Kapitel IV: Unendliche Reihen
|
|
|
- Gisela Engel
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe Kapitel IV: Uedliche Reihe 11 Uedliche Zahlereihe A Zum Begriff uedliche Zahlereihe B Uedliche Reihe mit lauter positive Glieder C Uedliche Reihe mit positive ud egative Glieder D Alterierede Reihe 65
2 Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe A. Zum Begriff uedliche Zahlereihe DEFINITION (Begriff der uedliche Reihe.) Es sei a0, a1, a2, eie reelle Zahlefolge. Uter der uedliche Reihe a a a a versteht ma die Folge s0, s1, s2, edlicher Summewerte mit s a Die Summade 0 : 0 s1: a0 a1 s2 : a0 a1 a2 s : a a a a a Partialsumme der Reihe. a heiße Glieder der Reihe ud die Summe s 0 a DEFINITION (Kovergez ud Divergez eier uedliche Reihe.) Es sei a0, a1, a2, eie reelle Zahlefolge. Ma sagt die uedliche Reihe a0 a1a2 a ist overget, we die Folge s 0, s 1, s 2, ihrer Partialsumme 0 s s eie reelle Grezwert lim hat. I diesem Fall et ma s auch die Summe der uedliche Reihe ud schreibt s a a a a Hat die Partialsummefolge s 0, s 1, s 2, eie reelle Grezwert, so et ma die uedliche Reihe diverget. Bemerug. (Bestimmte Divergez ud Divergez.) Bei divergete uedliche Reihe a 0 a 1 a 2 a 0 uterscheidet ma och zwische bestimmter Divergez, d.h. a lim s bzw. 0 0 a lim s, ud (ubestimmter) Divergez, d.h. der uedliche Reihe a a i verüftiger 0 Weise weder ei reeller Summewert och eier der Werte oder zugeordet werde. 66
3 Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe Bemeruge. (geometrische Reihe [i], harmoische Reihe [ii], LEIBNIZsche Reihe [iv]) (i) Geometrische Reihe. 1 a falls 1 q 1 overget 1 q aq falls q 1 bestimmt diverget ( a 0, q ) 0 falls q 1 diverget (ii) Harmoische Reihe (bestimmt diverget) (iii) (overget) 1 (iv) LEIBNIZsche Reihe ( 1) 1 l2 (overget) B. Uedliche Reihe mit lauter positive Glieder SATZ Es sei eie uedliche Reihe mit lauter positive Glieder 0. Da a stets ur geau eier der beide folgede Fälle [(i) oder (ii)] eitrete: (i) Die uedliche Reihe ist ach obe beschrät, d.h. es gibt eie Schrae B mit B für alle 0. I diesem Fall ist die uedliche Reihe overget, 0 0 mit passedem Summewert. (ii) Die uedliche Reihe ist icht ach obe beschrät. I diesem Fall ist die uedliche Reihe bestimmt diverget, 0. 67
4 Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe SATZ (Majorateriterium.) (a) Es sei eie uedliche Reihe mit lauter positive Glieder 0 ud sei eie weitere uedliche Reihe mit lauter positive Glieder, wobei für alle 0 gelte. Die Vergleichsreihe (Majorate) (i) Da muss auch (ii) Ist 0 sei als overget beat. 0 overgiere. 1 die (ubeate) Summe der uedliche Reihe, sowie die -te Partialsumme ( ), so gilt die Abschätzug 1 ( ). 1 D.h. wählt ma de -te Partialsummewert als Näherugswert für die ubeate Summe der uedliche Reihe, so ist der Fehler höchstes gleich (b) Es sei eie uedliche Reihe mit lauter positive Glieder ud sei eie weitere uedliche Reihe mit lauter positive Glieder, wobei für alle 0 gelte. Die Vergleichsreihe (Miorate) 0 sei als bestimmt diverget beat, d.h. 0. Da ist auch 0 bestimmt diverget, d.h. es ist 0. 68
