ist stetig, wenn mn den Urbildrum V mit der Norm und den Bildrum V mit versieht. 3 Jede bezüglich konvergente Folge ist uch bezüglich konvergent. 4 Jede Nullfolge bezüglich ist uch eine Nullfolge bezüglich. 5 Jede bezüglich beschränkte Menge ist uch bezüglich beschränkt. b Ist feiner ls, so ist jede bzgl. dichte Teilmenge von V uch dicht bzgl.. c Mn untersuche jeweils die folgenden Normen uf Vergleichbrkeit: die euklidische Norm, die Mximumsnorm sowie die Summennorm uf K I, I unendlich; die Supremumsnorm, die L - und die L -Norm uf C K [, b] ; 3 die Normen Sup { m f k t t [, b] } m f k, Mx f,..., f m, Mx f,..., f m, m f k, m / m f k, f k uf C m K [, b], m N. Die beiden letzten Normen sind so gennnte S o b o l e w - N o r m e n. Beweis: : Genu dnn ist feiner ls, wenn es ein β R gibt mit x β x für lle x V. Dies ist genu dnn der Fll, wenn id V x β x für lle x V ist, d.h. wenn die Identität V V von V stetig ist, wenn mn den Urbildrum V mit der Norm und den Bildrum V mit versieht, vgl. Stz 7.B.. 3: Nch ANH.B.3 ist id V ls Abbildung von V, versehen mit der Norm, nch V, versehen mit der Norm, stetig in einem Punkt x V, wenn für jede Folge x n in V, die bzgl. gegen x V konvergiert, die Bildfolge id V x n x n bzgl. gegen id V x x konvergiert. 3 4: Die Äquivlenz folgt drus, dss eine Folge x n in einem normierten Vektorrum V genu dnn gegen x V konvergiert, wenn die Folge x n x eine Nullfolge in V ist. 5: Sei M V eine durch C > bezüglich beschränkte Menge in V. Ist nun feiner ls, d.h. gibt es eine positive reelle Zhl β gibt mit x β x für lle x V, so folgt für x M us x C sofort x βc, d.h. M ist uch bzgl. beschränkt. 5 : Nch Stz 7.B. ist id V stetig, wenn id V uf der Einheitssphäre S ; von V bzgl. beschränkt ist. D diese Sphäre bzgl. durch beschränkt ist, ist id V S ; S ; nch 5 ber uch bzgl. beschränkt. b Sei feiner ls, d.h. es gebe eine positive reelle Zhl β gibt mit x β x für lle x V. M V sei eine bzgl. dichte Teimenge von V. Sei nun x V. Zu vorgebenem ε > gibt es dnn ein y M mit x y ε/β, lso mit x y β x y ε. Dher ist M uch bzgl. dicht in V. c Sei x i K I, d.h. nur endlich viele der Komponenten x i K seien. Dnn gilt: Mx { x i i I} x i x i, d.h. x x x. Die Summennorm ist lso feiner ls i I i I Mximumsnorm und euklidische Norm, und die euklidische Norm ist feiner ls die Mximumsnorm jeweils mit Sklierungsfktor β :. D I unendlich ist, enthält I eine bzählbr unendliche Teilmenge J {j,..., j k,...} mit j k j l für k l. Setzt mn dnn x n x n i i I mit x n i : für i I {j,..., j n } und x i : für i j k, k n,

7 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 7 so gilt x n, x n n und x n n. Für n sieht mn, dss es kein β R geben knn mit x β x bzw. x β x bzw. x β x. Dher sind weder euklidische Norm noch Mximumsnorm feiner ls die Summennorm, und die Mximumsnorm ist uch nicht feiner ls die euklidische Norm. Die L -Norm ist feiner ls die L -Norm: Die Cuchy-Schwrzsche Ungleichung liefert nämlich x b xt dt b xt dt, x x b x. Die Supremumsnorm ist feiner ls : Der Mittelwertstz der Integrlrechnung liefert nämlich x b / xt dt b xt / b x. Ntürlich ist dnn die Supremumsnorm uch feiner ls die L -Norm wegen x b x. Wir betrchten nun für n> /b die stetigen Funktionen x n : [, b] R mit { n 3 t für t + /n, x n t : n n 3 t für +/n t + /n, für + /n t b. Dnn ist x n x n t dt b +/n / +/n x n t dt n 6 t dt / 3, x n n und x n n 3 t dt n. Es gibt lso kein β > mit x n β x n und kein β > mit x n β x n für lle n, d.h. die L -Norm ist nicht feiner ls die Supremumsnorm und die L -Norm ist nicht feiner ls die L -Norm. 3 Es gilt Mx f,..., f m Mx Sup { f t t [, b]},..., Sup {f m t t [, b]} Sup { Mx f t,..., f m t t [, b] } Mx f,..., f m Die ersten vier der ngegebenen Normen sind nun äquivlent wegen Mx f,..., f m m f k m+ Mx f,..., f m, Mx f,..., f m m f k m+ Mx f,..., f m. Die fünfte Norm ist feiner ls die sechste Norm: Die Cuchy-Schwrzsche Ungleichung liefert nämlich m f k m b b f k t dt m b f k t dt m, f k m f k m f k b,...,, f,..., f m b,..., f,..., f m m / m+b f k.

