Algorithmen und Datenstrukturen

Transkript

1 Algrithmen und Datenstrukturen Prf. Dr. Ralf Möller Universität zu Lübeck Institut für Infrmatinssysteme Tanya Braun (Übungen) swie viele Tutren

2 Suchgraphen für 2-Persnen-Nullsummenspiele

3 Typen vn Spielen Perfekte Infrmatin Unvllständige Infrmatin deterministisch Schach, Dame, G, Othell zufällig Backgammn, Mnply Bridge, Pker, Scrabble

4 Zweipersnen-Spiele Ein Spiel als Suchprblem: Anfangszustand:? Operatren (Züge):? Endzustand:? Nützlichkeitsfunktin:?

5 Zweipersnen-Spiele Ein Spiel als Suchprblem : Anfangszustand: Brettpsitin und erster Spieler Operatren (Züge): In Brettpsitin legale Züge Endzustand: Bedingungen für Spielende Nützlichkeitsfunktin: Num. Wert für Ausgang des Spiels -1, 0, 1 für verlren, unentschieden, gewnnen (Payff- der Utility-Funktin)

6 Entwurfsmuster Suchraumbeschneidung Unser Prblem: Bestimme besten Zug Entscheidung des Prblems über Suche in einem Graphen mit der Idee, den Suchraum systematisch zu bescheiden hne die richtige Lösung zu verlieren Später: Suchraumbeschneidung als Apprimatin aber mit praktikablem Laufzeitverhalten 6

7 Beispiel: Tic-Tac-Te

8 Minima-Algrithmus Optimales Spiel für deterministische Umgebungen und perfekte Inf Basisidee: Wähle Zug mit höchstem Nützlichkeitswert in Relatin zum besten Spiel des Gegners Algrithmus: 1. Generiere Spielbaum vllständig 2. Bestimme Nützlichkeit der Endzustände 3. Prpagiere Nützlichkeitswerte im Baum nach ben durch Anwendung der Operatren MIN und MAX auf die Knten in der jeweiligen Ebene 4. An der Wurzel wähle den Zug mit maimalem Nützlichkeitswert Schritte 2 und 3 nehmen an, dass der Gegner perfekt spielt.

9 Erzeuge Spielbaum

10 Erzeuge Spielbaum

11 Erzeuge Spielbaum

12 Erzeuge Spielbaum 1 Halbzug 1 Zug

13 Ein Teilbaum gewnnen verlren unentschieden

14 Was ist ein guter Zug? gewnnen verlren unentschieden

15 Minima Minimiere Gewinnmöglichkeiten für den Gegner Maimiere eigene Gewinnmöglichkeiten

16 Minima MIN Minimiere Gewinnmöglichkeiten für den Gegner Maimiere eigene Gewinnmöglichkeiten

17 Minima MAX MIN Minimiere Gewinnmöglichkeiten für den Gegner Maimiere eigene Gewinnmöglichkeiten

18 Minima MAX MIN Minimiere Gewinnmöglichkeiten für den Gegner Maimiere eigene Gewinnmöglichkeiten

19 Minima: Rekursive Implementatin Vllständig:? Optimal:? Zeitkmpleität:? Platzkmpleität:?

20 Minima: Rekursive Implementatin Vllständig: Ja, für endl. Zust.raum Optimal: Ja Zeitkmpleität: O(b m ) Platzkmpleität: O(bm) (= DFS) m = Suchtiefe bis Endzustände erreicht b = Verzweigungsfaktr (braching)

21 Spielen als naive Suche? Kmpleität: Viele Spiele haben einen grßen Suchraum Schach: b = 35, m=100 #Knten= Falls Betrachtung eines Kntens 1 ns benötigt, braucht jeder Zug Jahrhunderte zur Berechnung Endzustände können in vertretbarer Zeit nicht alle generiert werden Algrithmen für perfektes Spiel: Jhn vn Neumann, 1944 Endlicher Hriznt, apprimative Zustandsbewertung: Zuse 1945, Shannn 1950, Samuel Suchbaumabschneidungen zur Einsparung vn Zeit: McCarthy