5 Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe SATZ (Quotieteriterium.) Es sei eie uedliche Reihe mit lauter positive Glieder Ferer sei die Quotietefolge ( ) : overget gege de Grezwert 0 q. Da gilt: (i) Ist q lim 1 1, so ist passedem Summewert. 0 overget. Es gilt also 0 mit (ii) Ist q lim 1 1, so ist 0 bestimmt diverget. Es gilt 0. 1 Bemerug. Im Falle q lim 1 hilft das Quotieteriterium icht weiter ud für die Frage der Kovergez sid adersartige Utersuchuge azustelle. SATZ (Itegralriterium.) Es sei eie uedliche Reihe mit lauter positive Glieder 0. Ferer gebe es eie mooto fallede iterpolierede Futio :]0, [ mit ( ) für alle. (i) Geau da ist eie edliche Wert hat. (ii) Ist 1 1 overget, we das ueigetliche Itegral overget ud ist uedliche Reihe, sowie Abschätzug: ( ) 1 d 1 die (ubeate) Summe der die -te Partialsumme ( ), so gilt die 1 ( d ). D.h. wählt ma de -te Partialsummewert als Näherugswert für die ubeate Summe der uedliche Reihe, so ist der Fehler ( ) d. 1 höchstes gleich 69
6 Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe C. Uedliche Reihe mit positive ud egative Glieder DEFINITION (Absolute Kovergez eier uedliche Reihe.) Ma sagt die uedliche Reihe a0 a1a2 a 0 ist absolut overget, we die Reihe der Beträge mit : a overgiert. Bemerug. Zur Feststellug, ob eie vorgelegte Reihe absolut overgiert a ma zum Beispiel die Kriterie aus Abschitt B) heraziehe, de die Reihe a besteht 0 aus lauter ichtegative Glieder. SATZ Jede absolut overgete Reihe ist overget (im gewöhliche Si). SATZ Die uedliche Reihe a 0 a 1 a 2 a 0 sei absolut overget. Weiter sei 0 12 die uedliche Reihe mit : a sowie s a ud (i) Es gilt s (ii) Ist 0. 0 ud s s 0 0. a 0 s, so gilt: a a [ ] D.h. wählt ma de -te Partialsummewert s als Näherugswert für die ubeate Summe s der uedliche Reihe höchstes gleich (Zur weitere Abschätzug vo a 1 a , so ist der absolute Fehler 1 s s a ach obe a ma gegebeefalls z.b. auf das Itegralriterium [Satz 11.6] i Abschitt B zurücgreife.) 70
7 Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe D. Alterierede Reihe DEFINITION (Alterierede Reihe.) Eie uedliche Reihe, dere Glieder abwechseld positiv ud egativ sid, heißt alterierede Reihe. SATZ (LEIBNIZ-Kriterium für alterierede Reihe.) Es sei b b b ( 1) b ( b 0 für alle 0 ) eie alterierede Reihe, wobei b 0, b 1, b 2, eie mooto fallede Nullfolge sei, d.h. es sei b0 b1 b2 b3 ud lim b 0. (i) Da overgiert die Reihe b0 b1b2 ( 1) b. 0 (ii) Wählt ma de -te Partialsummewert s b0 b1b2 b3 ( 1) b als Näherugswert für die ubeate Summe s ( 1) b der uedliche Reihe, so ist 0 der absolute Fehler s s höchstes gleich b 1, s s b 1. (Überdies ist s s egatives Vorzeiche hat, ud s s Reiheglied positives Vorzeiche hat.), falls das letzte zur Berechug vo s verwedete Reiheglied, falls das letzte zur Berechug vo s verwedete 71
3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.
3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie
Repetitorium Analysis 1 für Physiker WS08/09 Montag - Folgen und Reihen Musterlösung
Repetitorium Aalysis für Physier WS08/09 Motag - Folge ud Reihe Musterlösug. Verstädisfrage Thomas Blasi a Sid folgede Aussage richtig oder falsch: Jede overgete Folge hat eie Grezwert. Richtig. i Der
KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen
KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele
Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen
KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:
Musterlösung Vortragsübung Blatt 14 Vorwort. Variante der harmonischen Reihe.
