II. Wissenschaftliche Argumentation

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1 Gliederung I. Motivation II. Wissenschaftliche Argumentation i. Direkter Beweis ii. iii. Indirekter Beweis Beweis durch vollständige Induktion Seite 35

2 II. Wissenschaftliche Argumentation Ein Beweis ist die gültige Herleitung der Richtigkeit oder auch Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind. Bei einem direkten Beweis wird die Behauptung durch Anwendung von bereits bewiesenen Aussagen und durch logische Folgerungen bewiesen. Bei einem indirekten Beweis (Widerspruchsbeweis) zeigt man, dass ein Widerspruch entstünde, wenn die zu beweisende Behauptung falsch wäre. Dazu nimmt man an, dass die Behauptung falsch ist und wendet die gleichen Methoden wie beim direkten Beweis an. Wenn daraus ein Widerspruch entsteht, dann kann die Behauptung nicht falsch sein, also muss sie richtig sein. Bei einem Beweis mittels vollständiger Induktion wird zuerst gezeigt, dass die Aussage für einen Ausgangswert gilt, und danach, dass sie auch für jeden Nachfolger n+1 (bzw. Vorgänger n-1) gilt, wenn sie für n gültig ist. Seite 36

3 II. Wissenschaftliche Argumentation: Direkter Beweis Beispiele zum direkten Beweis: z.z.: Das Quadrat einer geraden natürlichen Zahl ist gerade. Es sei eine gerade natürliche Zahl. Dann lässt sich darstellen als, wobei eine natürliche Zahl oder Null ist. Da die Zahl 4 gerade ist, ist auch jedes vielfache von 4 gerade. Daraus folgt direkt, dass gerade ist. Seite 37

4 II. Wissenschaftliche Argumentation: Direkter Beweis Beispiele zum direkten Beweis: Die Funktion besitzt im Intervall [0,2] mindestens eine Nullstelle. 1. Möglichkeit: 2. Möglichkeit: ist ein Polynom und damit eine stetige Funktion. Da folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass auf dem Intervall [0,2] mindestens eine Nullstelle existieren muss. Seite 38

5 II. Wissenschaftliche Argumentation: Indirekter Beweis Beispiele zum indirekten Beweis: Zu beweisen sei die Aussage, also. Annahme: Die Negation dieser Aussage sei wahr: Es gelte. Wenn eine rationale Zahl ist, lässt sie sich als Bruch darstellen:, mit teilerfremd, gekürzt. ist durch 2 teilbar. ist durch 2 teilbar. Seite 39

6 II. Wissenschaftliche Argumentation: Indirekter Beweis Beispiele zum indirekten Beweis: ist durch 4 teilbar. ist also ebenfalls gerade. Dies ist offensichtlich ein Widerspruch zu oben, da und ja teilerfremd sein sollen. Somit ist die Annahme falsch. Die Negation der Annahme muss folglich richtig sein: ist wahr. Seite 40

7 II. Wissenschaftliche Argumentation: Indirekter Beweis Beispiele zum indirekten Beweis: Gegeben seien 2 Güter und. Diese können von einem Haushalt in unterschiedlichen Mengen erworben werden. Bestimmte Mengenkombinationen der beiden Güter bekommen von dem Haushalt den gleichen Nutzen zugemessen. Hat eine Mengenkombination von dem einen Gut mehr und von dem anderen nicht weniger, so hat diese Mengenkombination garantiert einen höheren Nutzen. Die Mengenkombinationen gleichen Nutzens lassen sich auf einer Indifferenzkurve abbilden. Behauptung: Wenn mehrere Indifferenzkurven existieren, dann gibt es keine Schnittpunkte verschiedener Kurven. Es existieren mehrere Indifferenzkurven. Es gibt keine Schnittpunkte verschiedener Kurven, Zu Beweisen ist also: Seite 41

8 II. Wissenschaftliche Argumentation: Indirekter Beweis Annahme: Es gilt die Negation der obigen Aussage, also Seite 42

9 II. Wissenschaftliche Argumentation: Indirekter Beweis und sind die Nutzen der beiden Indifferenzkurven. Im Punkt schneiden sich beide Kurven. Damit gilt die Aussage: Der Nutzen der beiden Kurven ist gleich. In den beiden Punkten und steht zwar die gleiche Menge zur Verfügung, allerdings ist im Punkt die verfügbare Menge an höher, wodurch oder einfacher gilt. Daraus folgt die Aussage: Der Nutzen der beiden Kurven ist verschieden. Es muss also gelten, was offensichtlich einen Widerspruch darstellt. Damit ist die Annahme falsch und die Negation der Annahme muss richtig sein: ist wahr. Seite 43

10 II. Wissenschaftliche Argumentation: Vollständige Induktion Beispiele zur vollständigen Induktion: Behauptung: Induktionsanfang: Für ist die Behauptung erfüllt: Induktionsannahme: Induktionsschluss: Seite 44

11 II. Wissenschaftliche Argumentation: Vollständige Induktion Beispiele zur vollständigen Induktion: In der Graphentheorie wird häufig die Behauptung ausgenutzt, dass ein kreisfreier, zusammenhängender Graph immer genau eine Kante weniger als Knoten besitzt. Induktionsanfang: Knoten Ein zusammenhängender, kreisfreier Graph mit nur einem Knoten besitzt trivialer weise keine Kante. Induktionsannahme: Alle kreisfreien, zusammenhängenden Graphen mit Knoten besitzen Kanten. Induktionsschluss: Ein kreisfreier, zusammenhängender Graph mit Knoten besitzt Kanten. Entnimmt man diesem Graphen einen Knoten, so zerfällt der Graph in Teilgraphen, die alle zusammenhängend und kreisfrei sind. Für alle diese Teilgraphen gilt durch die Induktionsannahme: Teilgraph besitzt Knoten und Kanten. Seite 45

12 II. Wissenschaftliche Argumentation: Vollständige Induktion Beispiele zur vollständigen Induktion: Der ursprüngliche Graph bestand aus all diesen Knoten und Kanten, plus zusätzlich einem Knoten mit je einer Kante zu allen Teilgraphen. Anzahl Knoten Anzahl der Kanten Seite 46

13 II. Wissenschaftliche Argumentation: Vollständige Induktion Beispiele zur vollständigen Induktion: Behauptung: Sind natürliche Zahlen und, dann ist. Diese Aussage ist offensichtlich falsch, aber wo ist der Fehler bei folgendem Beweis? Induktionsanfang: Induktionsannahme: Induktionsschluss: Zu zeigen ist, dass Hierfür gibt es keinen Induktionsanfang! (folgt aus Annahme) Seite 47