Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel

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1 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Aufgabe. Welche der folgenden Matrizen A = 0 4, B = 3, C = sind über R und welche über C diagonalisierbar? Bestimmen Sie dazu jeweils die charakteristischen Polynome, die Eigenwerte und die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte. Beweis. Da A eine obere Dreiecksmatrix ist, kann man das charakteristische Polynom direkt ablesen als χ A (x) = (x )(x 4)(x 6). Damit hat also A die Eigenwerte, 4 und 6 mit algebraischer Vielfachheit jeweils =. Da die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes stets ist, und die Summe der geometrischen Vielfachheiten stets n ist, haben also auch alle Eigenwerte die geometrische Vielfachheit. Da also die jeweiligen Vielfachheiten übereinstimmen, ist A diagonalisierbar über R (und damit natürlich auch über C). Durch Entwickeln nach der zweiten Zeile erhält man χ B (x) = (x ) (x ), d.h. die Eigenwerte von B sind und mit algebraischer Vielfachheit bzw.. Damit ist auch die geometrische Vielfachheit vom Eigenwert gleich, und da dim ker( I 3 B) =, ist die geometrische Vielfachheit von gerade. Daher ist B weder über R noch über C diagonalisierbar. Das charakteristische Polynom von C berechnet sich als χ C (x) = x(x +9), d.h. C hat den Eigenwert 0 mit geometrischer Vielfachheit gleich gleich algebraischer Vielfachheit (über R oder C) und über C zusätzlich die beiden Eigenwerte ±i3 (jeweils mit beiden Vielfachheiten =). Damit ist C über C diagonalisierbar, da es über C 3 = dimc 3 paarweise verschiedene Eigenwerte gibt. Notwendig dafür, dass eine Matrix über einem Körper K diagonalisierbar ist, ist die Bedingung, dass das charakteristische Polynom über K in Linearfaktoren zerfällt; also kann C nicht über R diagonalisiert werden. Die Matrix C ist schiefsymmetrisch. Man kann ähnlich zu einer früheren Übungsaufgabe zeigen, dass das charakteristische Polynom von C kein Zufall ist: Für schiefsymmetrische Matrizen M gilt χ M (x) = x p(x) für ein Polynom p in x. Aufgabe. Bestimmen Sie eine obere Dreiecksmatrix, die ähnlich zu 3 0 A = 0 0

2 ist. Beweis. Die Jordan-Normalform ist insbesondere eine obere Dreiecksmatrix; diese berechnen wir im Folgenden. Das charakteristische Polynom von A ist χ A (x) = (x ) 3. Da A I 3, besteht die Jordan-Normalform von A entweder aus einem Block der Länge und einem der Länge oder aus einem der Länge 3. Man rechnet aus, dass dim Eig(A, ) = dim ker(i 3 A) =, womit die erste Möglichkeit ausgeschlossen ist, da es in diesem Fall zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert gäbe. Also gilt für die Jordan-Normalform J von A J = was (eine) gesuchte obere Dreiecksmatrix ist, zu der A ähnlich ist. Aufgabe 3. Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und seien ϕ, ψ End(V ). Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert von ϕ ψ auch Eigenwert von ψ ϕ ist. Beweis. Sei 0 v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ von ϕ ψ. Dann gilt ψ ϕ ψ(v) = ψ(λv) = λψ(v). Ist also ψ(v) 0, so ist ψ(v) Eigenvektor von ψ ϕ zum Eigenwert λ, d.h. λ ist auch Eigenwert von ψ ϕ. Ist andererseits ψ(v) = 0, so folgt λv = ϕ ψ(v) = 0, also λ = 0, und es ist zu zeigen, dass 0 ein Eigenwert von ψ ϕ ist, d.h. dass ker ψ ϕ 0. Da V endlichdimensional ist, ist dies gleichbedeutend damit, dass rk ψ ϕ < n := dim V ist. Da ψ(v) = 0, hat aber ψ nicht Vollrang, und damit auch nicht ψ ϕ, was zu zeigen war. Allgemeiner kann man zeigen, dass ψ χ und χ ψ das gleiche charakteristische Polynom haben. Aufgabe 4. Die Abbildung mit, x, y : R 3 R 3 K, x, y = x t Ay 0 3 A = ist ein Skalarprodukt. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von R 3 bezüglich dieses Skalarprodukts.