8 8 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 Die Norm Mx f,..., f m ist feiner ls die Norm m f k / und dmit uch ls die Norm m f k : Der Mittelwertstz der Integrlrechnung liefert nämlich m / m f k b / f k t dt b m Mx f,..., f m / m+b Mx f,..., f m. Zwischen den drei zuletzt betrchteten Normen gibt es keine weiteren Feiner-Beziehungen. Als Beispiele betrchten wir die stückweise m-ml stetig differenzierbren Funktionen x n us die sich durch geeignetes "Glätten" der Knickstellen zu C m -Funktionen bändern lssen. Dfür gilt nämlich bei m m x k n / 3 +n sowie Mx x Abschnitt 7.B, Aufg. 4. p : n,..., x n m n+n 3 und m Eine stetige dditive Abbildung f : V W normierter R-Vektorräume ist R-liner. x k n n +n. Beweis: Nch Vorussetzung gilt f x+y f x + f y für lle x, y V. Durch Induktion über n N zeigen wir f nx nf x für lle x V. Es ist f x f x+ f x + f, lso f x f f x, und der Schluss von n uf n+ folgt wegen f n+x f nx+ x f nx + f x nf x+f x n+f x. Außerdem gilt f f x x f x+f x, lso f x f x. Ferner ist f x f m m x mf m x, lso f m x x bei m, und somit insgesmt f qx qf x m für lle q Q und x V. Ist nun r R beliebig, so gibt es, d Q in R dicht ist, eine Folge q n rtionler Zhlen mit lim q n r. Die n Stetigkeit von f liefert wie gewünscht f rx f lim q nx lim f q nx lim q nf x rf x. n n n Ds Ergebnis der Aufgbe besgt insbesondere, dss eine dditive Abbildung endlichdimensionler R-Vektorräume notwendigerweise R-liner ist. Abschnitt 7.B, Aufg. 5. p : Der Differenzitionsopertor D : C K [, b] C K [, b] ist stetig, wenn die beiden Räume jeweils mit den Normen us 7.A, Aufg. 6b versehen werden. Beweis: Es gilt Dx ẋ Sup { ẋt t [, b] } Sup { xt + ẋt t [, b] } für x C K [, b], d.h. es ist D und D ist beschränkt, lso stetig. Abschnitt 7.B, Aufg. 3. p : Seien V und W K-Vektorräume mit Sklrprodukt und f : V W eine K-linere Abbildung, für die die djungierte Abbildung ˆf : W V existiert. Dnn gilt f ˆf. Genu dnn ist f stetig, wenn ˆf f stetig ist. Insbesondere ist ein selbstdjungierter Opertor g uf V genu dnn stetig, wenn g stetig ist. Ist V nicht endlichdimensionl, so gibt es stets nicht stetige Opertoren g uf V derrt, dss g stetig ist. Beweis: Für x V gilt ˆf x ˆf x, ˆf x x, f ˆf x x f ˆf x x f ˆf x und somit ˆf x f x. Es folgt ˆf f und f ˆf ˆf, lso insgesmt ˆf f. Insbesondere ist mit f uch ˆf f stetig sowie f bei f ˆf. Ist umgekehrt ˆf f <, so gilt f x f x, f x x, ˆf f x x ˆf f x x ˆf f x für x V und somit f x ˆf f x, d.h. f ˆf f <, und f ist stetig. Sei V nun unendlichdimensionl. Ähnlich wie in Aufg. konstruiert mn eine nicht stetige linere Abbildung g : V V, deren Qudrt g sogr ist.

9 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 9 Abschnitt 7.B, Teil von Aufg. 4. p : Sei V ein endlichdimensionler Hilbert-Rum. Für ein f V V ist f grd f. Die Norm uf V rührt ebenflls von einem Sklrprodukt her. Ist v i, i I, eine Orthonormlbsis von V, so ist die Dulbsis vi, i I, eine Orthonormlbsis von V bezüglich des in dieser Weise ssoziierten Sklrprodukts uf V. Ein ähnliches Resultt gilt für V uch dnn, wenn V ein beliebiger Hilbert-Rum ist, vgl. 9.A.9. b Für einen Opertor f End K V L K V mit dem djungierten Opertor ˆf ist f c, wobei c der größte Eigenwert von ˆf f ist. D ˆf f und f ˆf dieselben Eigenwerte hben, folgt insbesondere f ˆf, vgl. uch Aufg. 3. Ferner ist für einen selbstdjungierten Opertor f uf V die Norm f von f gleich dem Mximum der Beträge der Eigenwerte von f. Im Fll K C gilt dies llgemeiner für normle Opertoren uf V. c Auf End K V wird durch f, g : Sp ĝf Sp f ĝ ein Sklrprodukt definiert. Die zugehörige Norm f H Sp ˆf f / Sp f ˆf / heißt die Hilbert-Rum-Norm uf End K V, vgl. Beispiel 5.C.6. Es ist f f H für llef End K V, und ds Gleichheitszeichen gilt genu dnn, wenn Rng f ist. d Ist Dim K V, so rührt die Opertornorm uf End K V nicht von einem Sklrprodukt her. Beweis: Für f V V ist f grd f : Aus grd f grd f, grd f f grd f f grd f folgt nämlich grd f f uch bei grd f. Umgekehrt gilt f x x, grd f x grd f für lle x V, d.h. f grd f. Die Norm uf V rührt von einem Sklrprodukt her: Für f, g V gilt grd f + grd g grdf + g wegen x, grd f +grd g x, grd f + x, grd g f x+gx f+gx x, grd f+g für lle x V. Ist ferner K, so ht mn x, grdf f x f x x, grd f x, grd f, lso grd f grd f. Dnn wird durch f, g : grd g, grd f, f, g V, ein Sklrprodukt, uf V definiert, für ds f, f grd f, grd f grd f nch dem bereits Gezeigten die Opertornorm f ist. Die Symmetrie von, und die Additivität in beiden Komponenten folgt dbei us den entsprechenden Eigenschften des Sklrprodukts von V. Außerdem gilt f, g grd g, grd f grd g, grd f grd g, grd f f, g und f, g grd g, grd f grd g, grd f grd g, grd f f, g. Ds Sklrprodukt uf V wird lso durch Zurücknehmen des Sklrprodukts von V mittels des ntilineren Isomorphismus grd : V V gewonnen. Sei v i, i I, eine Orthonormlbsis von V. Dnn ist die Dulbsis vi, i I, eine Orthonormlbsis von V : Es gilt vi v j δ ij v j, v i für lle i, j I, lso vi x x, v i für lle x V und somit grd vi v i. Dmit folgt wie behuptet vi, v j grd v j, grd v i v j, v i δ ji. b Wir betrchten die nichtnegtive hermitesche Form uf V mit x, y : x, ˆf f y f x, f y. Ds Mximum der Ryleigh-Quotienten x, x/ x, x f x / x f x uf der kompkten Einheitskugel S ; ist nch Stz 5.B.5 der größte Huptwert von, lso der größte Eigenwert c von ˆf f. Andererseits ist ds Mximum von f x uf S ; definitionsgemäß gleich f. Es folgt f c. Ist K C und f norml, so ist f nch dem Spektrlstz 5.A.5 digonlisierbr in einer Orthonormlbsis v i, i I, us Eigenvektoren zu Eigenwerten c i, i I. Dnn wird ˆf in dieser Bsis durch die konjugiert trnsponierte Mtrix beschrieben, d.h. es ist ˆf vi c i v i und somit ˆf f vi c i v i. ˆf ht lso die Eigenwerte c i, und ds Mximum der c i ist nch dem Bewiesenen gleich f. c Wegen f +f, g Sp f +f ĝ Sp f ĝ + Sp f ĝ f, g + f, g, f, g +g Sp f g +g ˆ Sp f ĝ + Sp f ĝ f, g + f, g, f, g Sp f ĝ Sp f ĝ f, g, f, g Sp f âg Sp f ĝ Sp f ĝ f, g für f, g, f, f, g, g End K V, K ist, sesquiliner.