22 Lösungsansätze Reduktin des Ressurcenprblems (Zeit, Speicher): 1. Suchraumbeschneidung (Pruning): macht Suche schneller durch Entfernen vn Teilen des Suchbaums, in denen beweisbar keine bessere als die aktuell beste Lösung gefunden werden kann 2. Bewertungsfunktin: Heuristik zur Bewertung der Nützlichkeit eines Spielzustands (Knten) hne vllständige Suche

23 1. α-β-pruning Pruning: Eliminatin eines Zweigs des Suchbaums, hne vllständige Untersuchung jedes Kntens darunter (vgl. auch A*) α-β-pruning: beschneide Teile des Suchbaums, die den Nützlichkeitswerte eines Ma- der Min-Kntens nicht verbessern können (wbei nur bisher betrachtete Kntennützlichkeitswerte eine Rlle spielen) Geht das? Ja (s.u.). Der Verzweigungsfaktr wird in etwa vn b auf b reduziert Die Suchtiefe wird gegenüber Minima ca. verdppelt

24 α-β-pruning: Beispiel MAX 6 MIN

25 α-β-pruning: Beispiel MAX 6 MIN

26 α-β-pruning: Beispiel MAX 6 MIN MINIMAX(rt) = ma(min(6,12,8),min(2,a,b),min(5,b,d)) = ma(6,z,y) wbei z=min(2,a,b) 2 und y=min(5,b,d) 5 = 6 5

27 α-β-pruning: Algrithmus Weil Minima Tiefensuche betreibt, betrachten wir die Knten auf einem gegebene Pfad im Baum Für jeden Pfad, speichern wir: α : Bewertung der bislang besten Wahl für MAX β : Bewertung der bislang besten Wahl für MIN Stckman, G., A minima algrithm better than alpha beta? AI Jurnal, 12(2), , 1979.

28 Suche mit Pfadbeschneidung functin ALPHA-BETA-SEARCH (state) α := - ; β := if TERMINAL-TEST(state) then return else return argma a ACTIONS(state) { v := MIN-VALUE(RESULT(state, a), α, β) α := ma(α, v) v } 28

29 MAX-VALUE und MIN-VALUE mit α-β-pruning Darstellung entnmmenaus: Russell, St., Nrvig, P., Artificial Intelligence: A Mdern Apprach, 3 rd Ed., 2010

30 α-β-suchalgrithmus In Min-Value: MAX v = - α = - β = + MIN Min-Value-Schleife v = 5 α = - β = 5 MAX

31 α-β-suchalgrithmus In Min-Value: MAX v = - α = - β = + MIN Min-Value-Schleife v = 5 α = - β = 5 MAX

32 α-β-suchalgrithmus In Min-Value: MAX v = - α = - β = + MIN Min-Value-Schleife v = 5 α = - β = 5 MAX

33 α-β-suchalgrithmus In Ma-Value: MAX Ma-Value-Schleife v = 5 α = 5 β = + MIN v = 5 α = - β = 5 MAX

34 α-β-suchalgrithmus In Ma-Value: MAX Ma-Value-Schleife v = 5 α = 5 β = + MIN v = 5 α = - β = 5 v = - α = 5 β = + MAX

35 α-β-suchalgrithmus In Min-Value: MAX v = 5 α = 5 β = + MIN Min-Value-Schleife v = 5 α = -β β = 5 v = - α = 5 β = + MAX

36 α-β-suchalgrithmus In Min-Value: MAX v = 5 α = 5 β = + MIN Min-Value-Schleife v = 5 α = - β = 5 v = 2 α = 5 β = + MAX

37 α-β-suchalgrithmus In Min-Value: MAX v = 5 α = 5 β = + MIN Min-Value-Schleife v = 5 α = - β = 5 v = 2 α = 5 β = + MAX

38 α-β-suchalgrithmus In Ma-Value: MAX Ma-Value-Schleife v = 5 α = 5 β = + MIN v = 5 α = - β = 5 v = 2 α = 5 β = + MAX