Musterlösug Vortragsübug Blatt 4 Vorwort. Variate der harmoische Reihe. Folgede Aussage wird i der achfolgede Musterlösug ab ud a gebraucht ud öte sich für Sie auch außerhalb der HM durchaus als ützlich
24 Konvergente Teilfolgen und Cauchy-Kriterium
120 IV. Uedliche Reihe ud Taylor-Formel 24 Kovergete Teilfolge ud Cauchy-Kriterium Lerziele: Kozepte: Teilfolge, Häufugswerte, Limes superior ud iferior, Cauchy-Folge Resultate: Satz vo Bolzao-Weierstraß,
Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17
Folge, Reihe Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4
Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I
Aufgabe ud Lösuge Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 2008/2009 Übug am 09.2.2008 Übug 8 Eileitug Es soll och eimal auf die agebotee Sprechstude higewiese werde, sowie auf mögliche
4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dr. T. Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge
1. Zahlenfolgen und Reihen
. Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,
$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,
Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen
Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-,
α : { n Z n l } n a n IR
1 KAPITEL VI. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN 1) REELLE ZAHLENFOLGEN: i) Jede Abbildug α : IN a IR heiÿt 'reelle Zahlefolge' bzw. 'Folge i IR'. Ma otiert diese i der Form α = a ) IN = a ) =0 = a 0, a 1, a 2,...)
3.2 Reihen Folgen und Reihen. Beispiele : (i) a n+1 = 1 2 beschränkt. a n 2. ), n N, a 1 = 2; zeigen: (a n ) n monoton fallend & nach unten
6 3 Folge ud Reihe Beispiele : i + = beschrät Satz 3..5 + = +, N, a = ; zeige: ooto falled & ach ute + a = li + = + s.o. a + = + a = a + a a = a a+ a ii x =, x + = + x, =,,... x ooto wachsed: Idutio: x
Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung
Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug 0.0.0. Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud
( 1) n a n. a n 10. n=1 a n konvergiert, dann gilt lim a n = 0. ( 1) n+1
Kapitel 8 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe 8. Gegebe ist eie Folge
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
Aufgaben zu Kapitel 8
Aufgabe zu Kapitel 8 Aufgabe zu Kapitel 8 Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe
6 Grenzwerte von Zahlenfolgen
6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z
6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
1. Folgen ( Zahlenfolgen )
. Folge ( Zahlefolge Allgemeies Beispiel für eie regelmäßige Folge: /, /3, /4, /5, /6,... Das erste Glied ist a =/ Das ist das Glied mit dem Ide Das zweite Glied ist a =/3 Das ist das Glied mit dem Ide
Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8
Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 8 032203 Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir
1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch
Ma zeige, daß IR, d i ), i,, metrische Räume sid, we für x x,, x ), y y,, y ) IR die Abstadsfuktioe durch d x, y) x y, d x, y) x y ), d x, y) max x y gegebe sid Lösug: Ma muß für alle drei Fuktio d i x,
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 3..05 Höhere Mathemati für die Fachrichtug Physi Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Vorbemerug
4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
Tutorium Mathematik I, M Lösungen
Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) 2 +3 3 2 +1 3 ( 2 +1) 2 + 3 ( 2 +3) (g)
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7
5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge
KAPITEL 2. Zahlenfolgen
KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................
KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...
KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4
4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a
Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I
Aufgabe ud Lösuge Weihachtsgescheke zur Vorlesug Aalysis I Der Witersemester 008/009 Übug am 4.., 5..008 sowie 0.0.009 Aufgabe. Folge Aufgabe Ma bestimme, ob die Folge (a ) mit a = + 3 + 4 kovergiert ud
Zahlenfolgen. Zahlenfolgen
Zahlefolge Eie Zahlefolge a besteht aus Zahle a,a,a 3,a 4,a 5,... Die eizele Zahle eier Folge heiße Glieder oder Terme. Beispiele für Zahlefolge sid die atürliche Zahle: 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5..., die gerade