10 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 D die Mtrix von ˆf bzgl. einer Orthonormlbsis von V nch 5.A.5 us der von f durch Trnsponieren und Queren hervorgeht, gilt Sp ˆf Sp f. Es folgt g, f Sp ˆf ˆf g Sp g Sp ĝf f, g, dh., ist uch hermitesch. D ˆf f ein semipositiver Opertor ist, ist ˆf f digonlisierbr mit nichtnegtiven Eigenwerten. Genu dnn ist lso f, f, wenn Sp ˆf f, lso die Summe dieser Eigenwerte, gleich ist. Dnn sind diese Eigenwerte ber schon selber, und es folgt f. Insgesmt ist, lso ein Sklrprodukt. D f nch b der größte Eigenwert von ˆf f ist und f H die Summe ller dieser Eigenwerte in ihrer Vielfchheit gezählt, gilt f f H. Genu dnn gilt dbei ds Gleichheitszeichen, wenn es ußer dem größten Eigenwert der selbstdjungierten Abbildung ˆf f keine weiteren Eigenwerte gibt, d.h. wenn Rng ˆf f ist. Dies ist nch dem Rngstz genu dnn der Fll, wenn Dim Kern ˆf f Dim V ist. Nch 5.A, Aufg. 7 ist ber Kern ˆf f Kern f. Also gilt f f H genu dnn, wenn Rng f ist. d Wir wählen eine Orthonormlbsis v i, i I. Wegen I Dim K V gibt es eine Zerlegung I I I von I in zwei nichtleere disjunkte Teilmengen I und I. Dnn definieren wir durch f v i : v i für i I, f v i : für i I bzw. gv i : für i I, gv i : v i für i I zwei Abbildungen f, g : V V. Dnn sind f, g, f + g, f g digonlisierbr, in ihrer Huptdigonle stehen nur die reellen Digonlelemente,,, d.h. diese Abbildungen sind selbstdjungiert und ihre Opertornorm ist nch b jeweils ds Mximum der Beträge der Eigenwerte. Es gilt lso nch Konstruktion f g f +g f g. Dher gilt für dieses Beispiel f + g + f g + f + g + 4, und die Prllelogrmmregel ist verletzt. Nch Stz 7.A.4 rührt die Opertornorm uf V somit nicht von einem Sklrprodukt her. Abschnitt 7.B, Aufg. 5. p : Sei eine Norm uf K n. Diese Norm induziert uf dem Rum M n K der n n-mtrizen über K eine Norm durch A : f A, A M n K, wobei f A der Opertor x Ax uf K n mit der Mtrix A bezüglich der Stndrdbsis ist. Aus 7.B.4 folgt dnn insbesondere λ A für jeden Eigenwert λ von A ij M n K. Überdies bemerken wir, dss nch.a, Aufg. 4 jeder Eigenwert von A sowohl in der Vereinigung der Kreise B ii ; j i ij, i,..., n, ls uch in der Vereinigung der Kreise B jj ; i j ij, j,..., n, liegt. Wendet mn diese Ergebnisse uf die Begleitmtrix A F n n eines Polynoms F + X + + X n K[X] n vgl. Beispiel.A.3, so gewinnt mn Aussgen über die Lge der Nullstellen eines solchen Polynoms. Häufig ist es uch nützlich, sttt der Mtrix A mit den Eigenwerten λ,..., λ n C die verschobene Mtrix A λe n mit den Eigenwerten λ λ,..., λ n λ zu betrchten S p e k t r l v e r s c h i e b u n g. Zum Beispiel bietet sich ds Zentrieren uf den Schwerpunkt λ : n λ + + λ n n Sp A der Eigenwerte n. Die Mtrix A n Sp A E n ist s p u r l o s, d.h. ihre Spur ist. Ist die euklidische Norm uf K n, so ist A c, wobei c der größte Eigenwert von t AA ist. b Ist die Mximumsnorm uf K n, so ist A ds Mximum der Summennormen n j ij, i,..., n, der Zeilen von A ij M n K Z e i l e n s u m m e n n o r m. c Ist die Summennorm uf K n, so ist A ds Mximum der Summennormen n i ij, j,..., n, der Splten von A ij M n K S p l t e n s u m m e n n o r m. Beweis: Sei A ij M n K. Die euklidische Norm uf K n rührt vom euklidischen Sklrprodukt her. D ˆf A f A bzgl. der Stndrdbsis von K n durch die Mtrix t AA beschrieben wird, ist f A nch Aufg.4b gleich c, wo c der größte Eigenwert von t AA ist.

