Formulierungsvariante: Wie klein man auch immer eine Umgebung von 0 wählt, es liegen stets nur endlich viele Glieder ausserhalb dieser Umgebung.

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1 3 8. Nichtabbrechede geom. Reihe Aufgabe: Utersuche das Verhalte der Folgeglieder q, we über alle Greze wächst! Wähle q =,.0,, 0.99, 0.5. Welche Eifluss hat das Vorzeiche vo q? Ergebis: Für - < q < ehme die Beträge der Folgeglieder mit wachsedem städig ab ud werde schliesslich beliebig klei (beachte, dass die Poteze q für egative q das Vorzeiche wechsel). Die Folgeglieder werde schliesslich kleier als jede och so kleie positive Schrake, sofer ur hireiched gross gewählt wird. Formulierugsvariate: Wie klei ma auch immer eie Umgebug vo 0 wählt, es liege stets ur edlich viele Glieder ausserhalb dieser Umgebug. Dazu ei Beispiel mit = Für welche gilt < = log Gilt für eie Folge a der obe beschriebee Sachverhalt, da sage wir, die Folge hat für gege uedlich de Grezwert 0 ud schreibe dafür: lim a 0 Mit dieser Defiitio gilt damit der folgede Satz : q lim q FOLG3/ul Beweis dieses Satzes mit der sogeate Beroullische Ugleichug. Bem.: Hat eie Folge eie edliche Grezwert, so sagt ma, sie ist koverget. Für q > oder q < - d.h. für q werde die Beträge der Folgeglieder schliesslich grösser als jede och so grosse positive Zahl. I diesem Fall hat die Folge keie Grezwert. Wir sage: Die Folge hat keie edliche Grezwert, sie ist diverget. Dazu ei Beispiel: gilt für > Zusammefassug: Für q > hat die Folge q keie Grezwert, sie ist diverget. Für q < hat die Folge q de Grezwert 0, die Folge ist koverget. Die Folge q ist eie sogeate Nullfolge. Spezialfälle: q = -: Die alterierede Folge -,, -,, -, hat keie Grezwert q = Die kostate Folge hat trivialerweise de Grezwert.

2 4 Durch Additio der Glieder eier Folge, erhält ma die zugehörige Reihe. Im folgede utersuche wir das Verhalte vo geometrische Summe für wachsede. B: s = + / + / 4 + / 8 + / ( / ) - s = - s = - / s 3 = - / 4... s Addiert ma hireiched viele Glieder dieser Folge, so uterscheide sich die Summe s schliesslich vo beliebig weig (durch jede weitere Summade wird der Abstad zu halbiert). Wir sage dafür: s hat für gege uedlich de Grezwert. Allgemei gilt: Satz : Die ichtabbrechede geometrische Reihe hat für - < q < die Summe q a s lims lima (*) q q Begrüdug: Gemäss Satz hat der Zähler i der Summeformel der geometrische Reihe de Grezwert. B: s = - / + / 4 - / 8 + / 6 -.= / 3 Bei dieser alterierede Reihe äher sich die Teilsumme dem Grezwert vo beide Seite. Bem. Das Wort Summe ist als Abkürzug für de Grezwert der Teilsummefolge s zu verstehe. Bei der Utersuchug vo Reihe betrachtet ma also die zugehörige Teilsummefolge (vgl. harmoische Reihe) FOLG3/ul

3 5 Die folgede Beispiele illustriere de ubeschwerte Umgag des grosse Mathematikers Euler mit dem Uedlich Grosse ud Uedlich Kleie: Aus Vollstädige Aleitug zur Algebra : I (*) a = ud q = gesetzt... 0 Wir habe aber scho obe bemerkt, dass /0 eie uedlich grosse Zahl sei, ud dieses wird hier vo euem auf das schöste bestätigt. I (*) a = ud q = gesetzt welches dem erste Ablick ach ugereimt erscheit I (*) a = ud q = - gesetzt... so ka weder och 0 herauskomme, soder etwas darzwische, welches ½ ist. Periodische Dezimalbrüche Periodische Dezimalbrüche köe als ichtabbrechede geometrische Reihe aufgefasst werde Beispiele: = = = / = / / 990 = 3 / = 7 / 99 = 3 / Aufgabe: Stelle de folgede periodische Bruch im Zwölfersystem als Bruch im Dezimalsystem dar: b= b = / + 5 / / = / + 5 / 3 = 7 / 3 = 9 / 44 Aufgabe: Welche Fehler r begeht ma, we ma die ichtabbrechede Reihe ach dem -te Glied abbricht? Der Fehler r ist eie ichtabbrechede geometrische Reihe mit dem Afagsglied aq aq r mit - < q < q B: Nähert ma de periodische Dezimalbruch durch 0.7 a, so beträgt der Fehler r also ugefähr 0.3% FOLG3/ul