39 α-β-suchalgrithmus: Eigenschaften Pruning hat keinen Einfluss auf das Endergebnis!!! Eine gute Reihenflge der Betrachtung möglicher Züge erhöht die Effektivität vm Pruning Mit perfekter Ordnung, Zeitkmpleität = O(b m/2 ) Verdpplung der Suchtiefe Gute Heuristik zur Ordnung nötig Tiefe 8 erreichbar => guter Schachspieler

40 2. Zugbewertunghne erschöpfende Suche Der Minima-Algrithmus generiert den vllständigen Spielsuchraum, während der α-β Algrithmus grße Teile davn abschneidet (hne die beste Lösung zu verlieren) Trtzdem: Vllständige Suche meist zu aufwendig Idee: Prpagierung vn unten nach ben durch Anwendung einer Bewertungsfunktin ersetzen Bewertungsfunktin: Evaluiert der Wert vn Zuständen durch Heuristiken und beschneidet dadurch auch den Suchraum New MINIMAX: CUTOFF-TEST: Ersetzt die Terminierungsbedingung EVAL: Bewertungsfunktin als Ersatz für die Nützlichkeitsfunktin

41 Bewertungsfunktin Die Bewertungsfunktin sllt die Endzustände in der gleichen Weise rdnen wie die Nützlichkeitsfunktin (a<b<c ). Die Berechnung der Funktin sllte schnell erflgen Für Nicht-Endzustände sllte die Bewertungsfunktin die aktuelle Gewinnaussicht (Nützlichkeit) krrekt abschätzen.

42 Bewertungsfunktin: Beispiel Merkmalsberechnungen (z.b. Anzahl der Bauern, Türme,...) Es ergeben sich Kategrien mit Gewinn, Verlust, Unentschieden Für jede Merkmalskmbinatin werden die Gewinnchancen abgeschätzt (gelernt) Beispiel für eine Merkmalskmbinatin: 72% Gewinn (+1), 20% Verlust (-1), 8% Unentschieden (0) Erwarteter Nutzen: (0,72* +1) + (0,20* -1) + (0,08 * 0)= 0,52

43 Bewertungsfunktin: Beispiel Gewichtete Linearkmbinatin: Kmbinatin vn mehreren Heuristiken f = w 1 f 1 + w 2 f w n f n Beispiel: f 1 = Bewertung #Bauern, f 2 = Bewertung #Türme, w 1 = Gewicht #Bauern, w 2 = Gewicht #Türme (Gewichte können vn der Suchtiefe abhängen)

44 Ma-Value mit CUTOFF und EVAL

45 Minima mit CUTOFF: Brauchbarer Algrithmus? MinimaCUTOFF is identisch zu MinimaVALUE außer 1. TERMINAL? wird ersetzt durch CUTOFF? 2. UTILITY wird ersetzt durch EVAL Funktiniert das in der Prais? b m = 10 6, b = 35 è m = 4 4 Halbzüge Vrausschau: Anfängerniveau 8 Halbzüge Vrausschau: meisterhaft Annahme: 100 Sekunden Rechenzeit werden pr Zug verwendet und wir können 10 4 Knten/s bewerten; dann können wir 10 6 Knten/Zug durchrechnen 12 Halbzüge Vrausschau: grßmeisterhaft (~DeepBlue) 45

46 Meister durch Cmputer geschlagen im Jahr Dame: 1994 Schach: 1997 G:

47 Zusammenfassung Wir haben z.b. erkannt, dass für einen Graphen G=(V, E) mit n = V und m = E gilt: T Tiefensuche O(n+m) T Dijkstra O(n lg n + m) mit Fibnacci-Heaps Flgerung: Optimierungsprbleme sind linear bzw. linear-lgarithmisch lösbar Bei Spielsuchverfahren (der auch A*) können wir den Graphen nicht sinnvll vrher "erzeugen" und als Eingabe verwenden Eingabe ist nur der Startknten (Startzustand) plus Funktin zur Erzeugung vn Kntennachflgern (nächste Zustände) Wir haben Verzweigungen im Suchraum: Prbleme sind mit epnentiellem Aufwand lösbar Flgerung: Grenzen des Einsatzes vn Cmputern erkennbar 47