11 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 b Bezgl. der Norm ist A A z : Mx { n j ij i,... n }. Für x t x,..., x n K n gilt nämlich Ax Mx { n ij x j i,... n } Mx { n ij x j i,... n } j j Mx { n ij x i,... n } Mx { n ij i,... n } x A z x. j Ist A z n j i j, d.h. wird ds zugehörige Mximum in der i -ten Zeile von A ngenommen, und ist y t y,..., y n K n mit y j : i j/ i j, flls i j ist, und y j : sonst, so gilt in jedem dieser beiden Fälle i j y j i j und ferner y bei A. Drus folgt A A z wegen Ay Mx { n ij y j i,..., n } n n i j y j i j A z A z y. j j c Bzgl. der Norm ist A A s : Mx { n i ij j,... n }. Für x t x,..., x n K n gilt nämlich n n n n n n n Ax ij x j ij x j x j ij x j A s A s x. i j i j j Ist A s n i ij, d.h. wird ds zugehörige Mximum in der j -ten Splte von A ngenommen, und ist e j der j -te Stndrdbsisvektor, so gilt e j und Ae j n i ij A s A s e j, lso A s A. Abschnitt 7.B, Aufg. 6. p : f : V W sei eine K-linere Abbildung normierter K-Vektorräume und U Kern f sei ein bgeschlossener Unterrum. Dnn gilt f f für die induzierte linere Abbildung f : V/U W. Beweis: Gemäß 7.A, Aufg. wird die Norm uf V : V/U definiert durch x : du, x Inf { x u u U } Inf { y y x x+u } für x V. Insbesondere ist x x. D definitionsgemäß f x f x ist, gilt f x f x f x f x, lso f f. Für beliebige Elemente y x gilt f x f y f y und somit f x f Inf { y y x } f x. Dies liefert f f, insgesmt lso f f Abschnitt 7.B, Aufg. 7. p : V sei ein normierter K-Vektorrum, U V ein Unterrum und f : U K eine stetige Linerform. Dnn lässt f sich zu einer stetigen Linerform g : V K mit g f fortsetzen. Eine stetige linere Abbildung f : U W lässt sich uch dnn zu einer stetigen lineren Abbildung g : V W fortsetzen, flls W nur endlichdimensionl ist, in der Regel jedoch nicht, ohne dbei die Norm zu vergrößern. Für ein Beispiel siehe Bnd 4, 6.B, Aufg. e. Beweis: U ist ein dichter Unterrum des Abschlusses U von U in V. Dher lässt sich f : U K nch Stz 7.B.6 zu einer eindeutig bestimmten stetigen Linerform uf U mit derselben Norm wie f fortsetzen. Wir können dher gleich nnehmen, dss U selbst in V bgeschlossen ist. Bei f können wir g nehmen. Sei lso f. Dnn ist Kern f eine bgeschlossene Hyperebene in V, d.h. es ist V/ Kern f Ky mit einem y / Kern f us V. Indem wir y/ y sttt y betrchten, können wir noch y nnehmen. Nch Aufg. 6 ist dnn f f f y f y. Der Stz 7.B.9 liefert eine stetige Linerform e : V/ Kern f K mit ey y und e. Für die stetige Linerform g : V K mit gx : f y ex uf V gilt dnn gy f y ey f y, d.h. g setzt f uf V fort. Außerdem ist g g f y e f y e f y f. Ist W n-dimensionl, d.h. W K n, so ist für einen normierten Vektorrum X eine K-linere Abbildung h : X W dsselbe wie ein n-tupel h,..., h n von Linerformen X K, wobei h genu dnn stetig ist, j i j j

12 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 wenn die Komponentenbbildungen h i lle stetig sind. Die Behuptung für W folgt dnn direkt us dem Bewiesenen. Die Norm einer Fortsetzung g ist ntürlich mindestens so groß, wie die Norm von f. Bemerkung. Vielfch heißt uch die bewiesene llgemeinere Version von 7.B.9 der Stz von Hhn-Bnch. Abschnitt 7.B, Aufg. 8. p : Seien V ein normierter K-Vektorrum und U V ein Unterrum. Ein Vektor x V gehört genu dnn zur bgeschlossenen Hülle U von U in V, wenn jede stetige Linerform, die uf U verschwindet, uch uf x verschwindet. U ist lso der Durchschnitt der bgeschlossenen Hyperebenen in V, die U umfssen. Beweis: Sei x U und f V eine stetige Linerform, die uf U verschwindet. Dnn gibt es eine Folge x n in U mit lim x n x, und es gilt f x n. Wegen der Stetigkeit von f folgt f x f lim x n lim f x n. Oder: Der Kern einer stetigen lineren Abbildung ist bgeschlossen und enthält dher mit U uch U. Sei nun x V U. Dnn gilt U Kx und du, x >. Gäbe es nämlich eine Folge x n in U mit lim dx n, x, so wäre x lim x n U, d U bgeschlossen ist. Durch f u+ rx : r für u U und r K ist eine Linerform f uf dem Unterrum U Kx von V wohldefiniert. f ist stetig mit Norm /du, x. Für r K, lso u/r U, gilt nämlich f u+rx r r du, x r du, x du, x r u x du, x u+rx. In der Tt ist sogr f /du, x. Nch Aufg. 7 lässt sich f zu einer stetigen Linerform g : V K fortsetzen. Nch Konstruktion verschwindet g wie f uf U und ht uf x den Wert. Kern g ist eine bgeschlossene Hyperfläche in V, die U enthält, nicht ber x. Abschnitt 7.B, Aufg. 9. p : Sei U ein bgeschlossener Unterrum des normierten K-Vektorrums V. Dnn ist die knonische Sequenz V/U π V ι U der stetigen Dule exkt: π ist eine normerhltende Abbildung, und U identifiziert sich einschließlich der Normen mit dem Fktorrum V / Bild π. Beweis: ι ist surjektiv: Jedes f U lässt sich nch Aufg. 7 zu einer stetigen Linerform g uf gnz V fortsetzen. Für u U gilt dnn ι g u g ιu g u f u, d.h. ι g f. π ist injektiv: Für f V/U mit π f ht mn f π und dnn wegen der Surjektivität der knonischen Projektion π : V V/U uch f. Mn bechte, dss π nch 7.A, Aufg. b stetig ist, lso mit jedem f V/U uch π f f π stetig ist und somit in V liegt. Es ist ι π, lso Bild π Kern ι : Für h V/U gilt ι π h h π ι wegen π ι. D definitionsgemäß π h h gilt, ist π h π h h nch Aufg. 6, d.h. π ist normerhltend. Es ist Bild π Kern ι : Für f Kern ι gilt nämlich ι f, d.h. f U und somit U Kern f. Nch Aufg. 6 gilt dnn f f für die induzierte Linerform f : V/U K. Dher ist uch f stetig, und es gilt π f f π f, d.h. f Bild π. Versehen wir schließlich V / Bild π mit der Norm gemäß 7.A, Aufg., so gilt g dg, Bild π Inf { h g h Bild π } Inf { h π g h : V/U K stetig } für g V. Sei nun f U. Dnn gibt es wie oben gezeigt ein g V mit ι g f und g f. Wegen ι g g U gilt sicher g f für lle g V mit ι g f. D h π für lle h : V/U K uf U verschwindet, ist dnn uch h π g f für diese g. Es folgt dg, Bild π f. Ferner gilt dfür g g U f f, d.h. g g lässt sich in der Form g g h π mit einem h : V/U K schreiben, und mn sieht dg, Bild π h π g g g g g f. Insgesmt folgt dg, Bild π f. Bemerkung: Ist f : V W eine stetige surjektive linere Abbildung normierter K-Vektorräume mit Kern f U, so sgt mn W trge die Q u o t i e n t e n n o r m von V, wenn der induzierte Isomorphismus f : V/U W normerhltend ist. U trägt lso die Quotientennorm von V.