5 Folgen. 5.1 Konvergenz von Folgen. Definition: Zu jedem 0 existiert ein N so, daß. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt
Prof. Dr. Berd Dreseler 5 Folge 5.1 Kovergez vo Folge Defiitio: Eie Folge a heißt koverge t, we es eie Zahl a mit folgeder Eigeschaft gibt: Zu jedem 0 existiert ei N so, daß a a für alle > N Die Zahl a
Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:
Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
Gegebenenfalls heisst die Zahl s. der Reihe, und man schreibt
Prof. Dr. Berd Dreseler 6 Reihe 6.1 Kovergez vo Reihe Gegebe sei eie Folge s 1 1, 2 1 2 3 1 2 3... s s, s..., 1 2 1, wird der Folge eie weitere Folge omplexer Zhle. Durch s zugeordet. www.berd-dreseler.de
Grenzwerte von Folgen. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Grezwerte vo Folge -E Ma Lubov Vassilevskaya Berechug vo Grezwerte: Aufgabe Die Berechug vo Grezwerte ka oft ziemlich umstädlich sei. Die etwickelte Regel vereifache oft solche Berechuge. Diese Regel beruhe
AUFGABEN. Verständnisfragen
AUFGABEN Gelegetlich ethalte die Aufgabe mehr Agabe, als für die Lösug erforderlich sid. Bei eiige adere dagege werde Date aus dem Allgemeiwisse, aus adere Quelle oder sivolle Schätzuge beötigt. eifache
Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Aalysis I 5. Übugsstude Steve Battilaa steveb@studet.ethz.ch battilaa.uk/teachig March 9, 07 Erierug Satz. Quotietekriterium (bei!,,...) Das Quotietekriterium zeigt absolute Kovergez. lim a +
Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt
Aalysis I für M, LaG/M, Ph 8Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr Robert Haller-Ditelma 0206200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergezkriterie/Kovergezradie) (a)
4-1 Elementare Zahlentheorie
4-1 Elemetare Zahletheorie 4. Dirichlet s Satz über Primzahle i arithmetische Progressioe. Satz (Dirichlet 1837). Seie a, k atürliche Zahle. Sid die Zahle a, k teilerfremd, so gibt es uedlich viele Primzahle
Aufgabe 4.2. (a) lim 7 + = (b) lim. ( 2n 3 6n 2 + 3n 1. (c) lim n n 2 ( 1) n n 3) = lim. (d) n n + 1. lim. (e) n n. Aufgabe 4.3.
Folge Eie Folge ist eie Aordug vo reelle Zahle. Die eizele Zahle heiße Glieder der Folge. Kapitel 4 Folge ud Reihe Formal: Eie Folge ist eie Abbildug a : N R, a Folge werde mit a i i oder kurz a i bezeichet.
4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert.
13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape 3. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 009/00 6./7. Jauar 00 Gruppeübug Aufgabe G (Reihe)
Es geht nun um spezielle Folgen, deren Glieder durch Summation entstehen. Reihen gibt es spezielle Konvergenzkriterien. n k=1
Kapitel 3 Reihe Es geht u um spezielle Folge, dere Glieder durch Summatio etstehe. Für diese Reihe gibt es spezielle Kovergezriterie. 4..03 3. Defiitioe, Beispiele, Sätze Defiitio 3.: (Reihe) Die eier
Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen
Agabe Aalysis - Beweise, Vollstädige Idutio, Folge 4. März 0 Aufgabe : Zum Aufwärme i Zeige durch geschictes Umforme, dass + + gilt. +!!!!!! +!! +! + + + + + ii Zeige durch vollstädige Idutio, dass 6 +
5-1 Elementare Zahlentheorie
5- Elemetare Zahletheorie 5 Noch eimal: Zahletheoretische Fuktioe 5 Der Rig Φ als Rig der formale Dirichlet-Reihe! Erierug: Ei Polyom mit Koeffiziete i eiem Körper K ist ach Defiitio ichts aderes als eie
Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen
Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:
Lösungen 7.Übungsblatt
Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) WS 20/202 Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.tech. Raier Madel Lösuge 7.Übugsblatt Aufgabe 25 (K) Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede
Reihen. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a
6 Reihe Folge besoderer Art sid uedliche Summe a k = a + a 2 +... reeller oder komplexer Zahle, dee wir bereits i eiige Beispiele des Abschitts 5-d begeget sid. Da ma icht sämtliche Glieder eier Folge
( 1) n 1 n n n + 1. n=1
Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst Fakultät Mathematik TU Dortmud Musterlösug zum 6. Übugsblatt zur Höhere Mathematik I P/ET/AI/IT/IKT/MP) WS 20/2 Aufgabe mittels Zeige Sie die Kovergez der Reihe )
Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen
. Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.
Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015
Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie
Methoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln
6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel
n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =
Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:
10. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
Fachbereich Mathemati Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape 0. Übugsblatt zur Vorlesug Mathemati I für Iformati Witersemester 2009/200 5./6. Dezember 2009 Wir wüsche Ihe schöe
2 Konvergenz von Folgen
Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge
Ganzrationale Funktionen
Gazratioale Fuktioe 9. Defiitio gazratioaler Fuktioe Im Folgede werde ebe lieare ud quadratische Fuktioe auch solche betrachtet, bei dee die Variable i der dritte, vierte oder auch i eier och höhere Potez
Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt
Aalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr. Robert Haller-Ditelma 05.05.200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergez vo Folge) Beweise Sie:
Aufgaben zur Analysis I
Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.
Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,
Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 8 1. Bereche Sie de Grezwert lim a für die Folge (a ) gegebe durch a) a = (2 1/ ) 10 (1 + 1/ 2 ) 10 1 1/ 2 1/, b) a = + 1, c)
Wir wiederholen zunächst das Majorantenkriterium aus Satz des Vorlesungsskripts Analysis von W. Kimmerle und M. Stroppel.
Uiversität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dr. D. Zimmerma MSc. J. Köller MSc. R. Marczizik FDSA 4 Höhere Mathematik II 30.04.2014 el, kyb, mecha, phys 1 Kovergezkriterie
Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.
Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.
4. Der Weierstraßsche Approximationssatz
H.J. Oberle Approximatio WS 213/14 4. Der Weierstraßsche Approximatiossatz Wir gebe i diesem Abschitt eie ostrutive Beweis des Weierstraßsche Approximatiossatzes, der mit de so geate Berstei-Polyome (Felix
Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt
Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2
Aalysis I Ei Lerbuch für de safte Wechsel vo der Schule zur Ui Lösuge der Übugsaufgabe vo Kapitel zu... Ma zeige: Jede Teilfolge eier Umordug eier Folge ka als Umordug eier Teilfolge geschriebe werde.
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1
Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für
Aufgabensammlung aus Mathematik 1 UMIT, WS 2010/11
Aufgabesammlug aus Mathemati UMIT, WS 200/ I Aufgabe I detailliert gerechet Aalysis / K Zeige Sie, dass für N ud N, gilt: ( ) + = ( ) ( ) + Zusatzfrage: Uter welche Bediguge a ma zwei Biomialoeffiziete
Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen
26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe 129 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe Lerziele: Kozepte: Puktweise ud gleichmäßige Kovergez Resultate: Vertauschbarkeit vo Grezprozesse, Kovergezverhalte vo
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg bei der Klausur.
Klausur zur Vorlesug Aalysis I Bo, de. Februar 009 Prof. Dr. W. Müller Dr. A. Wotze Nachame, Vorame: Matrielummer: Nummer der Übugsgruppe: A Drehe Sie diese Zettel bitte erst auf Aufforderug um. Sollte
FAQs der Vorlesungswoche 9
HM I Scheider FAQs Woche 9 FAQs der Vorlesugswoche 9 Stadardtrics für die Kovergez- ud Divergezutersuchug bei Folge We Sie eie gegebee Folge auf Kovergez bzw. Divergez utersuche wolle, versuche Sie zuallererst
Tutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen
MAE Mathematik: Aalysis für Igeieure Herbstsemester 206 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Witerthur Tutorial zum Grezwert reeller Zahlefolge I diesem Tutorial lere Sie, die logische Aussage i der Defiitio des
Einführung in die Grenzwerte
Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der
Ferienkurs Analysis 1
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Feriekurs Aalysis Kartesisches Krdiatesystem, Metrische Räume, Flge, Reihe Herik Thma.03.204 Ihaltsverzeichis. Kartesisches Krdiatesystem im R 2... 2. Verallgemeierug im
6.3 Folgen und Reihen
63 Folge ud Reihe Folge sid ichts aderes als Fuktioe f vo der Mege N {,,, 3, } der atürliche Zahle oder vo eiem ihrer Edabschitte N m { m, m +, m +, } i irgedeie Mege Ma schreibt i diesem Fall meist f
Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37
Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.
Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,
Analysis I SS Zusammenfassung Stephan Weller, Juli 2002
Alysis I SS 2 Zusmmefssug Steph Weller, Juli 22 Ihlt. Vollstädige Idutio ud Ugleichuge 2. Folge ud Reihe 3. Kovergez ud Stetigeit 4. Differetitio, lole Extrem, Kovexität 5. Itegrtio, Sustitutiosregel ud
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte
Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2. Folge ud Grezwerte 2.. Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,...) oder i der Form (a ) N. Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8,...