3 Beweis. Dass die genannte Abbildung tatsächlich ein Skalarprodukt ist, ist bis auf die positive Definitheit klar. Ist v = (x, y, z), so ist v, v = x 6xz + z + y = (x 3 z) + z + y 0 mit Gleichheit genau dann, wenn y = 0, z = 0 und damit auch x = 0, d.h. wenn v = 0. Um die gesuchte Orthonormalbasis von R 3 zu finden, wenden wir das Gram- Schmidt-Verfahren auf die Standardbasis E von R 3 an. Man berechnet e, e = v := e e = e, w := e e, v = e v := w = e, w 3 := e 3 e 3, v e 3, v = e 3 +3v, w 3 = 4 9 v 3 := 4 9 w 3. Also bildet ( e, e, (e e )) ein Orthonormalsystem für R 3 bezüglich des Skalarproduktes,. Aufgabe. Bestimmen Sie die Jordan-Normalformen der folgenden Matrizen über Q: ( ) A =, B = 0, C = Beweis. Das charakteristische Polynom von A ist χ A (x) = (x ), und da der Eigenwert die geometrische Vielfachheit hat, ist die Jordan-Normalform gegeben durch ( ) J A =. Das charakteristische Polynom von B ist χ B (x) = (x ) (x 3), und da der Eigenwert die geometrische Vielfachheit hat, ist die Jordan-Normalform gegeben durch J B =. 3 3

4 Das charakteristische Polynom von C ist χ C (x) = (x ) (x ), und da der Eigenwert die geometrische Vielfachheit hat, der Eigenwert die geometrische Vielfachheit hat, ist die Jordan-Normalform gegeben durch J C =. Aufgabe 6. Finden Sie eine komplexe Matrix in Jordannormalform, die die folgenden Eigenwerte hat: mit algebraischer Vielfachheit 3 und geometrischer Vielfachheit, mit algebraischer Vielfachheit 4 und geometrischer Vielfachheit 3, mit algebraischer Vielfachheit und geometrischer Vielfachheit. Beweis. Die Matrix A := hat die gewünschten Eigenschaften. Aufgabe 7. Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und f End(V ). Zeigen Sie, dass ein f-invarianter Unterraum U von V mit dim U {, } existiert. Beweis. Sei A := B f B R n n die Darstellungsmatrix von f bezüglich einer Basis B von V. Dann kann man A auch als komplexe Matrix auffassen, d.h. A C n n. Sei nun v C n ein Eigenvektor zum Eigenwert a + bi von A und v := v r + iv i die Zerlegegung von v in Real- und Imaginärteil für gewisse Vektoren v r, v i R n. Dann ist der von v i und v r aufgespannte Unterraum U einoder zweidimensional (denn v 0); und dieser ist auch A invariant: Es reicht zu zeigen, dass Av r U und Av i U. Nun gilt Av r + iav i = Av = (a + bi)(v r + iv i ) = (av r bv i ) + i(av i + bv r ), und nach Trennen in Real- und Imaginärteil erhält man Av r = av r bv i U und Av i = av i +bv r U. Damit ist U also auch f invariant, was zu zeigen war. 4

5 Aufgabe 8. Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und seien u, w V. Zeigen Sie, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind: a) u = w; b) u, v = w, v für alle v V ; c) Ist {v, v,... v n } eine Orthonormalbasis von V, dann gilt u, v i = w, v i für alle i =,,..., n. Beweis. (i) (ii) ist genauso klar wie (ii) (iii), zu zeigen ist also nur (iii) (i). Dies ist aber auch klar nach dem Satz über Koordinaten bez gulich einer Orthonormalbasis, vgl. den entsprechenden Satz aus der Vorlesung.