13 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp Hilbert-Räume Abschnitt 9.A, Aufg., p : Seien x n und y n konvergente Folgen im K-Vektorrum V mit Sklrprodukt. Dnn ist uch die Folge xn, y n konvergent in K, und es gilt lim x n, y n lim x n, lim y n S t e t i g k e i t d e s S k l r p r o d u k t s. Beweis: Seiε> vorgegeben. Ist x lim x n und y lim y n, so gibt es zu ε : Min, ε/+ x + y n n ein n N mit x n x ε und y n y ε für lle n N mit n n. Für diese n gilt dnn uch y n y n y+y y n y + y ε + y. Mit Hilfe der Cuchy-Schwrzschen Ungleichung sieht mn nun für n n : x n, y n x, y x n, y n x, y n + x, y n x, y x n x, y n + x, y n y x n x y n + x y n y ε ε + y + x ε ε + y + x ε. Dher konvergiert die Folge x n, y n gegen x, y. Abschnitt 9.A, Aufg., p : Sei v i, i I, ein Orthonormlsystem im K-Vektorrum V mit Sklrprodukt. Für beliebige x, y V gilt dnn x, v i v i, y x y. i I Beweis: Sei H eine beliebige endliche Teilmenge von I. Indem wir zunächst die Cuchy-Schwrzsche Ungleichung uf die beiden Vektoren x, v i i H und y, v i des mit dem Stndrdsklrprodukt i H versehenen R H nwenden und dnn die Besselsche Ungleichung für,, erhlten wir x, v i v i, y x, v i y, v i x, v i y, v i x y x y. i H i H i H i H D dies für lle endlichen Teilmengen H von I gilt, ergibt sich die Behuptung mit Hilfe des Mjorntenkriteriums 6.B.7 us Bnd. Abschnitt 9.A, Aufg. 3, p : Ein Orthonormlsystem v i, i I, im K-Vektorrum V mit Sklrprodukt ist genu dnn vollständig, wenn für lle x, y V gilt x, y x, v i v i, y. i I Beweis: Gilt die ngegebene Gleichung, so erhält mn für x y x x, x i I x, v i v i, x i I x, v i x, v i i I x, v i. MIt Stz 9.A.3, 3, ergibt sich drus die Vollständigkeit von v i, i I. Sei umgekehrt v i, i I, ein vollständiges Orthonormlsystem von V. Nch Stz 9.A.c gilt dnn v i v i x und i I x, y, v j v j y. Wegen der Stetigkeit von,, vgl. Aufg., und v i, v j δ ij j I folgt: x, y x, v i v i, y, v j v j x, v i y, v j v i, v j x, v i y, v i i I j I i I j I i I x, v i v i, y. i I

14 4 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 Abschnitt 9.A, Aufg. 4, p : Ein Orthonormlsystem in einem Hilbert-Rum V ist genu dnn eine Hilbert-Bsis, wenn es mximl ist. Beweis: Sei w s, s S, ein Orthonormlsystem in V. Nch Stz 9.A.7 gibt es ein K V derrt, dss die Vektoren v, v K, zusmmen mit den w s, s S, eine Hilbert-Bsis und dmit ein Orthonormlsystem von V bilden. Ist w s, s S, ein mximles Orthonormlsystem, so muss K sein und somit w s, s S, selbst eine Hilbert-Bsis von V. Ist umgekehrt w s, s S, eine Hilbert-Bsis von V und liesse sie sich durch einen Vektor v V zu einem gößeren Orthonormlsystem von V ergänzen, so wäre v, w s für lle s S. Mit Stz 9.A.3 4 erhielte mn v im Widerspruch zu v. Abschnitt 9.A, Aufg. 5, p : In einem seprblen Vektorrum mit Sklrprodukt ist jedes Orthonormlsystem bzählbr. Insbesondere sind in seprblen Vektorräumen mit Sklrprodukt lle Hilbert-Bsen gleichmächtig. Dies gilt übrigens für beliebige Vektorräume mit Sklrprodukt. Beweis: Sei v i, i I, ein Orthonormlsystem im K-Vektorrum V. Für i j liefert der Stz von Pythgors v i v j v i + v j +, d.h. v i v j. Ferner sei V seprbel, d.h. es gebe eine bzählbre Teilmenge W von V, die dicht in V ist. Zu jedem i I gibt es lso ein w i W mit v i w i <. Mit der Dreiecksungleichung sieht mn dnn für i j vi v j v i w i +w i w j +w j v j v i w i + w i w j + v j w j < + w i w j, d.h. w i w j > und somit w i w j. Die Abbildung I W mit i w i ist lso injektiv. D W bzählbr ist, ist uch I und dmit ds Orthonormlsystem v i, i I, bzählbr. Abschnitt 9.A, Aufg. 7, p : Sei V ein Hilbert-Rum mit der Hilbert-Bsis v n, n N. Die Unter-Hilbert-Räume U und W von V seien definiert ls Abschluss von Kv n bzw. Kv n + n+ v n+. Dnn ist U W, ber U + W ist n N n N nicht bgeschlossen, lso kein Unter-Hilbert-Rum von V. Sind U, W ber orthogonle bgeschlossene Unterräume eines Hilbert-Rumes V, so ist uch U + W U W bgeschlossen in V. Beweis: Sei c n : v n + n+ v n+, v n + n+ v n+ +, wn : c / n+ n vn + n+ v n+ und u n : v n. Dnn bilden u n, n N, und w n, n N, Hilbert-Bsen von U bzw. W. Ein Element x U W besitzt nun nch Stz 9.A. c Drstellungen der Form x i N iu i i N b iw i mit i, b i K. Es folgt x, v n+ i I i v i, v n+ und n x, u n x, v n cn / x, w n n+ x, v n+ cn / b n für lle n N und somit x i N iv i sowie x i N b iw i i N c i Dnn ist n x, v n c i v i + i N c i i i+ v i+. n n und somit n für lle n wegen c n, lso x. Dher ist U W. Offenbr liegen die Elemente v n und v n+ der gegebenen Hilbert-Bsis von V lle in U +W. Dher ist U+W dicht in V, lso der Abschluss von U+W gleich V. Es bleibt zu zeigen, dss U+W V ist. Wegen i N i+ < ist i+ v i+, i N, nch