Pflichtteil Pflichtteil Pflichtteil Abiturprüfung Mathematik 2013 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

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1 Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen Pflichtteil Aufgabe : Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion mit +5 ( VP) Verwende Produkt- und Kettenregel wwwelearning-freiburgde Pflichtteil Pflichtteil Aufgabe : Gegeben ist die Funktion mit sin Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von mit sin cos + cos + Wegen folgt cos Ergebnis:Die gesuchte Stammfunktion lautet cos +9 ( VP) Aufgabe : Lösen Sie die Gleichung Substitution!! +!!,! Rücksubstitution ln ln Ergebnis:& ln () bzw ( VP)

2 Pflichtteil Pflichtteil + *, 5 6 Aufgabe : Gegeben sind die Funktionen und *mit +und * Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird Es gilt,- *, wobei a und b die Schnittpunkte der / Funktionen und *sind Schnittpunkte von und *: * + +, ( VP) Fläche zwischen und *:, * /, Ergebnis: Die gesuchte Fläche beträgt LE Pflichtteil Pflichtteil 8 Aufgabe 5: Eine Funktion hat folgende Eigenschaften: () () () und () Für + und gilt 5 Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von hat Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen (5 VP) Lösung () bedeutet, dass der Graph von durch den Punkt ( )geht () bedeutet, dass der Graph von an der Stelle (also im Punkt ( )) eine waagrechte Tangente besitzt () und bedeutet, dass der Graph von an der Stelle einen Wendepunkt hat () Für + und gilt 5 Dies bedeutet, dass die Gerade 85eine waagrechte Asymptote des Graphen von f darstellt

3 Pflichtteil Pflichtteil 9 Skizzen für den möglichen Kurvenverlauf () 8 Waagrechte Asymptote bei 85 WP: < : und Aufgabe 6: Die Gerade *verläuft durch die Punkte, und > Die Ebene? wird von *orthogonal geschnitten und enthält den Punkt 8 Bestimmen Sie den Schnittpunkt Avon *und? Untersuchen Sie, ob A zwischen, und > liegt ( VP) Für die Interessierten: Die Funktion 9 : ; +5erfüllt alle Bedingungen Pflichtteil, > 8 Pflichtteil *: E?:, > 8 Lösung Geradengleichung für B durch die Punkte C und D: *: E ; F R Ebenengleichung für I durch den Punkte J orthogonal zu B: Als Normalenvektor von E verwende den Richtungsvektor von g Damit gilt für die Koordinatengleichung von? mit noch unbekanntem Da auf? liegt, setzen wir ein und erhalten : 8 Die Koordinatengleichung von? lautet somit:?: Schnittpunkt K von B mit I: Aerhält man durch einsetzen von *in? Hierzu liest man die Koordinaten aus der Geradengleichung ab und setzt diese ein: F F auflösen nach F 6 F8 F Der gefundene Wert von t wird nun in g eingesetzt: + 5 Ergebnis: Der Schnittpunkt Avon *mit? ist A 5

4 Pflichtteil *: E, > A 5 Pflichtteil Liegt K zwischen C und D? Die Gerade *: E geht für Fdurch den Punkt,und Fdurch den Punkt > Falls Azwischen,und > auf *liegt, dann muss hierfür <F<gelten Dies prüfen wir 5 F 6 Hieraus ergibt sich F, dh Fliegt nicht zwischen und Ergebnis: Aliegt nicht zwischen,und > Aufgabe : Gegeben sind die beiden Ebenen? : + und? : E 5 +N Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind Die Ebene? ist parallel zu? und? und hat von beiden Ebenen denselben Abstand Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene? ( VP) Pflichtteil? : +? : E +N 5 Pflichtteil? : +? : E +N Lösung Parallelität der Ebenen I O und I P : Einen Normalenvektor von? liest man direkt ab mit Q Den Normalenvektor für? bestimmen wir mit dem Vektorprodukt: Q Nun gilt Q Q, dh die Normalenvektorensind linear abhängig? und? sind folglich parallel oder identisch Nun wird getestet, ob der Stützvektor von? in? liegt Falls dies nicht der Fall ist, wissen wir, dass? und? nicht identisch und damit parallel sind Es gilt +55 Ergebnis:? und? sind parallel

5 Pflichtteil? : +? : E +N 5 Pflichtteil? : +? : + *: E 5 8 Ebenengleichung für I R Da? parallel zu? ist können wir den Normalenvektor von? auch als Normalenvektor von? verwenden und erhalten dadurch? : + mit einem noch unbekannten Da? denselben Abstand von? und? hat, liegt? genau in der Mitte von diesen beiden Ebenen?? * Die Gerade *: E mit dem Stützvektor? 5 A von? und dem Normalenvektor von? als S, Richtungsvektor geht senkrecht durch alle Ebenen Den Punkt, den der Stützvektor von? beschreibt, bezeichnen wir mit, Wir bestimmen nun den Schnittpunkt Avon *mit? durch Einsetzen F F F Einsetzen in *liefert A: 5 Mit A U V zwischen diesen beiden Punkten: W / 5/ / und, 5 erhalten wir die Mitte S NE+ also S X Da Sauf? liegt, setzen wir S ein und erhalten das noch fehlende? : X + Y Ergebnis:? hat die Gleichung? : + *?? A S?, Pflichtteil Pflichtteil 9 Aufgabe 8: a) Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch b) Die neun Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt Laura dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint Die Zufallsvariable Z gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an Welche Werte kann Z annehmen? Berechnen Sie < Z ( VP)

6 Pflichtteil Pflichtteil Asse, Könige, Damen Summe: 9 Karten Lösung zu a) Asse, Könige, Damen 9Karten A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch <, V X \ V \,8% < > X \ X,% Lösung zu b) Ein Ass wird frühestens beim ersten und spätestens beim sechsten Umdrehen aufgedeckt, daher kann Z nur Werte zwischen und 6 annehmen Es gilt < Z, < Z V X X V und somit \ \ < Z < Z +< Z + V,% X \ \ Ergebnis:Z {,,,,5,6}und < Z \,% Pflichtteil Aufgabe 9: Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph drei Wendepunkte besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort Die Kandidaten für die Wendepunkte bestimmt man über die Gleichung () (notwendiges Kriterium) Da bei jeder Ableitung der Grad von um eins verringert wird, ist die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades höchstens noch vom Grad (also höchstens quadratisch) Eine quadratische Funktion besitzt aber höchstens zwei Nullstellen Somit kann es keine ganzrationale Funktion vierten Grades mit drei Wendepunkten geben! ( VP)

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