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen
Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS0 0.0.0. Zahlefolge.. Wozu IformatikerIe Folge brauche Kovergez vo Folge ist die Grudlage der Aalysis (Differetial- ud Itegralrechug) Traszedete Gleichuge wie l x 50
Kapitel VI. Reihen. VI.1 Definitionen und Beispiele. Definition VI.1. Sei (a n ) n=1 K N eine Zahlenfolge. Dann heißt die Folge (s m ) m=1 K N, mit
Kapitel VI Reihe VI.1 Defiitioe ud Beispiele Defiitio VI.1. Sei (a K N eie Zahlefolge. Da heißt die Folge (s m K N, mit m s m : a, (VI.1 Reihe i K. Ist (s m koverget, so schreibe wir { a : lim {s m m}
7. Reihen. 7.A Grenzwerte von Reihen. 7. Reihen 71
7. Reihe 7 7. Reihe Wir wolle us u mit eiem spezielle Typ vo Folge beschäftige, der i der Praxis sehr häufig vorkommt: ämlich Folge, die i der Form (a 0, a 0 + a, a 0 + a + a 2,... für gewisse a K gegebe
Inhaltsverzeichnis. 2 Grenzwerte, Folgen und Reihen. 2.1 Intervalle in R. 2.2 Umgebungen (in R und C)
Ihaltsverzeichis 2 Grezwerte, Folge ud Reihe I diesem Kapitel führe wir de zetrale Begriff der Kovergez eier Folge vo Zahle (x ) N gege eie Grezwert x ei. Aschaulich bedeutet dies, dass i jeder och so
Folgen und Reihen Glege 03/01
Folge ud Reihe Glege 03/0 I diesem Script werde folgede Theme behadelt: Folge (Eiführug)... Arithmetische Folge... Geometrische Folge...3 Mootoie...4 Kovergez...5 Grezwert...6 Schrake...7 Arithmetische
1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome
1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg
Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen
Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 3 (aus: K. Hefft, Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 3.1: Graphische Darstellug
Analysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze
Gruppeübug Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8 Übug, Lösugsskizze G 4 (Zum warm werde). Begrüde die vo Physiker beliebte Näheruge si(x) x, cos(x) ud ta(x) x für kleie x R. Dies folgt direkt aus der Tayloretwicklug
Folgen und Reihen. 23. Mai 2002
Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen
Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS0 08.0.0. Zahlefolge.. Wozu IformatikerIe Folge brauche Kovergez vo Folge ist die Grudlage der Aalysis (Differetial- ud Itegralrechug) Traszedete Gleichuge wie x l x
Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I
Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur
Michael Buhlmann Mathematik > Analysis > Newtonverfahren
Michael Buhlma Mathematik > Aalysis > Newtoverfahre Eie Abbildug {a }: N -> R, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuordet, heißt (uedliche (Zahle- Folge: -> a oder {a } εn, a das -te Folgeglied.
Über die Verteilung der Primzahlen
Über die Verteilug der Primzahle Scho dem juge Carl Friedrich Gauss drägte sich die Vermutug auf, dass die Azahl π( aller Primzahle p uterhalb der positive Schrae dem Gesetz π( log lim = 1 gehorcht. (Mit
Konvergenz von Fourier-Reihen
Kovergez vo Fourier-Reihe Ausarbeitug zum Semiar zur Fourieraalysis, 3..27 obias Reimes Diese Ausarbeitug beschäftigt sich mit der Kovergez vo Fourier-Reihe. Hierzu werde im erste Abschitt eiige Vorbemerkuge
Gaußsches Integral und Stirling-Formel
Gaußsches Itegral ud Stirlig-Formel Lemma. Gaußsches Itegral Es gilt für alle a > : e ax dx π a Beweis: Wir reche: e dx ax e ax dx e ay dy e ax e ay dx dy mit dem Satz vo Fubii e ax +y dx dy. Nu verwede
Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen
7. Vorlesug im Brückekurs Mathematik 2017 Hilfsmittel aus der Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Reelle Zahlefolge Dr. Markus Herrich Markus Herrich Kombiatorik, Vollstädige Iduktio, Zahlefolge 1 Hilfsmittel