Stz 9.A. d eine Cuchy-Fmilie, x : i N i+ v i+ liegt lso im Hilbert-Rum V. Läge x in U +W, so gäbe es eine Drstellung x i N iu i + i N b iw i mit i, b i K. Dnn ist einerseits x, v n+ n+ und ndererseits x, v n+ b n w n, v n+ n+ c/ n b n, lso b n c / > für lle n N. Nch Stz 9.A. d ist nun n N b nw n kein Element von W, d n n N b n ist. Zum Beweis des Zustzes sei z n u n +w n, n N, eine konvergente Folge in U+W mit u n U und w n W. Wegen z n z m u n u m + w n w m sind dnn u n und w n Cuchy-Folgen in U bzw. W und dmit konvergent mit einem Grenwert u U bzw. w W, d U und W bgeschlossen, lso Hilbert-Räume, sind. Dnn ist lim z n u+w U+W. Also ist U+W bgeschlossen. Abschnitt 9.A, Aufg. 8, p : Ein unendlichdimensionler Hilbert-Rum besitzt keine Orthonormlbsis. b Ein seprbler Vektorrum mit Sklrprodukt von überbzählbrer Dimension besitzt keine Orthonormlbsis. Insbesondere besitzt der Vektorrum C K [, b] keine Orthonormlbsis.

15 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 5 Beweis: Sei V ein unendlichdimensionler Hilbert-Rum. Angenommen, v i, i I, sei eine Orthonormlbsis von V im Sinne der Lineren Algebr, es hbe lso jedes y V eine Drstellung y i v i, wobei nur endlich viele der i K von verschieden seien. D I unendlich ist, besitzt I eine bzählbr unendliche Teilmenge, die wir mit N identifizieren können. Setzen wir nun i : für i I N und i : /i + für i N, so ist die Fmilie i, i I, summierbr in R und somit i v i, i I, nch 9.A. d eine Cuchy-Fmilie in V. D V ein Hilbert-Rum ist, ist die Fmmilie sogr summierbr, und es gilt i y, v i für y : i I iv i, vgl. 9.A. e. Andererseits besitzt y ber eine Drstellung y i v i, wobei nur endlich viele der i K von verschieden sind, und uch dfür gilt i y, v i i. Dies ist ein Widerspruch zu i für unendlich viele i. b Hätte der seprble K-vektorrum V mit Sklrprodukt eine überbzählbre Orthonormlbsis wieder im Sinne der Lineren Algebr, so wäre dies ein überbzählbres Orthonormlsystem in V im Widerspruch zum Ergebnis von Aufg. 5. Der K-Vektorrum CK [, b], < b, ht gewiss überbzählbre Dimension. Beispielsweise sind die Funktionen e αt, α K, liner unbhängig. Ds Sklrprodukt ist ntürlich x, y b xtyt dt. Abschnitt 9.A, Aufg. 9, p : Seien V ein Vektorrum mit Sklrprodukt und W ein vollständiger Unterrum von V. Ferner seien x V ein Punkt und y n, n N, eine Folge in W mit lim x y n dx, W. y n, n N, ist eine Cuchy-Folge und dmit konvergent in W. b Ist x : lim y n, so ist x x W und x unbhängig von der Whl der Folge y n. c Die Abbildung p : x x ist die Orthogonlprojektion p W von V uf W. Beweis: Wegen lim x y n d : dx, W ist lim x y n d. Sei nun ε > vorgegeben. Zu ε : ε /4 gibt es ein n N mit x y n d ε für lle n n. Seien nun n, m n. D die ffine Gerde durch y n und y m endlichdimensionl ist, existiert die orthogonle Projektion q von V uf diese Gerde. Sei y : qx W. Nch dem Stz des Pythgors ist dnn x y n x y d und nlog x y m x y d. Es folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung und dnn des Stzes von Pythgors y n y m y n y + y m y x y n x y + x y m x y x y n d + x y m d ε + ε ε. b D die Folge y n nch eine Cuchy-Folge ist und W vollständig ist. konvergiert die Folge gegen ein Element x W. Sei nun w W, w, beliebig und z W ds Bild von x bei der orthogonlen Projektion von V uf die Gerde durch x und x +w. Nch dem Stz des Pythgors ist x z < x x bei z x. Dies ist ein Widerspruch dzu, dss d : dx, W lim x y n x lim y n x x ds Infimum der Entfernungen von x zu einem Punkt von W ist. Also ist z x und dher x x x z orthogonl zu w. Ist uch x W Grenzwert einer Folge von Punkten us W, deren Abstnd zu x gegen dx, W konvergiert, so ist uch x x orthogonl zu W. Ds Dreieck mit den Eckpunkten x, x, x ist nun gleichschenklig und ht zwei rechte Winkel bei x bzw. x. Dnn muss x x sein. c Nch Konstruktion ist px x für x W, lso p W id W. Für x W gilt x px x x W und somit px W W, lso px. Wir zeigen noch, dss p liner ist. Dzu seien x, y V und U sei der von den Bildern x : px, y py und px+ y erzeugte Unterrum von W. Dnn ist offenbr x x dx, U dx, W, y y dy, U dy, W und x+ y px+ y dpx+y, U dpx+y, W. D die Werte der orthogonlen Projektion p U von V uf U nch Stz 3.B.4 mit denen von p übereinstimmen und liner ist, ist uch p liner. Abschnitt 9.A, Aufg., p : Sei U ein Unterrum des K-Hilbert-Rums V. Für einen Vektor x V sind folgende Aussgen äquivlent: x U. x U. 3 Für jeden Vektor y V mit y U ist uch y x. 4 Jede stetige Linerform uf V, die uf U verschwindet, verschwindet uch uf x. Beweis: : Zu x U gibt es eine Folge x n von Elementen x n U mit x lim n x n. Für beliebige Elemente y U gilt dnn x n, y und somit x, y lim x n, y lim x n, y, d.h. x U.