4 6 Das Sophisma (spitzfidige Folgerug) des Zeo vo Elea (um 450 v.chr.): Zeo lehrte: "Der fliegede Pfeil fliegt icht, de wie sollte er i eier begrezte edliche Zeit eie Strecke durchfliege, die ma doch beliebig oft (also i uedlich viele Teile) zerlege ka? (vgl. die Beilage) Achilles verfolgt eie Schildkröte, die eie Vorsprug vo Stadio (ca. 9 m) hat mit 0- facher Geschwidigkeit. We Achilles dahi gelagt, wo die Schildkröte afags war, so ist diese um / 0 Stadio voraus; hat Achilles diese Strecke durchlaufe, so ist die Schildkröte um / 00 Stadio weitergekroche usw. Achilles ka also die Schildkröte ie eihole. Wori liegt der Trugschluss? Wo holt Achilles die Schildkröte wirklich ei? Der Eiholweg s i Stadie ka als ichtabbrechede geometrische Reihe geschriebe werde: s = + / 0 + / 00 + / / = 0 / 9 Im Laufe des Rees immt der Vorsprug der Schildkröte ab. Wird dieser immer kleier werdede Vorsprug zu uedlich viele Zeitpukte gemesse, da immt die für das Zurücklege dieser Strecke beötigte Zeit ebefalls ab. Der Eiholzeitpukt 0 / 9 ist zwar Grezwert dieser Folge, er wird aber i dieser Folge icht erreicht. I der reale Zeit bzw. durch adere Folge vo Zeitpukte überholt Achilles selbstverstädlich die Schildkröte, sofer ur vo der Folge der Zeitpukt 0 / 9 überschritte wird. Der Widerspruch ka also aufgelöst werde, we zwische der reale Zeit (Mege der reelle Zahle) ud der Zeit, die beim gleichförmige Durchlaufe eier Folge vergeht, uterscheide wird (Mege der atürliche Zahle). I edlicher Zeit köe sich uedlich viele Vorfälle ereige. (ach Beder, Fehlvorstelluge bei Folge ud Grezwerte MNU 44/4) FOLG3/ul

5 9.0.0 FOLG3/ul 7

6 9.0.0 FOLG3/ul 8

7 9 Geometrische Veraschaulichug der Summeformel für 0 < q < Skizze: a = 3, a = Die ichtabbrechede Summe ka für 0 < q < durch eie ichtabbrechede Streckezug veraschaulicht werde. Nach dem. Strahlesatz (bzw. Defiitio des Tages) gilt: RQ ta OQ ud daraus a s q a SP s a q a OP s Aufgabe: Bereche die Läge L der Spirale ud die Koordiate des Grezpukts G. a = 9, q = / 3 (Eiheit: Häusche) Läge L der Spirale: L = = 9 3 = 7 x G = = 8 / 3 y G = 6-8 / = 54 / 3 oder als Schittpukt der Gerade AC ud BD. AC : y = / 3 x BD: y = - 3 / x + 7 / Gleichsetze der rechte Seite ergibt ereut die Koordiate des Grezpukts G( 8 / 3, 54 / 3 ) FOLG3/ul

8 30 Aufgabe:. Zeiche ei gleichseitiges Dreieck der Seiteläge 6 mit seiem Seitemittedreieck ud markiere eies der drei etstehede Eck-Teildreiecke.. Kostruiere im (letzte) Seitemittedreieck wieder desse Seitemittedreieck ud markiere dasjeige Eckdreieck, das a das vorher markierte aliegt. 3. Wiederhole de Schritt solage es die Zeichegeauigkeit zulässt. a) Wie gross wird die vo de markierte Dreiecke bedeckte Fläche, we das Verfahre beliebig oft wiederholt wird? b) Welche Läge hat i diesem Fall der Streckezug, der sich aus je eier Seite der markierte Dreiecke ergibt? Wird die Fläche des erste Dreiecks als ageomme, so ergibt sich die Flächesumme als Summe eier ichtabbrechede geometrische Reihe A = / 4 + / 6 + / = / 3 Da im Dreieck drei kogruete Spirale eigezeichet werde köe, muss dieses Summe gleich eiem Drittel der Fläche des erste Dreiecks sei. Für die Streckesumme ergibt sich (mit der Eiheit Seiteläge): s = / + / 4 + / 8 + / 6 + / 3 + / Die Summe ka auf die erste zurückgeführt werde: s = ( / 4 + / 6 + / ) + ( / + / 8 + / 3 + / ) = ( / 4 + / 6 + / ) + ( / 4 + / 6 + / 64 + / ) = / 3 + / 3 = Das Resultat ist aschaulich,de bei der Abwicklug der Spirale auf der Dreieckseite kommt mit jedem eue Stück die Hälfte der Ergäzug zur gaze Seite dazu FOLG3/ul

9 3 Lösug der aaloge Aufgabe i eiem Quadrat: Flächesumme A = / 8 + / 6 + / 3 + / = / 4 I diesem Fall fülle vier kogruete Spirale das Quadrat aus. Läge des Streckezuges: s Durch geschickte Zusammefassug der Reiheglieder ka die Summe auf bekate Summe zurückgeführt werde: s Weiterführe der Idee für reguläre Füf-, Sechsecke, FOLG3/ul

10 9.0.0 FOLG3/ul 3 Zusatzfrage: Welche Läge habe die Spirale, we die Seite icht halbiert, soder i drei, vier,.. allgemei i Teile geteilt werde (vgl. die Abbildug für = 0) Wählt ma zuächst die Quadratseite, so etstehe a de Ecke des Quadrats rechtwiklige Dreiecke, die zum Dreieck mit de Kathete ud ( -) ählich sid. Die Hypotheuse berechet sich da zu ) (. Das Verhältis aufeiaderfolgeder Strecke der Spirale ist gleich der Verhältis aufeiaderfolgeder Quadratseite q Die Läge der Spirale ergibt sich damit zu ) ( ) ( ) ( L ) ( Wählt ma als Seiteläge des Ausgagsquadrat, so ergibt sich ach Divisio durch für die Läge der Spirale: L Kotrolle für = : L