16 6 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 : Wir zeigen zunächst U U. Wegen U U gilt U U. Sei umgekehrt z U. Für y U, lso y lim y n mit y n U, gilt dnn z, y n und folglich z, y z, lim y n lim z, y n, lso z U. D U bgeschlossen und somit vollständig ist, gilt V U U U U nch Stz 9.A.5. Zu x U gibt es dher Elemente u U und u U mit x u + u. Es folgt u u, u x u, u x, u u, u, d.h. u und x u U. 3: Für y V mit y U gilt y U. Ist nun x U, so gilt lso x, y und folglich y x. 3 : Gilt y x für jedes y U, so ist definitionsgemäß x U. 3 4: Sei f V eine stetige Linerform uf V, die uf U verschwindet. D f stetig ist, ist Kern f f bgeschlossen und umfsst dher mit U uch U. 4 3: Sei y V mit y U. Die stetige Linerform z z, y uf V verschwindet dnn uf U und dher nch 4 uch uf x, d.h. es ist x y. Mn bechte, dss die betrchteten Linerformen z z, y nch dem Rieszschen Drstellungsstz 9.A.9 sämtliche stetigen Linerformen uf V sind. Abschnitt 9.A, Aufg., p : Seien V ein K-Vektorrum mit Sklrprodukt und f ein Opertor uf V, der einen djungierten Opertor ˆf besitzt. Es ist Kern ˆf Bild f. b Ist V ein Hilbert-Rum, so gilt Bild ˆf Kern f. Beweis: Es ist Kern ˆf Bild f : Für x Kern ˆf und beliebige Elemente f y Bild f gilt nämlich ˆf x und dher x, f y ˆf x, y, d.h. es ist x Bild f. Es ist Kern ˆf Bild f : Für x Bild f ist f ˆf x Bild f und folglich x, f ˆf x ˆf x, ˆf x ˆf x, d.h. ˆf x und somit x Kern ˆf. b Mit und wegen der Äquivlenz " " in Aufg. sieht mn Bild ˆf Bild ˆf Kern ˆf Kern f. Abschnitt 9.A, Aufg. 3, p : Sei f ein stetiger Opertor uf dem Hilbert-Rum V. Dnn gilt: ˆf f. b Es ist ˆf f f ˆf f. c Es ist Kern ˆf Kern f ˆf und Bild f Bild f ˆf. Beweis: D f stetig ist, besitzt f nch Stz 9.A. einen djungierten Opertor ˆf. Mit 5.A.3 3 folgt dnn ˆf f. b Für lle x V gilt einerseits nch Stz 9.A. ˆf f und somit ˆf f x ˆf f x ˆf f x f x, d.h. es ist ˆf f f. Andererseits liefert die Cuchy-Schwrzsche Ungleichung f x f x, f x ˆf f x, x ˆf f x x ˆf f x, lso f ˆf f. Insgesmt folgt ˆf f f. Anlog wird f ˆf f bewiesen. c Für x V folgt us ˆf x sofort f ˆf x, d.h. es gilt Kern ˆf Kern f ˆf. Sei umgekehrt x Kern f ˆf. Dnn ist f ˆf x und folglich ˆf x ˆf x, ˆf x x, f ˆf x, d.h. ˆf x und somit x Kern f ˆf. Nutzt mn nun die Äquivlenz in Aufg. und dnn Aufg mit f sttt ˆf, so erhält mn Bild f Bild f Kern ˆf Kern f ˆf Kernf ˆf ˆ Bild f ˆf Bild f ˆf. Abschnitt 9.A, Aufg. 4, p : Sei p eine Orthogonlprojektion eines Vektorrums mit Sklrprodukt. Dnn ist p stetig mit p. Beweis: Nch Stz 3.B. ist eine Projektion p genu dnn eine Orthogonlprojektion, wenn px x für lle x V ist, d.h. wenn p stetig mit p ist. D ber für eine x in Bild p gilt px x, ergibt sich sogr p.

17 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 7 Abschnitt 9.A, Aufg. 5, p : Für zwei Orthogonlprojektionen p und q eines K-Vektorrums V mit Sklrprodukt sind äquivlent: p q. q p ist eine Orthogonlprojektion. 3 px qx für lle x V. b Für die Orthogonlprojektionen p,..., p n des K-Vektorrums V mit Sklrprodukt sind äquivlent: p + + p n ist eine Orthogonlprojektion. p + + p n. 3 p i p j für i <j. Beweis: D p und q Orthogonlprojektionen sind, gilt V Bild p Kern p Bild q Kern q. Sei p q, d.h. Bild p Bild q. Wir zeigen V Bild q Kern p Bild p Kern q: D Bild q zu Kern q und Kern p zu Bild p orthogonl ist, sind die beiden ngegebenen Unterräume von V zueinnder orthogonl. Außerdem gibt es zu jedem x V Elemente y Bild q und z Kern q mit x y+z und dzu u Bild p und v Kern p mit y u+v. Es folgt x v +u+z mit u+z Bild p Kern q und v Bild q Kern p. Letzteres folgt us u Bild p Bild q, d u+v y qy qu+qv u+qv ist, lso qv v, und ferner v Kern p. Für v Bild q Kern p gilt nun q pv qv pv v v, für u Bild p gilt q pu qu pu u u und für z Kern q gilt q pz qz pz wegen Kern q Bild q Bild p Kern p. Insgesmt ist q p lso die orthogonle Projektion von V uf Bild q Kern p längs Bild p Kern q. Sei q p eine Projektion. D die Summe p + q p q ebenflls eine Projektion ist, liefert 5.F, Aufg. 5 die Gleichung q pp und somit qp p p. Für jedes u pu Bild p gilt lso u pu qpu qu Bild q. Bemerkung. Einen etws nderen Beweis der Äquivlenz findet mn ls Lösung zu 3.B, Aufg. c. 3 Sei p q, d.h. Bild p Bild q und Kern q Kern p. Zu x V gibt es Elemente y Bild q und z Kern q mit x y + z. Wegen p folgt px py + pz py y qy + qz qx. 3 Sei x Bild p. Aus 3 folgt x px qx q x x wegen q, lso qx x. Zu x gibt es Elemente y Bild q und z Kern q mit x y+ z. Der Stz von Pythgors liefert nun y + z y + z x qx qy + qz y, lso z und somit x y Bild q. b folgt sofort us Aufg. 4. Wir verwenden Induktion über n. Der Fll n ist trivil. Sei nun n und p + +p n. Für lle x V gilt dnn p + + p n x + p n x p + + p n x x. D die p i Orthogonlprojektionen, lso semipositive Opertoren, sind, gilt p + + p n x, x x, p + + p n x. Für x Bild p n, d.h. p n x x, erhält mn so x p + + p n x + x p + + p n x + p + + p n x, x + x. Dies liefert p + + p n x für lle x Bild p n, d.h. p + + p n p n. Dnn gilt uch p n p + + p n. Sind f, g selbstdjungiert mit fg, so gilt fgx, y x, gf y für lle x, y V. Speziell für x gf y ergibt sich gf y, vgl. uch 5.A, Aufg. 7e. Wir erhlten so Bild p + + p n Kern p n Bild p n. Mit dem Stz von Pythgors bekommt die Ausgngsungleichung dnn die Gestlt p + + p n x + p n x p + + p n x + p n x x. Folglich ist p + + p n x x für lle x V und somit p + + p n. Nch Induktionsvorussetzung ist dherp + +p n eine Orthogonlprojektion. Wegenp + +p n p n ist dnn nch 3.B, Aufg. b uch p + + p n eine Orthogonlprojektion. 3 Seip + +p n eine Orthogonlprojektion. D es uf die Reihenfolge derp i nicht nkommt, zeigt der Äquivlenzbeweis von und, dss dnn uch p i +p j für beliebige i, j eine Orthogonlprojektion ist. Mit 3.B, Aufg. b folgt p i p j. 3 Wir verwenden Induktion über n. Der Fll n ist trivil, der Fll n wird in 3.B, Aufg. b behndelt. Beim Schluss von n uf n folgt us p i p j für i <j zunächst nch Induktionsvorussetzung, dssp + +p n Orthogonlprojekion ist und dnn wegenp + +p n p n p p n + +p n p n wieder mit 3.B, Aufg. b, dss uch p + + p n + p n eine Orthogonlprojektion ist.

18 8 Lösungen zu Storch/Wiebe, Bd., Kp. 6 Abschnitt 9.A, Aufg. 6, p : Mit P n bezeichnen wir die in der Rekursionsformel 9.A.4 uftretenden Legendre-Polynome des Intervlls [, b]. Für ihre Ableitungen gilt: Für n ist P n+ P n n + P n. b b Die Beziehung in lässt sich stets zerlegen in P n+ t +b b P n n+ b P n und Beweis: Durch zweimliges Differenzieren erhält mn t +b b P n P n n b P n. P n+ n + t P n t b d n d n+ n+ d n n t t b t t b n+! b n+ dt dt n! b n+ dt d n d t b n n+ d n n t t b t t b n! b n dt dt b b dt d n n d n t b t t b + n! b b n n t t b n dt dt b n+ d n n t t b b dt d n t b n 4nt t b n t t b n! b n dt b b d n +b n 4bn n t t b n! b n dt b d n n t t b P n! b n n dt t. b Wir vergleichen beide Seiten der ersten Formel durch direkte Rechnung. Mit der Leibniz-Regel ht mn d n+ n d n+ n+n+ d n n t +b t t b t +b t t b t t b dt dt dt und folglich P n+ t +b t P n b t d n+ d n+ t +b d n+ n t t b t t b n+! b n+ dt dt n! b n+ dt d n+ n t +b d n+ n t +b t t b t t b n! b n+ dt n! b n+ dt t d n+ n d n n +b t t b + n+ t t b n! b n+ dt dt t +b d n+ n t t b n! b n+ dt n+ d n n n+ t t b P n! b n+ n t. dt b Die zweite Formel ließe sich in nloger Weise erhlten. Wir beweisen sie ber mit der im Buch ngegebenen Anleitung ws uch bei der ersten Formel möglich gewesen wäre. Zunächst zeigen wir mit prtieller Integrtion, dss die linke Seite orthogonl ist zu jedem reellen Polynom Q eines Grdes <n. Es ist ber b t +b b P n t P n t Qt dt